Периодическое решение системы нелинейных дифференциальных уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517. 968

А.Т. Алымбаев

канд. физ.-мат. наук, профессор, кафедра математических и естественно-научных дисциплин, Восточный университет им. Махмуда Кашгари,

г. Бишкек, Киргизия

ПЕРИОДИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Аннотация. В данной статье дается численная реализация положений теоремы 1 работы [3]. Построено первое приближение метода последовательных приближений, обеспечивающее ускоренной сходимостью квадратичного типа периодической краевой задачи.

Ключевые слова: периодическая задача, приближенное решение, ускоренная сходимость.

A.T. Alymbaev, Mahmud Kashgar Barskani, Bishkek, Kyrgyzstan

PERIODIC SOLUTION OF A SYSTEM OF NONLINEAR DIFFERENTIAL EQUATIONS

Abstract. This paper gives a numerical implementation of the provisions of Theorem 1 of [3]. It built the first approximation of the method of successive approximations, providing rapid convergence of quadratic type periodic boundary value problem.

Keywords: periodic problem, approximate solution, fast convergence.

Рассмотрим систему

dx

dX = f (t, x), (1)

dt

где п-мерная вектор-функция f(t,х) периодична по t с периодом Т и определена в области

х) е (-¥, + ¥)х О. (2)

Предположим, что функция f(t, х) удовлетворяет неравенствам

^(^ х)| < М, (^ х)| < К, (3)

^(^ х') - f (^ х") - ^ (^ х")(х' - х")\ < К, |х' — х"\2. (4)

Через йг обозначим множество точек х0 е Еп, содержащихся в О вместе со своей

ТМ

2(1 - 2р)

Пусть

-окрестностью.

Предположим также, что

где

Df ф 0. (5)

P = 1max [2 K] < 1 (6)

PYY< (1-Г)(1 - 2р), (7)

Pi =1max I\K J, Y= max2M.

Теорема [2]. Пусть х = x°(t,x0), T - периодическое решение системы (1), удовлетворяющее условиям (3)-(7). Тогда

х 0(t, Хо) = lim xn (t, Хо),

равномерно относительно (t,x0)е (-«, + ¥хDf и

x0(t, Xo) - xn (t, Xo) <

1 -r pJ J (1 - p)2 (1 - 2p)2

p [(1-p)(1-2p)J (1-p)2(1-2p)2-pY'

для всех n = 0,1,2,..., где xn(t,x0) определяется согласно схеме

t Г 17

xn+1(t, x0) = J fx (t, xn (t, (t, x0) - 7 J fx (t, xn (t, ^»ЛСл (t, ^)dt 0 L ' 0

t Г 1 7 '

+x0 + J f(t,xn(t,x0))-7 Jf(t,xn(t,x0))dt dt. 0 L ' 0 _

Существование периодического решения введением функций

dt +

1 Т

Dn (x0) = - J [f (t, xn (t, x0)) + fx (t, xn (t, x0))dxn (t, x0)]dt, ' 0 1 Т

D( x0) =- J f (t, x 0(t, x0))dt.

Рассмотрим периодическую краевую задачу

dx(t) dt

= e[x2(t) - sin t - cos t • x(t) + 0,001],

x(0) = x(2p), e - параметр, e > 0 .

Положим,

f (t, x) = e[x2 (t) - sin t - cos t • x(t) + 0,001] и вычисляем производную fx(t,x):

fx (t, x) = e[2x(t) - cos t]. Находим решение задачи (8), (9) согласно схеме

t Г 1 2p

xn+1 (t, x0) = x0 + J fx (t, xn (t, x0 ))xn+1 (t, x0) - -- J fx (t, xn (t, x0 ))xn+1 (t, x0 )dt

0 L 2p 0

t

+J [f(t, xn (t, x0 )) - fx (t, xn (t, x0 ))xn (t, x0) -

0

1 2p

--1- J (f(t,xn (t,x0)) - fx(t,xn (t,x0))xn (t,x0))dt_dt,

2p 0

и положив x0(t,x0) = x0 при л = 0, из (12), с учётом (10), (11), получим

t 1 2-x (t, x0) = x0 + e J [(2x0 - cos t)x (t, x0) - J (2x0 - cos t)x (t, x0 )dt]dt +

0 2— 0

t

+eJLx02 - sint - cost • x0 + 0,001 - (2x0 - cost)x0 -

0

J— J (x02 - sin t - cos t • x0 + 0,001- (2x0 - cos t)x0) dt Jdt.

dt +

2— 0 Вычисляем

1 2 —

— f (x2 - sin t - cost • x0 + 0,001 - (2x0 - cost)x0 )dt = 2— 0 0 0 0 0

2—

= J (x02 - sin t - cos t • x0 + 0,001 - 2x02 + cos t • x0 )dt =

(8) (9)

(10) (11)

12)

(13)

(14)

0

0

2p

= J (-х02 - sin t + 0,001)dt = -x02 • t\p + cost|2p + 0,001-1\2p =

0

1

= -2px02 + cos 2p - cos0 + 0,001 • 2p = —[-2px02 + 0,001 • 2p] = - x02 + 0,001.

Так как

fJ[ x02 - sin t - cos t • x0 + 0,001 - (2x0 - cos t)x0 ]dt =

0 t

= fJ[-x02 - sin t + 0,001]dt = £ (cos t -1) + £ (0,001 - x02)t,

то из (13) следует, что, если

0

тогда решение интегрального уравнения

t

1 2p

— J [(2x0 - cos t)x (t, x0) + 0,001 - x2 ] dt = 0, (15)

x1 (t, x0) = x0 + £ J (2x0 - cos t )x1 (t, x0)dt + £(cos t -1) + £(0,001 - x02)t (16)

0

является решением задачи (8), (9) в первом приближении.

Решаем интегральное уравнение (16) методом последовательных приближений

t

xm (t, x0) = x0 + eJ (2x0 - cos t)xm-1 (t, x0 )dt + e(cos t -1) + e(0,001 - x02 )t.

0

Положим,

x? (t, x0) = x0 + e(cos t -1) + e(0,001 - x02),

тогда

x1(t, x0) = x0 +£J (2x0 - cos t) [ x0 +£(cos t -1) + £(0,001-x02)] dt +£(cos t -1) +

0

t

+£(0,001 - x02)t = x0 + £J [2x02 - cos t • x0 + £(2 x0 cos t - 2x0 - cos 2t + cos t) + (17)

+ £(0,002x0 - 2x0 - 0,001 • cost + cost • x0)] dt + £(cost -1) + £(0,001 - x02)t. Вычислим интегралы:

t

£J(2x02 - cost • x0)dt = 2(x02t - sin t • x0). (18)

0

t 1, 1 .

(20)

£2 J(2x0 cost - 2x0 - cos 2t + cos t)dt = £2(2x0 sin t - 2x0t - -1 - -sin 2t + sin t). (19)

0 2 4

t

£2 J(0,002x0 -2x0 -0,001 • cost + cost • x0)dt =

0

= £2 (0,002x0t - 2x0t - 0,001 • sin t + x0 sin t). С учётом (18), (19), (20), из (17) получим

1 1

x1 (t,x0) = x0 +£(2x2 • t - x0 sint) + £2(2x2 sint - 2x^t -—t -—sin2t + sin t + (21)

+0,002x0t - 2x02t - 0,001 • sin t + x0 sin t) + £(cos t -1) + £(0,001 - x02)t. Подставляя (21) в (15), имеем

1 2 —

A1(x0) = 2— J (2x0 - cost)[x0 + e(2x02 • t - x0 sin t) +

2p о

+e2 (2x02 sin t - 2x0t - 0,5/ - 0,25sin2t + sin t + 0,002x0t - 2x02t - (22)

-0,001sin t + x0 sin t) + e(cos t -1) + e(0,001- x02)t jdt = 0. Вычислив левую часть (22), получим

D1 (x0) = 2x02 + e • x3 4p + e2 (-4x02p - x0p + 0,004x02p - 4x03p) + +e(-2x0 - 0,5 + 0,002x0 - 2x03) = 0.

Отсюда имеем:

D1 (x0) = (4ep - 4e2p - 2e)x03 + (2 - 4ep + 0,004e2p)x02 + +(-2e-e2p + 0,002e)x0 - 0,5e = 0. Рассмотрим вопрос сходимости схемы (12). Предположим, что 1x1 < 0,3

тогда

Вычислим

Отсюда получим

(23)

M = f(t, x) < e|0,32 +1 + 0,3 + 0,001 = 1,4e. (24)

ЧГ = fx <'• x >• = <'• x)

fx (t, x) = e[2x(t) - cos t], fxx (t, x) = 2e.

(28)

K = |fx(t,x)\ <e[2|x +1] = e[2• 0,3 +1] = 1,6e. (25)

K = Щ < 2e. (26)

Разложим функцию f(t,x') в окрестности точки x' = x*:

f (t, x') = e[x'2 (t) - sin t - cos t • x'(t) + 0,001] (27)

f (t, x') = f (t, x*) + fx (t, x")( x' - x") + fxx (t, x * + q x' - x"))(x' - x")2 = = e[x*2(t) - sin t - cos t • x*(t) + 0,001 + (2x*(t) - cos t)(x'- x") + 2(x* - x*)2]. Оценим разность

f(t,x') - f(t, x") - fx(t,x")(x - x"). (29)

Отсюда, согласно равенства (28), получим

f (t, x") - f (t, x") - fx (t, x")(x' - x") = e[x"2 - sin t - cos t • x" + +0,001 + (2x" - cos t)(x * - x") - x"2 + sin t + cos t • x" - 0,001 --(2x" - cos t)(x' - x") + 2(x - x*)2] = 2e(x* - x")2.

Следовательно,

| f (t, x ') - f (t, x") - fx (t, x") (x ' - x") < 2^ x' - x"|2. (30)

С учетом условий (24), (25), (26), получим

p = Тк = — • 1,6 e = 1,6—e, 22

p = Тк1 = — • 2 e = 2—e, И1 2 1 2

g = TM = 1,4 e = 1,4—e, 22

p1 y = 2—e • 1,4—e = 2,8—2e2.

Выбираем е таким образом, чтобы выполнялись неравенства

Р_ 1,6ле< 0,5, Р</< (1 -Р)(1- 2р).

Отсюда имеем

1,6 • 3,14е < 0,5, 0,5 1

= 0,09952, (31)

1 1,6 • 3,14 10,048 2,8 • (3,14)2е2 < (1 -1,6 • 3,14е)(1 - 3,2 • 3,14е), 27,607 • е2 < 1 -10,048е -5,024е + 50,481е2 50,481е2 -27,607 е2 - 15,072е +1 > 0 22,874е2 - 15,072е +1 > 0

15,072± ^(15,072)2 - 4 • 22,874 _ 15,072 ±У135,6692 _ 15,072± 11,648 2 • 22,874 _ 45,748 _ 45,748 .

15,072 +11,648

45,748 15,072 -11,648

_ 0,584, (32)

_ 0,0748. (33)

3 45,748

Сравнивая неравенства (31), (32), (33), получим, что при |е| < 0,0748 эти неравенства одновременно выполняются.

Положим е_ 0,074 и вычислим

р _ 1,6 • 3,14 • 0,074 _ 0,372 < 0,5 р1у_ 2,8 • (3,14)2 • 0,0742 _ 2,8 • 9,85960 • 0,005476 _ 0,151 (1 - р)(1 - 2р) _ (1 -1,6 • 3,14 • 0,074)(1 - 3,2 • 3,14 • 0,074) _ 0,628 • 0,256 _ 0,161. Сравнивая, получим,что

0,151 < 0,161.

Вычислим

1-р_ 1 - 0,372 _ 0,628

р1 2 • 3,14 • 0,074 0,46472 р1/ 0,151

_ 1,351

_ 0,938, (1 -р)(1 - 2р) 0,161

[(1 -р)(1 - 2р)]2 0,1612 0,025921 0,025921

_ 8,308.

[(1 -р)(1 -2р)]2 -р)2 0,1612 -0,1512 0,025921 -0,022801 0,00312 Таким образом, все условия теоремы выполняются, если е_ 0,074 и задача (8), (9) имеет периодическое периода 2л решение и справедлива оценка

х0)-хп0,х,)| < М-^[ Г-РР^~-1 [(1 -Р)(1 -Р 2 _

1 1 Р1 I(1-Р)(1-2Р)J Г(1 -Р)(1-2Р)1 [(1-Р)(1 -2Р)]2 -(Р)2

_ 1,351 • 8,308 • (0,938)2" _ 11,224 • (0,938)2°. Определяем начальное значение х0 задач (8), (9), решая уравнение (23) согласно схеме метода Ньютона

х _ х - А1(х*) (34) х+1 _ А"(х,), (34)

е2,3

где

д; () = 3[4р - 4г2л- 2е]х02 + 2(2 - 4е2р + 0,004е2р)х0 + (-2е - е2р + 0,002е). (35)

Положим е = 0,074 и вычислим

4ер-4е2л-2е = 4 • (0,074)2 • 3,14-4 • (0,074)2 • 3,14-2• 0,074 = = 2 • 0,074(2 • 3,14 - 2 • 0,074 • 3,14) = 0,148(6,28 - 0,46472) = 0,861.

2- 4е2р + 0,004еР = 2- 4 • 0,074 • 3,14 + 0,004(0,074)2 • 3,14 = = 2 - 0,0687785 + 0,0000687 = 1,931.

-2е-е2л + 0,002е = -2 • 0,074- (0,074)2 • 3,14 + 0,002 • 0,074 = -0,148 - 0,0171946 + 0,000148 = -0,165. С учетом этих значений, из (23) и (35) получим

Д1 (х0) = 0,861 • х03 +1,931 • х02 -0,165 • х0 -0,037, д;(х0) = 2,583 • х02 + 3,862 • х0 - 0,165. Отделяем корни уравнения (23):

Д1(0) = -0,037 < 0, Д1 (-0,3) = -0,861 • 0,0027 +1,931 • 0,09 + 0,165 • 0,3 - 0,037 = = -0,0023247 + 0,17379 + 0,0495 - 0,037 = 0,184 > 0. Следовательно, искомое значение х0 е [-0,3, 0].

Положим х00 = -0,25 и вычислим корни уравнения (23) согласно схеме (24):

Л „г -0,861 • (0,25)3 +1,931 • (0,25)2 + 0,165 • 0,25 -0,037

х10 = -0,25--!-—---!-^---!-!-!-=

10 2,583 • (0,25)2 -3,862 • 0,25 - 0,165

Л „г -0,0013453 +1,931 • 0,0625 + 0,165 • 0,25-0,037

= -0,25----' ' '

= -0,25 -

2,583 • 0,0625 - 3,862 • 0,25 - 0,165 -0,0013453 + 0,1206875 + 0,04125 - 0,037 0,1614375 - 0,1306

01235922

= -0,25----= -0,25 + 0,1275379 = -0,1225.

-0,9690625

Л „ „„г -0,861 • (0,1225)3 +1,931 • (0,1225)2 + 0,165 • 0,1225 - 0,037

х20 =-0,1225--!-—---!----!-!-!-

20 2,583 • (0,1225)2 - 3,862 • 0,1225 - 0,165

Л „„„г -0,0018382 +1,931 • 0,0150062 + 0,165 • 0,1225 -0,037 = -0,1225----' ' '

= -0,1225 -

2,583 • 0,0150062 - 3,862 • 0,1225 - 0,165 -0,0018382 + 0,0297272 + 0,0202125 - 0,037 = 0,038761 - 0,473095 - 0,165 =

^иоог 0,0111015 0,0111015

= -0,1225--!-= -0,1225 + --=

0,038761- 0,473095 - 0,165 0,599334

= -0,1225 + 0,018523 = -0,1040.

плпл -0,861 • (0,104)3 +1,931 • (0,104)2 + 0,165 • 0,104 -0,037 х30 = -0,104--!-—---!----!-!-!-

30 2,583 • (0,104)2 - 3,862 • 0,104 - 0,165

= -0 104 --0,0009684 +1,931 • 0,010816 + 0,165 • 0,104 - 0,037 =

= -0,104 -

2,583 • 0,010816 - 3,862 • 0,104 - 0,165 -0,0009684 + 0,0208856 + 0,01716 - 0,037 = 2,583 • 0,010816 - 3,862 • 0,104 - 0,165 =

0,0000772 0,0000772

= -0,104--^-= -0,104 + -

0,0279377 - 0,401648 - 0,165 0,5387103

_ -0,104 + 0,0001433 _ -0,1041433 _ -0,104.

Следовательно,

х0 » х30 _-0,104.

Таким образом, при е_ 0,074 получим

х1 (t, - 0,104) _ -0,104 + 0,074(0,021632t + 0,0104эт t) + +0,005476(-0,208 эт t + 0,208t - 0,5t - 0,25sin2t - 0,000208t --0,021632t-0,105sint) + 0,074(соэt-1) + 0,074 • 0,00008Ш _ _ -0,104 + 0,0059821этt - 0,001369sin2t + 0,074(соэt -1) + 0,0000006^

Отбросив член 0,0000006t, который возникает в результате округления приближенных чисел, находим 2л-периодическое решение задачи (8), (9) в первом приближении в виде х^, -0,104) _-0,104 + 0,0059821этt-0,001369э^ + 0,074(соэt-1).

Выводы:

- на конкретном примере показана численная реализуемость положений теоремы 1 работы [3];

- построено уравнение бифуркации периодической краевой задачи и вычислено методом касательных Ньютона с высокой точностью начальное значение, порождающее решение краевой задачи;

- определено первое приближение решения периодической краевой задачи.

Список литературы:

1. Самойленко А.М., Ронто Н.И. Численно-аналитические методы исследования периодических решений. - Киев: Вища школа, 1976. - 179 с.

2. Алымбаев А.Т. Численные, численно-аналитические и асимптотические методы исследования краевых задач. - Бишкек, 2004. - 175 с.

3. Алымбаев А.Т. Об одном приближенном методе исследования краевых задач с ускоренной сходимостью // Приволжский научный вестник. - Ижевск, 2016. - № 7 (59). - С. 5-10.