Аналитическое решение задачи разгона груза мостовым краном с постоянным ускорением при гашении колебаний грузового каната Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 621.86

АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ РАЗГОНА ГРУЗА МОСТОВЫМ КРАНОМ С ПОСТОЯННЫМ УСКОРЕНИЕМ ПРИ ГАШЕНИИ КОЛЕБАНИЙ ГРУЗОВОГО КАНАТА

М. С. Корытов1, В. С. Щербаков1, В. В. Титенко2

'Сибирский государственный автомобильно-дорожный университет, г. Омск, Россия 2Омский государственный технический университет, г. Омск, Россия

DOI: 10.25206/2310-9793-2017-5-4-132-136

Аннотация - Гашение колебаний грузового каната мостового крана является актуальной задачей, поскольку позволяет существенно повысить производительность и безопасность выполняемых работ. Для полного гашения маятниковых колебания груза после разгона моста или грузовой тележки мостового крана до максимальной скорости необходимо при применении обычного релейного управления электродвигателем, разбить процесс разгона минимум на три промежутка. Для динамической системы колебания груза мостового крана на гибком канатном подвесе в отдельной вертикальной плоскости получено аналитическое решение задачи определения временной зависимости угла наклона грузового каната относительно гравитационной вертикали при движении точки подвеса груза с постоянным ускорением. Полученные аналитические зависимости угла наклона грузового каната и его первой производной позволяют разбить процесс разгона точки подвеса груза на три этапа разгона и торможения с различными ускорениями и выйти на режим максимальной скорости перемещения точки подвеса груза при выполнении гашения колебаний грузового каната относительно гравитационной вертикали. Приводятся примеры полученных временных зависимостей выхода на максимальную скорость при гашении колебаний каната.

Ключевые слова: мостовой кран, гашение колебаний, раскачивание, ускорение точки подвеса.

I. Введение

Перемещение груза, подвешенного с помощью нежесткого грузового каната, осуществляют мостовые краны (МК), работающие на складах и в цехах. Перемещение груза в режиме полного гашения неуправляемой компоненты маятниковых колебаний груза, т.е. при вертикальном положении грузового каната в установившемся режиме движения, позволит не только снизить время цикла МК, но и повысить производительность и безопасность выполняемых работ [1, 2, 3]. Известные методы синтеза траектории точки подвеса [3, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12] имеют общий недостаток в виде сравнительно большой погрешности реализации как угла отклонения грузового каната МК от вертикали, так и линейных координат перемещаемого груза. Как правило, угол отклонения грузового каната МК от вертикали не отслеживается и не контролируется. Время перемещения груза увеличивается.

Для полного гашения маятниковых колебания груза после разгона моста или грузовой тележки МК до максимальной скорости необходимо либо перемещать точку подвеса груза (т.е. мост или грузовую тележку МК) с переменным ускорением, что требует применения частотно-регулируемого электропривода, либо, при применении обычного релейного управления электродвигателем, разбить процесс разгона минимум на три промежутка.

II. Постановка задачи

Примем в качестве допущения, что разгон моста (либо грузовой тележки МК) до определенной максимальной скорости при включении соответствующего электродвигателя, выполняется с постоянным ускорением a1. Разобьем процесс разгона моста до максимальной скорости на три промежутка. При окончании третьего промежутка мост должен быть разогнан до максимальной скорости vmax, ускорение точки подвеса изменяется до нуля. Угол отклонения грузового каната q и его первая производная <' в этот момент времени стремятся к нулю.

В первом и третьем промежутках времени будет осуществляться разгон с ускорением a1, создаваемым приводом моста. Второй промежуток времени, находящийся между первым и третьим, может быть описан как перемещение моста «накатом», также с постоянным ускорением a2 отрицательного знака под действием сил трения в приводе, когда положительное ускорение разгона со стороны привода моста отсутствует. Сравнительно

небольшое ускорение торможения а2 создают не тормозные механизмы моста, а силы трения, возникающие в передачах кинематических пар привода и в электродвигателе привода.

III. Теория

Для математического описания колебаний груза на канатном подвесе МК использована известная математическая модель плоского маятника с затуханием колебаний, для малых углов отклонения грузового каната описываемая линеаризованным дифференциальным уравнением (ДУ) второго порядка вида [13, 14, 15, 16]:

L = 0,

(1)

где Ь - длина грузового каната МК от подвижной точки подвеса на грузовой тележке (центр блока роликов полиспаста) до центра масс груза, м; Ь=2Ь0/т; Ь0 - приведенный к угловой координате коэффициент вязкого трения, задающий меру диссипации энергии, Н-м-с/рад; т - масса груза, кг; Г " - угол отклонения грузового каната МК от гравитационной вертикали и его первые две производные по времени соответственно, рад, рад/с, рад/с2; £=9,81 - ускорение свободного падения, м/с2; " - линейное ускорение точки подвеса груза в горизонтальном направлении движения грузовой тележки, м/с2.

Были приняты допущения о малости угла отклонения грузового каната от гравитационной вертикали (не более 1°-3°), о постоянстве длины грузового каната Ь в процессе перемещения груза, постоянстве ускорений разгона ах и движения «накатом» под действием сил инерции и трения а2, о пренебрежимо малом влиянии массы перемещаемого груза и подвижных звеньев МК на управляемый параметр ускорения точки подвеса, принимающий значения из дискретного ряда " =[ах; дополучено аналитическое решение ДУ (1) для постоянного ускорения " :

q(t) = Q • в

-tI Lb

->/- L (4 g -

Lb 2

/2 L

+ C2 • в1

11 Lb+.

L(4g-Lb2

/2 L

(2)

* У24 • ^^^^Ь) ^>.(ъ ^! -Ъ2 - 4. у

2-^.¡ЬЬГъ^-А^

* -е(^^! >-*2 >. I-' (!ЬУ2!).(Ъ-4! -Ъ 2 - 4-у)

2- ^Ь2 - Ъ2 - 4-Ь-Я '

Выражение (2) позволило получить выражение скорости изменения угла наклона грузового каната МК Г также в аналитическом виде. Выражение <' не приводится ввиду его громоздкости.

Для определения постоянных интегрирования С и С2 была составлена система из двух уравнений функции угла и ее первой производной в момент времени /=0 (начальные условия):

[Г

qo = Ci + C2-

а?(Lb + yjL2b2 -4Lg j a?(Lb -yjL2b2 - 4Lg j 2g^L2b2 -4Lg 2g^L2b2 -4Lg '

^ (Lb + J L2 b2 - 4 Lg j C | LbL (4 g - Lb2 jj C2 ^Lb + L (4 g - Lb 2 jj

4 Lg

2L

2L

?(Lb-yjL2b2 -4Lg j bax(Lb-^L2b2 -4Lg j ba?(Lb + ^L2b2

■4 Lg

(3)

4 Lg

4g^L2b2 -4Lg 4gyjL2b2 -4Lg

a? I Lb + J-L

L(4g - Lb2 jj(Lb -4L2 b2 - 4Lg j a (Lb + yjL2 b2 - 4Lg LbL(4g - Lb2 jj

4Ь^^Ь2Ъ2^4Ь7 4Ь^Ь2Ъ2 -4^^ '

где ^о - значение угла наклона грузового каната в момент времени /=0; ( - значение первой производной угла наклона грузового каната в момент времени ^0.

Решение системы (3) относительно неизвестных С и С2 позволило получить их аналитические выражения:

+

С! = ■

-ь(4я -ЬЬ2) + 4я -ЬЬ2) + 1Ьд0я +-^

ЬЬа^-ь(4я -ЬЬ2)

Ь2 Ь2 - 4Ья

С ---

С2 -

2 Я у/ - Ь( 4 я - ЬЬ2 ) '

Т-2\ Г"7-ЬЬа4-Ь(4я -ЬЬ2)

:(4я - ЬЬ2)- д0^-Ь(4я - ЬЬ2)+ ЬЬд0я +-\ У 7

У / V \ / уЬ2Ь2 - 4Ья

(4)

2Ц-ь(4я - ЬЬ2 )

Использование полученных аналитических зависимостей (2), (4) открывает возможность, не прибегая к имитационному моделированию и численному решению ДУ (1), проводить оптимизацию процесса разгона моста МК за три периода с выполнением условия гашения колебаний в конце третьего периода разгона (при выходе на заданную постоянную скорость движения).

IV. Результаты экспериментов В качестве примера практического использования полученных аналитических выражений выполнена оптимизация значений трех промежутков времени (разгона - торможения «накатом» - разгона) Ть Т2, Т3 соответственно по условию минимизации целевой функции

/ -\<1ш\ +

(5)

где (/ст1 - значение угла отклонения грузового каната в конечный момент времени разгона /= 7+7/ з: Г -значение первой производной угла отклонения грузового каната в конечный момент времени разгона

/=Т!+Т2+Тз.

2 3

а)

2 3 в)

6 0

ч

4

б)

г)

Рис. 1. Результаты вычислительного эксперимента по разгону моста в режиме гашения колебаний груза при выходе на максимальную скорость: зависимость целевой функции (а) от времени Т2 при утах=1.5 м/с; оптимальный процесс прерывистого разгона (б) при утах=1.5 м/с; зависимость целевой функции (в) от времени Т2 при утах=1 м/с; оптимальный процесс прерывистого разгона (г) при утах=1 м/с

Ускорение подвеса при разгоне и торможении «накатом» принимало значения a1=0.25 м/с; a2=-0.05 м/с. Для уменьшения размерности задачи и числа независимых факторов вычислительного эксперимента, было принято дополнительное условие о равенстве первого и третьего промежутков времени (разгона). При этом значения максимальной скорости vmax, ускорений и промежутков времени связаны зависимостью

2a1 T1+ a2 T2= Vmax. (6)

При принятии в качестве единственного независимого фактора эксперимента значения времени торможения «накатом» T2 между двумя равными по продолжительности периодами разгона, величина последних будет вычисляться по зависимости

T1= T3= (Vmax - a2 T2)/(2 a1). (7)

Значения угла наклона грузового каната МК q, а также его первой производной вычислялись в (2) для конечного времени каждого из трех периодов и служили начальными условиями в (4) для последующего периода.

Некоторые результаты вычислительного эксперимента представлены на рис. 1 для значений максимальной скорости vmax=1.5 м/с (а, б) и vmax=1 м/с (в, г). Оптимальный процесс прерывистого разгона при vmax=1.5 м/с достигается при значениях T2=0.142 с, T1= T3= 3.014 с. При vmax=1 м/с аналогичные оптимальные значения периодов времени составили T2= 0.959 с, T1= T3= 2.096 с. Полное время прерывистого разгона составило 6.17 и 5.151 с для скоростей vmax=1.5 м/с и vmax=1 м/с соответственно.

V. Выводы

На основе известного ДУ колебаний плоского маятника с подвижной точкой подвеса и затуханием получены аналитические зависимости угла наклона грузового каната и его первой производной от времени при постоянном ускорении точки подвеса. Они позволяют при разделении процесса разгона моста или грузовой тележки МК минимум на три этапа (разгон с постоянным ускорением - движение «накатом» - дальнейший разгон с постоянным ускорением) выйти на режим заданной максимальной скорости перемещения точки подвеса груза при выполнении условия полного гашения колебаний грузового каната вокруг гравитационной вертикали.

Список литературы

1. Щедринов А. В., Сериков С. А., Колмыков В. В. Автоматическая система успокоения колебаний груза для мостового крана // Приборы и системы. Управление, контроль, диагностика. 2007. № 8. С. 13-17.

2. Толочко О. И., Бажутин Д. В. Сравнительный анализ методов гашения колебаний груза, подвешенного к механизму поступательного движения мостового крана // Электромашиностроение и электрооборудование. 2010. № 75. С. 22-28.

3. Шведова О. А. [и др.]. Алгоритмы подавления колебаний грузов подъемно-транспортных механизмов с использованием нечеткой логики функционирования // Доклады БГУИР. 2014. № 1 (79). С. 65-71.

4. Черноусько Ф. Л., Акуленко Л. Д., Соколов Б. Н. Управление колебаниями. М.: Наука, 1980. 383 с.

5. Ridout A. J. Anti-swing control of the overhead crane using linear feedback // J. of Electrical and Electronics Engineering. 1989. Vol. 9, no. 1/2. P. 17-26.

6. Omar H. M. Control of gantry and tower cranes: PhD Dissertation. Virginia Polytechnic Institute and State University. Blacksburg, Virginia. 2003. 100 p.

7. Korytov M., Shcherbakov V., Volf E. Impact sigmoidal cargo movement paths on the efficiency of bridge cranes // International Journal of Mechanics and Control. 2015. Vol. 16, no. 2. P. 3-8.

8. Shcherbakov V., [et. al.]. The reduction of errors of bridge crane loads movements by means of optimization of the spatial trajectory size // Applied Mechanics and Materials. 2015. Vol. 811. P. 99-103.

9. Shcherbakov V., [et. al.]. Mathematical modeling of process moving cargo by overhead crane // Applied Mechanics and Materials. 2014. Vol. 701-702. P. 715-720.

10. Kim Y. S., [et. al.]. A new vision-sensorless anti-sway control system for container cranes // Industry Applications Conference. 2003. Vol. 1. P. 262-269.

11. Blackburn D. [et. al.]. Command Shaping for Nonlinear Crane Dynamics // Journal of Vibration and Control. 2010. № 16. P. 477-501.

12. Singer N., Singhose W., Seering W. Comparison of filtering methods for reducing residual vibration // European Journal of Control. 1999. №. 5. P. 208-218.

13. Блехман И. И. Вибрационная механика. М.: Физматлит, 1994. 400 с.

14. Щербаков В. С., Корытов М. С., Вольф Е. О. Алгоритм компенсации неуправляемых пространственных колебаний груза и повышения точности траектории его перемещения грузоподъемным краном // Вестник машиностроения. 2015. № 3. С. 16-18.

15. Бутиков Е. И. Необычное поведение маятника при синусоидальном внешнем воздействии // Компьютерные инструменты в образовании. 2008. № 2. С. 24-36.

16. Кильчевский Н. А. Курс теоретической механики. Т. 1. Кинематика, статика, динамика точки. М.: Наука, 1972. 456 с.

УДК 519.876.5, 624.138

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ДЕФОРМИРОВАНИЯ УПРУГОВЯЗКОПЛАСТИЧНОЙ СРЕДЫ ДИНАМИЧЕСКОЙ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ СИЛОЙ ПРОИЗВОЛЬНОГО ХАРАКТЕРА

В. В. Михеев1, С. В. Савельев2

'Омский государственный технически университет, г. Омск, Россия 2Сибирский государственный автомобильно-дорожный университет, г. Омск, Россия

DOI: 10.25206/2310-9793-2017-5-4-136-143

Аннотация - Задачи описания напряженно-деформированного состояния различных сред под внешним силовым воздействием играют особую роль для широкого спектра приложений в различных областях техники - от схемотехники до строительной механики. От их эффективного решения зависит реализация целого ряда технологических процессов, качественное протекание которых связано с выполнением самых различных требований, накладываемых на состояние и свойства среды, подвергаемой динамическому воздействию. В настоящей работе рассматривается задача описания накопления неупругих деформаций слоем упруговязкопластичной среды, подвергаемым поверхностному силовому воздействию. Для решения задачи используется подход сосредоточенных параметров, учитывающий распределение напряжений в толще слоя и изменения локальных характеристик среды с накоплением деформаций, реализованный в виде численного алгоритма. В качестве примера приложения предложенного метода проведен численный эксперимент на примере реального источника внешнего динамического воздействия, осуществляющего деформирование слоя упруговязкопластичного материала.

Ключевые слова: численное моделирование, упроговязкопластичная среда, деформирование, уплотнение, метод сосредоточенных параметров

I. Введение

Моделирование деформационных процессов позволяет решать многие научные задачи, как с точки зрения теории, так и с точки зрения прикладных исследований. Анализ изменения напряженно-деформированного состояния среды при динамическом действии используется при проектировании сложных механических систем и систем виброзащиты, выборе эффективных режимов работы машин и механизмов, строительстве сооружений.

Одним их актуальных направлений моделирования динамического процесса деформирования упруговязко-пластичных сред является описание процесса накопления в среде пластичных деформаций, проявляющихся в виде изменения её физико-механических свойств и, как следствие, обеспечение ей определённых прочностных характеристик, позволяющее решать широкий круг научных и практических инженерных задач.

Классические результаты для решения задач в этой области были получены для случая абсолютно упругой изотропной среды Boussinesq (Буссинеск) и обобщены Westergaard (Вестергаард) [1]. Эти подходы и развитые в них методы являются актуальными по сей день и широко используются при расчетах оснований и фундаментов различных строительных сооружений и решении ряда других задач строительной механики.

Особый интерес рассмотрения процессов пластического деформирования слоев упруговязкопластичной среды играет для ситуаций, когда с накоплением необратимых деформаций материал слоя приобретает новые характеристики, обеспечивающие его эффективное использование для решения различных технических задач. Несмотря на длительную историю вопроса, исследования в области выявления особенностей взаимодействия источника поверхностной силы и слоя упруговязкопластичной среды ведутся достаточно активно. Причиной тому - широкий спектр характеристик сред и воздействий, возникающих при рассмотрений актуальных задач техники [2, 3, 4, 5].

II. Постановка задачи

В качестве объекта исследования в настоящей работе выступает процесс деформирования слоя упруговяз-копластичной среды внешним силовым воздействием с известными характеристиками (амплитуда, период приложения, зависимость силы от времени), а также с известной зависимостью величины пятна контакта источника от деформации слоя. Для различных участков толщи слоя, в зависимости от величины напряжения, характер