CC BY
12
прямую пространства Р3 проходит не более двух щеток, касательныхк Н2.
Таким образом, можно сделать следующий обобщающий вывод: в дуальном представлении порядок ряда И2 означает, что произвольная щетка пространства Р3 не может иметь более двух лучей с И2, а его класс — через каждую прямую пространства проходит не более двух щеток, касательных к И2. Этот вывод имеет существенное значение для проективного образования линейчатых фигур пространства Р3 на основе дуального исчисления.
Литература
1. Панчук К.Л. О принципе перенесения Котель-никова — Штуди. // Геометрическое моделирование
в практике решения инженерных задач /. ОмПИ.-Омск, 1991. - С. 18-23.
2. Панчук К. А. Дуальные ряды и пучки второго порядка. // Современные проблемы геометрического моделирования. Сборник трудов седьмой международной научно-практической конференции.- Мелитополь: изд-воТГАТА, 2003. 4.1- С. 122-126.
3. L. Kylikov, К. Panchuk, A. Liaskov, V. Volkov. Aspects of geometrical simulation of space and its properties, Proceedings of lO"1 International Conference on Geometry and Graphics, Vol. I,pp99 — 103, Kyiv, Ukraine.
ПАНЧУК Константин Леонидович, кандидат технических наук, доцент кафедры начертательной геометрии, инженерной и компьютерной графики.
УДК 514 144 2 г т КАРАУЛОВА
Л. К. КУЛИКОВ В. Я. ВОЛКОВ
Омский государственный технический университет
ПЕРСПЕКТИВНО-ЧИСЛОВАЯ МОДЕЛЬ ПРОСТРАНСТВА
Предложена модель расширенного евклидова пространства, представляющая собой множество точек с числовыми отметками, принадлежащими картинной плоскости. Рассмотрена реализация этой модели методами начертательной и проективной геометрии.
Задача реконструкции объекта по его центральной проекции имеет множество решений, которые в определенных сферах приложения вполне целесообразны и удобны. Применять эти способы для решения прикладных задач других областей порой неприемлемо и неэффективно, требует доработки, адаптации к конкретной сфере применения этих способов.
В данной работе ставится задача восстановления метрики и формы сложных пространственных объектов, а именно поверхности тела человека по фотоснимку.
Учитывая особенности этой предметной области, нами была разработана перспективно-числовая модель пространства, которая позволяет, зная центральную проекцию объекта и дополнительные данные к изображению, реконструировать этот объект.
Для получения модели расширенного евклидова пространства Р3 будем использовать центральное проецирование. Пусть ГТ — плоскость проекций (картинная плоскость), 5 — центр проецирования, П0 — плоскость нулевого уровня (рис. 1).
Центральной проекцией точки А является точка А' = БА^ГТ. Множество точек пространства Р3 трех-параметрическое, множество проекций этих точек на плоскости Я'двухпараметрическое. Установить взаимно однозначное соответствие между элементами
П'
A h /
Рис. 1. Схема получения перспективно-числовой модели пространства.
(точками) этих множеств невозможно. Будем рассматривать точку А' вместе с числовой отметкой Л, где Л — расстояние от А до плоскости П0, взятые со знаком плюс, если А расположено выше П0 и со Знаком минус, если А расположено ниже П0. Таким образом |Л| = \АА0\, гдеА0 — ортогональная проекция точки А на плоскость П0.
Множество точек плоскости ГТ, взятых с числовыми отметками, является трехпараметрическим и может быть моделью пространства Р3. Взаимнооднозначное соответствие между Р., и П' устанавливается проецирующими прямыми (рис. 2).
Построение точки в предметном пространстве является основной задачей: прямая реконструируется с помощью двух точек, через которые проводится эта прямая; плоскость восстанавливается с помощью трех точек, не лежащих на одной прямой.
Если дана точка А, то A'(h) определяется однозначно: Л' = 5АПЯ', |Л|= |AAj. Если дана точка A '(h), т. е. точка плоскости Л' с числовой отметкой Л, то точка А определяется однозначно: проведем плоскость Лл| \П0, расстояние от Лл до П0 равно h;A=SA'Onп. Точка А — искомая точка, так как AeSA' и |АА0| = |л|, поскольку все точки плоскости удалены от П0 на расстояние h.
Задачу нахождения точки AuoA'(h) можно решить несколько иначе. На рис.3 показано построение точки А по известной точке A'(hA). Последовательность построения: SS'in', S'=SS'n/7', S'A'fhJ, ЛД=Л,ПЛ', A'=S'A'(hjnhA, А',А±П', A=A',AnSA'(hA).
Плоскость П', рассматриваемая как множество точек с числовыми отметками, является перспективно-числовой моделью пространства Рг Эта модель существенно отличается от известного метода проекций с числовыми отметками [2], в котором числовая отметка h приписывается точке А0. В рассматриваемом соответствии Р3 - П' точке пространства Р3 соответствует точка плоскости П', прямой соответствует прямая, инцидентным прямым соответствуют инцидентные прямые (параллельность не является инвариантом этого соответствия), кривой второго порядка соответствует кривая второго порядка. Эти и другие свойства соответствия Р3 - П' присущи центральному проецированию [1].
Разработка методов использования перспективно-числовой модели пространства диктуется ее основным приложением, а именно изучением объекта по фотографическому снимку, в частности при проектировании одежды.
Связь между объектом и его перспективно-числовой моделью наглядно прослеживается в стандартной изометрии. Пусть нулевая плоскость совпадает с плоскостью Оху и в этом случае обозначим ее Л(1 плоскость Л' совпадает с плоскостью Oyz (рис. 4). Дана точка А, последовательность нахождения A'(h) такая: SA; 5(А(; А\ = 5,А,Пу; A'^'fh)||z; A'(h¿= SÁnA'^A'fhJ; |Л| = =|AA,|.
На рис. 5 приведено построение точки В по известной проекции B'fhJ. Последовательность построения: SB'(h„); B'(tiJB'2\\y; B'.¿ = B'(hn)B'.¿Oz; S2B'2; a||x; B2 = =S2B'2Cia; B2B\\y; В = SB'(hn)r\B2B,
Если картинная плоскость Л' не перпендикулярна нулевой плоскости, то при построении удобно плоскость Oxz расположить перпендикулярно картинной плоскости (рис. 6). Построения проще проводить, используя вторичную проекцию на Oxz (П2). На рис.6 показано построение A'(hA) по известной точке А. Прямая/ — это линия пересечения Л' с плоскостью Oxz. Поскольку П'±Oxz, то / — ортогональная проекция П' на Oxz. Последовательность нахождения A'(hj такая: SA; A'2 = S2A2ni;A'2A'fhA)\\y;A'(h J:=SAC)A'2A'(hA). На рис.7 показано построение точки В по известной точке B'fhJ. Последовательность построения: SB'(hJ; B'íh jB'^y; B'.¿ = inB'íhJB',- S2By a||x; B2 = Sfi'^a; B2B\\y;B = SB'(hjr\B2B.
Между картинной плоскостью и любой из плоскостей уровня, например Л(] (см. рис.2),устанавливается соответствие, называемое перспективной коллине-ацией [2]. При этом угол между П' и Лл может быть любым. После совмещения плоскостей Л' и Лл поворотом вокруг их линии пересечения d = Л'П Лл, получим на совмещенной плоскости гомологию с осью d и некоторым центром SJlA (рис.8).
Рис, 2. Схема соответствия элементов пространства и картинной плоскости.
Рис. 3. Схема получения элемента пространства по элементу картинной плоскости.
Рис. 4. Построение точки А'(ЬЛ) по А в изометрии.
Рис. 5. Построение точки В по B'fhJ в изометрии.
.S', у
Рис. 6. Построение А'(ЬД) в наклонной картинной плоскости.
Рис. 7. Построение точки В по B'(hs) в наклонной картинной плоскости.
Рис. 9. Построение соответственных точек в гомологии.
Рис. 8. Гомология (S.., d).
Зная ось гомологии с! и две пары соответственных точек А - А '(11А) и В - В'(Ьв), при этом Лл=Л((, легко найти Бм= АА'(кл)ПВВ'(кв). После того, как на совмещенной плоскости будут известны 5М, й, А, А'(НА) построение по образу С'(Ис = 1гА) точки С можно проводить обычным методом (рис.9): А'С'; 1 = А'С'С\й;А1; БМС'; С = =5„.С'ПА).
Л А
Если известны три пары соответственных точек А — А'(ЬЛ), В - В'(Ь=ЬА), С - С'(Ь=ЬЛ), то можно найти 5М=АА'ПВВ' и ось гомологии ± 1=АВПА'В';2=ВСГ\В'С'; (1=1-2.
Рассматривая сечения объекта плоскостями уровня, будем иметь после совмещения с Я', в каждой плоскости гомологию со своим центром и осью. Эти сечения можно в практических целях выполнять на отдельных листах или совмещать на одномлисте. При этом отрезки, концы которых обозначены буквами без индексов, являются отрезками, имеющими такую же длину, как и соответствующие отрезки на объекте. Отрезки, концы которых обозначены буквами со штрихами, являются центральной проекцией отрезков объекта, т. е. отрезки взятые, например, с фотографии.
В первом из рассматриваемых сечений для задания гомологии необходимы три пары соответственных точек, в остальных сечениях достаточно двух пар, так как все оси гомологий параллельны. На рис. 10 показаны две плоскости уровня совмещенные с картинной плоскостью. Бм, 5ЛВ, йл, с!в — центры и оси гомологии для плоскостей Пм и Яля соответственно. Точка А принадлежит плоскости Пм, точка В — плоскости Ялв. При этом плоскость картины перпендикулярна плоскостям уровня. Если плоскость П1Л перед совмещением с Я' совместить с Пм, перенося параллельно по перпендикуляру к Я0 на (кА — йв), то точка В перейдет
Рис. 10. Определение натуральной величины отрезка.
в положение В (см. рис. 10). Оси и а(д совпадут. Длина отрезка АВ с концами в разных плоскостях уровня может быть определенаграфически или аналитически как диагональ прямоугольного треугольника и будет
равна |АВ| = ^аЦ2 + (Лл-Лд/2 . Если Я' наклонена к П0
под углом а, то длина отрезка ВВ равна (ЬА — 1\и) ■ (1 ±с<ма)Агла:. Длина АВ считается по той же формуле.
Перспективно-числовая модель пространства позволяет достаточно просто восстанавливать объекты, определять их положение и метрику. Эта модель удобна для практического ее применения при анализе фотоснимков и позволяет реконструировать различные объекты, в частности поверхность манекена или тела человека.
Литература
1. Начертательная геометрия. Учебник для вузов./ Крылов H.H., Лобандиевский П.И., Мэн С.А., Иконникова Г.С., Николаев В.Л. - М.: Высш. школа, 1977. - 232 с.
2. ЧетверухинН.Ф. Проективная геометрия. — М.: Просвещение, 1969. — 368 с.
КАРАУЛОВАГульбаршинТахировна, аспирант кафедры начертательной геометрии, инженерной и компьютерной графики (НГИиКГ). КУЛИКОВ Леонид Константинович, кандидат технических наук, доцент кафедры НГИиКГ. ВОЛКОВ Владимир Яковлевич, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой НГИиКГ.
