CC BY
15КорытовМ.С., д-р техн. наук, доц., Щербаков В.С., д-р техн. наук, проф. Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия
КООРДИНАЦИЯ ТРАЕКТОРИЙ ГРУЗОВОЙ ТЕЛЕЖКИ МОСТОВОГО КРАНА И ПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ ПОДВЕСА ГРУЗА В ЗАДАЧЕ ГАШЕНИЯ НЕУПРАВЛЯЕМЫХ КОЛЕБАНИЙ
kms142@mail.ru
Описан способ координации двух траекторий грузовой тележки мостового крана и подвижной точки подвеса груза по критерию минимального отклонения между точками, двигающимися по двум траекториям при выполнении условия гашения маятниковых пространственных колебаний груза. В режиме гашения колебаний точка подвеса груза должна двигаться по криволинейной траектории, синтезированной по заданной сигмоидальной траектории перемещения груза при помощи пропорционально-интегрально-дифференциальных регуляторов. Электрический привод моста и грузовой тележки мостового крана с релейным управлением не позволяет обеспечить движение моста и грузовой тележки крана, а следовательно, верхней точки маятниковой системы свободного канатного подвеса груза, по траектории, необходимой для гашения колебаний. Возможно лишь максимальное приближение траектории грузовой тележки к требуемой для гашения колебаний траектории подвижной точки подвеса груза. Окончательно решить проблему может применение гидравлического привода, перемещающего точку подвеса груза относительно грузовой тележки и реализующего таким образом требуемую для гашения колебаний траекторию. Показано, что оптимизация позволяет в несколько раз уменьшить хода штоков и размеры гидроцилиндров, используемых для быстрого перемещения точки подвеса груза и устранения его неуправляемых пространственных маятниковых колебаний.
Ключевыеслова: мостовой кран, ПИД-регулирование, сигмоидальная, траектория, гашение колебаний, груз_
Введение. Груз, перемещаемый краном мостового типа (МК) на гибком канатном подвесе, совершает маятниковые пространственные колебания, которые увеличивают время цикла на величину до 20 % и затрудняют использование МК в стесненных условиях и при наличии различных препятствий в виде посторонних объектов (оборудования, сооружений, материалов, заготовок производства и т.п.) в рабочей зоне перемещений. При этом возможны столкновения груза с препятствиями и повреждение как груза и МК в целом, так и посторонних объектов. Для предотвращения указанных аварийных ситуаций траектория перемещения груза планируется на значительных расстояниях от препятствий при их наличии, что еще более увеличивает время цикла МК [1, 2].
Известны различные способы гашения неуправляемых колебаний груза [3, 4, 5, 6, 7]. В настоящей работе использовался способ приближения фактической пространственной траектории перемещения груза МК к требуемой с одновременным гашением неуправляемых колебаний груза, когда требуемая траектория задана при помощи сигмоидальных функций [4].
Он заключается в формировании в режиме реального времени оптимальной траектории движения верхней подвижной точки подвеса груза на грузовых канатах при помощи ПИД-регуляторов с целью максимального приближе-
ния фактической траектории движения груза к требуемой. В результате синтезируется такая заданная траектория точки подвеса, при движении по которой груз будет двигаться по траектории, незначительно отличающейся от заданной сигмоидальными функциями [4].
Особенностью сигмоидальных функций является плавное нарастание первой и второй производных такой функции по времени от нуля до максимального значения и последующий плавный их спад до нуля. Вследствие этого заданная траектория точки подвеса характеризуется сравнительно небольшими ускорениями и скоростями одного порядка с требуемыми ускорениями и скоростями груза на сигмоидальной траектории
[4].
Описание проблемы. Сложность реализации заданной траектории точки подвеса, обеспечивающей гашение неуправляемых колебаний груза на реальном МК заключается в том, что мост и грузовая тележка оснащаются, в подавляющем большинстве конструкций МК, электрическими приводами в виде электродвигателей переменного тока с релейным управлением. Для таких приводов целесообразно использовать минимальное число включений и выключений, поскольку дополнительные пуски приводят к появлению больших пусковых токов и уменьшают срок службы электродвигателей [8].
В то же время большая инерционность моста и грузовой тележки с грузом не позволяют обеспечить движения моста и грузовой тележки МК, а следовательно, верхней точки маятниковой системы свободного канатного подвеса гру-
Рис. 1. Разработанная конструкция мостового крана с двумя дополнительными тележками для быстрого перемещения точки подвеса и гашения неуправляемых колебаний груза
за, с большими ускорениями, в связи с наличием конструктивных ограничений по сцеплению приводных колес моста и грузовой тележки с рельсами, по которым они передвигаются.
Для решения данной проблемы авторами были разработаны конструкции МК с дополнительными механическими элементами для быстрых перемещений точки подвеса груза [9]. В конструкции МК с двумя дополнительными тележками, в виде рам снизу основной грузовой тележки (рис. 1). Перемещение двух дополнительных тележек двумя гидроцилиндрами в горизонтальной плоскости в двух перпендикулярных направлениях приводит к созданию подвижной точки подвеса относительно основной грузовой тележки. Высокое быстродействие гидропривода, способность обеспечивать большие скорости и ускорения по сравнению с электроприводами моста и основной грузовой тележки МК, малая масса штоков гидроцилиндров и роликов подвижной точки подвеса способны компенсировать перечисленные выше недостатки электроприводов и большую инерцию масс моста и основной грузовой тележки.
В то же время все гидроцилиндры имеют достаточно ограниченный ход штока. Это требует решения оптимизационной задачи координации двух траекторий: точки, связанной с основной грузовой тележкой мостового крана, и подвижной точки подвеса груза на нижней дополнительной тележке в задаче гашения неуправляемых колебаний.
Задача оптимизация целевой функции. В
качестве целевой функции выступает наибольшее значение Дтах одного из двух максимальных (на временном отрезке реализации заданной траектории точки подвеса груза) отклонений положений штоков каждого из двух гидроцилиндров дополнительных тележек ДХ(0 и ДДО от собственного срединного положения по запасам ходов штоков на выдвижение и втягивание.
Целевую функцию необходимо минимизировать (Дтах^-тт), т.к. это позволит использовать в конструкции МК гидроцилиндры меньших габаритных размеров с меньшими значениями предельных ходов штоков.
В качестве примера, имеющего важное практическое значение, рассматривалась заданная траектория перемещения груза в виде дуги для обхода грузом единичного препятствия. При реализации данной траектории колебания приобретают сложный пространственный характер. Для их гашения необходимо задействовать оба рабочих движения МК, т.е. перемещения точки подвеса в двух взаимно-перпендикулярных направлениях.
Значение целевой функции при исследованиях было получено путем обработки (получения разностей) временных зависимостей значений горизонтальных координат двух точек, дви-
гающихся одновременно по двум траекториям: 1) траектории подвижной точки подвеса груза полученной при помощи ПИД-регуляторов (далее траектории № 1), обеспечивающей устранение неуправляемых колебаний груза путем отработки заданной траектории груза, когда последняя описана при помощи сигмоидальных функций; 2) траектории основной грузовой тележки мостового крана в горизонтальной плоскости (далее траектории № 2), полученной путем разгонов и торможений моста и основной грузовой тележки штатными электроприводами со сравнительно малыми постоянными ускорениями.
Описанное выше срединное положение штоков гидроцилиндров при решении оптимизационной задачи принято соответствующим совпадению координат точек на траекториях № 1 и № 2.
Требуемая траектория перемещения груза, используемая для синтеза траектории № 1, формируется при помощи двух сигмоидальных (логистических) временных функций отдельно по каждой горизонтальной координате Х0, Z0 пространства в неподвижной декартовой системе координат О0Х0У0^0. Координаты общей траектории в виде дуги для обхода грузом единичного препятствия задаются следующими временными зависимостями [4]:
ХР (г, а, с) = ¡х/ (1 + е~а<(-с)); 1тр(г,аиС1,а2,е2) = & • ка)/((1 + е"*' ^)) • (1 + е-*2' (г-С2)));
Ггр = еош1,
(1) (2) (3)
где t - время; Хтр, %тр — требуемые горизонтальные координаты груза в момент V, УТР — вертикальная координата груза; а, с, а1, с1, а2, с2 — параметры сигмоидальных функций; 1Х — заданная длина перемещения груза вдоль оси ОоХо (начальная и конечная точки имеют нулевую координату Z=0); 5Х — размер наибольшего заданного смещения дуги требуемой траектории груза вдоль оси О0Х0 (для обхода препятствия); кХ — коэффициент коррекции наибольшего значения смещения груза вбок.
-а1 ■ (с-с1 )) ' (1 ^ а-а2 ■ (с С2 )
К = (1
= 11 + е
1 + е "2' (С_С2)).
(4)
Функция (2) является произведением двух функций вида (1) — нарастающей и ниспадающей, с отличным друг от друга временем точек перегиба. Параметры с, с1, с2 задают время точек перегиба сигмоидальных функций. Параметрами а, а1, а2 определяются скорости изменения (роста или спада) функций.
Для изменения формы траектории груза используется коэффициент киЛ характеризующий относительное удаление друг от друга двух, перемножаемых в выражении (2), простых сигмо-идальных функций.
Условное время перемещения точки подвеса груза ТП по результатам проведенных исследований входит в пределы ТП=1,33333ТГР, где ТГР — условное время перемещения груза.
При использовании порогового значения сигмоидальной функции Р=0,999, при достижении которого заданное перемещение груза считалось завершенным, параметры сигмоидальной функции (1) определялись выражениями [4]:
а ■
= 1п(1/Р -1)/(- ТГР/2); с = 2' ТГР/2, (5)
где Тгр=0,75Тл.
Параметры функции (2) задавались следующими зависимостями [4]:
а1=а; а2= —а; с^с—ки^Тгр; С2=с+кЫ'Тгр. (6)
В результате в декартовой системе координат ОХ0¥010 формируется траектория груза ХГР((), ZГР(t) в виде дуги.
Траектория № 1 перемещения подвижной точки подвеса груза Хд(0, ZП(t) (ниже точки подвеса груз свободно раскачивается на грузовых канатах) формируется по траектории груза при помощи ПИД-регуляторов согласно схеме связей, представленной на рис. 2 [4].
Траектория № 1 описана временной зависимостью с дискретным постоянным шагом времени, поскольку получение ее аналитического выражения затруднено. На рис. 3 приведен пример требуемой траектории груза при значениях параметров Тя=21 с, 1Х =12 м, sx =6 м, ки^=0,35, и сформированной по ней требуемой траектории подвеса (траектории № 1). Длина подвеса груза (расстояние от подвижной точки подвеса до центра масс груза) составляла Ь=12 м. Масса груза тГР=100 кг. Коэффициент демпфирования по угловой координате отклонения грузового каната от вертикали 6=100 Н-м/(рад/с).
Траектория № 2 ХЦО, ZТ(t) также формировалась путем дискретного представления временных зависимостей ускорений, скоростей и перемещений ХМ(0 моста и основной грузовой тележки ZТ(t), приводимых в движение штатными электроприводами МК. Было принято допущение о постоянных значениях ускорений при разгонах и торможениях моста и основной гру-
зовой тележки МК. Значение скорости вычислялось путем численного интегрирования ускорения. Значение перемещения в свою очередь -путем численного интегрирования скорости. Максимальные скорости установившегося дви-
Задатчик требуемой координаты груза ХТР
жения моста и основной грузовой тележки исследуемого МК составляют: для моста Умост тах=1,5 м/с; для грузовой тележки
Утел тах=0,7 м/с [10].
Рис. 2. Схема связей для построения модели механической системы мостового крана с ПИД-регуляторами, подвижная точка подвеса груза которого гасит неуправляемые колебания груза
10
Хтр, Zтp, ХП, 2П, м ХТР
2ТР //Хп
^п /
—►
0
5
10
15
20
25
с
30
Рис. 3. Требуемая траектория перемещения груза и сформированная траектория перемещения точки подвеса
(пример для lx =12 м, sx =6 м, £„¿=0,35)
Моделировались перемещения моста и основной грузовой тележки исследуемого МК по следующей траектории: 1) для моста - разгон от нулевой скорости до Умост тах с ускорением
лмост разг?
затем движение в установившемся режиме (умост тах=1,5 м/с), затем полная остановка моста с ускорением торможения амост торм; 2) для грузовой тележки - комбинация из двух последовательно выполняемых перемещений на одно и то же расстояние, аналогичных перемещениям моста (п. 1) в прямом, а затем в обратном направ-
лениях с паузой (остановкой продолжительностью тл ост) между ними. ателразг, ател торм обозначены ускорения разгона и торможения основной грузовой тележки соответственно.
Заданное перемещение основной грузовой тележки 5х0 вдоль оси 00Х0 было представлено как сумма заданного бокового смещения груза ъх и величины коррекции бокового смещения
Sx0=Sx+dSx. (7)
5
0
Полное общее время перемещения моста с грузовой тележкой tполн определялось как максимальное из двух значений полного времени перемещения моста и полного времени перемещения основной грузовой тележки. Запаздывание Ъап момента начала перемещения того подвижного элемента МК (моста или основной грузовой тележки), время перемещения которого наименьшее, относительно момента начала перемещения подвижного элемента, время перемещения которого наибольшее, определялось по следующей зависимости:
1зап \(^мост полн тел полн)| Part, (8)
где РаМе [0; 1] — безразмерный долевой коэффициент, характеризующий смещение момента начала перемещения одного подвижного элемента относительно момента начала перемещения второго подвижного элемента МК;
1мост полн?
t п.
полного времени перемещения моста и
основной грузовой тележки соответственно.
Все перечисленные выше независимые параметры, характеризующие процессы синтеза и координации (совмещения) траектории № 1 и траектории № 2, могут быть разделены на 3 группы: 1) Параметры, характеризующие траекторию, по которой требуется переместить груз:
Тп, lx, sx, kud; 2) Параметры, характеризующие механическую систему МК: L, тГР, b; 3) Параметры, характеризующие траекторию перемещения основной грузовой тележки в горизонтальной плоскости (траекторию № 2): lx, sx0,
Part, tтел ост? амост разг, амост торм, vмост max? ател разг, ател торм, vтел max-
Параметры размеров требуемой траектории груза lx, sx при решении описываемой задачи считались заданными исходными данными и не оптимизировались. В то же время характеризующие траекторию, по которой требуется переместить груз, параметры ТП и kud могут быть скорректированы без изменения габаритных размеров требуемой траектории груза lx, sx.
Параметры ускорений и максимальных скоростей движения моста и основной грузовой тележки также при решении задачи были фиксированными.
Из 15 перечисленных независимых параметров 10 будут заданными: lx, sx, L, тГР, b,
амост разг, амост торм, vмост max? ател разг, ател торм,
vтел max, и только оставшиеся 5 могут быть оптимизированы: Тп, kud, Part, $тел осm,
Значение целевой функции определялось выражением
где
tкон—max(tnолн; тп).
(10)
Запаздывание Ъап момента начала реализации той траектории (№ 1 или № 2), время реализации которой наименьшее, относительно момента начала реализации той траектории, время реализации которой наибольшее, определялось по следующей зависимости:
^:зап0~ |(tполн — ТП)Ь0,5-
Пример оптимизации. Оптимальные значения ТП, kud, Part, t^ ост и sx0 находились Симплекс-методом [11, 12] по условию минимизации значений Amax при начальных условиях
ТП=30 с; kud=0,3; Part=0,5; 1:тел ост=1 с; sx0=sx- (12)
Для сведения задачи условной оптимизации к задаче безусловной оптимизации, для решения которой применим симплекс-метод, использовался метод добавления к основной функции (9) штрафных функций при выходе параметров за диапазоны варьирования [11, 12]:
Дшах=тах({ХД0—ХМ(0|}; Ш^Ш), ^ [0; Ткон], (9)
В качестве примера, на рис. 4 приведены временные зависимости координат траекторий № 1 и № 2, покоординатных отклонений двух указанных траекторий друг от друга (необходимых для реализации траектории № 1 подвеса отклонений положений штоков каждого из двух гидроцилиндров дополнительных тележек ДХ(1) и ДZ(t) от собственного срединного положения по запасам ходов штока на выдвижение и втягивание) и виды в плане двух траекторий.
Фиксированные заданные параметры принимали значения /Х=12 м; sx=6 м; Ь=12 м;
(11)
тгр=100 кг; b=100 Нм/(рад/с); амост разг=0,4 м/с2;
амост торм 0,75 м/с ; vмост max 1,5 м/с; ателразг 0,54
м/с ; ател торм=0,67 м/с ; V,
тел max
Тп G [18;®]; kud^ [0,1;0,5]; PartG [0,1;0,9];
^ел ост G [0,1;®];Sx0G [0,1;®].
(13)
=0,7 м/с.
На рис. 4, а (левый ряд) зависимости соответствуют начальным условиям (12), а на рис. 4, б (правый ряд) — оптимальным значениям переменных факторов:
Тд=21,06 с; ки^=0,34983; Раг1= 0,4635;
^ел ост= 1,0317 с; 5x0= 0,1559. (14)
Значения целевой функции Дтах до и после оптимизации переменных факторов составили 1,098 и 0,313 м соответственно.
То есть, для реализации исследованной траектории с габаритными размерами /Х=12 м, 5Х=6 м без оптимизации, должны быть использованы
гидроцилиндры с максимальными значениями ходов штоков 1,098 2=2,196 м, а после оптимизации - с максимальными значениями ходов
а) б)
Рис. 4. Временные зависимости координат траекторий № 1 и № 2, покоординатных отклонений двух указанных
траекторий друг от друга и виды в плане двух траекторий
Выводы. Проведенные исследования показали, что значение целевой функции Amax при оптимизации ряда параметров без изменения габаритных размеров требуемой траектории груза может быть уменьшено более чем в 3 раза. Это позволит уменьшить хода штоков и размеры гидроцилиндров, используемых для быстрого перемещения точки подвеса груза и устранения его неуправляемых пространственных маятниковых колебаний.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Щедринов А.В., Сериков С.А., Колмыков В.В. Автоматическая система успокоения колебаний груза для мостового крана // Приборы и системы. Управление, контроль, диагностика. 2007. № 8. С. 1317.
2. Толочко О.И., Бажутин Д.В. Сравнительный анализ методов гашения колебаний груза, подвешенного к механизму поступательного
движения мостового крана // Электромашиностроение и электрооборудование. 2010. № 75. С. 22-28.
3. Blackburn D., Singhose W., Kitchen J., Pa-trangenaru V., Lawrence J. Command Shaping for Nonlinear Crane Dynamics // Journal of Vibration and Control. 2010. № 16. pp. 477-501.
4. Korytov M.S., Shcherbakov V.S., Volf E.O. Impact sigmoidal cargo movement paths on the efficiency of bridge cranes // International Journal of Mechanics and Control. 2015. Vol. 16. № 2. pp. 38.
5. Omar H.M. Control of gantry and tower cranes : PhD Dissertation. Virginia Polytechnic Institute and State University. Blacksburg, Virginia. 2003.100 p.
6. Abdel-Rahman E.M., Nayfeh A.H., Masoud Z.N. Dynamics and control of cranes : a review. Journal of Vibration and Control. 2003. № 9. pp. 863-908.
7. Fang Y., Dixon W.E., Dawson D.M., Zergeroglu E. Nonlinear coupling control laws for an underactuated overhead crane system // IEEE/ASME Trans. Mechatronics, 2003. Vol. 8. № 3.pp.418-423.
8. Москаленко В.В. Электрический привод. М.: Академия, 2007. 368 с.
9. Патент РФ № 2014120325/11, 20.05.2014. Щербаков В.С., Корытов М.С., Вольф Е.О. Мо-
стовой кран // Патент России № 146374. 2014. Бюл. № 28.
10. Иванченко Ф.К. Расчеты грузоподъемных и транспортирующих машин. Киев: Вища школа. 1978. 576 с.
11. Васильев Ф.П. Методы оптимизации. М.: Факториал Пресс, 2002. 824 с.
12. Банди Б. Методы оптимизации. Вводный курс: пер. с англ. М.: Радио и связь. 1988. 128 с.
Korytov M.S., Scherbakov V.S.
COORDINATION OF TRAJECTORIES OF THE CARGO CART OF THE BRIDGE CRANE AND MOBILE POINT OF THE SUSPENSION OF FREIGHT IN THE PROBLEM OF CLEARING OF UNCONTROLLABLE FLUCTUATIONS
The way of coordination of two trajectories of the cargo cart of the bridge crane and mobile point of a suspension offreight by criterion of the minimum deviation between the points moving on two trajectories when performing a condition of clearing of pendulum spatial fluctuations offreight is described. In the mode of clearing offluctuations the point of a suspension offreight has to move on the curvilinear trajectory synthesized on the set sigmoidal trajectory of movement offreight with the help пропорционаnbно-инmеграnbно-ди$$еренциаnbнblх regulators. The electric drive of the bridge and the cargo cart of the bridge crane with relay management does not allow to provide the movement of the bridge and the cargo cart of the crane and consequently, the top point ofpendulum system of a free rope suspension offreight, on the trajectory necessary for clearing offluctuations. Perhaps only the maximum approach of a trajectory of the cargo cart to the trajectory of a mobile point of a suspension offreight demanded for clearing offluctuations. Use of the hydraulic drive moving a point of a suspension offreight of rather cargo cart and realizing thus the trajectory demanded for clearing of fluctuations can finally solve a problem. It is shown that optimization allows to reduce several times the course of rods and the sizes of the hydraulic cylinders used for fast movement of a point of a suspension offreight and elimination of its uncontrollable spatial pendulum fluctuations. Key words: bridge crane, PID-regulation, sigmoidal, trajectory, clearing of fluctuations, load
Корытов Михаил Сергеевич, доктор технических наук, доцент, профессор кафедры «Автомобили, конструкционные материалы и технологии».
Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия. Адрес: Россия, 644080, г. Омск, пр. Мира, д. 5. E-mail: kms142@mail.ru
Щербаков Виталий Сергеевич, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Автоматизация
производственных процессов и электротехника».
Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия.
Адрес: Россия, 644080, г. Омск, пр. Мира, д. 5.
E-mail: sherbakov_vs@sibadi.org
