3Academic Research in Educational Sciences VOLUME 2 | ISSUE 11 | 2021
ISSN: 2181-1385
Scientific Journal Impact Factor (SJIF) 2021: 5.723 Directory Indexing of International Research Journals-CiteFactor 2020-21: 0.89
DOI: 10.24412/2181-1385-2021-11-841-847
ПЕРЕНОРМИРОВАННЫЕ КООРДИНАТЫ ДЛЯ ГОМЕОМОРФИЗМОВ ОКУРЖНОСТИ С ОДНОЙ ТОЧКОЙ ИЗЛОМА
Хайрулла Киличевич Каршибоев
к.ф-м.н.,заведуюший кафедры "Высшей математики" Самаркандского института экономики и сервиса karshiboyev@mail. ru
АННОТАЦИЯ
В настоящей работе, найдены соотношение между zi и z;+1, (t и t.+1), а затем показано, что z? и t? являются почти дробно-линейными функциями от z0 и t0 соответственно, где предполагается, что определяющая функция f (x), удовлетворяет условиям (q) - (с4) и число вращения р = p(Tf) иррационально.
Ключевые ^ова: гомеоморфизмов окружности, ренормализация, число вращения.
RENORMALIZED COORDINATES FOR HOMEOMORPHISMS OF A CIRCLE WITH ONE BREAK POINT
ABSTRACT
In the present paper, we find the relation between z and z;+1, (t and t ), then it is shown that z and t are almost linear-fractional functions of z and t ,
1n+\ qn U U
respectively, where it is assumed that the defining function f(x) satisfies the conditions(q) - (c4) and the rotation number is р = p(Tf) irrational.
Keywords: circle homeomorphism, renormalization, rotation number.
ВВЕДЕНИЕ
Теория гомеоморфизмов окружности составляет одно из важных направлений современной теории нелинейных систем.
Впервые гомеоморфизмы окружности изучались А.Пуанкаре в связи с задачами небесной механики.
Academic Research in Educational Sciences VOLUME 2 | ISSUE 11 | 2021
ISSN: 2181-1385
Scientific Journal Impact Factor (SJIF) 2021: 5.723 Directory Indexing of International Research Journals-CiteFactor 2020-21: 0.89
DOI: 10.24412/2181-1385-2021-11-841-847
Важным классом отображений с особенностями являются гомеоморфизмы окружности с изломами. Поведения ренормализаций для гомеоморфизмов окружности из класса C2+£ (S1 }), с одной точкой излома и иррациональным числом вращения изучались Вул и Ханиным. Естественным является изучение поведения ренормализаций гомеоморфизмов окружности с изломами с более низкой гладкостью.
Для гомеоморфизмов окружности с особенностями изучение сходимости последовательности времени попадания является более сложной и интересной задачей.
Все это позволяет заключить, что изучение ренормализаций, а также сходимости времени попадания для гомеоморфизмов с изломами является актуальной задачей современного нелинейного анализа.
МЕТОДОЛОГИЯ
В данной статья изучено найдены соотношение между zi и zi+1, (t. и t.^,), а затем показано, что z и t являются почти дробно-линейными функциями от z и t соответственно, где предполагается, что определяющая функция f (х), удовлетворяет условиям (q) - (с4) и число вращения р = p(Tf) иррационально.
ОБСУЖДЕНИЕ И РЕЗУЛЬТАТЫ
Научная статья носит теоретический характер. Полученные результаты и методы используемые в на работы могут быть использованы при исследованиях в нелинейном анализе, гидродинамике и теории универсальности.
Рассмотрим сохраняющий ориентацию гомеоморфизм Tf единичной окружности
Tfx = {f (x)}, x e 51 = [0,1) (1)
где скобка {•}- обозначает дробную часть числа, а f (х)-определяющая функция Ту-, удовлетворяет следующим условиям:
(q) f (х) -непрерывная, строго возрастающая функция на R1;
Academic Research in Educational Sciences VOLUME 2 | ISSUE 11 | 2021
ISSN: 2181-1385
Scientific Journal Impact Factor (SJIF) 2021: 5.723 Directory Indexing of International Research Journals-CiteFactor 2020-21: 0.89
DOI: 10.24412/2181-1385-2021-11-841-847
(c2) f (x +1) = f (x) +1 для любого x e R;
(c3) гомеоморфизм Tfx в точке x = xb имеет излом, т.е. существуют конечные односторонние производные f'(xfe ± 0) > 0 и f'(x, - 0) * f'(x, + 0);
(c4) f'(x)-абсолютно непрерывная функция на [xfe, xfe +1] и f "e L (S1; dl) при некотором p > 1.
Число (7 = &r (x6) = f (x—— называется величиной излома T в
f f'(xb + 0) f
точке x = xfe. Условие (c4) называется условием гладкости Кацнельсона и Орнстейна.
Пусть число вращения p = p(Tf) иррационально и разложение р в непрерывную дробь имеет вид:
Р = [^1,k 2V..A >...].
Положим
^ = ft, к2,...,кя ], П > 1.
Числа q -удовлетворяют разностному уравнению:
q+1 = кя+1^я + Чя-^ 40 = 1 Я = К я >1. Обозначим особую точку x через x и рассмотрим ее итерации, т.е.
x. = T'fx0, i > 1. Обозначим А(0и) = А(0и) (x0) -замкнутый отрезок соединяющий
точки x и x .
0 Яя
Обозначим через Vn = Vn (x0) замкнутый интервал соединяющий точки x и x i. Ясно, что V = А(0и) U А(0и+1). Интервал Vn -называется я -ой ренормализационной окрестностью точки x . Определим отображение Пуанкаре по формуле:
in-1 x, если x e А(„и) \{x },
(x) = [ f , 0 { 0}, (2)
" ]Tq'x, если x e А(0"+1).
По общей схеме метода ренормализационной группы (РГ) нас интересует главным образом поведение отображения Пуанкаре лп (x), при я ^да.
Поскольку длина отрезка V экспоненциально стремится к нулю и q ^
Google Scholar Scientific Library of Uzbekistan
Academic Research, Uzbekistan 843 www.ares.uz
Academic Research in Educational Sciences VOLUME 2 | ISSUE 11 | 2021
ISSN: 2181-1385
Scientific Journal Impact Factor (SJIF) 2021: 5.723 Directory Indexing of International Research Journals-CiteFactor 2020-21: 0.89
DOI: 10.24412/2181-1385-2021-11-841-847
при n ^ro, поведение лп (x) удобно изучить в новых перенормиро-ванных координатах.
Введем перенормированные координаты z на Vn:
z = X е Vn (3)
XQ Xqn Xq Xq
Обозначим an = —qn±I-. Очевидно, что > 0 . При X е V,
XQ _ Xqn
соответствую-щие координаты z принимают значения от -1 до аи. В новых координатах отображению пп соответствует следующая пара (f, gn):
f (z) =
&n (Z) =
/qn±l(XQ ± z(X0 -Xqn ))- XQ — Pn±1
Xn X
0 qn (4)
/qn (XQ ± z(X0 — Xqn )) — X0 — Pn
XQ Xqn
Пара функции (/п, ) называется п -ой ренормализацией отображения жп. Положим А(п) = Т^А(0и), г > 1, п > 1 . Пусть для определенности п -нечетное число, тогда имеет место соотношение х х х .
Яп+1 0 ЯП
Система отрезков %п = {Д(^п+1), 0 < г < ди; А(п), 0 < у < ди+1} образует разбиение окружности (см. [4]). При этом соседние два отрезки из пересекаются одной лишь концевой точкой.
Введем относительные координаты ,0 < г < ди+1, внутри отрезков А(п) и tJ ,0 < у < я , внутри отрезков Д(п+1) по формулам:
г. = Хг~Х , хе Д(п),
г ? г ?
»X* ■ ЗС •
i±qt
n
X — X
t = Xqn±i±J X , X е A(^
j v _ V j
Jx ■ , Jx ■
j ±qn±i j
(5)
Лемма 1. Имеют место следующие равенства:
Xi Tf(XQ ± z(XQ Xqn )) r 1 m
z =-- —, z е[—1;Q]
JC jC
i±q,
n
Academic Research in Educational Sciences VOLUME 2 | ISSUE 11 | 2021
ISSN: 2181-1385
Scientific Journal Impact Factor (SJIF) 2021: 5.723 Directory Indexing of International Research Journals-CiteFactor 2020-21: 0.89
DOI: 10.24412/2181-1385-2021-11-841-847
XJ+4n+\ ~ Tf (X0 + z(x0 ~ xqn )) m
tj = ----—, z е[0; an ] (6)
xj+qn+i — XJ
Доказательство леммы 1. Лемма 1 доказывается прямым вычислением. Если x е А(гп), тогда T—x е A(0n). Используя равенство (3)
получаем: T—x = x0 + z(x0 - x? ) и z е [—1;0]. Из этого
x — x xi — Tf (T f x) xi — Tf (x0 + z(x0 — xqn )) -
z = z (z) = —l-=-—-=--—; Точно также, если
x x., x x., x x •,
1 i+qn 1 i+qn 1 i+qn
x е A(;+1), тогда T—x е A^n+1) и T—x = x0 + z(x0 — 1), z е [0; an ]. Учитывая это получаем
tj = tj (z) =
x.+q - x r - Tj (Tf Jx) x^ - Tj (xn + z(xn - x ))
J+qn+i :+4n+i fv f J :+4n+i fv 0 v 0 9«"
X •, X • X.. X • X.. X •
Лемма 1 доказана.
В настоящем работе, мы найдем соотношение между и , (tJ и 1), а затем покажем, что ^ и ^ являются почти дробно-линейными функциями от ^ и ^ соответственно. Ниже мы всюду предполагаем, что определяющая функция /(х), удовлетворяет условиям (^) - (с4) и число вращения р = р(Тг)
иррационально.
Введем следующие обозначения:
а1 = xi+qn, 7 = X, Д = Т^, X еА(0и). Ясно, что Д ,7 ], 0 < I < ^и+15
1 Д1 1 7|
V а-г |Г(У)(У - ^¥у + V-^ |/"(У)(7 - У)йу
^ _/ (^ )( 7г -Д ) Д|_
1 1 71 '
1+ЖхТ^) ^"(у)(7- Жу
f"( -у) Г?«+1 -1 I
"'n+1 = exp jl М'
= - B - ln
2f'(У) L 2=0
1 + Az.
/ ! . л _ Л 9«+1 -1
l l
1 + A (z -1)
7n+1( Z0) = Z^i
'0,
2=0
a
Academic Research in Educational Sciences VOLUME 2 | ISSUE 11 | 2021
ISSN: 2181-1385
Scientific Journal Impact Factor (SJIF) 2021: 5.723 Directory Indexing of International Research Journals-CiteFactor 2020-21: 0.89
DOI: 10.24412/2181-1385-2021-11-841-847
1.
Теорема 1. Справедливо следующее равенство:
70 ^п+1еХР(7п+1( 70)) 1 + 20(тп+1еХР(Тп+1( 70)) —1
Доказательств. Теорема 1 доказывается прямым вычислением. Ясно, что
qn±i 1 . / / / w ( )
„ —ß „ y±i— Д±! z =-, zi±i =-
r, — а r,±i — а±1
где
= f (а, X
Д±1 = / (ß) = / (а,) ± / Ха )(ß — а,) ± )/"(y)(ß — y)dy.
а,
У
r±i = f (r,) = f (а,) ± f '(а,)(r, — а,) ± jf"(y)(r, — y)dy.
а
Подставляя в выражение для zi+l, получаем:
r ß
f '(а,)(У, — ß) ± j f"(y)(r, — y)dy — jf"(y)(ß — y)dy
z,±i =
r,— а
f '(а,)(У, — а,) ± j f"(y)(r, — y)dy
а
r ß
(ß — а) j f"(y)(r, — y)dy — (У, — а) j f"(y)(ß — y)dy
r, — ß
1 ±
а
f а )(r, — а )(r, — ß) ± (r, — ß) ± j f"(y )(r, — y )dy
а
= z, (1 ± Д. (z, — 1)).
Из это вытекает что
1 — 1 — z — (z — 1) A.z. 1 — z 1 ± A.z. 1 — z
z±1 , \ , /I , , II ,
exp(—В,) • exp(—).
7+1 7 (1 + д. (г -1)) г 1 + 4 (г -1) г Используя это равенство получим:
1 — 2 1 — 7 Г Яп+1-1 1 Г Яп+1-1 1 1 — 7 1
-^ = . ехр]— ехр]— ]►>,[ =--(8)
7Яп+, 70 I г=0 ] I г=0 ] 70 тп+16ХР(^п+1( 70))
Решая уравнение (8) относительно 7? получим доказательство теоремы
Google Scholar Scientific Library of Uzbekistan
Academic Research, Uzbekistan 846 www.ares.uz
a
а
r
Academic Research in Educational Sciences VOLUME 2 | ISSUE 11 | 2021
ISSN: 2181-1385
Scientific Journal Impact Factor (SJIF) 2021: 5.723 Directory Indexing of International Research Journals-CiteFactor 2020-21: 0.89
DOI: 10.24412/2181-1385-2021-11-841-847
REFERENCES
1. Вул Е.Б., Ханин К.М. Гомеоморфизмы окружности с особенностями типа излома// Успехи математических наук. -1990. т.45. вып.3(273).- С.189-190.
2. И.П. Корнфельд, Я.Г.Синай, С.В.Фомин. Эргодическая теория. -М. Наука, 1980.
3. Katznelson Y., Ornstein D. The differentiability of the conjugation of certain diffeomorphisms of the circle// Ergodic Theory Dynam.Systems.-1989.- № 9(4).-P .643-680.
4. Х.К.Каршибоев. Поведение ренормализаций эргодических отображений окружности с изломом// Узб. матем. журнал. - Ташкент, 2009. -№4. -С.82-95.
5. Джалилов А.А., Каршибоев Х.К. Предельные теоремы для времени попаданий отображений окружности с одной точкой излома // Успехи математических наук. - Москва, 2004.- Т. 59. вып. 1(355). С. 185-186.
6. Джалилов А.А., Ханин К.М. Об инвариантной мере для гомеоморфизмов окружности с одной точкой излома// Ж. Функционал анализ и его приложения. -1998.-№32(3).-С.11-21.
7. Каршибоев Х.К. Эргодические отображения окружности с одной точкой излома // ДАН. 2009. №2. С.14-18.
