9ACADEMIC RESEARCH IN EDUCATIONAL SCIENCES VOLUME 2 | ISSUE 8 | 2021
ISSN: 2181-1385
Scientific Journal Impact Factor (SJIF) 2021: 5.723 Directory Indexing of International Research Journals-CiteFactor 2020-21: 0.89
DOI: 10.24412/2181-1385-2021-8-120-127
СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ ОБОБЩЕННОГО РЕШЕНИЯ ОДНОЙ ЗАДАЧИ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА С ДИВЕРГЕНТНОЙ ГЛАВНОЙ ЧАСТЬЮ
А. З. Маматов
профессор кафедры «Математика и информатика» Ташкентского института текстильного и легкого промышленности
Г. Х. Джумабаев
Заведующий кафедры «Математика и информатика» Ташкентского института
текстильного и легкого промышленности
АННОТАЦИЯ
В статье рассмотрена одна неклассическая квазилинейная задача параболического типа на плоскости, когда граничное условие содержит производную по времени от искомой функции. Построено приближенное решение метода Галеркина рассматриваемой задачи. Доказана существования и единственность обобщенного решения задачи в пространстве Н 1 - 1 ( Qт) [1,2,3,4].
Ключевые слова: математика, наука, функция, координата, дифференция.
Рассмотрим квазилинейную задачу параболического типа, когда граничное условие содержит производную по времени от искомой функции [1,2,5,6,7]:
iut — -^-CLiix, t, и, Vii) + а(х, t,u, Vii) = 0 ,
ut + щ (х, t, и, Vu) cos (v,Xj) = д (x,t,u), (x,t)£St , (1)
u(x, 0) = u0(x) , x £ П
где
Предположим, что выполнены следующие условия: А. П р и (х, t, u, р ) £ (Я х [ О, Т]х Е1х Е2} фун к ц и и а;(х, t, и, р) , а(х, t, и, р) измеримы по (х, t, и, р), непрерывны по (t, и, р) и удовлетворяют неравенствам
|аI(х, t, и, р)| < С(|Р| + |i/|k) + (р 1 (х, t) , (р 1 £ L2(Qт) , i = 1 , 2 (2)
здесь
д а
ди
ACADEMIC RESEARCH IN EDUCATIONAL SCIENCES VOLUME 2 | ISSUE 8 | 2021
ISSN: 2181-1385
Scientific Journal Impact Factor (SJIF) 2021: 5.723 Directory Indexing of International Research Journals-CiteFactor 2020-21: 0.89
DOI: 10.24412/2181-1385-2021-8-120-127
la (x, t,u,p)l < С UPI2 -£ + lUlk) + p 2(x, t) , p 2e L q( Q T), (3)
где IPI = (I™tp2)i k<o,£>0, q>l
Б. Функции ai(x, t,u,p) имеют вид [9,10,11,12,13]: ai (x , t , u, p) = ai (x , t , u, p) + ai (x , p) (4)
ai (x , t , u, p) = —--,
°Pi
д CL
< С(|u|22 + Ipl2) + p3 (x, t) , p3E L±(Qt) < С(lul2 + Ipl) + p4(x, t) , pAE L2(Qt) (5)
r>0 , f a(x,t,u,Vu)dx
В. Условие параболичности. Для любой гладкой функции U(x,t) справедливо неравенство [14,15,16,17,18].
f Qra i (x, V U) Utx .dxdt > v\\V ЩЦ 2 (n) (6)
где v -положительная постоянная.
Г. Условие монотонности. Для любых функций u,v < Н1 (а;(х, t, и, Vu) - а^х, t, V, Vv), их. - vx.)n +
(7)
Д. При (x , t , u) Е [П X [о, Т] XEJ ф у н к ц и я g (x , t , u) н e п p e p ыв н а п о (t,u) и удовлетворяет неравенству:
Ig(x, t,u) — g(x,t,v)l < g0lu-vl, g(x, t , 0 ) Е L2(St) (8)
Определение. Обобщенным решением из пространства Н 1 - 1 (QT) = [u Е Н1 1( QT): ut Е L2(ST)} задачи (1) назовем функцию из Н 1 1( QT) удовлетворяющую тождеству
j (utTj + at(x, t , u, Vu)T]xi + a(x, t, u, Vu)i]) dxdt +
Qt
f (9)
>T
Построим приближенное решение по Галеркину [3,4]. Возьмем
координатную систему из пространства . Приближенное решение U(x,t) будем искать в виде [19,20,21,22,23]
ACADEMIC RESEARCH IN EDUCATIONAL SCIENCES VOLUME 2 | ISSUE 8 | 2021
ISSN: 2181-1385
Scientific Journal Impact Factor (SJIF) 2021: 5.723 Directory Indexing of International Research Journals-CiteFactor 2020-21: 0.89
DOI: 10.24412/2181-1385-2021-8-120-127
n
U (x,t) = ^cn( t) p k (x)
k=1
где С П ( t) определяются из системы обыкновенных дифференциальных уравнений
(U t> P j) L2 + (ai (x, t , U , V U), p jx.)a + (a(x , t , U , V U), p j)a= = (g(x, t, U), p j)s , j = l,n (10)
и начальных условий
U{x, О) - i/0 - "мало" Если система {p k} ортонормированна в метрике L2(f2), то система (10) принимает вид
Cf = fjn (t,c?,..,cz), (11)
где f}n(t, Cl ..,Сп) = -Мх, t, U, Vi/), pjx.)n - (а(х, t, U, Vi/), <pj)n + (g(x, t, U),pj)s
Условие А обеспечивает существование и непрерывность функции f n (t , СП , ■ ■, СП) п о t и С П. Поэтому для существования, по крайней мере одного решения задачи (11) на всем интервале [O,T] достаточно знать все возможные решения равномерно ограничены. Такая ограниченность следует из априорной оценки [19,20,21,22,23]
max \\U(x,t)\\2 t2 + \\Ut(x,t)\\l2(oTrL2) + max \\VU(x,t)W\2<N (12)
где N-постоянная, не зависящая от n. Отсюда получим неравенство
max\\Cn(t)\\2 =max\\U(x,^{a)<N, Cn = {СП(t)}l=г Займемся теперь предельным переходом по п оо . Из оценки (12) следует, что найдется такая функция u (x, t) Е Н 1 Л( QТ) и такая под последовательность U(x,t), что функции U(x,t) сходятся к u(x,t) слабо в норме Н1 1 (QТ) и функции Ut сходятся к иt в L2(St). Так как вложения Н1 1 (QТ) Е компактны, то U(x,t) (x,t) сильно в и в . Из этой
сходимости следует сходимость U(x,t) к u(x,t) в и в для почти всех t
из [O,T] и почти всюду в Qt USt. Кроме того, по теореме вложения, следует сильная сходимость U(x,t) в , и слабая сходимость в
[24,25,26,27,28].
ACADEMIC RESEARCH IN EDUCATIONAL SCIENCES VOLUME 2 | ISSUE 8 | 2021
ISSN: 2181-1385
Scientific Journal Impact Factor (SJIF) 2021: 5.723 Directory Indexing of International Research Journals-CiteFactor 2020-21: 0.89
DOI: 10.24412/2181-1385-2021-8-120-127
Далее, из условия А следует, что функции ai (x,t,U,VU) i = 1,a и
имеют равномерно ограниченные нормы в пространствах
L2 (Qt) и L1 (QT) соответственно. Ввиду этого положим, что вся
последовательность сходится слабо в и
элементам пространства и функции сходятся слабо
к A(x,t)Е L^ QT) в пространстве L1 (QT) [29,30,31,32].
Обозначим через совокупность линейных комбинаций вида
i
W (x,t) = ^d k (t) p k (x)
k=1
где dk (t) -произвольные гладкие на отрезке [O,T] функции. Умножая соотношения (10) на dk (t) суммируя по к от 1 до l и интегрируя от 0 до t,
находим, что для любой функции справедливо равенство
j j ]
J 0 JQt
j
(13)
Перейдем к пределу по . В результате чего получаем:
f0T(U t, Wl2dt + f qT[Ai (x, t)Wx. + A(x, t)Щ dxdt = fsT g(x, t, u) Wdxdt
(14)
Так как UiLплотно в Н1 ■ 0( QT), то выполнив в (14) замыкание по W получаем, что равенство (1 4) справедливо для любой функции .
Из равенства (14) получим, что функция U(x,t) есть искомое обобщенное решение.
Докажем единственность решения. Пусть два решения
задачи (9), тогда их разность U ^^ — U 2 удовлетворяет соотношению
ACADEMIC RESEARCH IN EDUCATIONAL SCIENCES VOLUME 2 | ISSUE 8 | 2021
ISSN: 2181-1385
Scientific Journal Impact Factor (SJIF) 2021: 5.723 Directory Indexing of International Research Journals-CiteFactor 2020-21: 0.89
DOI: 10.24412/2181-1385-2021-8-120-127
f d(Ut - U2) f d(Ut - U2)
I 1 (i/i - i/2)dx dt + a0 I 1 2 (i/i - i/2) dx dt
Qt
+ J {[af(x, t, Ui, VU - a(x, t, i/2, VU 2 )](Ui - i/2)x.
Qt
+ [a(x, t, Ux, V Ux) - a (x, t, U2 , V U2) ]( Ux - U2) } dx dt
= J [flf(x, t, UJ - # (x, t, U2) ] ( Ux - U2) dx d t
st
Воспользовавшись условиями (5) и (7), получим J ( Ui - U2) 2 dx + a0 J J № - U2) 2 dx S 2 J J ( Ui - U2) 2 dxdt
/2 S Й /2
Следовательно Ux = U2. Таким образом, доказана:
ТЕОРЕМА. Если выполнены условия А-Д, то существует единственное обобщенное решение задачи (1) в пространстве Н 1 - 1 ( Q т) .
REFERENCES
1. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа// М.-Наука,-1967.-736 С.
2. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа// М.-Наука,-1973.-576 С.
3. Михлин С.Г. Численная реализация вариационных методов//М.-Наука, -1966.-432 С.
4. Маматов А.З. Применения метода Галеркина к некоторому квазилинейному уравнению параболического типа// Вестник ЛГУ,-1981.-№13.-С.37-45.
5. Кудинов В, Карташов Э, Калашников В. Теория тепломассопереноса: решение задач для многослойных конструкций. М.-« Юрайт». -2018.-435 с.
6. Rakhimov, S., Seytov, A., Nazarov, B., Buvabekov, B., Optimal control of unstable water movement in channels of irrigation systems under conditions of discontinuity of water delivery to consumers. IOP Conf. Series: Materials Science and Engineering 883 (2020) 012065, Dagestan, 2020, IOP Publishing DOI: 10.1088/1757-899X/883/1/012065 (№5, Scopus, IF=4,652)
ACADEMIC RESEARCH IN EDUCATIONAL SCIENCES VOLUME 2 | ISSUE 8 | 2021
ISSN: 2181-1385
Scientific Journal Impact Factor (SJIF) 2021: 5.723 Directory Indexing of International Research Journals-CiteFactor 2020-21: 0.89
DOI: 10.24412/2181-1385-2021-8-120-127
7. A. Kabulov, I. Normatov, A. Seytov and A. Kudaybergenov, "Optimal Management of Water Resources in Large Main Canals with Cascade Pumping Stations," 2020 IEEE International IOT, Electronics and Mechatronics Conference (IEMTRONICS), Vancouver, BC, Canada, 2020, pp. 1-4, DOI: 10.1109/IEMTRONICS51293.2020.9216402 (№ 5, Scopus, IF= 9.936).
8. Shavkat Rakhimov, Aybek Seytov, Nasiba Rakhimova, Bahrom Xonimqulov. Mathematical models of optimal distribution of water in main channels. 2020 IEEE 14th International Conference on Application of Information and Communication Technologies (AICT), INSPEC Accession Number: 20413548, IEEE Access, Tashkent, Uzbekistan, D0I:10.1109/AICT50176.2020.9368798 (AICT) pp. 1-4,(№ 5, Scopus, IF=3,557)
9. A.V. Kabulov, A.J. Seytov, A.A. Kudaybergenov, Classification of mathematical models of unsteady water movement in the main canals of irrigation systems, International Journal of Advanced Research in Science, Engineering and Technology Vol. 7, Issue 4, April 2020, ISSN: 2350-0328, India, pp. 13392- 13401.(№ 5, Web of science, IF=3,98)
10. Sh.Kh.Rakhimov, A.J. Seytov, A.A. Kudaybergenov, Optimal control of unsteady water movement in the main canals. International Journal of Advanced Research in Science, Engineering and Technology Vol. 7, Issue 4, April 2020, India, ISSN: 2350-0328, pp. 13380-13391. (№ 6, Web of science, IF=3,98).
11. A.J. Seytov, A.R. Kutlimuradov, R.N. Turaev,N.K. Muradov,A.A. Kudaybergenov, Mathematical model of optimal control of the supply canal to the first pumping station of the cascade of the Karshi main canal. International Journal of Advanced Research in Science, Engineering and Technology Vol. 8, Issue 3, March 2021. India. ISSN: 2350-0328. pp. 16790- 16797. (№5, web of science IF=6,646)
12. A. V. Kabulov, A. J. Seytov & A. A. Kudaybergenov. Mathematical models of the optimal distribution of water in the channels of irrigation systems. International Journal of Mechanical and Production Engineering Research and Development (IJMPERD) ISSN(P): 2249-6890; ISSN(E): 2249-8001 Vol. 10, Issue 3, Jun 2020, pp. 14193-14202 (№5 Scopus IF = 9.6246)
13. Sh. Kh. Rakhimov, A. J. Seytov, D. K. Jumamuratov & N. K. Rakhimova. Optimal control of water distribution in a typical element of a cascade of structures of a machine canal pump station, hydraulic structure and pump station. India. International Journal of Mechanical and Production Engineering Research and Development (IJMPERD) ISSN (P): 2249-6890; ISSN (E): 2249-8001 Vol. 10, Issue 3, Jun 2020, pp. 11103-11120. (№5 Scopus IF = 9.6246)
ACADEMIC RESEARCH IN EDUCATIONAL SCIENCES VOLUME 2 | ISSUE 8 | 2021
ISSN: 2181-1385
Scientific Journal Impact Factor (SJIF) 2021: 5.723 Directory Indexing of International Research Journals-CiteFactor 2020-21: 0.89
DOI: 10.24412/2181-1385-2021-8-120-127
14. А.СЕЙТОВ. Оптимальные методы управления водных ресурсов в крупных магистральных каналах ирригационных систем. AGRO ILM - O'ZBEKISTON QISHLOQ VA SUV XO'JALIGI. Махсус сон. 2020. Ташкент. Стр. 84-86.
15. Mekhriban Salaeva, Kakhramon Eshkaraev, Aybek Seytov. Solving mathematical problems in unusual ways with excellent limits. European Scientific Conference. Пенза, 17 мая 2020 года рр. 254-257.
16. Рахимов Ш. Х., Сейтов А. Ж., Кудайбергенов А. А. Критерии управления задач оперативного управления водными ресурсами объектов водохозяйственных систем. Abstracts of IX International Scientific and Practical Conference Kharkiv, Ukraine 2-4 August 2020. Стр. 125-131.
17. Сейтов А. Ж., Кудайбергенов А. А., Хонимкулов Б. Р. Моделирования двумерного неустановившегося движения воды на открытых руслах на основе проекционного метода. сборник докладов Республиканской научно-технической конференции «Инновационные идеи в разработке информационно-коммуникационных технологий и программных обеспечений» 15-16 мая 2020 года. САМАРКАНД. Стр. 60-63.
18. Рахимов Ш.Х., Сейтов А.Ж. Теоретико-множественная модель насосной станции, оснащенная осевыми поворотно-лопастными насосными агрегатами. Материалы республиканской научной онлайн конференции молодых ученых «современные проблемы математики и прикладной математики» посвященной 100 летию академика С.Х.Сираждинова (21 мая 2020 г.) Стр. 78-82.
19. A.J.Seytov, A.J. Khurramov, S.N.Azimkulov, M.R.Sherbaev, A.A.Kudaybergenov. S.Kh.Khasanova. International Journal of Advanced Research in Science, Engineering and Technology. T. 8 №2 ISSN: 2350-0328. Pp. 1717717185.
20. A.A. Kudaybergenov A.J. Seytov, A.R. Kutlimuradov, R.N. Turaev, N.K. Muradov. Mathematical model of optimal control of the supply canal to the first pumping station of the cascade of the Karshi main canal. International Journal of Advanced Research in Science, Engineering and Technology. T. 8 № 3 pp. 1679016797.
21. А.Ж. Сейтов, Б.Р. Ханимкулов, М.А. Гаипов, М.Р. Юсупов. Зарфшон дарёси окимининг хрсил булишига атмосфера ёгинлари ва хдво хдроратининг таъсири. Academic research in educational sciences. T.2 №5. Стр. 156-162.
22. АЖ Сейтов, БР Ханимкулов, М Гаипов, О Хамидуллаева, НК Мурадов. Численные алгоритмы решения задач оптимального управления объектами
ACADEMIC RESEARCH IN EDUCATIONAL SCIENCES VOLUME 2 | ISSUE 8 | 2021
ISSN: 2181-1385
Scientific Journal Impact Factor (SJIF) 2021: 5.723 Directory Indexing of International Research Journals-CiteFactor 2020-21: 0.89
DOI: 10.24412/2181-1385-2021-8-120-127
каршинского магистрального канала. Academic research in educational sciences. T. 2 № 3 pp. 1145- 1145.
23. А.В. Кабулов, А.Ж. Сейтов, А.А. Кудайбергенов. Критерий управления задач оперативного управления водными ресурсами объектов водохозяйственных систем. ILIM ham JAMIYET. Стр. 6-8
24. А. Ж. Сейтов А. Р. Кутлимурадов Р. Н. Тураев Э. М. Махкамов Б. Р. Хонимкулов. Оптимальные управления водных ресурсов крупных магистральных каналов с каскадом насосных станций ирригационных систем. Academic research in educational sciences volume 2 | ISSUE 2 | 2021 ISSN: 21811385 Scientific Journal Impact Factor (SJIF) 2021: 5.723 DOI: 10.24411/2181-13852021-00193. Стр. 265- 273.
25. A Zh Seitov, BR Khanimkulov. Mathematical models and criteria for water distribution quality in large main irrigation canals. Academic research in educational sciences. Uzbekistan. Ares.uz. Vol. 1. №2, 2020. ISSN 2181-1385. Pp.405-415. (№5, web of science IF=5.723)
