Уединенные волны квазигиперболического уравнения 4-го порядка с нелинейностью 5-й степени Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 534.1:517.957

УЕДИНЕННЫЕ ВОЛНЫ КВАЗИГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ 4-ГО ПОРЯДКА С НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ 5-Й СТЕПЕНИ

Землянухин А.И.1, Бочкарев А.В.2, Блинков Ю.А.3, Ковалева И.А.4,

Блинкова А.Ю.5 1,2,4,5 Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А., Россия, Саратов, 3 Национальный исследовательский Саратовский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского, Россия, Саратов, 1zemlyanukhinai@sstu.ru, 2ab2009sar@list.ru

SOLITARY WAVES OF THE 4-TH ORDER QUASI-HYPERBOLIC EQUATION WITH NONLINEARITY OF 5-TH DEGREE

Zemlyanukhin A.I.1, Bochkarev A.V.2, Blinkov Yu.A3, Kovaleva I.A.4,

Blinkova A.Yu.5

1,2,4,5Yuri Gagarin state technical university of Saratov, Russia, Saratov, 3National research state university of Saratov, Russia, Saratov 1zemlyanukhinai@sstu.ru, 2ab2009sar@list.ru

Аннотация. Рассмотрено уравнение 4-го порядка, описывающее распространение осесимметричных изгибно-продольных волн в цилиндрической оболочке, взаимодействующей с внешней нелинейно-упругой средой. Зависимость напряжение -деформация среды представляется полиномом пятого порядка. Показано, что исходное уравнения при некоторых условиях на коэффициенты сводится к обобщенному уравнению Дуффинга, для которого с использованием метода геометрического ряда получено точное уединенно-волновое решение. Найдены условия, при которых это решение выражается через квадратный корень из гиперболических секанса или тангенса.

Ключевые слова: точные уединенно-волновые решения, цилиндрическая оболочка, изгибно-продольные волны

Abstract. The 4th-order equation describing the propagation of axially symmetric bending-longitudinal waves in a cylindrical shell interacting with an external nonlinear elastic medium is considered. The dependence of the stress - strain environment is represented by 5th-order polynomial. It is shown that under some conditions on the coefficients the initial equation is reduced to a generalized Duffing equation, for which exact solitary-wave solution using the geometric series method is obtained. Ehe conditions under which this solution is expressed via the square root of hyperbolic secant or hyperbolic tangent is found.

Keywords: exact solitary-wave solutions, cylindrical shell, bending-longitudinal waves

Теория оболочек является достаточно развитым разделом механики деформируемого твердого тела. Повышенный интерес к выводу уравнений, адекватно описывающих поведение оболочек, а также разработке методов решения этих уравнений связан с исследованием вещества на микроуровне. В частности, изучение процессов распространения волн в цилиндрических оболочках вызвано потребностью адекватного описания динамических процессов в углеродных нанотрубках [1, 2].

В [3] выведено уравнение, моделирующее распространение осесимметричных продольно-изгибных волн в бесконечной цилиндрической оболочке, взаимодействующей с нелинейно-упругой внешней средой:

а4" а2" а2 ("3) з п т

—- + ал—- + а2-Чг-1 + а3™ + а4 " = 0, (1)

а£4 а£2 а£2

где " = " (£) - нормальная компонента перемещения срединной поверхности оболочки, £ = х - Vt - бегущая координата, х - продольная координата, V -постоянная скорость волны, а1;..., а4 - постоянные коэффициенты, зависящие

от упругих параметров материала оболочки и окружающей ее среды.

Для описания нелинейной диаграммы деформирования упругой среды предложено немало моделей. В [3] для этого использовалась зависимость, представленная полиномом третьей степени по нечетным степеням прогиба w, вследствие чего в уравнении (1) появились нелинейные члены, содержащие

функцию w3 и ее вторую производную по £.

В настоящей работе нелинейная упругость внешней среды определяется полиномом пятой степени по нечетным степеням прогиба. Уравнение (1) при этом преобразуется к виду

d4w а2w з 5 а2 ("3) а2 ("5) „ ™ —-Т + с—- + с2" + с3" + с4" + с5-+ с6-= 0, (2)

а£4 а£2 а£2 а£2

включающему дополнительные слагаемые с функцией "5 и ее производной.

Уравнение (2) относится к неинтегрируемым и содержит члены с нелинейностями и производными высоких порядков. Анализ доминантных членов показывает [4], что решение уравнения (2) имеет полюс дробного порядка, равного Найти точное решение этого уравнения непросто даже с использованием современных методов компьютерной математики.

Заметим, что уравнение (2) допускает факторизацию и редуцируется к обобщенному уравнению Дуффинга

а2" 1 1 3 , 5

—- + Ь2" + Ь3" + Ь4" = 0, (3)

а £2

где

Ь = С4, Ь2 = С1С6^С4, Ь3 = С5, Ь4 = с6, (4)

с6 с6 при условиях на коэффициенты исходного уравнения:

с3с6 = с4с5 5 с2с6 = с4 (с1с6 - с4 ). (5)

Чтобы показать это, достаточно потребовать совпадения левой части уравнения (2) и выражения

г -2 \( »2 >\

и

+Ь

а £2

а " и 3 и 5 -— + Ы" + Ы" + Ьл"

а, £2 2 3 4

после чего приравнять коэффициенты при подобных слагаемых в левой и правой частях полученного равенства. Указанное совпадение достигается при выполнении условий (4), (5) и

А. = ^

С6

Для нахождения точных уединенно-волновых решений уравнения (3) воспользуемся методом геометрического ряда, предложенным и развитым в статьях [5-8].

Будем искать решение в форме

w ■■

(7)

к=1

где Wk (£,) - неизвестные функции, в - формальный параметр. Подставляя (7) в (3) и группируя по степеням в, получим бесконечную систему уравнений для определения функций Wk (£,):

/2

й2

- Wl + ¿2 Wl = 0,

^2 + ¿2 W2 = 0,

й 7 7 3

Wз + ¿2 Wз = -АзWl ,

й £

(8)

^ W4 + ¿2 W4 = -3Ьз W12 W2,

й £ й 7

W5 + ¿2 W5 = -¿4W15 - 3Ьз (W12Wз + WlW^ ),

Первое уравнение системы (8) имеет частное решение

Л

Wl = е-

при условии

1.

(9) (10)

Если в качестве решения второго уравнения (8) принять W2 = 0, то частное решение каждого из последующих уравнений этой системы можно представить в виде wn = . Последовательно определяя коэффициенты Кп, п = з, 4,5,... и вводя обозначение

У = ве^, (11)

разложению (7) можно придать форму степенного ряда

1

в

2

в

в

в

5

в

К 3 ™ = У "о Ь3 у +

о

' 1 А2 1 А

—Ь3 — Ь4 V64 3 24 4

У

—ь3 64 3

а

V 8 3

у7 +...

+

1 "Ьз ЬЪЬ4 +

^ Я

384 4 у

У^

V 4096 3 256

Ряду (12) соответствует решение с полюсом порядка Для перехода к полюсу целого порядка возведем ряд (12) в квадрат, после чего произведем замену

У2 = * (13)

Полученный в результате степенной ряд

.2

w

К 2

*--Ыг +

4 3

1

—ь32 -—ь4

V 64 3 12 4

/

1

384

Ь3 (3^ - 16Ы4)

16Ь4 ) г4 +.

с

+

■Ь4 -т5- Ь32Ь4 +

144 4 у

(14)

V4096 3 384

соответствует функции с полюсом 1-го порядка и является геометрическим: все диагональные аппроксиманты Паде \_QlQ] для этого ряда, начиная с Q = 2, совпадают между собой [7] и равны

192г (15)

192 + 48Ь3 г + (3Ь32 + 16Ь4 ) г2

Выражение (15) представляет точную сумму ряда (14). Выполняя над этим выражением обратные преобразования, то есть извлекая квадратный корень,

заменяя 2 на у в соответствии с (13) и подставляя (11), получим

w = ±

8^

е е

^192 + 48Ь3е2 е2^ + (3Ь32 + 16Ь4 )е4 е4^

(16)

где знак перед дробью выбирается совпадающим со знаком е.

Выражение (16) является точным уединенно-волновым решением уравнения (3), в чем можно убедиться непосредственной подстановкой в уравнение. При выполнении условий (4), (5) данное выражение также является точным решением исходного уравнения (2).

Подкоренное выражение в (16) представляется квадратным трехчленом

А (е2^)2 + В е2^ + С, (17)

где

А = (3Ь32 + 16Ь4 )е4, В = 48Ь3е2, С = 192.

Решение (16) является вещественным и ограниченным в двух случаях. В первом случае корни трехчлена (17) являются комплексными, что выполняется

при В - 4 АС < 0. Во втором случае оба корня вещественные отрицательные, что соблюдается при условиях В2 - 4АС > 0, (-В ±>/В2 - 4АС )у/(2А) < 0.

Заметим, что при = 0 решение (16) может быть выражено через

квадратный корень из гиперболического секанса, а при 3Ьз + 16b4 = 0 - через квадратный корень из гиперболического тангенса.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 16-01-00176-a).

Список литературы

1. Lim C.W., Yang Y. Wave propagation in carbon nanotubes: nonlocal elasticity induced stiffness and velocity enhancement effects // J. Mech. Mater. Struct. 2010, № 5, p. 459-476. http://dx.doi.org/10.2140/iomms.2010.5.459

2. Muc A., Banas A., Chwal M. Free vibrations of carbon nanotubes with defects // Mech. and Mechan. Eng. 2013, Vol. 17, p. 157-166.

3. Zemlyanukhin A.I., Bochkarev A.V., Mogilevich L.I., Tindova E.G. Axisymmetric Longitudinal-Bending Waves in a Cylindrical Shell Interacting with a Nonlinear Elastic Medium // Modelling and Simulation in Engineering. 2016, Vol. 2016, Article ID 6596231, 7 p.

4. Кудряшов Н.А. Методы нелинейной математической физики. Долгопрудный: Изд. дом "Интеллект", 2010. 368 с.

5. Землянухин А.И., Бочкарев А.В. Метод возмущений и точные решения уравнений нелинейной динамики сред с микроструктурой // Вычислительная механика сплошных сред. 2016. Т. 9, № 2. с. 182-191. http://dx.doi.org/10.7242/1999-6691/2016.9.2.16

6. Землянухин А.И., Бочкарев А.В. Непрерывные дроби, метод возмущений и точные решения нелинейных эволюционных уравнений // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2016. Т. 24, № 4. с. 71-85. http://dx.doi.org/10.18500/0869-6632-2016-24-4-71-85

7. Землянухин А.И., Бочкарев А.В. Точное уединенно-волновое решение обобщенного уравнения Гарднера-Бюргерса // Математическое моделирование, компьютерный и натурный эксперимент в естественных науках. 2016. №1. http://mathmod.esrae.ru/1-1

8. Землянухин А.И., Бочкарев А.В. Непрерывные дроби и точное решение уравнения Калоджеро-Дегаспериса-Фокаса // Математическое моделирование, компьютерный и натурный эксперимент в естественных науках. 2016. №1. http://mathmod.esrae.ru/1-7