3Academic Research in Educational Sciences VOLUME 2 | ISSUE 11 | 2021
ISSN: 2181-1385
Scientific Journal Impact Factor (SJIF) 2021: 5.723 Directory Indexing of International Research Journals-CiteFactor 2020-21: 0.89
DOI: 10.24412/2181-1385-2021-11-833-840
ОБ ОДНОМ СЕМЕЙСТВЕ ОТОБРАЖЕНИЕ ОКУРЖНОСТИ С ОДНОЙ
ТОЧКОЙ ИЗЛОМА
Хайрулла Киличевич Каршибоев
к.ф-м.н.,заведуюший кафедры "Высшей математики" Самаркандского
института экономики и сервиса kаrshiboyev@mail. ru
АННОТАЦИЯ
В этом исследовании было исследовано однопараметрическое семейство круговых гомеоморфизмов с единственными точками излома, причем число витков является рациональным, а число циклических траекторий не превышает двух.
Ключевые ^ова: гомеоморфизмов окружности, ренормализация, число вращения.
ON A FAMILY OF CIRCLE MAPPINGS WITH ONE BREAK POINT
ABSTRACT
In this article, we study a one-parameter family of circle homeomorphisms with one break point. It is proved that in the case of a rational rotation number the number of periodic trajectories does not exceed two.
Key words: circle homeomorphism, renormalization, rotation number.
ВВЕДЕНИЕ
Теория гомеоморфизмов окружности составляет одно из важных направлений современной теории нелинейных систем.
Впервые гомеоморфизмы окружности изучались А.Пуанкаре в связи с задачами небесной механики.
Классическая теорема Данжуа утверждает, что диффеоморфизм окружности из класса C 2(S*) топологически сопряжен с линейным поворотом Г , т.е. существует гомеоморфизм р такой, что ро Tf = Tp о р. В теории
одномерных отображений центральной является проблема гладкости
сопряжения < . Для диффеоморфизмов окружности эта проблема была решена
в определенном смысле полностью в конце 1980 -ых годов в работах Синая и
Google Scholar Scientific Library of Uzbekistan
Academic Research, Uzbekistan 833 www.ares.uz
Academic Research in Educational Sciences VOLUME 2 | ISSUE 11 | 2021
ISSN: 2181-1385
Scientific Journal Impact Factor (SJIF) 2021: 5.723 Directory Indexing of International Research Journals-CiteFactor 2020-21: 0.89
DOI: 10.24412/2181-1385-2021-11-833-840
Ханина, Кацнельсона и Орнстейна. При этом существенно использовался метод ренормализационной группы (РГ).
В теории динамических систем метод РГ впервые был использован М.Фейгенбаумом в 1978 году, для построения теории универсальности. Этот метод с успехом применяется для изучения гомеоморфизмов окружности. Синай и Ханин доказали, что ренормализации диффеоморфизмов окружности из класса C2+s (S1), е> 0, с иррациональным числом вращения,
аппроксимируются (в C2 -норме) линейными отображениями.
Важным классом отображений с особенностями являются гомеоморфизмы окружности с изломами. Поведения ренормализаций для гомеоморфизмов окружности из класса C2+s(S1 \{x6}), с одной точкой излома xfe и иррациональным числом вращения изучались Вул и Ханиным. Рассмотрим однопараметрическое семейство отображений единичной окружности [1], [4]:
TQx = {f (x, О)}, x e S1 = [0,1), Оe [0; 1] где скобка {•} - обозначает дробную часть числа, а f (x, О) -удовлетворяет следующим условиям:
a) при фиксированном О, f (x; О) -непрерывная монотонно возрастающая функция;
b) f (0; 0) = 0, f (x +1; О) = f (x; О) +1, для любого x e R1; Л df (x; О)
c) j v > у > const > 0;
дО
d) t0 : [0;1] ^ [0;1] непрерывная кривая;
df (x О)
e) при каждом фиксированном Ое [0;1], '—- > const > 0; для
dx
Vx е S1 \ {0(О)}, f (x; О) е C2+s(S1 \ {t0(О)}), при некотором е > 0 и
/(^(О), О)
f+(to(О), О)
с(О) ф 1.
МЕТОДОЛОГИЯ
В данной статья изучено однопараметрическое семейство гомеоморфизмов окружности с одной точкой излома[1-3]. Доказано, что в
Academic Research in Educational Sciences VOLUME 2 | ISSUE 11 | 2021
ISSN: 2181-1385
Scientific Journal Impact Factor (SJIF) 2021: 5.723 Directory Indexing of International Research Journals-CiteFactor 2020-21: 0.89
DOI: 10.24412/2181-1385-2021-11-833-840
случае рационального числа вращения число периодических траекторий не превышает двух.
ОБСУЖДЕНИЕ И РЕЗУЛЬТАТЫ
Научная статья носит теоретический характер. Полученные результаты и методы используемые в на работы могут быть использованы при исследованиях в нелинейном анализе, гидродинамике и теории универсальности.
Рассмотрим однопараметрическое семейство отображений единичной окружности [1], [4]:
Tox = {f (x, О)}, x е S1 = [0,1), Ое [0; 1] где скобка {•} - обозначает дробную часть числа, а f (x, О) -удовлетворяет следующим условиям:
a) при фиксированном О, f (x; О) -непрерывная монотонно возрастающая функция;
b) f (0; 0) = 0, f (x +1; О) = f (x; О) +1, для любого x е R1;
, df (x; О)
c) J v ' 7 > const > 0;
дО
d) t0 : [0;1] ^ [0;1] непрерывная кривая;
df (x О)
e) при каждом фиксированном Ое [0;1], '—- > const > 0; для
dx
Vx е Sl \ {t0(О)}, f (x; О) е С2+£(S1 \ {^(О)}), при некотором е > 0 и
4МОМО) = с(О), 1. /+(to(О)> О)
Обозначим Ро число вращений, отвечающее f [2-4]:
V f (n)(x, О) рО= lim --——-
n ^<x> n
Из условий d) - e) вытекает, что To x при каждом фиксированном значении параметра имеет только одну точку излома 10(0). Число с(О) называется величиной излома To.
Academic Research in Educational Sciences VOLUME 2 | ISSUE 11 | 2021
ISSN: 2181-1385
Scientific Journal Impact Factor (SJIF) 2021: 5.723 Directory Indexing of International Research Journals-CiteFactor 2020-21: 0.89
DOI: 10.24412/2181-1385-2021-11-833-840
Всюду в дальнейшем мы будем обозначать через f(n) - n -ую суперпозицию функции f. Легко видеть, что рq монотонно (не строго)
зависит от параметра Q. Заметим, что каждому рациональному р = —
q
отвечают невырожденный отрезок (значений Q таких, что Pq = —, в том время
q
как иррациональному р отвечает единственно Q ).
i \ К Р2
q1, q2
с (0,1) - интервал Фария n - го уровня [1], [4]:
Пусть А =
1) P2q\ - P\q2 = 1
крл + ¡р^
2) Все рациональные числа внутри интервала A имеют вид —1-2.
кд\ + Щ 2
Рациональное число с минимальным знаменателем равно ^ + .
q\ + q2
Выберем произвольную точку х0 на окружности и отрезок траектории этой точки ^ = Tixo,0 < I < q\ + q2}. Обозначим А® и А^ отрезки [xo,] и [, ¿0], соответственно. Обозначим также образы этих отрезков под
действием ^ через А(1) и А(2) [4]:
А® = Г А®, А(2) = Г А(02) .
Следующее утверждение было доказано в [4] и в нашей ситуации работает без каких-либо изменений.
Лемма 1. Предположим p(T) е
г \
p1 p2
vq1 q2у
-Ti
Отрезок траектории
^ = Tí^Xo,0 < I < q\ + q2}разбивает окружность на непересекающиеся отрезки А(/}, 0 < I < q2 и А(2), 0 < ] < q\.
Обозначим построенное разбиение £ (A, Xo). Положим V = иаг8 \ 1п f' < да, V = v+11п f'(x0 - 0) + 1п f'(x0 + 0) |,
Academic Research in Educational Sciences VOLUME 2 | ISSUE 11 | 2021
ISSN: 2181-1385
Scientific Journal Impact Factor (SJIF) 2021: 5.723 Directory Indexing of International Research Journals-CiteFactor 2020-21: 0.89
DOI: 10.24412/2181-1385-2021-11-833-840
q = max(qi,q2), p = max(pi, pj). Рассмотрим произвольную траекторию yi = T^yo , Уо e Sl, такую, что yt ф xo = 0, 0 < i < qj.
/
v q у
Лемма 2. Предположим p(T) e
а л /л
^^, p j или p(T) = "
qi + q2 q)
. Тогда
Пусть ^^
pi p2
- q-1 -
ef'(Уг) < ev.
i=0
интервал Фарея n - го ранга [1], а Am,m < n
Vу
некоторой интервал Фарея ранга m, содержащий An. Пусть p(T) е An. Выберем An - произвольным элемент разбиения £(Am, t0), содержащий An. Обозначим через | A |.
_ 1
Лемма 3. Положим Л = (1 + e~v) 2 < 1.
| An |< const..n -m | Am |, | An |< const/1.
Пусть разложение p в непрерывную дробь имеет вид p(f(x, О)) = — = [£ь],К > 2.
q
p p Обозначим I(—) отрезок значения параметра О таких, что р(О) = —.
q q
Зафиксируем некоторой О е I(—) и обозначим f = f О, Tf = Tf . Для
q
p . . рационального числа вращения р = — всегда существует по крайней мере одна
q
периодическая траектория периода q. Пусть {y(i),0 < i < q -1} произвольная периодическая траектория. Обозначим [y1, y2] отрезок, образованный
траекторий {y(i) ,0 < i < q -1} и содержащий особую точку to. Перейдем к перенормированным координатам:
x = У2 + (У1 - У2)z
Academic Research in Educational Sciences VOLUME 2 | ISSUE 11 | 2021
ISSN: 2181-1385
Scientific Journal Impact Factor (SJIF) 2021: 5.723 Directory Indexing of International Research Journals-CiteFactor 2020-21: 0.89
DOI: 10.24412/2181-1385-2021-11-833-840
и определим функцию, отвечающую Tq в перенормированной системе координат:
f(z) = —^~[Tf (У2 + (y1 - y2z)) - y2], z е [0,1]. y1 - У2 f
Обозначим d перенормированную координату точки t0 :
d = (t0 - У2)/(У1 - У2) и определим функцию Fd (*), * е [0,1]:
zc
Fd (z) =
d (1 - c2) + c2 + z (c -1):
z е [0, d]
9 9
d (1 - c2) + zc 2
z е [d, 1]
d (1 - c2) + c + zc (c -1)
Теорема 1. Существует константа с3 > 0 такая, что
f( z) - Fd (z) 2 < с3Г8. (1)
J V 7 dK ' C ([0,]\{d}) 3 V 7
Доказательство. Рассмотрим разбиение окружности, порождённое траекторией (y(i),0 < i < q -1). Обозначим Д0 = [yby2], At = T@A0,1 < i < q -1.
Очевидно TqA0 =A0. Не трудно показать [1], что Д | < const X1,1 < i < q -1. Функцию f (z) можно представить как суперпозицию двух функций /1 и f2,
отвечающих отображениям Tq : Д0 ^ A1, -1: Д1 ^ Aq = Д0. Определим относительные координаты внутри отрезков Ai :
x = Tfy2 + f - Tfy2)z.
Тогда функции /1 и f2 можно записать в виде:
f1(z0 ) = Т^--Г [TQ (y2 + (y1 - y2 ) z0 ) - tq у2]
(tq У1 - tq У2)
f2(z1) =-1-[Td -1(TQУ2 + (tqУ1 - tqУ2)z1) - У2]
У1 - У2
При этом
f (z) = f2 (f( z)). (2)
В работе [1] доказано
<
Academic Research in Educational Sciences VOLUME 2 | ISSUE 11 | 2021
ISSN: 2181-1385
Scientific Journal Impact Factor (SJIF) 2021: 5.723 Directory Indexing of International Research Journals-CiteFactor 2020-21: 0.89
DOI: 10.24412/2181-1385-2021-11-833-840
f2(Zl) -
Mzi
1 + z1(M -1)
< const Л
ns
(3)
С 2 ([0,1])
где
q-1 f-(У)
ln M = Z f f (y) dy--
f==1 A, 2f' (y) y
q-1 f"( y)
Z I dy
ViZo L 2f '(y) y
I fM dy = ln c -I dy
a,
2f'(y)
A,
2f"(y)
(4)
Поскольку
I ^ dy
A„ 2f'(y)y
f2 (Z1)
i n
< const Л , получаем
CZ1
1 + z1(c -1)
< const Л
ns
(5)
С2 ([0,1])
Легко видеть, что функция zo) близка к кусочно-линейной функция
(zo), где
fd (z0) =
Zo
c 2(1 - d) + d
1 9
d(1 - c ) + z0c2 c 2(1 - d) + d
Zo e [0, d]
z0 e [d, 1]
(6)
Поскольку |A0 < const . справедлива оценка: Используя (2)-(6) получаем (1).
Из теоремы 1 вытекает выпуклость f (z) при 0 < c < 1 и вогнутость при c > 1. Действительно, прямым вычислением легко убедится, что
d2 7
-Fd (z) > 2c2 (1 - c), z Ф d при 0 < c < 1
dzz d2
dz2
2
Fd (z) < —- (c -1), z ф d при c > 1
c 3
Положим
N =
11 1 2 ln(—| c - 1|min(—,c ))
sln Л
c
c
3
Academic Research in Educational Sciences VOLUME 2 | ISSUE 11 | 2021
ISSN: 2181-1385
Scientific Journal Impact Factor (SJIF) 2021: 5.723 Directory Indexing of International Research Journals-CiteFactor 2020-21: 0.89
DOI: 10.24412/2181-1385-2021-11-833-840
Обозначим
интервал
/ (p)=
q
Q1(p), Q2(P)
q
q
p
J = [0,1] \ U I( ). Обозначим меру Лебега на [0,1] через X.
0<Р<1 q
Положим
Теперь сформулируем основные результате нашей работы.
Теорема 2. При всех п > N справедливы следующие утверждения:
Р Р
(а) если 0 = 0\(—) или О = О 2( ), то Т^ имеет единственную
q q
периодическую траекторию периода q;
г \
(в) при Ое О\(Р), О2(Р)
V q q
траектории периода д.
существует равно две периодические
REFERENCES
1. K.M.Khanin and E.B.Vul. Circle Homeomorphisms with weak Discontinuities. Advances in Soviet Mathematics, v. 3, 1991, p. 57-98.
2. И.П. Корнфельд, Я.Г.Синай, С.В.Фомин. Эргодическая теория. -М. Наука, 1980.
3. Х.К.Каршибоев. Поведение ренормализаций эргодических отображений окружности с изломом// Узб. матем. журнал. - Ташкент, 2009. -№4. -С.82-95.
4. Вул Е.Б., Ханин К.М. Гомеоморфизмы окружности с особенностями типа излома// Успехи математических наук. -1990. т.45. вып.3(273).- С.189-190.
5. Джалилов А.А., Каршибоев Х.К. Предельные теоремы для времени попаданий отображений окружности с одной точкой излома // Успехи математических наук. - Москва, 2004.- Т. 59. вып. 1(355). С. 185-186.
6. Джалилов А.А., Ханин К.М. Об инвариантной мере для гомеоморфизмов окружности с одной точкой излома// Ж. Функционал анализ и его приложения. -1998.-№32(3).-С.11-21.
7. Синай Я.Г. Современные проблемы эргодической теории. - М.: Издательская фирма "Физико-математическая литература", 1995.
8. Каршибоев Х.К. Эргодические отображения окружности с одной точкой излома // ДАН. 2009. №2. С.14-18.
q
