7ACADEMIC RESEARCH IN EDUCATIONAL SCIENCES VOLUME 2 | ISSUE 6 | 2021
ISSN: 2181-1385
Scientific Journal Impact Factor (SJIF) 2021: 5.723 DOI: 10.24412/2181-1385-2021-6-1260-1266
СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ ОБОБЩЕННОГО РЕШЕНИЯ ОДНОЙ ЗАДАЧИ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА С ДИВЕРГЕНТНОЙ ГЛАВНОЙ ЧАСТЬЮ
А. З. Маматов
Профессор Ташкентского института текстильной и легкой промышленности
Г. Х. Джумабаев
Заведующий кафедры Ташкентского института текстильной и легкой
промышленности
АННОТАЦИЯ
В статье рассмотрена одна неклассическая квазилинейная задача параболического типа на плоскости, когда граничное условие содержит производную по времени от искомой функции. Построено приближенное решение метода Галеркина рассматриваемой задачи. Доказана существования и единственность обобщенного решения задачи в пространстве Н 1 - 1 ( Q т) [1,2,3,4].
Ключевые слова: существование, единственность, решение, задача, параболический тип, дивергентная главная часть.
ВВЕДЕНИЕ
Рассмотрим квазилинейную задачу параболического типа, когда граничное условие содержит производную по времени от искомой функции [1,2,5,6,7]:
ut —— а; (х, t, u, Vu) + а(х, t, u, Vu) = 0 ,
dxj
ut + aA (x, t, u, V u) с о s (v, xi) = g(x, t, u), (x,t)£St , (1)
u(x,0) = u0(x) , x£il
где
Предположим, что выполнены следующие условия:
А. П р и (x, t, u, р ) £ { Ах [ О , Т] х Е1 хЕ 2} Ф У н к ц и и aj(x, t, u, р) , а(х, t, u, р) измеримы по (х, t, и, р), непрерывны по (t, и, р)
ACADEMIC RESEARCH IN EDUCATIONAL SCIENCES VOLUME 2 | ISSUE 6 | 2021
ISSN: 2181-1385
Scientific Journal Impact Factor (SJIF) 2021: 5.723 DOI: 10.24412/2181-1385-2021-6-1260-1266
и удовлетворяют неравенствам
к (x,t,u,p)| < С(|Р| + |U|k) + ф1(хД) , ф1 е L2 (Qt) , i = 1,2 |а(x,t,u,p )| < С(|Р|2 - 6 + |U|k) + Ф2 (x,t) , Ф2 е L q ( Qt) ,
где |Р| = (Egip 2 ) i k< oo,£ > 0 , q > 1
Б. Функции aj (x,t, u, p ) имеют вид [9,10,11,12,13]: a j (x, t, u, p ) = a j (x, t, u , p ) + a j (x, p )
здесь
a j (x, t, u ,p ) =
д a (x,t, u,p ) dii ,
a
at
< С (|u|2r + |p|2 ) + ф3 (x,t) , Ф3 е Li ( Qt)
a
du
< С (|u|r + |p|) + ф4 (x,t) , ф4 е L 2 ( Qt)
r > 0 , Jn a (x, t, u, Vu) dx
0
> 0
(2)
(3)
(4)
(5)
ЛИТЕРАТУРНЫЙ АНАЛИЗ И МЕТОДОЛОГИЯ
В. Условие параболичности. Для любой гладкой функции U(x,t) справедливо неравенство [14,15,16,17,18].
JQTSi (х, VU) UtXidxdt > vyvuy22 (n) (6)
где v -положительная постоянная.
Г. Условие монотонности. Для любых функций u, v < Н 1
(а,(х, t, u, Vu) - а,(х, t, v, Vv), ux, - vX|)fi + +(a(x> ^ ^ ^ _ ^ ^ y> w)j ц _ ^ >
0 (7)
Д. При (x,t,u) £ { fix [ о ,T ] xE-J ф у н к ци я g (x,t,u ) н e п p e p ы в н а п о (t, u) и удовлетворяет неравенству:
ACADEMIC RESEARCH IN EDUCATIONAL SCIENCES VOLUME 2 | ISSUE 6 | 2021
ISSN: 2181-1385
Scientific Journal Impact Factor (SJIF) 2021: 5.723 DOI: 10.24412/2181-1385-2021-6-1260-1266
|g (x, t, u) - g (x, t, v) | < g о |U - v|, g (x, t, 0 ) £ L 2 ( S T) (8)
Определение. Обобщенным решением из пространства Н 1 - 1 ( Q T) = {u £ Н 1 1( QT): ut £ L2(St)} задачи (1) назовем функцию из Н 1 1 ( QT) удовлетворяющую тождеству
J ( utr| + a i (x, t, u, V u ) r| xi + a ( x, t, u, V u ) r| ) d x d t +
Qt
+ L. (ut-g(x,t,u) ) | dxdt = 0 (9)
Построим приближенное решение по Галеркину [3,4]. Возьмем координатную систему из пространства Н 1. Приближенное решение и(хД) будем искать в виде [19,20,21,22,23]
U (x,t) = ^C g (t) Ф k (x)
k=i
где С g (t) определяются из системы обыкновенных дифференциальных уравнений
( U t, Ф) ) l2 + ( a i (x, t, U , V U ) , ф j x) n + (a (x, t, U , V U ) , ф) ) n=
= & (хд,и ) ф ) 5 , ] = 1,п (10)
и начальных условий
и(х, О) — и0 - "мало"
Если система (ф ортонормированна в метрике Ь 2 (П ) , то система (10) принимает вид
с п = ^п (и,с п,..,с п), (11)
где С1.., С£) = -(а1(х, И, и, VII), Ф)х.)п - (а(х, И, и, VII), + (е(хд,и),фз)8
Условие А обеспечивает существование и непрерывность функции
ACADEMIC RESEARCH IN EDUCATIONAL SCIENCES VOLUME 2 | ISSUE 6 | 2021
ISSN: 2181-1385
Scientific Journal Impact Factor (SJIF) 2021: 5.723 DOI: 10.24412/2181-1385-2021-6-1260-1266
/уп ( t, С™,.., СП) по t и С П. Поэтому для существования, по крайней мере одного решения задачи (11) на всем интервале [O,T] достаточно знать все возможные решения равномерно ограничены. Такая ограниченность следует из априорной оценки [19,20,21,22,23]
max ||£/(x,t)||2£ + ||/(х,t)||2 + max ||7i/(x,t)H2£2 < N (12)
РЕЗУЛЬТАТЫ И ОБСУЖДЕНИЕ
Займемся теперь предельным переходом по п — оо . Из оценки (12) следует, что найдется такая функция u (х, ¿)еЯ 1 2( (т) и такая под последовательность ЩхД), что функции ЩхД) сходятся к u(x,t) слабо в норме Я 1 1 ( (т) и функции / сходятся к ис в Ь2(5с). Так как вложения Я 1 1 ( ( т) £ Ь 2( ( с) ,Ь 2(5с) компактны, то U(x,t) — и(хД) сильно в Ь 2 (5С) и в Ь 2( ( с) . Из этой сходимости следует сходимость U(x,t) к u(x,t) в Ь 2 (22 ) и в Ь 2 (5) для почти всех t из [0,Т] и почти всюду в ( с // 5с. Кроме того, по теореме вложения, следует сильная сходимость и(хД) в Ь ( ( т) , д* < д = 2 и слабая сходимость в Ь (?( ( т) [24,25,26,27,28].
Далее, из условия А следует, что функции а ^ (х, Г7//) I = 1,2 и имеют равномерно ограниченные нормы в пространствах Ь 2( ( с) и Ь 1. ( ( г) соответственно. Ввиду этого положим, что вся последовательность сходится слабо в и
элементам пространства и функции сходятся слабо
к А(хД)£ Ь 1(( г) в пространстве Ь 1 ( (г) [29,30,31,32].
Обозначим через Р г совокупность линейных комбинаций вида
I
где й к ( -произвольные гладкие на отрезке [0,Т] функции. Умножая соотношения (10) на й к ( суммируя по к от 1 до 1 и интегрируя от 0 до находим, что для любой функции справедливо равенство
где N-постоянная, не зависящая от n. Отсюда получим неравенство
max||C п(t)||2 = mgx||// (х,t)Mi2W<N, Сп = {Cfcn(t) }£
=i
fe=i
ACADEMIC RESEARCH IN EDUCATIONAL SCIENCES VOLUME 2 | ISSUE 6 | 2021
ISSN: 2181-1385
Scientific Journal Impact Factor (SJIF) 2021: 5.723 DOI: 10.24412/2181-1385-2021-6-1260-1266
[ ( Ut,W) T2d t+ [ a;(x,t,U,V U) +a (x, t, U, V U) W]dxd t =
Jo JQt
= I g (x, t, //) Жdx d t
Jst
(13)
Перейдем к пределу по п — оо. В результате чего получаем: /0Т( Ю) t + /^[Л * (х, О И^ + Л (х, О Ж] t
(14)
Так как и^^ ^е плотно в Я 1 ■ 0( @ т) , то выполнив в (14) замыкание по W получаем, что равенство (14) справедливо для любой функции И £ Я 1 '0 ( @ т) . Из равенства (14) получим, что функция U(x,t) есть искомое обобщенное решение.
Докажем единственность решения. Пусть /^ ( х, £), //2(х, £) два решения задачи (9), тогда их разность /^ — //2 удовлетворяет соотношению
I 9( t /2)(^ " ^ dx d t + ao J 9( ^t U 2 ) (//i - //2 ) dx d t
Qt st
+ | {[af(x, t, //i, 17 //i) - (x, t, //2, F //2 ) ]( //i - //2)
Qt
+ [a (x, t, //^ 17 /^ ) - a (x, t, //2,17 //2 ) ]( /^ - //2) } dx d t
= | [g (x, t, //i) - g (x, t, //2) ] ( //i - /2) dx d t
st
Воспользовавшись условиями (5) и (7), получим
J ( tfi - ад 2 dx + ao / J (//i - ) 2 dx * 2 go //с tfi - //2) 2 dxdt
Л S Л Л
Следовательно //i = //2.
ACADEMIC RESEARCH IN EDUCATIONAL SCIENCES VOLUME 2 | ISSUE 6 | 2021
ISSN: 2181-1385
Scientific Journal Impact Factor (SJIF) 2021: 5.723 DOI: 10.24412/2181-1385-2021-6-1260-1266
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Таким образом, доказана:
Теорема. Если выполнены условия А-Д, то существует единственное обобщенное решение задачи (1) в пространстве Н 1 - Q т) .
REFERENCES
1. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа// М.-Наука,-1967.-736 С.
2. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа// М.-Наука,-1973.-576 С.
3. Михлин С.Г. Численная реализация вариационных методов//М.-Наука,-1966.-432 С.
4. Маматов А.З. Применения метода Галеркина к некоторому квазилинейному уравнению параболического типа// Вестник ЛГУ,-1981.-№13.-С.37-45.
5. Кудинов В, Карташов Э, Калашников В. Теория тепломассопереноса: решение задач для многослойных конструкций. М.-« Юрайт». -2018.-435 с.
6. Shavkat Rakhimov, Aybek Seytov, Nasiba Rakhimova, Bahrom Xonimqulov. Mathematical models of optimal distribution of water in main channels. 2020 IEEE 14th International Conference on Application of Information and Communication Technologies (AICT), INSPEC Accession Number: 20413548, IEEE Access, Tashkent, Uzbekistan, D0I:10.1109/AICT50176.2020.9368798 (AICT) pp. 1-4,(№ 5, Scopus, IF=3,557)
7. А.У. Kabulov, A.J. Seytov, A.A. Kudaybergenov, Classification of mathematical models of unsteady water movement in the main canals of irrigation systems, International Journal of Advanced Research in Science, Engineering and Technology Vol. 7, Issue 4, April 2020, ISSN: 2350-0328, India, pp. 13392- 13401.(№ 5, Web of science, IF=3,98)
8. Sh.Kh.Rakhimov, A.J. Seytov, A.A. Kudaybergenov, Optimal control of unsteady water movement in the main canals. International Journal of Advanced Research in Science, Engineering and Technology Vol. 7, Issue 4, April 2020, India, ISSN: 23500328, pp. 13380-13391. (№ 6, Web of science, IF=3,98).
9. A.J. Seytov, A.R. Kutlimuradov, R.N. Turaev,N.K. Muradov,A.A. Kudaybergenov, Mathematical model of optimal control of the supply canal to the first pumping station of the cascade of the Karshi main canal. International Journal of Advanced Research in Science, Engineering and Technology Vol. 8, Issue 3, March 2021. India. ISSN: 2350-0328. pp. 16790- 16797. (№5, web of science IF=6,646)
ACADEMIC RESEARCH IN EDUCATIONAL SCIENCES VOLUME 2 | ISSUE 6 | 2021
ISSN: 2181-1385
Scientific Journal Impact Factor (SJIF) 2021: 5.723 DOI: 10.24412/2181-1385-2021-6-1260-1266
10. А. V. Kabulov, A. J. Seytov & A. A. Kudaybergenov. Mathematical models of the optimal distribution of water in the channels of irrigation systems. International Journal of Mechanical and Production Engineering Research and Development (IJMPERD) ISSN(P): 2249-6890; ISSN(E): 2249-8001 Vol. 10, Issue 3, Jun 2020, pp. 14193-14202 (№5 Scopus IF = 9.6246)
11. Sh. Kh. Rakhimov, A. J. Seytov, D. K. Jumamuratov & N. K. Rakhimova. Optimal control of water distribution in a typical element of a cascade of structures of a machine canal pump station, hydraulic structure and pump station. India. International Journal of Mechanical and Production Engineering Research and Development (IJMPERD) ISSN (P): 2249-6890; ISSN (E): 2249-8001 Vol. 10, Issue 3, Jun 2020, pp. 11103-11120. (№5 Scopus IF = 9.6246)
12. Сейтов А. Ж., Кудайбергенов А. А., Хонимкулов Б. Р. Моделирования двумерного неустановившегося движения воды на открытых руслах на основе проекционного метода. сборник докладов Республиканской научно-технической конференции «Инновационные идеи в разработке информационно-коммуникационных технологий и программных обеспечений» 15-16 мая 2020 года. САМАРКАНД. Стр. 60-63.
13. Рахимов Ш.Х., Сейтов А.Ж. Теоретико-множественная модель насосной станции, оснащенная осевыми поворотно-лопастными насосными агрегатами. Материалы республиканской научной онлайн конференции молодых ученых «современные проблемы математики и прикладной математики» посвященной 100 летию академика С.Х.Сираждинова (21 мая 2020 г.) Стр. 78-82.
14. A Zh Seitov, BR Khanimkulov. Mathematical models and criteria for water distribution quality in large main irrigation canals. Academic research in educational sciences. Uzbekistan. Ares.uz. Vol. 1. №2, 2020. ISSN 2181-1385. Pp.405-415. (№5, web of science IF=5.723)
15. А.В.Кабулов, А.Ж.Сейтов, А.А.Кудайбергенов, Критерий управления задач оперативного управления водными ресурсами объектов водохозяйственных систем. ILIM ham JAMIYET. science and society Scientific-methodical journal Series: Natural-technical sciences. Social and economic sciences. Philological scienes №2 2020. Pp.6-7.
