CC BY
19
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
УДК 517.968
А.Т. Алымбаев
канд. физ.-мат. наук, профессор, кафедра математических и естественно-научных дисциплин, Восточный университет им. Махмуда Кашгари Барскани,
г. Бишкек, Киргизия
НАХОЖДЕНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С БЕСКОНЕЧНЫМ ПОСЛЕДЕЙСТВИЕМ, ОПИСЫВАЮЩЕЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ВИДОВ
Аннотация. В работе рассматриваются вопросы построения периодического решения системы интегро-дифференциальных уравнений с бесконечным последействием на основе численно-аналитического метода.
Ключевые слова: периодическое решение, интегро-дифференциальное уравнение, численно-аналитический метод.
A.T. Alymbayev, East university of Mahmoud Kashgari-Barskani, Bishkek, Kyrgyzstan
THE FINDING OF THE PERIODIC DECISION OF SYSTEM OF INTEGRO-DIFFERENTSIALNYH OF THE
EQUATIONS WITH THE INFINITE AFTER-EFFECT DESCRIBING INTERACTION OF TYPES
Abstract. In work questions of creation of the periodic decision of system of the integro-differential equations with an infinite after-effect on the basis of a numerical and analytical method are considered.
Keywords: periodic decision, integro-differential equation, numerical and analytical method.
Математические модели широко применяются в задачах математической экологии. Например, при исследовании сосуществования двух видов популяций необходим учет возрастного состава популяций, что приводит к эффекту запаздывания, так как возрастная структура популяции обладает памятью о прошлой ее эволюции. Этот эффект был впервые исследован В. Вольтерром [2] на примере системы «хищник-жертва», когда продолжительность последействия была ограниченной.
Среди математических моделей, применяемых в задачах математической экологии, важное значение имеют модели, описывающиеся системой интегро-дифференциальных уравнений с бесконечным последействием, то есть системой с памятью, имеющей предысторию с достаточно отдаленным временем.
Поскольку в природе наблюдаются колебания численности хищников и жертв с определёнными амплитудами и периодами, то задача построения периодических решений системы уравнений, описывающих предельные циклы, является не менее важной задачей.
В работе [2] рассмотрена система интегро-дифференциальных уравнений вида
( t \
dx ,
— = bx dt 1
dy и
— = b2 y dt 2
1- cux - C12 J Ki(t - s)y(s)ds
t
-1 + c21 J K2(t - s)x(s)ds
(1)
где Ь1, Ь2 и с11, с12, с21 - постоянные; К1(г), К2^)- заданные функции.
Система (1) описывает контакты между хищником х и жертвой у в прошлые времена, влияющие на скорости роста обоих видов. Представим систему (1) в виде
— = b1x - b1c11x - b1c12 x J K1(t - s)y(s)ds, dt J
dy <■
= b2y + b2c2yJ K2(t-s)x(s)ds.
Система (1) обладает свойством автономности.
Предположим, что Ь1 = Ь2 = а и К^ - в) = К2Ц - в) = в~(>-в). Из системы (2) имеем:
= >ах - ¡ас11х - ¡ас12 х | в~(>-в) у (в^в,
t
f = iwy + iwc21y J e {t s'x(s)ds.
-iweiWy1 + e-w = -iwe-Wy1 + iojc2,e-""y, J e^-s)e-iwsx1(s)ds. Отсюда имеем
dx t
eiw—^ = -iwc11e2h"x^ - iac12eh"x1 J e-(t-s)e-iwsy1(s)ds,
dt
e-ш d'У± = iwc21e-iwty1 J e^-s)e-iwsx1(s)ds,
или
dx t
= -iwcneia'x^ - iac12x1 J e-(t-s)e-i^xly1(s)ds,
= iac21y1 J e-(t-s)eiwsx1(s)ds.
Заменив at = 6, приведем (5) к 2p-периодической правой частью вида
в
(в
dx т - 6-s \
—1 = -icnei6x2 - ic12x1 J e lw 'e^y^ds,
dv- w -f6-s] ■
= ic21y1 J e lw V^s)ds.
Положив s = — из (6) получим
w
^ = -ic„ei6xl -Wc,2x1 J e w e izy, [ — |dz,
ИТ rtl J Л)
dt a -¥ \w
d=Wc21y1j e6WeiZx1 W1d—.
(2)
(3)
В системе (3) произведем замену переменных
x = eiwtx,, y = eiwt y 1. (4)
Получим
dx '
iweh"x1 + eiwt—1 = iweiWx1 -iwc11eiWtx2 -iwc12eh"x1 J e-'-s)e-hxsy1(s)ds, dv t
11 — —iV.ia-'W „ iV.v~ n-'wU, Г a-V-s)a-las.
(5)
(6)
(7)
Я а 1 '
Чтобы получить периодическое с периодом 2л решение системы (7), применяем схему численно-аналитического метода [1]:
-¡Оцв1 х т_1 (в, Хю, Ую,а) —С12 Х1 т_1 (в, Хю, Ую,а>) х
(в, Хю, Ую,®) = Хю + I
0
в вг (г \ 1 ^
ХI в ® в"гУ11Я-11 Ую,У10,® I/г-— I [-/°11в/вХ2„-1(в,x10,У10,®
®О12 Х1^-1 (в, Х10, У10,®) | в ® в "2У1,т-1 I У10, Ую® | /г
1,т-1 I 10'
с/в
с/в,
в г / в -в-£ (г \
У 1т (в, У10, У10,т) = У10 + | ^^У^т-в У10, Ую®) | в ® в^"ХХт-1 |® Х10, У10® | Сг -
® -¥ ® 1
- у- ¡[т^Ухт-М Х10, У10,т) | в ® в~/гХ1,т-1 I Х10, У10,т | Сг
2- 0 ®
в в-г
1,т-1 | ''40
св
с/в.
(8)
При т = 1 из (8) получим определяющее уравнение первого приближения
Уи(в,Хю,Ую,®), Хц(в,Хю,Ую,®) вида
/О11в Х10 О12Х10 I в ® У10/г
в в-г
А(1)(Хю, Ую,®) = |
0
А(2)(Хю,Ую,®) = ||-®О21У101 в^^Хюбг /в = 0.
с/в = 0,
(9)
Непосредственной проверкой можно убедиться, что
в в-г . в в-г .
г---г , ® -в г--+/г , ш
I в ® с/г =-в /в, I в ® бг =-
3 1 - /® 3 1 + /
® в*.
+ /®
Из системы (9) получим
2-
А(1)( Хю, Ую,®) = |
,2 „/в
I
а(2)(xю,Ую,®) = I-°21Ую ^^в 3 ® 1+ /®
®У 10 ,
® 12 101-/®
*10 -юбв = 0.
бв = 0,
Отсюда получим
А(1)(Х10,Ую,®) = -ОцХ120(в2-' -1) + -1) = 0,
1-/®
А(2)( Х10, Ую,®) = О2^0(в2р'-1) = 0. 1 10 10 1 + ®
(10)
1 10 10 ,2-/ .„лсО,, , .- ,.;„'), _ Л а-2-/
Поскольку в = соз2- + /51п2- = 1, в = соз2--/з1п2- = 1, то система (10) имеет корни при любых фиксированных значениях Х10,У01,®.
Из системы (9) получим в первом приближении 2--периодическое решение вида
Хц( Х10, Ую,®) = Х10 + I
/О11в Х10 О12 Х10 У10в
бв =
= Хю - С^в!®- 1) + 1),
1-/®
(11)
У11(Х10,У10,®) = У10 +1-О21У101®®в/всв = У10 + С22+Ш^(в'в -1).
; ® 1 + /® 1 + /®
2я
Согласно закону (4), в первом приближении--периодическое по t решение системы
®
интегро-дифференциального уравнения (1) имеет вид
в
2-
0
в
0
х(1)^, хю, у 10,а) = в"
у и( хк, У10, а) = в-
х„ -сих:2о(ва -1) +
С12 х10 У10 ¡а
1 - ¡а
{в'а -1)
Уо + ^хоХж (в ¡а -1)
1 + /а
(12)
2л
Построим вещественное в первом приближении--периодические решения системы
а
(1), представив (12) в виде
хт((,хю,у 10,а) = в'^хю -сих2о -Сп^ё2" -в"я) +
(1)(+ х у а) = в ¡а х - с х2 - с х2 (в2 '°а - в '°а ) + С12 х10 У10 (1 + 'а)1 - в а ) =
1 + ¡а2
= (сов а+/ в\п а)х10 - с11х220 [сов2а - сова(+¡(эт 2а - в\п а)]+ + с12 х10 у1о(1 +' а)(1 - сова-¡эта) = х10 сова - с11х20(сов2а - сова) +
1 + а
+'[-с11х20 (эт 2а - в1п а) + х10 в1п а] +
с12 х10 у10
(1 - сова) + эта +
+
с12х10у210 (1-сова) + с12х10у210 в\па
1+а 1+а
1 + а2 1 + а2
= х10сова - с11 х10 (сов 2а - сов а) +
+
с12 х10 у10
(1 - сов а + ав\па) + ¡[х10 вт а - с^х^т 2а - вт а) +
1 + а2
+ с12 х10 у10 (а(\ - сова) - в\па)], 1 + а
у хю, у 10,а) = в-'а'ую +
1 + а
+ с21*10 у10(1-'а)(1 - ^а+'в\па) = у10сова+
(1 - в 'а) = (сова-/в\па^)у1(
1 + а с12 х10 у10ав\па+/
, -(1 - сова) + 1 + а
1 + а
= у10 сова+
с21х10 ун
1 + а2
с21х10 у10 1 + а2
21х10 у10 1 + а2
сху
(1 - сов а + ав\п О) - ¡[у10 в\п а + 2 10 210 (а(1 - сов а) - в\п а)].
-у10 в\па +
с21х10у10 в\п а - с21х10у10
1 + а2 1 + а2
(1 - сов а)
1 + а
2л
Отсюда получим пару действительных — -периодических решений в первом прибли-
0)
жении вида
х\1)^,х10,у10,а) = х10 сова - с11х10(сов2а - сова) + , с12 х10 у10_(1 - сова + ав\па),
1 + а2
сху
у™ у, х10, у10,а) = у10 сов а + (1 - сов а + ав\п а).
1 + а
13)
х^Ц,х10,у10,а) = х10 в\п а - с11х20(вп2а -в\п а) + + 12 (а(1-сова)-в\па),
%х0у±0 1 + а2
ууц,хю,у 10,а) = у 10 в\па +
с21 х10 у1
(а(1- сова) - в\па).
1 + а2
Рассмотрим частный случай, когда х10 = у10 = а= 1, с11 = с12 = с21 = 1
(14)
и
1
x™(t,1,1,1) = sin wt - (sin2t - sin t) + -(1 - cost - sin t) = 1,5sin t - 0,5cost - sin2t, 1
y21)(t,1,1,1) = sin t + -(1- cost - sin t) = 0,5sin t - 0,5cos t + 0,5. Вычислим значения решений для t1 = 0, t2 = p, t3 = p, t4 = 3p, t5 = p, t6 = -5p,
t7 = —, t8 = —, t9 = 2p и получим расчетную таблицу (расчет велся на компьютере на языке 4 4
Excel) (табл. 1).
Таблица 1 - Расчётная таблица
№ п.п. t x - хищники y - жертвы
1 0 0 0 0
2 0,785398 0,785 0,206544 0,499718
3 1,570796 1,57 1,998009 0,999602
4 2,356194 2,355 2,915054 1,207106
5 3,141593 3,14 1,005534 1,000796
6 3,926991 3,925 -1,20428 0,501408
7 4,712389 4,71 -1,00358 0,001196
8 5,497787 5,495 0,083806 -0,2071
9 6,283185 6,28 0,001595 -0,00159
Построим графическое изображение полученных данных (рис. 1)
Рисунок 1 - Графическое изображение полученных данных
Из графика видно, что количество хищников (x) и жертв (y) достигает наибольшей численности при t = 2,31. При t = 3,15 численность жертв и хищников совпадает. При t = 3,47 количество хищников (x) почти равняется нулю, а при t = 4,8 количество жертв (y) падает почти до нулевого уровня. Происходит процесс исчезновения обоих видов.
Список литературы:
1. Самойленко А.М., Ронто Н.И. Численно-аналитические методы исследования периодических решений. - Киев.: Вища школа, 1976. - 179 с.
2. Cushing J.M. Predator-prey interactions with time delays // J. Math. Biol. - 1976. -3, № 3-4. - P. 369-380.
3. Алымбаев А.Т. Численные, численно-аналитические и асипмтотические методы исследования краевых задач. - Бишкек, 2004. - 175 с.
