CC BY
22
УДК 514.144.2
Г. Т. КАР ДУЛОВА
Омский государственный институт сервиса
РЕКОНСТРУКЦИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ОБЪЕКТОВ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ТЕОРИИ ПЕРСПЕКТИВНО-ЧИСЛОВОЙ МОДЕЛИ ПРОСТРАНСТВА
Изложена теория перспективно-числовой модели пространства. Описана реконструкция различных геометрических образов с применением теории перспективно-числовой модели пространства. Рассмотрены некоторые ее применения для решения прикладных задач.
Перспективно-числовая модель пространства -геометрический аппарат, позволяющий по центральной проекции объекта восстановить размеры и форму этого объекта.
При разработке теории учитывались особенности прикладной области (изучение размеров и формы поверхности тела человека по фотографии). Фотография, как известно, представляет собой центральную проекцию объекта.
Ниже кратко изложена теория перспективно-числовой модели пространства на основе главного элемента этого пространства — точки.
Для получения модели расширенного евклидова пространства Р? используется центральное проецирование. Пусть П' — плоскость проекций (картинная плоскость), 5 — центр проецирования, Пд — плоскость нулевого уровня (рис. 1).
Центральной проекцией точки А является точка А' = БАПП'. Множество точек пространства Р,трех-параметрическое, множество проекций этих точек на плоскости /7' двухпараметрическое. Установить взаимно однозначное соответствие между элементами (точками) этих множеств невозможно. Будем рассматривать точку А' вместе с числовой отметкой Л, где Л — расстояние от А до плоскости П0, взятые со знаком плюс, если А расположено выше П0 и со знаком минус, если А расположено ниже П0. Таким образом |л|= |АА0|, где А0 — ортогональная проекция точки А на плоскость П0.
Множество точек плоскости Л', взятых с числовыми отметками, является трехпараметрическим и может быть моделью пространства Рт Взаимнооднозначное соответствие между Р3 и 77' устанавливается проецирующими прямыми.
Плоскость П\ рассматриваемая как множество точек с числовыми отметками, является перспективно-числовой моделью пространства Р3. Эта модель существенно отличается от известного метода проекций с числовыми отметками [2], в котором числовая отметка Л приписывается точке А0. В рассматриваемом соответствии Р} - П' точке пространства Р3 соответствует точка плоскости П', прямой соответствует прямая, инцидентным прямым соответствуют инцидентные прямые (параллельность не является инвариантом этого соответствия), кривой второго порядка соответствует кривая второго порядка. Эти и другие свойства соответствия Р, - Я' присущи
П'
Рис. 1. Схема получения перспективно-числовой модели пространства.
центральному проецированию [1]. Отметим, что перспективно-числовую модель пространства можно определить как обобщенную модель метода проекций с числовыми отметками.
Использование перспективно-числовой модели пространства диктуется ее основным приложением — изучением объекта по фотографическому снимку, в частности, для получения исходных данных о размерах и форме тела человек при проектировании одежды.
Далее рассмотрены геометрические образы, набор которых также продиктован приложением. Особо необходимо подчеркнуть, что основным элементом перспективно-числовой модели пространства является точка.
Реконструкция кривой второго порядка.
Кривую второго порядка общего положения, используя модель перспективно-числового пространства, можно определить следующими способами:
1 -й способ: находим уравнение плоскости, в которой лежит кривая второго порядка. Плоскость восстанавливается с помощью трех точек, не лежащих на одной прямой. Координаты трех точек находятся с использованием теории перспективно-числовой модели пространства. Далее определяются пять точек пересечения линий проекционной связи с этой плоскостью. По методу Аайминга можем записать уравнение кривой второго порядка.
2-й способ: линию в пространстве можно также рассматривать как пересечение двух поверхностей, т. е. геометрическое место точек, находящихся одновременно на двух поверхностях.
Если = 0 и Р2(х,у,г) = 0 суть уравнения двух
поверхностей, пересечением которых является данная линия I, то
— координаты любой точки, лежащей на линии I, удовлетворяют обоим указанным уравнениям;
— обоим указанным уравнениям не удовлетворяют координаты ни одной точки, не лежащей на линии!.
Таким образом, два уравнения Р1(х,у,2) = 0 и Р2(х,у,г) = 0 совместно определяют линию I, т. е. являются уравнениями этой линии.
Данную линию I можно представить двумя уравнениями бесчисленным множеством способов: вместо данных двух поверхностей можно взять любую пару поверхностей, пересекающихся по той же линии I. Аналитически это означает, что вместо одной системы можно взять любую эквивалентную систему.
Реконструкция поверхностей второго порядка.
Коническая поверхность. Поверхность определена, если известны основание и вершина конуса. Основание конуса можно восстановить по схеме реконструкции кривой второго порядка, изложенной выше. Для определения вершины конуса необходимо ввести еще одно сечение, параллельное основанию. Высота плоскости, пересекающей коническую поверхность, должна быть известна.
Получив на снимке два сечения конуса, мы можем записать уравнение любой образующей конической поверхности. Для определения вершины конуса достаточно знать уравнение одной образующей и уравнение прямой, проходящей через вершину конуса, в пересечении эти две прямые дадут координаты вершины конуса.
Цилиндрическая поверхность. Для реконструкции необходимо знать высоту цилиндра, вектор направляющей, далее по фотоснимку поверхность восстанавливается.
Основание цилиндра восстанавливается по схеме реконструкции кривых второго порядка.
Реконструкция торсовой поверхности.
Торсовые поверхности обладают существенным преимуществом - возможностью моделирования разнообразных конфигураций поверхности.
Поверхность тела человека относится к числу сложных форм, поэтому приближенная замена какой-либо сложной поверхности, которая редко описывается простыми уравнениями, более простой, например торсовой, представляет большой практический интерес.
Рассмотрим более подробно задачу построения одного горизонтального сечения торсовой поверхности (рис.2).
Имеется центральная проекция горизонтального сечения торсовой поверхности. Отметим на контуре сечения произвольно точки. Чем больше количество этих точек, тем выше точность построенного сечения, т. е. количество точек должно стремиться к ос. Далее по схеме реконструкции точки, изложенной выше, восстанавливаем все точки. По точкам выстраиваем сечение.
Практическая реализация теории перспективно-числовой модели пространства состоит в следующем: объект (в данном случае поверхность тела человека) освещается системой плоских лучей, параллельных опорной плоскости, расстояние между
Рис. 2. Реконструкция сечения торсовой поверхности.
плоскостями (шаг) известно и величина постоянная (для удобства). По снимку определяются два параметра (две координаты), третий параметр — это изображение световых линий, расстояние между которыми, как говорилось выше, в предметном пространстве известно. По имеющимся данным восстанавливаются сечения объекта, соответствующие линиям света с числовыми отметками, затем реконструируется боковая поверхность, ограниченная двумя соседними сечениями.
Аппарат перспективно-числовой модели пространства позволяет восстанавливать различные плоские и пространственные объекты по их центральной проекции. Решение задачи швейной отрасли сводится к следующему: фотографируется человек, по фотографиям определяются размеры и форма поверхности тела — это исходные данные для проектирования одежды.
В российские САПР одежды стадия получения исходных данных не автоматизирована, получение информации о размерах и форме тела человека осуществляется вручную, что влечет за собой дополнительные затраты времени, погрешность (точность измерения зависит от профессиональных качеств), психологический дискомфорт при контактных способах измерения. Разработанный геометрический аппарат анализа фотоснимков позволяет устранить вышеназванные недостатки.
На основе геометрического анализа фотографических снимков с использованием теории перспективно-числовой модели пространства составляется программа на языке программирования С# (СБЬагр). Разрабатываемый программный комплекс предусматривает реализацию всех этапов проектирования одежды в трехмерной среде.
Библиографический список
1. Начертательная геометрия. Учебник для вузов./ Крылов Н.Н.,ЛобандиевскийП.И„ МэнС.А., ИконниковаГ.С., Николаев В.Л. - М.: Высшая школа, 1977. - 232 с.
2. Четверухин Н.Ф. Проективная геометрия. — М.: Просвещение, 1969. - 368 с.
КАРАУЛОВА Гульбаршин Тахировна, ассистент кафедры конструирования швейных изделий.
