ПЕРЕНОРМАЛИЗОВАННЫЕ КООРДИНАТЫ ДЛЯ ГОМЕОМОРФИЗМОВ КРУГЛОСТИ С ОДНОЙ ТОЧКОЙ РАЗЛОМА Текст научной статьи по специальности «Математика»

КаршибоевХ.К., к.ф-м.н.

доцент

заведующий кафедрой высшей математики

СамИЭС

ПЕРЕНОРМАЛИЗОВАННЫЕ КООРДИНАТЫ ДЛЯ ГОМЕОМОРФИЗМОВ КРУГЛОСТИ С ОДНОЙ ТОЧКОЙ РАЗЛОМА

Аннотация. В настоящей работе, найдены соотношение между zi и zi+1, (tj и tj+l), а затем показано, что z и tq являются почти дробно-линейными функциями от z0 и t0 соответственно, где предполагается, что определяющая функция f (х), удовлетворяет условиям (с) - (с4) и число вращения p = p(Tf) иррационально.

Ключевые слова: гомеоморфизмов окружности, ренормализация, число вращения.

Karshiboev Kh.K., candidate of physical and mathematical sciences

associate professor Head of the Department of Higher Mathematics

SamIES

RENORMALIZED COORDINATES FOR CIRCLE HOMEOMORPHISMS WITH SINGLE BREAKING POINT

Abstract: In the present paper, we find the relation between zt and zt+1, (t and tj+l), then it is shown that z and tg are almost linear-fractional functions of z0 and 10, respectively, where it is assumed that the defining function f (х) satisfies the conditions (c1) - (c4) and the rotation number is p = p(Tf ) irrational.

Key words: circle homeomorphism, renormalization, rotation number.

Рассмотрим сохраняющий ориентацию гомеоморфизм Tf единичной

окружности.

Tfx = {f (х)}, х е S1 = [0,1) (1.1)

где скобка {•} - обозначает дробную часть числа, а f (х) -определяющая функция Tf, удовлетворяет следующим условиям:

(c1) f (х) -непрерывная, строго возрастающая функция на R1;

{с 2) f (х +1) = f (х) +1 для любого х е R ;

{с3) гомеоморфизмT^-х в точке x = xb имеет излом, т.е. существуют

конечные односторонние производные /'(хй ± 0) > 0 и /'(х, - 0) * /'(х, + 0);

(с4) /'(х) -абсолютно непрерывная функция на [хь, хь +1] и /" е £ (£й1) при некотором р > 1.

Число сг = аг (х,) = / (Х—— называется величиной излома Т- в / / '(хь + 0) 1

точке х = хь. Условие (с4) называется условием гладкости Кацнельсона и

Орнстейна.

Пусть число вращения р = р(Т) иррационально и разложение р в непрерывную дробь имеет вид:

р = [^1, к 2,...,кп,...].

Положим

Рп = [кх,кг,...,кп], п > 1.

Чп

Числа я -удовлетворяют разностному уравнению:

Яп+1 = кп+1^п + qn-l, я =1 Ч = kl, п >1. Обозначим особую точку хь через х0 и рассмотрим ее итерации, т.е.

х = Т'х, I > 1. Обозначим А(0п) = А(0п)(х0)-замкнутый отрезок, соединяющий

точки х и х .

0 Чп

Обозначим через Уп = Уп (х0) замкнутый интервал, соединяющий точки х и х . Ясно, что V = А(0п) и А(0п+1). Интервал Уп -называется п -ой ренормализационной окрестностью точки х0. Определим отображение Пуанкаре по формуле:

Лп(х):

ТЯп+! х, если х еА(пп)\{хп},

(1.2)

Ппх, если х е А(гп+1)

I / Л-, Ъ^ли .Л С= ЛЛ0

По общей схеме метода ренормализационной группы (РГ) нас интересует главным образом поведение отображения Пуанкаре лп (х), при

п ^ да. Поскольку длина отрезка Уп экспоненциально стремится к нулю и Чп ^+да при п ^да, поведение лп (х) удобно изучить в новых перенормированных координатах.

Введем перенормированные координаты * на Уп:

* х еУп (1.3)

хг\ х

0 Яп

<

Хд Хо

Обозначим ап = ——-. Очевидно, что ап > 0 . При х еуп,

Х0 " Хдп

соответствующие координаты г принимают значения от -1 до ап. В новых координатах отображению жп соответствует следующая пара (/п, gn):

/д"+1 (Хо + г(Хо - Хди)) - Хо - Рп+1

/п (г) = _

Хп Х

(1.4)

, ч /дп (Х0 + г(Х0 - Хдп )) - Х0 - Рп

gn (г) =

Х0 Хдп

Пара функции (/п, gn) называется п -ой ренормализацией отображения жп. Положим А(гп) = Т- А(0п), - > 1, п > 1 . Пусть для определенности п -нечетное число, тогда имеет место соотношение

Х ^ Хп ^ Х .

дп+1 0 дп

Система отрезков = {Д(п+1), 0 < - < дп; А(п) ,0 < у < ди+1} образует разбиение окружности (см. [1]). При этом соседние два отрезки из пересекаются одной лишь концевой точкой.

Введем относительные координаты г1,0 < - < ди+1, внутри отрезков

Ап) и £., 0 < у < дп, внутри отрезков Д(п+1) по формулам:

I у

Х - Х

г,. =—--, х еД

(п)

Х- Х'+дп

Х — Х

^ = Хдп+'+у Х , Х еА(;+1)

Ху+дп+1 -Ху (1.5)

Лемма 1.1. Имеют место следующие равенства:

Х- - Т- (Х0 + г(Х0 - Хдп )) Г 1 АТ

г =-- —, г е[-1; 0]

Х . Х ..

- г+дп

г = Х+дп+' - Т/ (Х0 +г(Х0- ^)), г е [0;а ] (1.6)

Ху+дп+1 - Ху

Доказательство леммы 1.1. Лемма 1.1 доказывается прямым вычислением. Если х еА(п) ,тогда Т~1х еДп. Используя равенство (1.3)

получаем: Т~1х = х0 + г(х0-х^ ) и ге[-1;0]. Из этого

х. - Х Х- - Т/ (Т~/Х) Хг - Т/ (Х0 + г(х0 - Хдп )) ^

гг = (г) = —--=--—--=-п—; Точно также,

Х . Х •, Х . Х., Х ■ Х ..

- -+дп - -+дп - -+дп

если х е А(п+1), тогда Т-^ е Д^1 и Т-^ = х0 + г(х0 - 1), г е [0; ап ].

Учитывая это получаем

, ~ Х Х-+Яп+\ - Т/ (Т/ 'х) Х-+Яп+\ - Т/ (Х0 + 2 (Х0 - ^)) tJ = (2) =-1— =-1-=-1-•

Х-+Чп+1 Х- Х-+Чп+1 Х- Х- + Чп+1 Х-

Лемма 1.1 доказана.

В настоящем параграфе, мы найдем соотношение между и +1, (£ и ), а затем покажем, что г и t являются почти дробно-линейными функциями от 20 и ^ соответственно. Ниже мы всюду предполагаем, что определяющая функция /(х), удовлетворяет условиям (с1) - (с4) и число вращения р = р(Тг) иррационально.

Введем следующие обозначения: а = Х+п, 7 = Х, Д = Т>, Х еА(оп). Ясно, что Д е[а 7 ], 0 < I < дп+х,

1 Д 1 7

а, )Лу +

/Г(у)(у - а ¥у + -— / Г(у)(7- уУу

А _ га)( Д - аг) а...... ^ Г (а г)( Гг - Д) Д

1

1+лаг )(7-а) У"(у)(7 - у)*

7 {"( у) Ип+1"1 I

В = [ 1 (у) Лу, т = ехр<! У Я I,

г а 2/'(у)у п+1 Р1У г

= - Я - 1п

г л . , _ л ?п+1 -1

1 + А.2.

г г

V1 + А (2 -1)

^+1( 20) = У^г

'0.

г=0

Теорема 1.1. Справедливо следующее равенство:

„ _ 20 тп+1 еХР(^ п+1 (20)) „ ^

?п+> 1 + 20(тп+1ехр(тп+х(20)) -1) ( • )

Доказательств. Теорема 1.1 доказывается прямым вычислением. Ясно, что

. 7 -Д „ 7+1-Д+1

г =-> г+1 =->

7 -а 7+1 -а+1

где

а+1 = / (аX

Д+1 = /(Д) = /(а) + /'(а)(Д - а) + //"(у)(Д - у)Ф,

а

7г

7+1 = / (7) = /(а) + /,(а )(7- а) + {/,,(у)(7 - у)йу

г -

а.

Подставляя в выражение для +1, получаем:

z.

i+1

f '(«)(r, - A) + Jf"(y)(r - y)dy- Jf"(y)(A - y)dy

_«_«__

7i =

f)(r ) + Jf"(y)(7i - y)dy «i

r A

(A - «) J f"(y)(r - y)dy - (г, - «) J f"(y)(A - y)dy

r - A

г, -а,

1 +

f'(«)(r - «)(r - A) + (г, - A) + J f"(y)(r - y)dy

«i

= z, (1 + 4 (z, -1)).

1 + AZ, 1- Z

Из это вытекает что

1- z,+1 1- z, -(z, -1) atzt 1- z

z

г+1

z, (1 + At ( z, -1)) z, 1 + At (z, -1) z, Используя это равенство получим:

1 - Z 1 - 7 Г 9в+1-1 1 Г 9в+1-1 ] 1 - 7 --1 70 expГ - 1-expJ-^U 1 70

exP(-В,) ■ exP(-^,).

1

Z

qn+1

Zn

i=0

i=0

Z0 mn+1exp(Tn+1( Z0))

(1.8)

Решая уравнение (1.8) относительно z получим доказательство теоремы 1.1.

r

а

а

Использованные источники:

1. Вул Е.Б., Ханин К.М. Гомеоморфизмы окружности с особенностями типа излома//Успехи математических наук. -1990. т.45. вып.3(273). -С.189-190.

2. Katznelson Y., Ornstein D. The differentiability of the conjugation of certain diffeomorphisms of the circle// Ergodic Theory Dynam. Systems -1989. - № 9(4). -P.643-680.

3. Джалилов А.А., Каршибоев Х.К. Предельные теоремы для времени попаданий отображений окружности с одной точкой излома // Успехи математических наук. - Москва, 2004. - Т. 59. вып. 1(355). С. 185-186.

4. Х.К.Каршибоев. Поведение ренормализаций эргодических отображений окружности с изломом// Узб. матем. журнал. - Ташкент, 2009. -№4. -С.82-95.