CC BY
7Электронный научный журнал "Математическое моделирование, компьютерный и натурный эксперимент в естественных науках" http://mathmod.esrae.ru/ URL статьи: mathmod.esrae.ru/15-51 Ссылка для цитирования этой статьи:
Землянухин А.И., Бочкарев А.В., Блинков Ю.А., Ковалева И.А., Ребрина А.Ю. Периодические волны дифференциального уравнения 4-го порядка с нелинейностью 5-й степени // Математическое моделирование, компьютерный и натурный эксперимент в естественных науках. 2017. №3.
Выполнено при поддержке гранта РФФИ № 16-01-00176-a._
УДК 534.1:517.957
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ 4-ГО ПОРЯДКА С НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ 5-Й СТЕПЕНИ
12 3
Землянухин А.И. , Бочкарев А.В. , Блинков Ю.А. , Ковалева И.А.4, Ребрина А.Ю.5
Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.,
Россия, Саратов, zemlyanukhinai@sstu.ru Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.,
Россия, Саратов, ab2009sar@list.ru Национальный исследовательский Саратовский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского, Россия, Саратов, blinkovua@gmail.com 4Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.,
Россия, Саратов, irinakovaleva1406@gmail.com 5Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.,
Россия, Саратов, anblinkova26@gmail.com
PERIODIC WAVES OF THE 4-TH ORDER DIFFERENTIAL EQUATION WITH NONLINEARITY OF 5-TH DEGREE
Zemlyanukhin A.I.1, Bochkarev A.V.2, Blinkov Yu.A.3, Kovaleva I.A4,
Rebrina A.Yu.5
1Yuri Gagarin state technical university of Saratov, Russia, Saratov,
zemlyanukhinai@sstu.ru 2Yuri Gagarin state technical university of Saratov, Russia, Saratov, ab2009sar@list.ru 3Saratov state university, Russia, Saratov, blinkovua@gmail.com 4Yuri Gagarin state technical university of Saratov, Russia, Saratov,
irinakovaleva1406@gmail.com 5Yuri Gagarin state technical university of Saratov, Russia, Saratov,
anblinkova26@gmail.com
Аннотация. Рассмотрено дифференциальное уравнение 4-го порядка, моделирующее распространение стационарных осесимметричных изгибно-продольных волн в
цилиндрической оболочке, взаимодействующей с внешней нелинейно-упругой средой. Исследована редукция уравнения, представляющая собой обобщенное уравнение Дуффинга. При помощи метода геометрического ряда построены его точные периодические решения.
Ключевые слова: точные периодические решения, цилиндрическая оболочка, изгибно-продольные волны
Abstract. The 4th-order equation describing the propagation of stationary axially symmetric bending-longitudinal waves in a cylindrical shell interacting with an external nonlinear elastic medium is considered. The reduction of the equation which is a generalized Duffing equation is investigated. Exact periodic solutions of the equation are constructed using the geometric series method.
Keywords: exact periodic solutions, cylindrical shell, bending-longitudinal waves
В последнее десятилетие активно развиваются методы нахождения точных решений нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных с высокими порядками производных и нелинейных членов. Одним из активных поставщиков таких уравнений являются неклассические задачи теории деформируемого твердого тела, в которых изучаются, в частности, волновые процессы в пористых средах, взаимодействия деформационных и электромагнитных возмущений и многие другие явления [1,2].
Моделирование процесса стационарного осесимметричного распространения продольно-изгибных волн в цилиндрической оболочке приводит к необходимости решения нелинейного дифференциального уравнения для прогиба срединной поверхности
d4w d2w 3 5 d2 (w3) d2 ()
-r + C—T + c2 w + c3 w + c4 w + C5—+ c6—= 0, (1)
d^4 1 d^2 2 3 4 5 df df
в котором окружающая оболочку нелинейно-упругая среда моделируется полиномом пятой степени по нечетным степеням прогиба w [3]. В [4] показано, что уравнение (1) при выполнении условий на коэффициенты
C3C6 = C4C5, C2C6 = c4 (C1C6 - c4 ). (2)
допускает факторизацию и редуцируется к обобщенному уравнению Дуффинга
+ b2 w + b3 w3 + b4 w5 = 0, (3)
d
Ь2 = (С1С6 - Сл)1 С6, Ь3 = С5 , Ь4 = С6- (4)
В [3] построены точные уединенно - волновые решения уравнения (3) с использованием метода геометрического ряда, предложенного и развитого в [58]. В данной работе этот метод используется для нахождения точных периодических решений уравнения (3). Будем искать решение в форме
да
* = £еЧ ($), (5)
к=1
где wk (£) - неизвестные функции, е - формальный параметр. Подставляя (5) в
(3) и группируя по степеням параметра е, получим бесконечную цепочку уравнений для определения функций Wk:
е1: w1'' + Ь2 w1 = 0, е2 : W2'' + b2W2 = 0,
е3 : Wз'' + Ь2Wз = -bзWl3, (6)
4 " 1 т 2
е : W4 + b2W4 =-3bзWl W2,
5 " 5 /2 2 \
е : W5 + Ь2W5 = -Ь4w1 - 3Ь3 (Wl Wз + WlW2 ),
в которых штрихи обозначают дифференцирование по £ . Первое уравнение системы (6) представляет собой уравнение гармонических колебаний и имеет периодическое решение
w1 = (7)
при условии
Ь2 > 0. (8)
Чтобы представить частные решения следующих уравнений системы (6) в виде wn = К^х , следует принять W2 = 0. Последовательно находя коэффициенты Кп, п = 3,4, 5,... и вводя обозначение
у = е , (9)
разложению (5) можно придать форму степенного ряда по нечетным степеням у:
Ь3 3 8Ь2Ь4 + 3Ь32 5 ьз (8Ь2Ь4 + ьз2) 7 у3 +-—-^^у5 +---; '
8Ь2 192Ь2 512Ь3
w = У + ^У ^ 2 У +—--3--у +
Ь2 192Ь| 512Ь3 (10)
32Ь22Ь42 + 48Ь2Ь32Ь4 + 3Ь34 9 12288Ь4 У
Анализ ведущих членов [9] уравнения (3) показывает, что его решение, представляемое рядом (10), имеет полюс дробного порядка Для перехода к простому полюсу возведем выражение (10) в квадрат, произведем замену
У2 = * (11)
и получим
9 * + Ьз *2 + 16Ь2Ь4 + 9Ь32 _3 + 16Ь2ЬзЬ4 + 3Ь| *4 + W = * +--* +--^-* +--т-* + ...
4Ь2 192Ь2 384Ь2
2 2 2 (12)
256ь|ь| + 480Ь2Ь32Ь4 + 45Ь34 5
36864Ь4 ..
Степенной ряд (12) соответствует функции с полюсом 1-го порядка и является геометрическим: все диагональные аппроксиманты Паде для этого ряда, начиная со второго порядка, совпадают между собой [7] и равны
192^ (13)
192Ь2 - 48Ь2Ь3г + (3Ь32 - 16Ь2Ь4) г2 ' Отношение (13) есть точная сумма ряда (12). Выполняя над ним обратные преобразования, то есть извлекая квадратный корень, заменяя г на у2 в соответствии с (11) и подставляя (9), получим
w = ±8>/ЗЬ2£
1
£
6 (14)
192Ь22 - 48Ь2Ь3е2е2г^£ + (3Ь32 - 16Ь2Ь4 )е4 е4^^^/^2^ '
где знак перед дробью выбирается совпадающим со знаком е .
Выражение (14) является точным комплексным решением уравнения (3), что подтверждается непосредственной подстановкой в уравнение.
Найдем условия, при которых (14) представляет собой вещественную функцию. Считая Ь3,Ь4, е, £ вещественными числами, выделим мнимую часть подкоренного выражения из (14). Приравняв ее нулю, получим первое условие
3 Ьз2е4 - 64Ь22 Ь4 =— . 4 2, (15)
16 Ь2е4
при выполнении которого (14) принимает вид
2е
w = ±-
V
16cos2 (^£)-ЬЬ— 8
(16)
Легко видеть, что подкоренное выражение из (16) является положительным при
Ьз <-(17)
е2
Таким образом, при условиях (8), (15) и (17) уравнение (3) имеет точное периодическое решение (16) в форме кноидальной волны, пример графика которой показан на рис. 1.
Другое периодическое решение уравнения (3) можно построить в окрестности произвольной постоянной.
Перейдем в уравнении (3) к новой зависимой переменной и(£) = :
2ии" - (и')2 + 4и 2 (Ь2 + Ь3и + Ь4и 2) = 0. (18)
Будем искать решение уравнения (18) в форме
да
и .... Л
Е + £еЧ (£), (19)
к=1
Рис. 1. График функции (16) при е = 1, Ь2 = 1, Ь3 = —10.
где Е - произвольная постоянная. Подставляя (19) в (18) и группируя по степеням е , для определения функций ик получим систему
е0 : Ь2 + ЕЬ3 + Е\ = 0
е1: щ+ 2 (2Ь2 + 3ЕЬ3 + 4 Е 2Ь4) и1 = 0,
е2 : и2'' + 2 (2Ь2 + 3ЕЬ3 + 4Е2Ь4)и2 = -1-(и{ )2 + 2 ^ _ 2ЕЬ4
(20)
и1
Из первого уравнения получаем
ь2 = — - (Ь3 + -Ь4).
Второе уравнение системы при
Ь3 =
1 — 4-2Ь
4
2-
(21)
(22)
имеет периодическое решение
и1 = е*. (23)
Последовательно определяя из следующих уравнений системы функции и2, и3,...
в форме ип = К и и обозначая * = е , для разложения (19) имеем
4-2Ь4 + 3 2 16-4Ь4 + 40-2Ь4 + 9 3 и — - = * +-4-* 2 +-4-г-4-* 3 +
6-
48-
2
+
64-6Ь| + 336-4Ь42 + 252-2Ь4 + 27 *4 +
(24)
432-
3
Степенной ряд (24) соответствует функции с полюсом 1-го порядка и является геометрическим: все диагональные аппроксиманты Паде для этого ряда, начиная со второго порядка, совпадают между собой и равны
144E 2 z
144E2 - 24E(4E2b4 + з)z + (l6E4b4 - 24E2b4 + 9)z2
(25)
Возвращаясь в (25) к переменной £, для исходной зависимой переменной получим
w =
i
E +
144 E 2se
2Se'£
144E2 - 24E(4E\ + з)вег£ + (l6E4b| - 24E2b4 + 9)s2e2/£
(26)
Выражение (26) есть точное периодическое решение уравнения (3) при выполнении соотношений (21) и (22). Выясним условия, при которых это решение является вещественной функцией.
Мнимая часть подкоренного выражения из (26) обращается в нуль при
7 3Е±4Е
Ь4 =Т—(27)
4 E2s
при этом (26) принимает вид
w =
E +
Es
(28)
^ ' 2E(cos(£) +l) - s При выполнении неравенства
4E ± s > 0 (29)
(28) является вещественной периодической функцией. Примеры графиков этой функции показаны на рис. 2.
а) б)
Рис. 2. Графики функции (28) при выборе знака "плюс" и
а) е = 1, Е = - 4/17, б) е = 1, Е = 3
Отметим, что с использованием метода геометрического ряда, точные периодические решения (16), (28) обобщенного уравнения Дуффинга (3)
построены на основе периодических решении соответствующих линеаризованных уравнении.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 16-01-00176-a).
Список литературы
1. Ерофеев В.И., Землянухин А.И., Катсон В.М., Шешенин С.Ф. Формирование солитонов деформации в континууме Коссера со стесненным вращением // Вычислительная механика сплошных сред. 2009. Т. 2. № 4. С. 67-75.
2. Ерофеев В.И., Землянухин А.И., Катсон В.М. Нелинейные продольные магнитоупругие волны в стержне // Нелинейный мир. 2009. Т. 7. № 7. С. 533-540.
3. Землянухин А.И., Бочкарев А.В., Блинков Ю.А., Ковалева И.А., Блинкова А.Ю. Уединенные волны квазигиперболического уравнения 4-го порядка с нелинейностью 5-й степени // Математическое моделирование, компьютерный и натурный эксперимент в естественных науках. 2016. № 3; URL: mathmod.esrae.ru/3-20
4. Zemlyanukhin A.I., Bochkarev A.V., Mogilevich L.I., Tindova E.G. Axisymmetric Longitudinal-Bending Waves in a Cylindrical Shell Interacting with a Nonlinear Elastic Medium // Modelling and Simulation in Engineering. 2016, Vol. 2016, Article ID 6596231, 7 p. http://dx.doi.org/10.1155/2016/6596231
5. Землянухин А.И., Бочкарев А.В. Метод возмущений и точные решения уравнений нелинейной динамики сред с микроструктурой // Вычислительная механика сплошных сред. 2016. Т. 9, № 2. с. 182-191. http://dx.doi.org/10.7242/1999-6691/2016.9.2.16
6. Землянухин А.И., Бочкарев А.В. Непрерывные дроби, метод возмущений и точные решения нелинейных эволюционных уравнений // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2016. Т. 24, № 4. с. 71-85. http://dx.doi.org/10.18500/0869-6632-2016-24-4-71-85
7. Бочкарев А.В., Землянухин А.И. Метод геометрического ряда построения точных решений нелинейных эволюционных уравнений // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2017. Т. 57, № 7. с. 1113-1125. http://dx.doi.org/10.1134/S0965542517070065
8. Землянухин А.И., Бочкарев А.В. Непрерывные дроби и точное решение уравнения Калоджеро-Дегаспериса-Фокаса // Математическое моделирование, компьютерный и натурный эксперимент в естественных науках. 2016. №1. URL: http://mathmod.esrae.ru/1-7
9. Кудряшов Н.А. Методы нелинейной математической физики. Долгопрудный: Изд. дом "Интеллект", 2010. 368 с.
