Периодические решения системы автономных интегро-дифференциальных уравнений с бесконечным последействием Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

PERIODIC SOLUTIONS OF SYSTEM OF THE AUTONOMOUS INTEGRO-DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH AN INFINITE

AFTER-EFFECT Alymbaev A.

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ АВТОНОМНЫХ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С БЕСКОНЕЧНЫМ

ПОСЛЕДЕЙСТВИЕМ

Алытбаев Асангул Темиркулович/Alymbaev Asangul - кандидат физико-математических наук, профессор, кафедра прикладной информатики, математики и естественнонаучный; дисциплин, Восточный университет им. Махмуда-Кашгари, г. Бишкек, Кыргызская Республика

Аннотация: в статье изучаются вопросы построения и существования решения системы автономных интегро-дифференциальных уравнений с бесконечным последействием. Установлено свойство автономности системы. Определена задача приводимости исходной системы к неавтономной системе интегро-дифференциальных уравнений с периодической правой частью. Доказана сходимость приближенных периодических решений к точному периодическому решению. Определена оценка точности между точным решением и его приближениями. Установлен критерий выбора области начальных значений, порождающий периодическое решение системы. Установлено существование нулей уравнений бифуркаций точного решения, исходя из уравнений бифуркации для приближенных решений, а вместе с ним существование точного периодического решения исходной системы.

Abstract: this article examines the issues of building solutions and the existence of autonomous integral-differential equation system with an unlimited consequence. Property autonomy of the system is established. The problem of reducibility of the original system to the non-autonomous system of integro-differential equations with periodic right-hand side is determined. The convergence of the approximate periodic solutions to the exact periodic solution is proved. Accuracy assessment between the precise decision and its approximations is defined. The criterion of choice in the area of initial values generating the periodic solution of system is established. The existence of zero equations of bifurcations of the precise decision, based on the bifurcation equations for approximate solutions, and the existence of the precise periodic solution of initial system are established together with them.

Ключевые слова: интегро-дифференциальное уравнение, периодическое решение, существование периодического решения, выбор начального значения.

Keywords: integral-differential equation, periodic solution, existence of periodic solutions, the choice of the initial value.

Многие задачи науки и техники сводятся к изучению периодических решений, описываемые системой дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений, как существенными, так и с малыми параметрами. Для исследования периодических решений таких систем созданы асимптотические, аналитические, численные и численно-аналитические методы [1, 2, 3]. Тем не менее, разработка конструктивных методов одновременного построения и исследования существования периодических решений в теории периодической краевой задачи является актуальной задачей.

1. Автономность

Рассмотрим систему интегро-дифференциальных уравнений

где X, / — П -мерные векторы, р — т -мерный вектор; П -мерную вектор-функцию /(X, и) и т -мерную вектор-функцию р( — X) будем считать непрерывными и определенными в области

Алымбаев А. Т.

Введение

(1.1)

—да < s < да, х ёА, и е А1,

(1.2)

где А и А - ограниченные замкнутые области евклидовых пространств Еп и £т .

Лемма. Если X = X (^) решение системы (1.1), то X = Х\( + с),

где С = сОШ7 ,также решение системы (1.1). Доказательство. Имеем

+ с) дх($ + с) А + с) (13)

А ^ + с) А А (t + с) А

Так как функция X = Х° (t) - решение системы (1.1), то мы получим тождества

)

А

= /

Х0^), | Р(( - 5, Хй(5))А5

Заменяя t через t + с, получим ёх0^ + с) Г А .

V —да

Отсюда в силу (1.3) имеем

/ х0^ + с), | + с — 5, х0(5))А-

Ах (t+с) А

=/

х00 + с), | р(7 + с — 5, х0^)^

2.Алгоритм отыскания периодических решений

Пусть теперь функции /(х, и) и р(1 — 5, х) удовлетворяют по х и и условию Липшица в области (1.2). Далее, пусть А - заданная т -мерная постоянная матрица, такая, что

Ах .- 0

все решения уравнения-= Ах периодические периода 2К . Рассмотрим преобразование

Ж

х = еАау, х = у, в = а, (2.1)

где х и у т -мерные векторы, имеющие, соответственно компоненты х{, у. (} = 1,2,..., т, / < т < п), х, у — (п — т)-мерные векторы, имеющие, соответственно, компоненты х ., у . (] = т,..., п) . Тогда относительно новых переменных система (2.1) имеет вид

1 в Л

в,у(&),— \у(в,V,у(у))Ау , (2.2) а -1

Ах(в) 1

где у(в) = со1

(

у а

'у (в) ,у

V \а) \а))

У

в, у (в)),— —у, в, ^у^))^) = со1 I /1 ( е-|в) ,у |в),— — а „ ) V V V а) V а) а

-(в

у\-II ¿V I — АаЫ!, /'

е у

в) =( в) 1 в (в — V

в, у Г)-И

Л1 ' V а ) а -1 1

в — V (V

р\ -,е у I -

а Vа

\ Л)

А) ))

, е у I -I, у I -а) 1а

В силу периодичности и непрерывности преобразования (2.1), области определения А, А

переменных х, и обращаются в области и, ^ переменных у, 3 , также ограниченные и замкнутые.

Следовательно, вектор функции У (в, у, 3), у (в, у, V) являются непрерывными, ограниченными и периодическими по в, V с периодом ¿К в области

—да<в, V <да, у е Б, Зе Д (2.3) и удовлетворяют условию Липшица

в

\У (в, у,3)\ < М, \\у(в, V, у(у)) < N, (2.4)

—да

|¥ (в, у', &) — ¥ (в, у", и") < К \у' — у + К2 — и"\,

\\(в, V, у') — \(в, V, у" )\ < К \в — V |у' — у "I, (2.5)

гдеМ, N - постоянные положительнее векторы К, К2 - положительные постоянные

матрицы, а К3 (в — V) - положительная переменная матрица, которая при в, V е (—да, да) удовлетворяет условию

в

| К(в — у)^ < К <да. (2.6)

—да

Через Бт обозначим множество точек у0 е содержащихся в Б вместе со своей

—

—М - окрестностью. Пусть а

б®*0. (2.7)

Предположим, что наибольшее собственное число матрицы Q = —( К +КК | не

а 1 а )

превышает единицу, т.е.

^ЛО) < 1 . (2 8)

Через О обозначим точную нижнюю границу множества {а} , удовлетворяющего (2.3)-(2.6).

Теорема 1. Пусть система (2.2) удовлетворяет неравенствам (2.3)-(2.6) и условиям (2.7), (2.8). Тогда, если система (2.2) имеет периодическое с периодом 2— решение у = у (в) ,

принимающее при в = 0 значение у0 е Бж , то у (в) = уш (в, у0 ,а) в области

—да<в, V<да, у0 е Д, ае 1т = {а: а>О}, (2.9)

где уш(в,у0,а) - предельная функция последовательности

в Г 1 в

ут (в, у0,а) = у<> +1 ¥ (в, ут—1 (в, уо,а)),~ 1 у1, V ут—1 ^ У<> ~

(2.10)

— ^ 1 ¥ (в, ут—1(в, уо,®)),1 1 \(в, V, ут—1(V, уйа))йв

2— а

йв^ т =1,2,.

Доказательство. Очевидно, что каждая из функций последовательности (2.10) -периодическая с периодом 2— . Кроме того, в силу леммы для всех у0 е , а е / и

0 <в< 2— имеет место оценка

\у1(в, у о, а) — у„| < 1 (1 ¥ в уо,1 ¡\(в, V, уой j йв

¥ (в, у о, — ]\(в, V, уй)йч

(2.11)

2 —а ^

йв< 2в\1 -в) М <— М. 2— ) а а

Отсюда следует, что у1 (в,у0,а) е Б . Предположим, что у 1 (в,у0, а) е Б , тогда из равенства (2.10) аналогично предыдущему получаем неравенство

о I-

\ут (в, у0,а) - у0\<- М а

из которого следует, что у (в, у0 ,а) £ О , если у0 £ . Для доказательства сходимости (2.10) оценим разность

у2(в, уо,а) - у1(в, у 00, а) = - —) 1 ]\У (в, У,(в, Уо,а),

1 в Л ( 1 в

— Си^VУ1(0,Уо,а)й -Г —Уо(0,Уо,а),~ -(0,VуоУЬ

гл гл

йв-

2—а

-

Г

-Г

1в

в,у1(в,уо,а),~ v,у1(в,уо,а)а -а „

1 0 Л

в,У о,— \и(0,v,уо)¿V

т

у Л

йв йв.

)] )

Откуда

1( в \г

|у2(в, уо,а) - у1(0, Уо,а) < — I 1 )-[ —1 |yl(V, уо,а) - уо\ +

к2к

к1 \у1 (0, Уо,а) - уо\ + —— |у1(в, Уо,а) - у 01

йв.

в

х|Уl(v,уо,а) -уо|]йв+—-

Имея в виду (2.11), получим

I ч ч1 К— Л — (в) — ,, -(„ К— Л—,, ^ —

\У2—, у о,а) - у— Уо,а)\ <1 —1 + к2— - м <— К, + —2— )-М < 0 - М.

V а ) а а а\ а ) а а

Пусть для: разности|ут(0, Уо,а) - Ут-(0, Уо,а)\ веРна оЦенка

\ут (в, Уо,а) - ут-1(в, Уо,а)\ <- МОт-1. (2.12)

а

Докажем справедливость оценки

\ут+1—, Уо,а) - ут (в, уа\ <—М0т. (2ЛЗ)

Представим разность Ут+1(0,Уо,а) Ут(0,Уо,а) в виде

Ут+1(в, Уо,а) - Ут (в, Уо,а) = 1 (в, Ут (в, Уо,а)),

1 0 ( 1 0 "

- \ и(0, V, Ут (0, Уо,а))^ - Г в, Ут-1 (в, Уо,а),~ - И49, VУт-1(^Уо,а))^ а а

-■» V -»

2— .. в

- Г (в, Ут (в, Уо,а)),— - и(в, V, Ут (V, у0,а)й -

йв-

2—а

1 6

-Г(в,ут_,(в,уо,а)),- - и(в,V,Ут-1 (V,Уо,а)й)

т

йв,

откуда, с учетом неравенства (2.12) следует

в

о

а

о

к+1—,Уо,*)-Ут(-,Уо,*)\ < 1 flУт(в,у*-y-,y* +

— — в

+ —— |Ут ^ Уо,*) - Ут- 1 — У„,*)\] de + -- J[ Ki| Ут (в, Уо,*) - Ут-1(в, Уоо^^ +

2 ж*

+ -— |Ут (в, У 0,*) - Ут--г-Уо,*)\] d-<~ MQm1 ( - + -- <

*

<ЖMQm 1 - + -2- \<*MQm * * ) *

т.е. получаем (2.13).

По индукции можно заключить, что для всех

—да < в < да, уо е Ба, ае /®и т = 0,1,2,....,

справедлива оценка

—

|уи+! (в, у о, а) - ут (в, уо,а)\ < — .

а

(2.14)

Из неравенства (2.13) следует оценка

ж k -г

|У m+k (в, УО,*) - Ут (в, У0,*)\ <~ MQ" - £ Q

* i=0

Поскольку согласно (2.8) (Q) < 1 то

k-1

lim Qт = 0, X Q < (E - Q)-. (215)

т—да

1=0

Из (2.15) следует равномерная относительно (в, У0,*) G (-да, да) X D X / сходимость

последовательности (2.10). Обозначая предельную функцию черезуш(в,У0,*) и переходя в

(2.10) к пределу при т —>да убеждаемся, что предельная функция уш (в, У0,*) является решением уравнения

1 в 1 в

Уда —Уо,*) = Уо + — f Y\ в,у--,Уо,*),~ \v—,v,У(v,Уо*))^

* о Li * -да

1 2ж ( 1 -

— J Y\ в,У—,Уо,*),~ J V—,v,y(vy0,*))dv

(2.16)

и для разности уда (в, Уо,*>) - Ут (в, Уо, *) верна оценка

|Уда (в, Уо,*) - Ут (в, Уо*)\ <жMQт (E - Q)1. (2Л7)

*

Если y = y(в) - решение системы (2.2), то для него выполняется тождество

- ( л - \

У— = Уо + --Y( -,У—\-- V—,v,y(v))dv d * * * J

о V -да i

dв (2.18)

и так же обладает свойству

—y—),-- v,y(v))dv 1 <

2 ж ъ I

de = о.

(2.19)

Из уравнений (2.18), (2.19) следует, что уш (в, у0,а) и у(в) - решения одного и того же

уравнения (2.16). Поэтому для доказательства равенства у(в) = уш (в, у0 ,а) достаточно

доказать, что уравнение (2.16) не имеет различных периодических решений. Это можно легко доказать методом от противного. Теорема доказана.

3. Существование периодических решений и выбор области начальных значений

ЧерезОпт 1 обозначим множество (п-1)-мерных векторов у* = (у01, у02,..., у0„-1) таких,

что уо = (у01, у02,..., у0и) , принадлежат . Таким образом, точки (у*,ф) , для которых А(у*, СО) = 0 являются особыми точками отображения

1 2' ( ] ° Л

А:Б:1 х Еш, А(у>) = — \У\ у'^у*:))^ ¿в>(3Л)

2'с о V т -« у

где у°(У,у0,:) - предел последовательности функций (2.10). Так отображение (3.1) находится лишь приближенно, исходя из последовательностей функции

1 2' ( 1 в Л

Ат(у*,:) = — ¡У\в,ут{в,уо,с)- \у(в,у,уя(у, у*,с))^ <1в> (3-2)

/ тгт ^ Л! **

2': о V ®

где (V, у0,:) - функции последовательности (2.10), то возникает задача, как по нулям

функции Ат(у*,:) заключить о нулях А(у*,с) , а, следовательно, о существовании

периодических решений (2.2).

Теорема 2.. Пусть для системы (2.2), заданной в области (2.3), выполняются условия:

1) Отображение Ат(у*,с) для некоторого целого Я имеет изолированную особую

точку А я (Уо,:) = 0 ;

2) Индекс особой точки отличен от нуля.

3) Существует замкнутая выпуклая область ОП^- х , принадлежащая х и имеющая (у0,с) единственную особую точку, что на ее границе Г „_1(1) (1) выполняется неравенство

/^лт+1

м \Ат (у*: > (Е - О)1 м.

Тогда система (2.2) будет иметь 2' -периодическое решение, для которого

У* Е Dс, СЕ

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 2.7.1 [2]. В общем случае отыскание начальных значений периодических решений системы (2.2) следует производить численным методом. При этом возникает задача: как определить область

переменных (у0,с) , в которой находится начальное значение у0 и частота СО точного

периодического решения. Этот вопрос решает.

Теорема 3. Пусть система (2.2) удовлетворяет неравенствам (2.4)-(2.6) и условиям (2.7), (2.8) и О^-- X 1(1 уп = у0и} С Ош X Iю . Тогда для того, чтобы в этой области нашлась точка (у0,с) , в которой А(у0, с) = 0 необходимо, чтобы для всех целых Я и любого (у'0 ,с) Е Я = О"т 1(1) X 1(1 О {уп = у0п }, выполнялось неравенство

|Ая(у;С)\< 8ир |О(Е+0'(Е-ОГ)[Iу;-у*|+

(у*,с)ЕГ У' (3 3)

(КN ,, +-——1—V-+м

с

+ О'(Е - О')-1 м

с

Доказательство. Пусть в точке (у0,с) Е Я функция А(у0,с) , равна нулю. Тогда на основании теоремы 2.13.1 [2] имеем

|А(у" ,а')\ < Q" (Е+0(Е — фу1)

, , , а—а" (К2N

|уо — у„\ +М

а —а

!-КЖ

а'а" 2

Поскольку |Ат (у" ,а')\ <|А(у" ,а' )| + Q' т+1(Е — Q') 1 М, то объединение двух

а

последних неравенств доказывает теорему. 4. Числовой пример

В работе Кашинга [3] рассмотрена система интегро-дифференциальных уравнений вида

йх ( ' ^

-= Ьх 1 — Сих — С12 I К (' — ^

й'

V —да )

(4.1)

7 '

— = Ъ2у — 1 + с21 I К (' — я)х(я)йя

V —да

( ' Л

= Ъ„\

й'

где Ь, Ъ2 и сп, с12, С1 - постоянные; К (г), К2 (2) - заданные функции. Система (4.1) описывает контакты между хищником X и жертвой у в прошлые времена, влияющие на скорости роста обоих видов. Представим систему (4.1) в виде

йх г

— = Ъхх — Ъхсххх — ЪхсХ1х I К(' — я)у(я)й^,

й' —1 (4.2)

г

— = Ъ2у + Ъ2с21у 1 К (' — я) х(я)йя,

й' J

—да

Система (4.1) обладает свойством автономности, т.е. относится к виду системы интегро-дифференциальных уравнений (1.1).

Предположим, что \ = Ъ2 = а1 и К (' — = К (' — = е ^ ^. Из системы (4.2) имеем:

— = ¡ах — гаспх — ¡ас12х 1 —5) у(з)йз,

й' —да (4.3)

^ = ¡ау + ¡ас21у 1 е (' 5)х(з)йя.

X = еах!, у = еоаух. (4.4)

В системе (4.3) произведем замену переменных Получим

¡а' , ¡а' (^^л . ¡а' • ¡а' 2 iа' Г —('—5) —¡а5 / \ 1

г ае X + е = 1 ае X — фсие x1 —г ас12е xl 1 е )е у

'

—да

'

—¡а' , —¡а' аy^ • — ¡а' , • — ¡а' Г —('—з) — ¡аз / \ 1

—¡ае у + е = —юе у + юс21е у 1 е )е x1 (я^.

Отсюда имеем

еа ¿Ь = —¡аcue2шx2l — mcl2eшxl е~'^е^у фЖ,

е~ш ^ = ¡ас^'у! 1 е"('-')е'^ (5)Ж,

—да

'

йх.

й'

'

(4.5)

= шс21уг \ е-('-^е'шх1 фЖ.

й'

(4.6)

Заменив СО = в, приведем (4.5) к 2' - периодической правой частью вида

в

йх С -вЛ

йх- = -кпевх* - сх \ е ^ >е-'шух (*)Ж,

-да

в

^ = 1с21 у, \ Х'^х^Ж. а' •>

Положив 5 = — , из (4.6), получим О

йх.

й'

- = -1с,е'вх2--с,0х [ е О е 'у I — Iйг

11 1 о 12 1 \ 1 \о !

(4.7)

, ■ в _0-— /

= ]-С21 У1 \ е ^ е'2х- [-1 йг. й' СО J V ™ I

Чтобы получить периодическое с периодом 2' решение системы (4.7), применяем схему численно-аналитического метода [1]:

х-т ^^ Ую,О) = х10 +

,о) = х-о +\

-'^"^.я-!0, хПР у10,О)--С12х1,т-1(в, ^ У№ О) Х

в -в-г (% ^ 1 2'

< \ е О е-'у-т--(г,у^у1о,°1-— \ [-спе'вх-т-1(°^У№с)- (4;

. в в-г / \

- — СaХ1m-1(в,Х10, Ую,О) \ е О е~^У-т-1 \— , у^ у-оС I

/71 ' 1/71 I

О

в в-г

йв

йв,

у-тт (в, уПР у-0,О) = у-0 +\ -С2le'вУl,m-1(в,Уl0, У-о,О) \ е ° х-,т-1 [ — Ьо* УП» О ) &

— ^'"У^Я-!0, Хо, Ую,О) \ е О е''х1,т-1 ( —, ^ Ую,С ) йг\йв

йв.

При т = 1 из (4.8) получим определяющее уравнение первого приближения

у--0,хо,у-осх х-(0,хо,ую,о) вида

2' . в в-г .

А1(1)( х10, У-о,с) = \ -,С11е'вх^о--С12 х1 о \ е С 'у-ойг

п О 1

йв = о,

(4.9)

\ е О

-да

Из системы (4.9) получим

2' / • в в-г .

А(2)(Х10,У1о,: = \ [ ,с21Ую \ е с хойг

-да

ься, чт

в

■ 1

А

йв = о.

о V ~ -да /

Непосредственной проверкой можно убедиться, что

в 0-2 в в г , О йг =-е

1 - :

л с и

йг =-еи

1 + с

А(1)( ^ у1о,а=1

.2 ¡в ' „ ау1о „—¡в

а

1 — ¡а

йв = о,

2— .

А(2)( *1о, у10") =1 ¡с21 ую "о- elвdв = о. * а 1 + га

Отсюда получим

А((1)( Xlо, ую,®) = —с1Л2о(е2— — 1) + ^^ (е2 — — 1) = о,

1 — га

А(2)( X,, у—0,а) = (е2— —1) = о.

1 + га

(4.10)

Поскольку е2т = ооз2п + 1 31п2—= 1, е~2т = со$2— — ¡31п2— = 1, то система (4.10) имеет корни при любых фиксированных значениях X10, у01 ,а .

Из системы (4.9) получим в первом приближении 2— - периодическое решение вида

ХЛ X10, у1о,а) = Xо +1

¡с11е Хо ^ХоУ^ а

йв =

(4.11)

= Xlо —с11^" —1) + (е1в —1),

1 — 1 а

2— .

уп(х^у,® = уо + 1 ^с21ую е¡вйв = у,о + ^^(е1в — 1).

I а 1 + а 1 + а

2—

Согласно закону (4.4) в первом приближении - - периодическое по ' решение системы

о

интегро-дифференциального уравнения (4.1) имеет вид

Xе1' (', Xl0, у 10, а) = е"

х10 — с—^е" — 1) + ^^^ (е'"' — 1)

у<11( ^ у1о,о)=е

у10 +

1—г о

C21X10Уl0 /„'"'

(4.12)

1 + 1"

'-(е'" — 1)

Построим вещественное в первом приближении 2— - периодические решения системы (4.1), представив (4.12) в виде

(1)/, \ _ '"' _ 2 _ 2< 2¡о' _ Ш\.с12ХоУю^ + '"

x (', Хо, Ую,о) =е Хо с1^^10 с1^^1о(е е ) +

а'"' \ — е ) =

1+г а

= (СОБ о' + г БШ о') ^ — с^д [СОБ 2"' — соб о' + г (БШ 2"' — БШ о')] +

с12x10y10(\ + 1") . . 2 ,

12 -(1 — СОБ о' — г БШ о') = ^ созо' — с^о (СОБ 2"' — СОБ "') +

+1 [—с ^ Фп 2"' — бШ о') + ^ БШ о' ] + с12 У—0

1 + "

(Х — СОБ"') + с12*0У10 31П"' +

1 + "

+1

12 Хо у10 1 + "

с12 ^0 у10

(Л — СОБ®') + с—2^У—0 з\по'

= x10cos"' — c11x,í0 (СОБ 2"' — СОБ "') +

+

1+"2

(1 — С08"' + " БШ "') +1 [^ 5Ш "' — с(Б1П 2"' — Б1П "') +

+

с12 у10 1+ 0)2

1 + "

(о(Х — соб а'- бш о'],

о

о

+

ym(t, x10, yw,m) = е-шу10 + Mf10^ im) (1 - e-im) = (cosmt - i smmt) y10

1 + m

+ С2Лоym(\-1 W)(1 - cosmt + i sin mt) = у 0 cos at + С2Л<>у}<> (1 - cos cot) + 1 + m 1 + m

+ С12x^m sin at + i 1 + m2

-y10 sin at + 21 10'}° sin mt - 21 10'}° (1 - cos mt) 1 + m 1 +m

= y10 cos mt + С21Х1°У}° (1 - cos mt + m sin mt) - i[ylti sin mt + С21Х1°У}° (m(1 - cos mt) - sin mt)]. 1 + m 1 + m

Отсюда получим пару действительных 2ж - периодических решений в первом приближении вида

x()(t, x10, y10 ,m) = x10 cosmt - c1x2(cos2mt - cosmt) +

+ С12 %1" y° (1 - cosmt + msinmt), (413)

1 + m

y()(t, x10, y10 ,m) = y10 cosmt + C21X10 y0 (1 - cosmt + msinmt).

1 + m

и

x1 (t, x10, y10 ,m) = x10 sin mt - спx20 (sin 2mt - sin mt) +

+ci2xi°yi^(m(i- соsmt) - sinmt), (4'14)

1 + m

y<2) (t, x10, y10,m) = y10 sin mt + ^^0 У° (m(1 - cos mt) - sin mt).

1 + m

Рассмотрим частный случай, когда xo = У10 = m = 1, Сп = С12 = С21 = 1 x(1 (t, 1,1,1) = sin mt - (sin 2t - sin t) +1(1 - co s t - sin t) = 1,5 sin t - 0,5 cos t - sin 2t,

yf(t,\,\,\) = sin t +1(1 - cos t - sin t) = 0,5 sin t - 0,5cos t + 0,5.

ж ж 3 ж 5 ж Вычислим значения решений для t = 0 t =_ t =_ t =_ t = ж t =_

1 , 2 ^ 3 2' 4 4 , 5 , 6 4 ,

6ж 7ж „ _ _ ,

t =- t =- t =2ж и получим расчетную таблицу значений (расчет велся на

7 4 ' 8 4 ' 9 компьютере, на языке Excel)

Таблица 1. Результаты расчетов первых приближений

№ п.п. t г(1) x2 - хищники i/1) у 2 - жертвы

1 0 0 0 0

2 0,785398 0,785 0,206544 0,499718

3 1,570796 1,57 1,998009 0,999602

4 2,356194 2,355 2,915054 1,207106

5 3,141593 3,14 1,005534 1,000796

6 3,926991 3,925 -1,20428 0,501408

7 4,712389 4,71 -1,00358 0,001196

8 5,497787 5,495 0,083806 -0,2071

9 6,283185 6,28 0,001595 -0,00159

Рис.1. Графическое изображение решения первого приближения

Из графика видно, что при t = 2,31 количество хищников (х^) и жертв (у® ) достигает наибольшей численности, а при t = 3,15 численности жертв и хищников совпадают. При

t = 3,41 количество хищников ( х^1) почти равняется нулю, а при t = 4,8 количество жертв (у® ) падает почти до нулевого уровня. Происходит процесс исчезновения обоих видов.

Литература

1. Самойленко А. М., Ронто Н. И. Численно-аналитические методы исследования периодических решений. Киев.: Вища школа, 1976. 179 с.

2. Алымбаев А. Т. Численные, численно-аналитические и асимптотические методы исследования краевых задач. Бишкек, 2004. 175 с.

3. Cushing J. M. Predator-prey interactions with time delays. J. Math. Biol., 1976. 3. № 3-4. P. 369-380.

BOUNDARY CONCENTRATION IN SERIES COIN FLIP. THEOREM "ON EQUALITY OF EVENTS SUM OF THE FIRST TO GUES THE NUMBER OF SERIES" Filatov O.

КРАЕВЫЕ УПЛОТНЕНИЯ В СЕРИЯХ ПОДБРАСЫВАНИЙ МОНЕТЫ. ТЕОРЕМА «О РАВЕНСТВЕ СУММЫ ПЕРВЫХ УГАДАННЫХ СОБЫТИЙ ЧИСЛУ СЕРИЙ» Филатов О. В.

Филатов Олег Владимирович /Filatov Oleg - инженер-программист, Закрытое акционерное общество «Научно технический центр «Модуль», г. Москва

Аннотация: показывается, как при любом снятии информации со случайной бинарной последовательности образуется неопределённость, аналогичная принципу неопределённости Гейзенберга в физике, дана попытка объяснить эту неопределённость эффектом экранирования, более известным как парадокс Пенни, игра Пенни; используя свойство средней длины составных событий, образующих бинарную последовательность, рассчитано число образующих эту последовательность серий; дана техника изменения вероятности угадываний, основанная на эффекте краевых уплотнений в коротких сериях. Abstract: it shows how for any receiving of information from random binary sequence generated uncertainty similar to the Heisenberg uncertainty principle in physics, an attempt to explain given the uncertainty of the effect of screening, better known as the Penny paradox, game Penny; using medium length composite event property, forming a binary sequence, calculated the number sequence forming this series; given the changes in the probability of guessing technique is base on the effect of edge condensations in short series.

Ключевые слова: элементарное событие, составное событие, игра Пенни, парадокс Пенни, краевые уплотнения, бинарная последовательность, НТЦМодуль.

Keywords: elementary event, a composite event, game Penny, Penny paradox, binary sequence, random binary sequence, edge condensations.