CC BY
39
нализ и синтез систем управления
УДК 621.86
ПЕРЕМЕЩЕНИЕ ГРУЗОВОЙ ТЕЛЕЖКИ МОСТОВОГО КРАНА В РЕЖИМЕ ПОДАВЛЕНИЯ НЕУПРАВЛЯЕМЫХ КОЛЕБАНИЙ ГРУЗА
М.С. Корытов
Решена последовательность задач однопараметрической оптимизации для нахождения программного управления точкой подвеса груза мостового крана в задаче терминального наведения. Рассмотрена проблема раскачивания груза, перемещаемого мостовым краном. Предложен способ решения задачи перемещения грузовой тележки мостового крана на заданное расстояние, при котором происходит полное подавление неуправляемых маятниковых пространственных колебаний груза на канатном подвесе. Применен принцип пересчета временной зависимости углов отклонения грузового каната от вертикали в зависимости ускорений, скоростей и перемещений точки подвеса груза на грузовой тележке. Учтены кинематические ограничения на перемещения точки подвеса груза в виде максимально достижимых ускорений и скоростей моста и грузовой тележки крана.
Ключевые слова: мостовой кран, траектория груза, гашение колебаний, раскачивание.
ВВЕДЕНИЕ
Перемещение грузов мостовыми кранами (МК) с нежестким канатным подвесом груза вызывает маятниковые колебания груза, в которых присутствует неуправляемая компонента. Колебания значительно увеличивают время цикла МК, снижают производительность и безопасность работ [1—3]. Возрастает опасность столкновения груза с объектами, присутствующими в зоне перемещений, при этом вероятны повреждения груза, других объектов и самого МК. В связи с этим целесообразно полное подавление неуправляемой компоненты маятниковых колебаний груза как при его перемещении, так и при достижении грузом целевой точки [4]. Особенно это актуально при перемещении опасных грузов: емкостей с жидким металлом, горючими жидкостями и др.
Нормированные управляемые отклонения грузового каната МК от гравитационной вертикали при перемещении грузов необходимы. Сообщить грузу горизонтальные ускорения без отклонений
грузового каната от вертикали невозможно. Но при этом целесообразно, чтобы указанные отклонения были кратковременными и не превышали заданных пределов.
Известны аналитические зависимости оптимального и квазиоптимального режимов управления маятниковой системой с подвижной точкой подвеса для задачи наискорейшего разгона (торможения) с гашением колебаний [4]. На скорость и ускорение точки подвеса наложены ограничения. Недостаток известного способа: рассмотрение только малых колебаний маятника вокруг положения равновесия, отсутствие определенного (предельного) значения угла отклонения грузового каната МК от вертикали. Оптимальное управление носит релейный характер: ускорение точки подвеса принимает л ишь граничные значения. Гашение колебаний маятника происходит не на всем интервале времени рабочего цикла, а лишь к концу разгона или перемещения системы [4].
Известны работы по решению задачи быстро -действия для нелинейного маятника (приведение нелинейного м аятника в устойчивое нижнее поло-
жение равновесия) [5, 6]. Однако рассматривается система с неподвижной точкой подвеса и приложенным по угловой координате маятника моментом. Кроме того, в известных работах не учитывается диссипация энергии. Уравнения маятника с фиксированной точкой подвеса не подходят для описания рассматриваемой в настоящей работе задачи как по структуре, так и по входящим в них параметрам.
При решении задачи гашения колебаний грузов на канатном подвесе с подвижной верхней точкой подвеса (с подвижным основанием) находят применение такие современные подходы, как применение ПД- и ПИД-регуляторов [7—11], аппарата нечеткой логики [3, 12] и вЬар^-алгорит-мов [13, 14]. В соответствии с ними осуществляется управление траекторией верхней точки подвеса груза.
Известные способы при всех своих различиях имеют, в понимании автора, общий недостаток — сравнительно большую погрешность реализации как угла отклонения грузового каната МК от вертикали, так и линейных координат перемещения груза. Неуправляемая компонента маятниковых колебаний груза подавляется не полностью. Время перемещения при гашении колебаний, как правило, увеличивается.
Целесообразна разработка такого алгоритма, который при заданных ограничениях в виде максимальных скорости и ускорения подвижной точки подвеса груза на МК (грузовой тележки) синтезировал бы непрерывное (бесступенчатое, не релейное) управление точкой подвеса при помощи частотно-регулируемых приводов МК. Такими приводами оснащается ряд изготовляемых в настоящее время МК. Алгоритм должен также учитывать возможность больших углов отклонения грузового каната от гравитационной вертикали, что позволит повысить скорость перемещения и производительность МК. На предельный угол отклонения грузового каната в процессе разгона и торможения МК также должны быть наложены жесткие ограничения в виде его точного достижения. Выполнение этого условия повысит производительность МК с учетом достижения максимальных значений скорости и ускорения подвижной точки подвеса.
1. ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ
Принята математическая модель плоского маятника с подвижной точкой подвеса. В процессе вычислительных экспериментов было установлено, что для малых значений углов отклонения каната (менее 5°) пространственные колебания груза
могут быть со сравнительно небольшой погрешностью представлены как суперпозиция колебаний в двух взаимно перпендикулярных плоскостях.
Для системы плоского маятника были приняты обозначения: т — масса груза, кг; Ь — длина грузового каната МК от подвижной точки подвеса на грузовой тележке (центр блока роликов полиспаста) до ц ентра масс груза, м; Ь — приведенный к угловой координате коэффициент вязкого трения, задающий меру диссипации энергии, Н -м- с/рад; ¿, д, д — угол отклонения грузового каната МК от гравитационной вертикали и его первые две производные по времени, соответственно рад, рад/с, рад/с ; g = 9,81 — ускорение свободного падения,
м/с2; х — линейное ускорение точки подвеса груза в горизонтальном направлении движения грузовой тележки, м/с2.
Систему плоского маятника в больших перемещениях (допускаются отклонения грузового каната свыше 10...15°) описывает известное нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка вида [15—18]
д + (2Ь/т) д + ^/Ь)ът(д) + (х /Ь)совд = 0. (1)
При исследованиях были приняты допущения о постоянстве длины грузового каната Ь в процессе перемещения груза, о бесступенчатом характере регулирования скорости х и ускорения х разгона и торможения точки подвеса груза (грузовой тележки МК, что обеспечивает частотно-регулируемый привод) в горизонтальном направлении и о пренебрежимо малом влиянии массы перемещаемого груза и подвижных звеньев МК на управляемые параметры скорости х и ускорения х точки подвеса.
Рассматривался элементарный такт перемещения. Груз из состояния покоя на вертикальном канатном подвесе перемещается МК на заданное расстояние 1Х за время Т. После перемещения (в момент времени Т) груз также находится в состоянии, близком к состоянию покоя (отсутствие остаточных колебаний). Таким образом, в задаче присутствуют не только ограничения, но и краевые условия.
Приняты обозначения предельных (максимально допустимых) абсолютных значений скорости и ускорения точки подвеса груза хЦш и хЦш соответственно, предельного угла отклонения грузового каната от вертикали ¿Цш, абсолютных пороговых (ниже которых краевые условия считаются выполненными) значений угла каната, его скорости и ускорения д, д и д_1 соответственно,
абсолютных пороговых значений отклонения координаты точки подвеса, ее скорости и ускорения xt, xt и xt соответственно.
Целевая функция, краевые условия и ограничения задачи имеют вид:
T ^ min, (2)
ki = о, т - IH = о, T - qt, l?lt = 0, T - 9t,
Wt = 0 - xt, |xlt = T — lx - xt, 1 x lt = 0, T - xt, (3)
1 x ч = о, т — xt,
\q(t)| - klimm lx (t)l - xlim ,
|x (t)l - xUm Vt 6 [0, T].
(4)
2. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
Для уменьшения вычислительных затрат было предложено представить исходную задачу как последовательность задач однопараметрической оптимизации для нахождения программного управления в заданном классе для задачи терминального наведения.
Временная зависимость ускорения точки подвеса груза х = /(7) была получена в аналитическом виде по предложенной автором методике в виде суммы четырех элементарных сигмоидаль-ных функций по временной зависимости # = /(7) угла наклона грузового каната МК [1, 9, 19]:
к( с, - 7) к( с3 - 7)
¿(7) = А/( е 1 + 1) - А/( е 3 + 1) +
-к( с2 - 7) -к( с4 - 7)
+ А/(е (2 + 1) - А/(е и + 1), (5)
где А — амплитуда угла наклона грузового каната МК во время перемещения груза, рад; к — коэффициент крутизны нарастания и спада значения угла с1 и с2 — временные значения локальных центров нарастания и спада угла наклона грузового каната МК в положительном направлении (разгон МК с грузом), с; с3 и с4 — временные значения локальных ц ентров нарастания и спада угла наклона грузового каната МК в отрицательном направлении (торможение МК с грузом при приближении к целевой точке), с.
Выражение (5) позволило представить исходную задачу как последовательность задач одно-параметрической оптимизации. Сначала путем дифференцирования выражения (5) осуществлялся вывод аналитических выражений скорости и ускорения угла наклона каната. Далее по ним численно определялись ускорения, скорости и пере-
мещения точки подвеса. Сравнительно простой вид выражения (5) позволил получить часть выражений перечисленных выше параметров в аналитическом виде, что повысило точность и устойчивость решения, а также, как подтвердили дальнейшие вычислительные исследования, выполнить все краевые и граничные условия задачи.
Существуют такие значения Т > 0, для которых краевые условия (3) выполняются. Это обеспечивается свойством стремления к нулю производных сигмоидальной функции в пределах на плюс бесконечности и на минус бесконечности аргумента.
При введении промежуточных переменных
к(с1 - 7) -к(с2 - 7) к(с3 - 7) -к(с4 - 7)
= е , ^2 = е , Х3 = е и Х4 = е
аналитические выражения первой ¿г и второй ^ производных угла наклона каната, полученных дифференцированием (5) имеют вид:
¿г (7) = Ак11/(к1 + 1)2 - АкХ3/(Х3 + 1)2 -- АкХ2/(Х2 + 1)2 + АкХ4/(Х4 + 1)2; (6)
4 (7) = Ак\4/(Х4 + 1)2 - Ак\2/(Х2 + 1)2 -
- Ак2Х3/(Х3 + 1)2 + 2Ак2 + 1)3 +
+ 2Ак2 Х2/(Х2 + 1)3 - 2Ак2 Х^/(Х3 + 1)3 -- Ак2Х1/(Х1 + 1)2 - 2Ак2 Х2/(Х4 + 1)3. (7)
Зависимость ускорения точки подвеса х от остальных переменных уравнения (1) имеет вид:
х = - L( ¡¿[ + 2Ь^ /т + g•smq/L)/cosq. (8)
Вывод аналитических выражений интегралов х (7) и х(7) затруднен. Поэтому вектор дискретных значений ускорения точки подвеса х, полученных по зависимости (8) путем подстановки численных значений, полученных по формулам (6) и (7) для различных моментов времени 7 е [0, Т] с определенным шагом дискретизации, может быть дважды проинтегрирован при помощи известного численного метода трапеций [20].
Схематично последовательность получения временных зависимостей ускорения, скорости и перемещения точки подвеса по заданной функции угла (5) в дискретные моменты времени можно представить в виде:
q(t)
d/dt (6)
q (t)
d/dt (7)
q (ty^U x (t)
idt
Аналитические выражения J^Ux (t)J^x(t).
(9)
Численное интегрирование
Большая часть схемы (9) вычисляется по аналитическим зависимостям, поэтому получаемые значения x(t) характеризуются высокой точностью. Схема (9) также характеризуется высоким быстродействием и вычислительной устойчивостью. При достаточно крупном шаге численного интегрирования 0,01 с абсолютная погрешность значений x(t) по сравнению с решением исходного уравнения (1) методом Рунге — Кутты четвертого
порядка составляет не более 7-10 6 м. Цикл обсчета по схеме (9) отдельного перемещения в системе MATLAB с двойной точностью для значения T = 20 с и шага по времени 0,01 с занимает не более 0,03 с машинного времени на ПК средней производительности (AMD Athlon 64 X2 Dual Core Processor 5600 + 2,90 GHz).
Экстремальные значения скорости и ускорения точки подвеса x (t) и x (t), необходимые для проверки ограничений (4), а также конечное значение перемещения точки подвеса x( T) могут быть найдены только после завершения цикла обсчета отдельного перемещения груза МК.
Для обеспечения граничных (4) и краевого х(Т) ^ lx условий задачи, а также для минимизации времени перемещения (2) были введены три параметра интервалов времени перемещения груза МК:
Atp — интервал времени от центра элементарной возрастающей сигмоиды до момента времени ранее, когда значение функции составляет долю (1 — P) от амплитуды A угла отклонения каната;
At1 = c2 — c1 = c4 — c3 — интервал времени между центрами д вух элементарных сигмоид на рост и на спад (между центрами первого и второго или третьего и четвертого слагаемых выражения (5));
At2 = (cl + c2)/2 — (c3 + c4)/2 — интервал времени между средним арифметическим центров элементарных сигмоид первых двух слагаемых и последних двух слагаемых выражения (5).
Сумма значений трех указанных параметров интервалов времени составляет полное время перемещения груза и точки его подвеса: Т = Atx + At2 + 2Atp.
Коэффициент k крутизны нарастания и спада значения угла q в элементарной сигмоиде (слагаемые выражения (5)) связан со значениями P и Atp зависимостью k = ln(1/P — 1)/(—Atp).
Величина P может рассматриваться как дополнительный второстепенный параметр алгоритма.
При сложении двух элементарных сигмоид на возрастание и спад, когда их временные центры (cl и c2 либо c3 и c4) расположены достаточно близко друг к другу, имеет место некоторое незначительное уменьшение амплитуды суммарной волны.
Для обеспечения точного равенства фактической амплитуды угла отклонения каната МК заданному значению А/е, значение А в выражениях (5)—(7) определялось по зависимости:
(ЛД/, )/2 (¿Дг,)/2
а=А/гае(1 + е 1)/(е 1 - 1). (ю)
Дополнительными вычислительными экспериментами была подтверждена выдвинутая гипотеза о попарных функциональных (прямо пропорциональных) взаимосвязях м ежду факторами и показателями: Д/р и хтах, Д/, и хтах, Д/2 и х(Т). Независимое (выполняемое по отдельности) увеличение каждого из трех факторов (интервалов времени) Д/р, Д/, и Д/2 всегда, при прочих постоянных факторах, приводит к снижению максимального ускорения точки подвеса Хтах = тах| х (/)|, увеличению максимальной скорости точки подвеса хтах = тах| х (/)| и увеличению полного перемещения точки подвеса х(Т) соответственно:
Д/р Т ^ Хтах Д/, Т ^ Хтах Т; Д/2 Т ^ х(Т) Т.
Влияние изменения каждого интервала времени на изменение двух других кинематических параметров из тройки [тах| х (/)|, тах| х (/)|, х(Т)] незначительно, на порядки меньше.
Очевидно, что для минимизации полного времени перемещения груза (2) перемещать точку подвеса необходимо с максимально возможными ускорениями и скоростями.
Были введены три функции, каждая из которых неявно зависит от одного из аргументов (интервалов времени) Д/р, Д/, и Д/2:
fp(Atp) ||xmaxl xliml, fl(Atl) IIxmax I xl
lim I'
f2(At) = |x(T) - lx|
(11)
Функции (11) позволили, не прибегая к многомерной оптимизации, выполнить краевые условия (3) и ограничения (4) задачи путем последовательной однопараметрической оптимизации в итерационном режиме. Порядок последовательной однопараметрической оптимизации соответствует порядку записи функций в выражении (11).
Выполнялась последовательная минимизация функций (11) численными методами золотого сечения и параболической интерполяции [21] в допустимых интервалах времени [Д/р Д/р тах], [Д/1т)п,
Д/1тах] и [Д/2т,п, Д/2тах] соответственно в окрестности точки начальных условий [Д/Рмр
Д/1глг/, Д/2глг/].
Сначала минимизировалась функция /р^р). Для вычисления хтах = тах| х (7)| при различных значениях Д^ выполнялся обсчет отдельного перемещения груза по схеме (9).
Полученное оптимальное значение аргумента функции /р№р) использовалось как начальное значение №р)ш при поиске минимума функции /1(Д71). Оптимальное значение аргумента функции ./^(Д^) в свою очередь использовалось как начальное значение при поиске м инимума функции /^Д^). Наконец, при переходе к новой итерации последовательной однопараметрической оптимизации, оптимальное значение аргумента функции /2(Д^ использовалось как начальное значение Д12ыи при поиске м инимума функции /,(Д7р). Далее ц икл итерации повторялся.
Для определения оптимальных значений аргументов [Др Д71, Д^], последовательная однопара-метрическая оптимизация функций (11) выполнялась дважды, т. е. всего за д ве итерации. Вычислительные исследования показали, что двух итераций достаточно во всех расчетных случаях для получения решения задачи с приемлемой точностью (погрешностью не более 0,001 соответствующих единиц измерения линейных ускорений, скоростей и перемещений).
Поскольку последней в итерации выполняется оптимизация функции ^(Д^), краевое условие х( Т) ^ 1Х всегда выполняется после окончания любой итерации однопараметрической оптимизации функций (11). Также максимальное абсолютное значение угла отклонения каната всегда, вследствие первичности задания аналитической зависимости #(/) в схеме (9) с учетом коррекции (10), равно предельному углу отклонения грузового каната от вертикали: тах|д(/)| = дЦт.
В то же время, после решения задачи оптимального по быстродействию перемещения, максимальные абсолютные значения скорости и ускорения грузовой тележки МК в оптимальном процессе перемещения МК не всегда достигают предельных значений х|)т и хЦт соответственно.
В списке независимых параметров начальных условий задачи (1х, хЦт, хЦт, т, Ь, Ь, д^) последний параметр предельного угла дХтт, в отличие от всех остальных (как правило, жестко регламентированных либо технологией процесса, либо конструктивными ограничениями реальных приводов МК), допускает определенную вариативность задания для большинства видов грузов.
3. ПРИМЕР ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДИКИ
На рисунке в качестве примера представлены результаты варьирования предельного угла дХтт для различных значений длины заданного перемещения ¡х, которые демонстрируют наличие экстремумов функции минимального времени Т перемещений при определенных значениях дЦт. Все значения Т были получены путем последовательной минимизации функций (11) с учетом схемы (9).
В результате варьирования перемещения ¡х, на каждом шаге которого в свою очередь варьировались значения и выбиралось минимальное время, была получена функциональная зависимость минимального времени перемещений Т от длины заданного перемещения 1Х (рисунок в), которая в диапазоне изменения аргумента 1Х е [11; 20] м имеет линейный характер. Она аппроксимируется уравнением Т = 0,6702/х + 16,962. Для значения 1х= 11 м на рисунке г приведены временные зависимости линейного перемещения моста, его первых двух производных, а также линейных перемещений груза в плоскости перемещений моста за минимальное время. На рисунке д для значения ¡х = 11 м приведены соответствующие временные зависимости угловой координаты отклонения грузового каната и ее первых двух производных.
При проведении описываемых вычислительных экспериментов предельные (максимально допустимые) абсолютные значения скорости и ускорения точки подвеса груза принимали значения
= 1,5 м/с и х|)т = 0,4 м/с2 (см. ограничения (4)). Пороговые значения угла отклонения каната, его скорости и ускорения принимали значения д = 0,01°, д = 0,01 °/с и д = 0,01 °/с2. Пороговые значения отклонения координаты точки подвеса, ее скорости и ускорения х( = 0,01 м, х1 = 0,01 м/с
и х{ = 0,01 м/с2.
Допустимые интервалы времени [ДtPmiл, Д^ртах] =
= [1 6] с [^т^ Д1тах] = ^ 20] ^ Д2тах] =
= [1; 20] с. Начальные значения интервалов времени ^ршр дЧШР ДМ = [6; 20; 20] с. Значения массы груза, длины каната и коэффициента диссипации т = 100 кг, Ь = 10 м, Ь = 0,5 Н -м- с/рад.
Оптимизированные значения предельного угла 4цт, а также интервалов времени Дtр, Д1г и Д^, соответствующие рисунку д, принимали значения: дЦт = -2,149°; Др = 3,134 с; Д^ = 4,113 с;
Примеры зависимостей минимального времени перемещений Т от значения предельного угла (а, б), минимального времени перемещений Т от длины заданного перемещения 1х (в), линейных перемещений и производных перемещений точки подвеса и груза от времени (г), перемещений и производных угла наклона каната от времени (д)
Д/2 = 7,231 с. Полное время Т перемещения составило 17,612 с.
Максимальные абсолютные значения скорости и ускорения грузовой тележки МК в оптимальном процессе перемещения МК принимали значения: хтах = тах| х (/)| = 1,4965 м/с; хтах =
= тах| х (/)| = 0,3998 м/с2.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Разработан способ синтеза программного управления точкой подвеса груза, перемещаемого мостовым краном в режиме подавления неуправляемых колебаний груза. Способ позволяет не только переместить груз на гибком канатном подвесе за минимальное время на заданное расстояние, но и задать в процессе перемещения требуемую временную зависимость угла отклонения
грузового каната, причем угол отклонения в процессе перемещения достигает заданного максимального значения. Применение суммы элементарных сигмоидальных функций обеспечивает выполнение краевых условий задачи в виде нулевых скоростей и ускорений самого груза, точки его подвеса и угла отклонения грузового каната. Принцип пересчета аналитической временной зависимости угла отклонения грузового каната от вертикали в зависимости ускорений, скоростей и перемещений точки подвеса груза на грузовой тележке позволяет обойтись без сложных методов решения задачи оптимального управления.
Выделение трех интервалов времени в аналитической временной зависимости угла отклонения грузового каната позволило отказаться от ресурсоемкой многомерной оптимизации и заменить ее однопараметрической оптимизацией в итерационном режиме, выполняемой со сравнительно малыми затратами машинного времени расчетов.
Предложенная последовательность решения задач однопараметрической оптимизации применялась для нахождения программного управления точкой подвеса груза, перемещаемого мостовым краном. Проведенные исследования подтверждают возможность применения эвристических нестандартных приемов для решения частных задач.
ЛИТЕРАТУРА
1. Щедринов А.В., Сериков С.А., Колмыков В.В. Автоматическая система успокоения колебаний груза для мостового крана // Приборы и системы. Управление, контроль, диагностика. — 2007. — № 8. — С. 13—17.
2. Толочко О.И., Бажутин Д.В. Сравнительный анализ методов гашения колебаний груза, подвешенного к механизму поступательного движения мостового крана // Электромашиностроение и электрооборудование. — 2010. — № 75. — С. 22—28.
3. Алгоритмы подавления колебаний грузов подъемно-транспортных механизмов с использованием нечеткой логики функционирования / О.А. Шведова и др. // Доклады БГУИР. — 2014. — № 1 (79). — С. 65—71.
4. Черноусько Ф.Л, Акуленко Л.Д., Соколов Б.Н. Управление колебаниями. — М.: Наука, 1980. — 383 с.
5. Reshmin S.A., Chernous'ko F.L. A time-optimal control synthesis for a nonlinear pendulum // Journal of Computer and Systems Sciences International. — 2007. — Vol. 46, N 1. — P. 9—18.
6. Almuzara G.J.L, Flugge-Lots I. Minimum time control of a nonlinear system // J. Differential Equations. — 1968. — Vol. 4, N 1. — P. 12—39.
7. Ridout A.J. Anti-swing control of the overhead crane using linear feedback // J. of Electrical and Electronics Engineering. — 1989. — Vol. 9, N 1/2. — P. 17—26.
8. Omar H.M. Control of gantry and tower cranes: PhD Dissertation. Virginia Polytechnic Institute and State University. — Blacksburg, Virginia. — 2003. — 100 p.
9. Korytov M, Shcherbakov V., Volf E. Impact sigmoidal cargo movement paths on the efficiency of bridge cranes // Interna-
tional Journal of Mechanics and Control. — 2015. — Vol. 16, N 2. — P. 3—8.
10. The reduction of errors of bridge crane loads movements by means of optimization of the spatial trajectory size / V. Shcherbakov, et al. // Applied Mechanics and Materials. — 2015. — Vol. 811. — P. 99—103.
11. Mathematical modeling of process moving cargo by overhead crane / V. Shcherbakov, et al. // Applied Mechanics and Materials. — 2014. — Vol. 701, 702. — P. 715—720.
12. A new vision-sensorless anti-sway control system for container cranes / Y.S. Kim, et al. // Industry Applications Conference. — 2003. — Vol. 1. — P. 262—269.
13. Command Shaping for Nonlinear Crane Dynamics / D. Blackburn, et al. // Journal of Vibration and Control. — 2010. — N 16. — P. 477—501.
14. Singer N., Singhose W, Seering W. Comparison of filtering methods for reducing residual vibration // European Journal of Control. — 1999. — N 5. — P. 208—218.
15. Блехман И.И. Вибрационная механика. — М.: Физматлит, 1994. — 400 с.
16. Щербаков В.С., Корытов М.С., Вольф Е.О. Алгоритм компенсации неуправляемых пространственных колебаний груза и повышения точности траектории его перемещения грузоподъемным краном // Вестник машиностроения. — 2015. — № 3. — С. 16—18.
17. Бутиков Е.И. Необычное поведение маятника при синусоидальном внешнем воздействии // Компьютерные инструменты в образовании. — 2008. — № 2. — С. 24—36.
18. Кильчевский Н.А. Курс теоретической механики. Т. 1. — М.: Наука, 1972. — 456 с.
19. Mitchell T.M. Machine Learning. — WCB/McGraw-Hill, 1997. — 414 p.
20. Крылов В.И. Приближенное вычисление интегралов. — М.: Наука, 1967. — 500 с.
21. Формалев В.Ф., Ревизников Д.Л. Численные мeтоды. — М.: Физматлит, 2004. — 400 с.
Статья представлена к публикации членом редколлегии
Е.Я. Рубиновичем.
Корытов Михаил Сергеевич — д-р техн. наук, профессор,
Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия,
г. Омск, Н kms142@mail.ru.
iW Содержание сборника
«Управление большими системами», 201 б>вып■65
Иванов Н.Н. Степень параллелизма обобщенных стохастических сетевых графиков
Макрушин С.В. Анализ структуры магистральных электросетей России: оценка применимости модели тесного мира
Новиков Д.А. Комплексные модели системной оптимизации производственно-экономической деятельности предприятия
Ураков А.Р., Тимеряев Т.В. Алгоритм решения динамической задачи поиска кратчайших расстояний в графе
Фуртат И.Б. Динамическая компенсация возмущений в условии насыщения сигнала управления
Фуртат И.Б., Нехороших А.Н. Робастное управление линейными мультиагентными системами с использованием левых разностей для оценки
Шумов В.В. Моделирование миграции населения в задачах обеспечения безопасности
Тексты статей в свободном доступе на сайте http://ubs.mtas.ru/
