Математические модели техногенного риска от объектов обустройства нефтегазовых месторождений Текст научной статьи по специальности «Математика»

Е.Н. Шевченко

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ТЕХНОГЕННОГО РИСКА ОТ ОБЪЕКТОВ ОБУСТРОЙСТВА НЕФТЕГАЗОВЫХ МЕСТОРОЖДЕНИЙ

Анализируется возможность оценки риска с использованием аппарата двумерных вероятностных распределений. Приведены двумерные функции плотности распределения риска для случаев независимых случайных величин вероятности и ущерба; линейной и экспоненциальной зависимости между вероятностью и ущербом.

Нефтегазодобыча, модель, техногенный риск, обустройство.

Известно, что риск определяется как произведение вероятности нежелательного события на величину ущерба от него

Я = О • С, (1)

где Я — риск, О — вероятность исходного события, С — ущерб от данного события [1, 2].

Две в общем случае независимые переменные О и С образуют двумерное пространство.

На этом пространстве может быть определена двумерная функция Я, которая представляет множество всех значений риска Я,,, соответствующих всевозможным комбинациям вероятностей О, и ущербов С,:

Я,, = О, • С,.

Одна из сложностей построения пространства рисков состоит в том, что ущербы от разных событий (даже для одной и той же системы) могут исчисляться в разных единицах измерения, зачастую несопоставимых. Поэтому представляется целесообразным переход к функциям распределений как вероятности исходных событий, так и ущербов.

Переменные ущерба С и вероятности О считаются независимыми. Однако известная кривая Фармера описывает не что иное, как экспериментальную зависимость между дозой облучения в результате аварии и вероятностью аварии для атомных электростанций США (рис.) [4].

Можно предположить, что подобная зависимость является свойством системы, спроектированной человеком, а не свойством природы ущербов и вероятностей как таковых.

Анализ функции плотности распределения риска

как функции случайных величин вероятности исходных событий

аварий и ущерба от них

Рассмотрим риск как функцию случайных величин. Пусть имеется система двух непрерывных дифференцируемых случайных величин (О, С) с плотностью распределения ^С(д, с). Случайная величина Я связана с О и С функциональной зависимостью

Ря (г) = Ф(О, С). (2)

Требуется найти закон распределения величины Я.

Функция распределения величины Я

R (г) = Р^ < г) = Р МО, С) < г]. (3)

Для того чтобы выполнялось неравенство (3), случайная точка (О, С) должна попасть в область М, где значения функции ф(О, С) меньше текущего значения г, и, следовательно,

FR (г) = Р [(О, С) с М ] = Л /вс (д, о^о , (4)

ш

где М — область, в которой R < г.

Дифференцировав FR (г) по г, получим плотность распределения величины R:

^ (г) = (г) .

Если известен конкретный вид функции ф = ф (д, с), можно выразить пределы интегрирования через функцию ф и написать выражение fR (г) в явном виде.

Так как принято считать, что СВ R есть произведение СВ О и С, то очевидно, что уравнение кривой ф = дс — гипербола, асимптоты которой совпадают с осями координат. Область М при этом находится под графиком функции ф = ф (д, с) (рис.).

Учтем, что рассматриваемые величины определены только в первом квадранте (рис.). Буквой М обозначена область, в которой R < г, что очевидно из рис., так как плоскость R = г делит поверхность на две части: выше и ниже этой плоскости.

Тогда функция распределения СВ R имеет вид

га г / д

FR (г) = Р ^ < г) = Р ^ < д ■ с) = Л /вс (д, о)йдйо = | | /зс (д, оЩсС , (5)

Ш 0 0

а плотность распределения fR (г) после дифференцирования выражения (5) по г равна

fR (г) = ] - / (д, -¥д.

(6)

г

Здесь и далее о = —. Недостатком выражения (6) является то, что в нем

д

нет в явном виде функции ф, которая входит неявно через предел интегрирования г/д в (5).

Рис. Область интегрирования функции распределения риска

Область интегрирования № (рис.) подчинена условиям

(0 < q < 1; [0 < с < г / q.

Тогда с учетом ограничения области определения по оси вероятности функция распределения величины Я принимает вид

1 г / q

Ря (Г) = Л /да с)dсdq = | | /вс с)dсdq. (7)

(Ш) 0 0

И соответственно функция плотности распределения Я

1 1

ь (Г) = 1- /вс (^ ^ . (8)

о q q

Теперь область интегрирования по вероятности имеет естественное ограничение — интервал от 0 до 1.

Таким образом, если будет известен вид законов распределения fQ(q) и С (с), то можно определить вид и значение параметров функции распределения (Г) и плотности fR (Г).

Формула (8) при независимых величинах вероятности и ущерба видоизменится следующим образом:

1 -

fR (Г) = |- /в (4)/с . (9)

Получены функции и найдены их числовые значения:

Распределения вероятности и ущерба Плотность распределения риска

Q — нормальн. mq >3Oq С —нормальн. ГПс >3Ос Л(г) = ПаУ,ехр 1-^ ^)2/2< (г/q тс)2/2а2с } g с 0 1 1 1

Q-Рэлея С-Рэлея /, (г) Д , } 1 ехр { q 2/2а 2 г 2 /2 q 2а 2 } .

Q — Вейбулла С — Вейбулла 1 /к(г) = адЛдасЛсгас-11 qaд~"с-1 ехр{ -Л^ - Лс(г)"с }dq. 0 Ч

Q — логнормальн. С — логнормальн. Л(г) - 2 1 }!ехр(- (1П'2"Гg)2 - }dq. 2паас 0 q [ 2а, а (

Q — Стьюдента С — Стьюдента Г { + 1 1 Г Г "с + 1 Ч ^ +1 „,+1 /' (г) = Г 1 2 \ Г [ 1 + ] - 2 [ 1 + г ^ 2 1 _ ~ . п^г[]г("г] 0 д 1 П2 11 "с

Q — усеч. норм. С — усеч. норм. } 1 ехр ( - (д - т2 )2 - (г / д - т с )2 ) / (г ) - 0 д [ 2"2 2а= 1

2а д а сФ Г a2q ]-Ф [ ] Ф [ " 2.^-ф ^ "1с Ц '

Перейдем к рассмотрению случая, когда риск является функцией случайных величин вероятности исходных событий Q и ущерба С, предполагая, что

О и С не являются независимыми. Допустим, что ущерб есть функция вероятности исходных событий:

c = а(д). (10)

Риск с учетом зависимости между вероятностью исходных событий и ущербом определяется по формуле

FR (д,с) = Ц/с / в ^ о)/в (!)СоСд- (11)

ш1

Найдем плотность распределения ущерба в случае его линейной зависимости от вероятности исходных событий

c = а(д) = -^д + ko.

Выражение для плотности распределения риска ^ :

1 11 ( к - г / д Л /к (г) = К (г) = - \-/в "-т-1 /в Шд, ^ > 0. (12)

к1 о д V к1 ) Найдем плотность распределения ущерба в случае его экспоненциальной зависимости от вероятности исходных событий

c = а(д) = ко e-k1q.

откуда после дифференцирования по г следует выражение для плотности распределения риска ^ :

. , ч 1г.. (1п к0 - 1п г / д Л . . . ,

/к (г)=~т\/в I —т— /в (чС, k1 > о. (13)

гк1 о V к1 )

Распределение СВ вероятности О

Функция плотности распределения риска fR (г)

Нормальное

/к (г) = V 11 ехРт ^ 2

2па1вкг о д | 2ав

к0 - г / д

кг

- тв | +

(д - тв)

\сСд , к >

Логарифмически нормальное

/к (г) = Ж1

2 I 2 "ехР1 2

2яо9кг 0 д (ко - г / д) I

■^Л - „в I +(1п д - тв )

>Сд

, к1 > 0.

Вейбулла

/к (г)=авг 1 ^д(ко - г / д))ав 1 ехр| - в

в +1 21

дв +

ко - г / д

кг

, к1 > о.

Экспоненциальное

/К (г) = вв- [-еХР1-в£

к1 о д I

( ко - г / д

д+V "Ч-

к1 > о.

Рэлея

/к (г) = ТТТ I (ко- г / д)ехР |-:гт

к1 °в о | 1ав

д2 +1

, к1 > о.

Стьюдента

Г-

/к (г) = -

пв + 1

■2 "в

2

к1лпвГ21 Iо

■> д

пв I о д

1+

(ко - г / д)2 пвк1

пв +1 пв+1

2 „2 2

1+д- с1д , к1 > 0.

пв

2

к

1

1п

а

в

2

В исследовании получены численные значения функций распределения риска для разных законов распределения СВ Q вероятности сходных событий: нормального, Вейбулла, Стьюдента, логарифмически нормального.

Заключение

Полученные аналитические выражения могут использоваться для оценки техногенного риска систем. Анализ численных значений позволяет сделать сравнительные выводы о свойствах риска в различных предположениях о зависимости вероятности исходных событий аварий и ущербов.

ЛИТЕРАТУРА

1. Rasmussen, Norman et al. Reactory Safety Study. WASH-1400. Washington, DC: US NRC, 1975.

2. Королев В.Ю., Бенинг В.Е., Шоргин С.Я. Математические основы теории риска: Учеб. пособие. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. 544 с.

3. Острейковский В.А., Швыряев Ю.В. Безопасность атомных станций: Вероятностный анализ. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2008. 352 с.

4. Острейковский В.А. Анализ устойчивости и управляемости динамических систем методами теории катастроф. М.: Высш. шк. 2005. 326 с.

5. Половко А.М., Гуров С.В. Надежность технических систем и техногенный риск. СПб.: БХВ-Петербург, 2006. 704 с.

6. Вентцель Е.С. Теория вероятностей: Учеб. для вузов. М.: Высш. шк., 1998. 576 с.

Ye.N. Shevtchenko

MATHEMATICAL MODELS OF A TECHNOGENIC RISK REGARDING DEVELOPMENT FACILITIES OF OIL AND GAS FIELDS

Subject to analysis being a possibility to assess risk using a unit of two dimensional probability distributions. The paper presents two dimensional density functions of risk distribution for a case of an independent random variable of probability and damage, as well as for a case of a linear and exponential dependence between probability and damage.

Oil and gas production, model, technogenic risk, development.