CC BY
66
УДК 621.396.662
ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В СИНТЕЗАТОРЕ ЧАСТОТ С ОДНОВРЕМЕННО КОММУТИРУЕМЫМИ ТРАКТАМИ ПРИВЕДЕНИЯ ЧАСТОТЫ И КАНАЛАМИ УПРАВЛЕНИЯ СИСТЕМЫ ФАПЧ
C.К. Романов, Н.М. Тихомиров, А.В. Гречишкин, Д.Н. Рахманин, В.Н. Тихомиров
ОАО "Концерн "Созвездие", Воронеж, Российская Федерация e-mail: skromanov@rambler.ru; tikhomir@sozvezdie.su; azoff88@mail.ru rax_d@mail.ru; vtikhomirov@mail.ru
Найдены аналитические выражения для определения времени переходных процессов в системе ФАПЧ с одновременной коммутацией каналов управления и трактов приведения частоты — аналогового (основного) и цифрового (вспомогательного, служащего для начальной настройки частоты выходного сигнала синтезатора). Эти выражения получены с учетом режима биений при работе цифрового тракта приведения ФАПЧ. Проведено сравнение результатов расчетов по указанным выражениям и результатов моделирования переходных процессов в ФАПЧ с использованием подсистемы Simulink power system системы MATLAB.
Ключевые слова: синтезатор частот, фазовая автоподстройки частоты, коммутация, тракт приведения, дробный делитель, режим биений, канал управления, помеха коммутации.
TRANSIENT PROCESSES IN THE FREQUENCY SYNTHESIZER WITH SIMULTANEOUSLY SWITCHED PATHS OF FREQUENCY-LOCKED LOOP AND CONTROL CHANNELS OF PHASE-LOCKED LOOP
S.K. Romanov, N.M. Tikhomirov, A.V. Grechishkin,
D.N. Rakhmanin, V.N. Tikhomirov
OAO "Kontsern "Sozvezdie", Voronezh, Russian Federation
e-mail: skromanov@rambler.ru; tikhomir@sozvezdie.su; azoff88@mail.ru
rax_d@mail.ru; vtikhomirov@mail.ru
Analytical expressions for duration of transient processes in phase-locked loop (PLL) with simultaneous switching of control channels andfrequency-locked loop paths, i.e., for analog (main) and for digital (auxiliary, used for the initial frequency adjustment of the synthesizer output signal) chains are found. The expressions are derived with consideration for the beating mode during the PLL digital chain (frequency-locked loop) operation. The comparison of results of calculations using these expressions with results of modeling of PLL transient processes using MATLAB Simulink is performed.
Keywords: frequency synthesizer, phase-locked loop, switching, frequency-locked loop path, fractional divider, beating mode, control channel, switching interference.
Введение. Основными вопросами при разработке синтезаторов частот (СЧ) для аппаратуры связи являются обеспечение требуемого "малого" времени в режиме перестройки в диапазоне частот с определенным шагом и малого уровня собственных шумов в стационарном режиме, когда осуществляется работа радиоустройств. На практике широко используются СЧ на основе импульсных систем ФАПЧ (СЧФАПЧ)
с делителями и переменными коэффициентами деления частоты (ДПКД) или дробными ДПКД (ДДПКД) в цепи обратной связи [1-3]. Однако эти коэффициенты, обладая положительными свойствами, не обеспечивают требуемый малый уровень шумов в полосе пропускания ФАПЧ вследствие эффекта умножения собственных шумов элементов системы в N раз ^ » 1), где N — коэффициент деления ДПКД или ДДПКД. Для уменьшения такого эффекта разработчики СЧ, применяя импульсную систему ФАПЧ в качестве фильтрующего устройства, отказываются от использования делителей в тракте приведения частоты (ТПЧ) управляемого генератора (УГ) к частоте сравнения импульсного частотно-фазового детектора с зарядовой накачкой (ЧФД). Для этого в качестве ТПЧ применяют смесители (до двух и более [2, 4]), на которые из датчика опорных частот (ДОЧ) подаются дискретно-перестраиваемые по частоте сигналы. Применение таких ТПЧ обеспечивает условие N = 1 и позволяет достичь малый уровень шумов в полосе пропускания ФАПЧ. Однако возникает задача быстрого введения ФАПЧ в синхронизм при перестройке в широком диапазоне рабочих частот СЧФАПЧ. Для решения этой задачи в работе [4] предложено использовать два коммутируемых ТПЧ — тракт с делением частоты ТПЧд и аналоговый тракт ТПЧА. Эти тракты применяются на двух интервалах времени (рис. 1).
На первом интервале времени к ЧФД1 (далее проанализирована система с двумя детекторами ЧФД1 и ЧФД2) подключается фильтр нижних частот (ФНЧ1) с помощью ключа коммутатора КЗ (положение 1, см. рис. 1), образуя первый канал управления. В цепь обратной связи ФАПЧ подключается ТПЧд (ДДПКД) и осуществляется режим настройки частоты и фазы сигнала УГ с некоторой точностью
Рис. 1. Cхема СЧФАПЧ3 с одновременно коммутируемыми ЧФД, ТПЧ и ФНЧ:
Фуг (£) — фаза УГ; /УГ (£) — частота УГ; N — целое значение дробного коэффициента деления ТПЧд; ifdl ifd2 (^ — токи накачки для ФНЧ1 и ФНЧ2
(подлежащей определению). На первом интервале времени ЧФД2 отключается от ФНЧ2 (не показано на рис. 1), а на ФНЧ2 через повторитель сигнала (П) и замкнутые ключи коммутаторов К1 и К2 с выхода ФНЧ1 подается сигнал e$(t).
Через некоторое время tk (подлежащее определению) с помощью ключа КЗ (переводится в положение 2) ТПЧд и ЧФД1 отключаются из цепи обратной связи ФАПЧ, а подключаются ТПЧА, ЧФД2 и ФНЧ2 (второй канал управления). Затем выполняется окончательный режим настройки (слежения) частоты и фазы сигнала УГ. При этом ключи коммутаторов К1 и К2 размыкаются.
К таким традиционным элементам СЧФАПЧ (см. рис. 1), как ЧФД1 и ЧФД2, ДОЧ, ТПЧА, ТПЧД (ДДПКД), ФНЧ1 и ФНЧ2 (для примера система ФАПЧ третьего порядка (ФАПЧЗ) с элементами Сц, Ли, С21 и С12, Л12, С22), УГ, моделируемый сумматором (СУМ) и усилительно-интегрирующими элементами £УГ и 2n/s, добавлены таймерное устройство (Т), задающее интервал времени коммутации tk и управляющее ДОЧ, ЧФД1, ЧФД2, ключами коммутаторов К1, К2, КЗ и запускаемое от сигнала U(t). Напряжение U(t) в начале переходного процесса (Ппр) представляет собой единичную функцию U(t) = —Umax1(t) с уровнем Umax, определяющим диапазон перестройки импульсной системы ФАПЧ Д/УГ = /УГв — /УГн = U^^^ (/УГв, /УГн — верхняя и нижняя частоты настройки УГ; знак "-" перед величиной Umax выбран произвольно). Примем, что ключи коммутаторов К1, К2, КЗ — идеальные устройства, имеющие в замкнутом состоянии нулевое сопротивление, а в разомкнутом — бесконечно большое, паразитные емкости равны нулю. В датчик обратной частоты входит опорный генератор, набор сигналов с дискретно-перестраиваемыми частотами, подаваемыми на ТПЧА, формирователь сигнала с фазой ФоСО, частота которого либо постоянна при ключе КЗ в положении 1, либо дискретно переменна при ключе КЗ в положении 2 (схема ТПЧА не детализируется, так как вариантов его построения очень много).
Постановка задачи. Для рассматриваемого СЧФАПЧЗ (см. рис. 1) актуально решение следующих задач при изучении переходного процесса Ппр, возникающего при перестройке выходного сигнала по частоте ПпрЧ и фазе ПпрФ.
Задача 1. Определение времени коммутации ключа КЗ из режима настройки (КЗ в положении 1) в режим слежения (КЗ в положении 2), которое минимизирует общее время переходного процесса УГ по частоте ПпрЧ и фазе ПпрФ.
Задача 2. Определение времени переходного процесса СЧФАПЧЗ по частоте ПпрЧ и фазе ПпрФ с учетом решения задачи 1.
Решению этих задач и посвящена настоящая работа.
Допущения. При дальнейших исследованиях примем, что в момент коммутации ключа КЗ из положения 1 в положение 2 в составе
сигнала и(£) на СЧ воздействует помеха коммутации вида иП 1(£—¿к) и разность фаз Ф0 (£к) — Ф^(£к) (Ф0 (£к), Ф^ (£к) — фазы опорного сигнала с ДОЧ, ТПЧд или ТПЧА). Разность фаз случайна и может находится в диапазоне значений ±2п. Также предположим, что "замороженные" передаточные функции системы ФАПЧ3 различны для ключа КЗ в по-
ФУГ (iu)
ги
— ^ФАП2 I —
ложениях 1 и 2, но подобны: СФАП1 (гш) = т , ч ~ФАП2 , ,
Ф^ (гш) V к у
где к — коэффициент.
Нелинейная функция ^(АФ) = F(Ф0(£)—Ф^(£)), характеризующая функционирование ЧФД1 и ЧФД2, приведена на рис. 2.
Функция F(АФ) является неоднозначной функцией: если АФ(£) — постоянно нарастающая величина (АФ(£) > 0 толстые линии), то F(АФ) > 0; если АФ(£) меняет знак, то и F(АФ) может изменить знак и перейти из положительной области в отрицательную (тонкие линии). Частотно-фазовый детектор с такой характеристикой обладает частотно-различительным свойством.
В широкодиапазонных СЧФАПЧ в начале переходного процесса Ппр возникает так называемый режим биений (ПпрБ). При этом режиме разность фаз сигналов на выходе импульсного ЧФД больше 2п. Применение ДДПКД в ТПЧд приводит к увеличению длительности режима биений ПпрБ и доля длительности биений в общем времени переходного процесса Ппр зачастую становится недопустимо высока.
В работе [5] с использованием компьютерных программ, разработанных в системе МЛТЬЛБ, подробно исследуются переходные процессы Ппр в импульсной системе ФАПЧ. В настоящей работе предложены "точные" данные времени переходного процесса при режиме биений ПпрБ, которые сравниваются с результатами, полученными приближенным способом в работе [5]. Теоретические результаты проиллюстрированы на системе ФАПЧ3.
Кривые переходного процесса Ппр в системе ФАПЧ3, построенные по модели с параметрами £УГ = 20 МГц/в, А/УГ = 100 МГЦ, разрабо-
Рис. 2. Фазовая характеристика ЧФД с токовой зарядовой накачкой:
¿тах — максимальное значение тока ЧФД1 или ЧФД2
танной в БтиКпк МЛТЬЛБ, приведены на рис.3. Следует отметить, что:
— на интервале времени 0... tk базовая частота системы ФАПЧЗ составляет шб1 = = 600 000рад/с, период опорного сигнала — ^ = 0,4 • 10—7 с при N = 46, гтах 1 = 5 мА и ключе КЗ в положении 1;
— на интервале времени ... ¿у (интервале подстройки по частоте tpf и фазе где tуf — время процесса по частоте ПпрЧ с точностью установки частоты Д/е; — время процесса по фазе ПпрФ с точностью установки фазы Д/ге) базовая частота системы ФАПЧЗ равна Шб2 ^ х/^таХ25УГ7((С12Тс22)^ = 150 000рад/с при к = 4, ¿0 = 0,4 • 10-7 с, N =1, гтах2 = 10 мА и ключе КЗ в положении 2.
В момент времени создана помеха коммутации в виде дополнительного скачка напряжения иП^) = иП1^ — ) в сигнале и(¿) размахом Д/П = 10 000 Гц, а также начальная разность фаз Фо(^) — ФN (¿к) = 2п.
Согласно кривым, приведенным на рис.З, а, весь интервал времени переходного процесса Ппр можно разбить на два субинтервала: первый — режим захвата 0 ... ¿з (нелинейный режим биений в системе ФАПЧЗ); второй — режим подстройки ¿з.. .¿р, в котором система ФАПЧЗ является линейной системой третьего порядка. На втором субинтервале при t = ¿к осуществляется коммутация функциональных элементов системы — ТПЧ и ФНЧ, а также значений зарядовых токов ЧФД. Поэтому на втором субинтервале ФАПЧЗ можно полагать кусочно-линейной системой.
Рассмотрим более подробно первый субинтервал 0... ¿з, который можно разделить на I участков времени (на рис. З показано шесть участков Тп, т.е. Тп = ¿п — ¿п-1, п = 1,..., 6). Соответствен-
I
но ¿з = ^^ Тп. На каждом участке Тп — т при т ^ 0 (см. рис. 1-З)
п=1
п
ФАПЧЗ — линейная система, в моменты времени ¿п+ = ^^ Т + т
г=1
(п = 1,..., I, т ^ 0) ^(ДФ(t)) = 0. С учетом последнего соотношения, если принять Ф0^) = 0, то можно записать фазу ФУГ^) сигнала УГ на границах участков ¿п в виде:
Фуг (¿П—) = —2пN; (1)
Фуг (¿П+) = 0,
п
где ¿п— = Т — т, т ^ 0.
г=1
Итак, систему ФАПЧЗ как линейную динамическую систему внутри участков периода Тп при t > ¿з можно описать линейными диф-
Рис.3. Переходный процесс Ппр в СЧФАПЧ3 с коммутируемыми ЧФД, ТПЧ и ФНЧ при tk = tkо (а), tk < tkо (б) и tk > tkо (в):
1 — еФ (t) — напряжение на конденсаторах Сц и С12 (на выходе ФНЧ1 и ФНЧ2);
2 — log |[еФ (t) + U (t)]Syr | — отклонение частоты УГ от номинального значения в логарифмическом масштабе; 3 — иЧФд(t) = 2nF(ДФ(£))/гтах — сигнал, пропорциональный F(ДФ(£)); 4 и 5 - аппроксимации кривой 2; 6, 7 — прямые для расчета времени tk
ференциальными уравнениями (1) с учетом скачков ее фазы ФУГ(£) на в моменты времени ¿п.
Применение метода пространств состояний для решения задач. Поведение ФУГ(£) и других координат (состояний) ФАПЧ3 внутри участков периода биения Тп, а также значения периода Тп найдем методом пространств состояний. В качестве состояний примем напряжения на конденсаторах ФНЧ1 и ФНЧ2 (Сц, С21 и иС11 (£), иС21 (¿)) и фазу ФУГ(£) сигнала УГ в качестве выходного сигнала — отклонение частоты от номинала /УГ(£) = $УГ[еФ(£) + и(¿)] и фазу ФУГ(¿) сигнала УГ. Тогда в соответствии с рис. 1 линейные векторные дифференциальные уравнения, описывающие систему ФАПЧ3 на участках периода Тп и при £ > ¿з, имеют вид
(2)
Х(£) = АХ(£) + ВИ(£); у(/) = СХф + Би(*),
где Х(£) — вектор состояния системы; А — матрица системы; В — вектор управления; и = и(¿); У(£) — вектор выхода (для схемы, приведенной на рис. 1: У(£) = [/УГ(£); ФУГ(£)]); С — матрица выхода; Б — матрица компенсации; для ФАПЧ3 Х(£) = [иС21 (£); иС11 (£); ФУГ(£)] или Х(£) = [иС22 (£); иС12 (£); Фуг(£)]. Матрица для £ < ¿к
" — 1/(Дц С21) 1/(ЛЦС21) 0 "
Ai =
1/(R11C11) —1/(R11C11) —imaxi/(2nNCii)
0 2nSyr 0 матрица для t > tk
~ -1АД12С22) 1/(^12^22) 0
12C12) — imax2/(2nC12)
C =
A2 =
0 Syr 0' 0 0 1
0
2nS
УГ
0
; D = [Syr; 0], B = [0; 0; 2nSyr]; на участках периода
Tn начальный вектор состояния равен
X(tn-1) = [uc21 (tn-1); Uo11 (tn-l);0],
вектор состояния — X(tn-) = [UC21 (tn-); UCll(tn-); —2nN], начальный вектор состояния для линейного режима ФАПЧ при t > t3 (t = t3) — X(ti) = [Uc2i(ti); UcII(ti);0].
Далее для решения поставленных задач будем использовать MATLAB. Отметим, что матрицы X, B, Y, D записаны в соответствии с правилами оформления матриц в MATLAB. В пакете прикладных программ Control System Toolbox MATLAB представление модели системы регулирования, которой является ФАПЧ3, в виде четверки матриц A, B, C, D называется представлением в SS-форме пространств состояний [6, 7].
При решении (2) удобно использовать модальную каноническую модель динамической системы, в которой переходная матрица имеет диагональную форму. Для формирования такой канонической SS-модели используем функцию eig в MATLAB [6]:
[P, Ад] = eig(A),
где Ад — диагональная матрица, содержащая на главной диагонали собственные числа матрицы A; P — матрица правых собственных векторов А. Используем матрицу P для преобразования вектора состояний X в вектор Хс. Новый вектор состояния Хс связан с исходным вектором соотношением XC = P-1X, тогда система уравнений (2) преобразуется к виду
X с = АдХс + Вди; (3)
Y = СдХс + DU. (3)
Здесь P-1 — матрица, обратная к матрице P; Ад = P-1AP; Вд = P-1B; Сд = CP.
На интервалах движения t < tk и t > tk существуют две матрицы А, следовательно, и две матрицы преобразований P1 и P2, а также пары матриц Вд1, Вд2 и Сд1, Сд2.
Известно, что решение (3) для U(t) = const = U можно записать
как
Xc(t) = #(t)Xo(0) + A-^(t) - E]BflU, (4)
где Ф^) = diag [exp(a1t), exp(a2t), exp(a3t)] — переходная диагональная матрица для системы ФАПЧ третьего порядка; а1,а2,а3 — собственные значения матрицы А; Хс(0) — начальное значение вектора состояния на своем подынтервале времени; A-1=diag [1/а1,1/а2,1/а3] — матрица, обратная матрице Ад; Е — единичная диагональная матрица; U = —Umax на интервале времени t < tk и U = —Umax + Un на интервале времени t > tk.
Полагая, что на субинтервале времени tn-1+ ...tn- в (4) Ф^) = =Ф^—tn-)=diag [exp(an(t—tn-)), exp(«21(t—tn-)),exp(«31(t—tn-))], Хс(0) = XC1(tn-1+) и t = tn-, с учетом (1) получаем трансцендентное уравнение для определения периода биений Tn:
СД1уг{Ф1(Тп)Хс1 (tn-1+) + А"1[Ф1(Т„) — Е]Вд1(—Umax)} = —2nN,
(5)
где Сд1уг — вторая строка матрицы Сдь Xw(in-1+) = P- 1X(tn-1+); X(tn-1+) = X(tn-1-) за исключением состояния ФУГ^п-1+) = 0. Решение (5) можно найти, используя различные итерационные процедуры, в частности в MATLAB функцию fzero. Определив период биений Tn, находим из (4) вектор состояний ФАПЧ3:
X1(tn-) = P1^1(Tn)Xc1(tn-1+)+ А"1[Ф1(ТП) — Е]Вд1( —Umax)}. (6) Таким образом, (5) и (6) — это система нелинейных разностных урав-
нений определения периода биений Тп и состояний системы ФАПЧ3 в моменты времени ¿п, решаемая до момента времени ¿з, пока корень уравнения (5) существует.
Определение времени переходного процесса. Упрощенное решение задачи. Для уменьшения машинного времени поиска корня Тп уравнения (5) для системы ФАПЧ третьего порядка предлагается способ определения приближенного значения Трп, который используется в качестве первого приближения при решении (5). Способ заключается в следующем: система ФАПЧ3 размыкается в точке подачи ^(ДФ) на вход ФНЧ1, в которую подается сигнал в виде ступенчатой функции с уровнем ±гтах1 /2, тогда фаза сигнала УГ (при нулевых начальных значениях) изменяется по закону
Фуг (¿) =
= —2пД/уг£+02П5УГ'тах\ (£ + (Т11 — Т21 )[£ — Т21 (1 — е-^21 )Л ,
2(Cn + C21) V 2
где Гц = Л11С21; T21 = R11 CnC2i/(Cn + C21). При t > T21
фуг(^) «— 2пд/ ypt + 2nSyrimax\ (t2+(Tu - T21)(t - T21)
2(СЦ + С21Н2
Полагая в этом соотношении ФУГ(£п) = —, ФУГ(£п+1) = —2п(п + + 1)^, а также Трп = ¿п+1 — ¿п, находим разностное уравнение для определения Трп :
Tpn = 0,5
4
w|1Tpn-1
— Tpn-H —
— А/0,25
w|1Tpn-1
— Tpn-H--г при n > 1;
б1
Tp1 = 2
д/
УГ
T11 — T2
21
4
T11 — T2
21
N^621
4
--^ при n = 1.
шб21
Зависимость времени переходного процесса ПпрБ при режиме биений в СЧФАПЧ3 с учетом ¿пз = ¿зшб1 и числа биений I от параметра Д/УГ/(^шб1) (непрерывные линии и столбцовые диаграммы) приведена на рис. 4. Представлено четыре группы кривых, построенных при параметрическом синтезе системы ФАПЧ3 с передаточной функцией в
^ . . Фуг(^) тах 1^УГ(Т118 + 1)
разомкнутом состоянии «ФАП1(^) = , , =77;- п , дГ 2Лг-—г
Фм (в) (С11 + С21)^82(Т218 + 1)
2
4
2
Рис.4. Зависимость времени переходного процесса ПпрБ в режиме биений в СЧФАпчз от параметра А/уг/(N^611) при показателе колебательности М = 1,1 (1), 1,3 (2), 1,5 (3) и 1,7 (4)
для различных значений показателя колебательности [5]. Штрихпунк-тирной линией показаны результаты расчетов времени переходного процесса ПпрБ в режиме биений £рпз = £рзо>б1 в СЧФАПЧ3 по приближенной формуле
tP3 = АТ 2 + T21
U2n П 0,5^ i
где U2nn — расчетный параметр, взятый из работы [5]. Согласно рис. 4, в системе ФАПЧ3, обладающей высоким показателем колебательности , режим биений возникает при меньших относительных значениях диапазона перестройки УГ. Относительная погрешность определения времени режима биений по приближенной формуле при I > 10 составляет менее 7 % , при I = 1 — менее 25 %.
"Точное" решение задачи. Далее подробно рассмотрим линейный режим работы системы СЧФАПЧ3 при t > £з с одновременной коммутацией ЧФД , ТПЧ и ФНЧ в момент времени t = tk.
В результате решений (5) и (6) найдено значение вектора состояний ФАПЧ X(t/+) при t = tj:
X i (ti+ ) = Pi{$1 (Ti)XC1 (tl-1+) + A-1 [Ф1 (Ti) - Е]Вд1 (-Umax)},
где X1 (ti+) = [Uc21 (ti+); UCll(tz+);0].
Поведение состояний ФАПЧ при tk > t > ^ описывается уравнением (4) , в котором XC(0) = XC1 (tз) = P-1 X1 (t/+) и Ф^) = Ф1 (t-tз). Для этого случая вектор выхода запишем в виде
Y = Сд1 {Ф1 (t - tз)Xc1 (tз) + A-1 [Ф1 (t - tз) - Е]Вд1 Umax} +
+D1 (-Umax) =Сд1 [Ф1 (t - tз)Xc1 (tз) + A-1 Ф1 (t - tз)Вд1 (-Umax)]-
-Сд1 A-1 Вд1 (-Umax) + Di (-Umax). (7)
Поскольку система ФАПЧ3 устойчива в "малом", т.е. Y = 0, из
(7) следует, что -Сд1 Л-11Бд1 (-Umax)+D1 (-Umax) = 0. С учетом этого (7) представим как Y = Сд1Ф^ - ^[Xci^) + A-^^-Umax)]. Второй член (7) в квадратных скобках запишем в виде Л-11Бд1(-Umax) = = P-1 X P1 A-^Вд!Umax = P-^-Umax), Где Ист = Р^"^ = = [1; 1; 0] — вектор, определяющий стационарное значение вектора состояний ФАПЧ3 Хст = lim [Uc21 (t); Ucn (t); Фуг(£)] = U
стUmax.
С учетом приведенных соотношений выражение (7) упрощается
Y = Сд1Ф1(^ - ¿з)РГ1АХ1(^з), (8)
где AX1(t3) = X1(t3) + UCT(—Umax) можно считать как отклонение вектора состояния ФАПЧ от стационарного значения.
Из рис. 3, а (кривая 2) следует, что при больших отклонениях времени (t ^ £5, t ^ tk) от моментов возмущений в линейной ФАПЧ3 переходный процесс Ппр для отклонений по частоте ПпрЧ (прямые 4, 5) и фазе ПпрФ можно описывать уравнениями экспоненциальных асимптот (огибающих Ппр):
Af (t) w b/ exp(a(t - tn)); (9)
Фу(£) w б/» exp(a(t - tn)),
где tn = £з или tn = tk; b/ и a — некоторые параметры, подлежащие определению, b/» = 2nb//a.
Если не проводить коммутации ТПЧ (шб = шб1 = шб2), то, используя (9), время tp1/ переходного процесса по частоте ПпрЧ и время переходного процесса по фазе ПпрФ можно определить по выражениям
(Af N 1 (Afie N 1
£р1/ = £з + 1n I "г- -; £Р1/» = £з + 1n
7 / ; pf» л \ 1. /
b/ / a1 V b1/^ у a1
В случае действительного максимального собственного значения a1 max (из значений a11 ,a21,a31) с учетом (9) из (8) при t = £з ... tk получим
Afyr(t) w b1/e^^-^ = C1max/AX„max^зК-^);
Фуг(£) w b^e0—^) = C1max/»AX^x^e^-^, где C1 max /, c1max /», AX0 max(tз) элементы матрицы Сд1 и вектора
AXc1(t3) = P-1AX1 (£з), соответствующие значению a1max. Из (9) имеем b/ = С1 max
/AX
c1 max (tз), b1/i = c1 max /»AX c1 max
Для комплексных собственных значений a1max = Re(a1max) + + i Im(a1max) с максимальной действительной частью Re(a1max) можно найти асимптоты в виде
A/yr(t) W |b1/|e Re(ai max )(^з);
ФуГ (t) W |b1/i|e Re(ai max)(t ^з) ,
где |b1/1 — 2 |Cimax/ AXC1max(^)| i — 2 |cimax/i AXC1 max |. Та-
ким образом, определены асимптотические коэффициенты b1/, b1/i, a1max для расчетов переходного процесса Ппр по отклонению частоты ПпрЧ и фазы ПпрФ сигнала УГ от номинала для t — ¿з... tk • На интервале движения t > tk выражение (4) запишется как
Xc2(t) — Ф2(t - tk)Xc2(tk) + A^^t - tk) - Е]Бд2(и„ - Umax), где
Xc2(tk) — P-1X2(tk) — P-1 [Uc22(tk); UC12 (tk); Фo(tk) - Ф^(tk)],
UC22 (tk) — UC11 (tk)i UCi2 (tk) — UC11 (tk),
а отклонение частоты и фазы сигнала УГ от номинала — в виде Afyr(t) — СД2/Xc2(t) + Df (Un - Umax);
ФУГ^) — Сд2/¿Xc2 (t), ( )
где Сд2/, Сд2/г — первая и вторая строки матрицы Сд2; D/ — $УГ.
Используя соотношения P2 А"21Бд2 — ист (ист — [1; 1; 0] — вектор, определяющий стационарное значение состояний системы ФАПЧ3),
XCT — lim t ^ТО [UC22 (t); Uci2 (t);Фуг(t)] — -Ц-Д^ - Umax) и Сд2/А-^^^п - Umax) + D/(Un - Umax) — 0, выражение (10) представим как
А/уГ2^) — Сд2/Ф2(t - tk)P2-1[X2(tk) + Ист(Ип - Umax)] —
— Сд2/Ф2(t - tk)P-21AX2(tk);
ФуГ2 (t) — Сд2/¿Ф2 (t - tk)P—1 [X2 (tk) + UCT(Un - Umax)] —
— С2/гФ2(t - tk)P-21AX2(tk).
Здесь AX2(tk) — X(tk) + ист(ип - Umax) — [UCn (tk); Ucii (tk); Ф0(tk) - Ф^(tk)] + UCT(Un - Umax) — отклонение вектора состояния ФАПЧ3 от стационарного значения с учетом уровня помехи коммутации Un.
Принимая в (14) t — t/, А/уГ — А/ и t — / ФуГ — А/ге и используя (9), для действительного максимального собственного значения a2max матрицы Ад2 определяем:
А/е — Сд2 max / AXC2max(tk ) exp[a2max (tp/ - tk )]; А/«е — Сд2 max / г AXC2 max (tk )exP[a2max (tp/i - tk )]j
где Сд2max/, C^max/г, AXc2 max — элементы второй строки матрицы Сд2 и элементы векторов AXC2(tk) — P-1AX2(tk), соответствующие значению a2max. Для комплексного собственного значения Ад2, имеющего максимальную действительную часть Re(a2max), запишем
А/ — 2 | Сд2 max / AXc2 max (tk )| exp[ Re(«2 max)(tp/ - tk )]; A/ie — 2 | Сд2 max /iAXC2max(tk )| exp[ Re(a2 max)(tp/i - tk )].
(11)
Из (12) найдем время tp/ и время t/ для действительного значения
a2 max
tP/ = tk +1n ~--г^р-7-Т---;
сд2 max / AXC2max(tk ) а2 max
tp/í = tk + 1n
/__1
AXC2 max (tk ) a2 m
A/i, 1
(14)
Сд2 max /íAXC2 max (tfc ) «2 max
Для комплексного значения а2 max имеем
t — + ln А/е__
2 1 Сд2max/AXC2max(tfc)| Re(a2max)
t -1 A/is 1
tp/¿ — tfe +ln ■
(15)
2 1 Сд2max/^XC2max(tfc)| Re(«2max)
Отметим, что (12)-(14) справедливы при условиях Д/е ^ < C2max / ДXC2 max(¿k),Либо Д/е < 2 |Сд2тах / ДXC2max(tk)| и Д/«е <
^ Сд2 max /^XC2max(tfc ), либ0 Д/^е ^ 2 |C^2max /^XC2max(tfc )|-
Моделирование в Simulink MATLAB. Анализ (13), (15) и моделирование переходных процессов ПпрЧ и ПпрФ в системе ФАПЧ3 с помощью Simulink MATLAB показывают, что при заданных параметрах системы ФАПЧ и уровнях помех Un, Ф0(^) — Ф^(¿k) существует некоторое оптимальное значение tk0, минимизирующее время tp/, t/. Для иллюстрации этого положения обратимся к рис. 3. На рис. 3, а показаны переходные процессы Ппр в СЧФАПЧ3 при tk = tk0, на рис. 3, б — при tk < tk0, на рис. 3, в — при случае tk > tk0. Согласно рис. 3, б, после коммутации система ФАПЧ3 может вновь входить в режим биений и время переходного процесса Ппр возрастет. После коммутации за счет "большой" помехи в виде Ф0 (tk) — Ф^ (tk ) = 2п время переходного процесса Ппр также увеличивается. Зависимость времени переходного процесса ПпрЧ от соотношения (tk — ¿з)/(tk0 — ¿з) приведена на рис. 5 для некоторых параметров системы ФАПЧ3. Зависимость получена путем моделирования переходного процесса Ппр в системе ФАПЧ3 с помощью Simulink MATLAB. Имеет минимум при tk = tk0. В соответствии с полученными выше выражениями в MATLAB разработана программа расчетов времени переходных процессов ПпрЧ и ПпрФ в предложенной схеме СЧФАПЧ3 с учетом его минимизации за счет нахождения оптимального времени коммутации tk = tk0.
Приведем некоторые существенные детали этой программы. Для минимизации времени tp/, t/ и нахождения оптимального времени tk = tk0 в программе использовалась встроенная функция fminbnd, в которой в качестве первого приближения для времени tk0 предложена следующая зависимость:
tki = ¿з + ln , (16)
b2/ а2 max
Рис. 5. Зависимость времени переходного процесса ПпрЧ от отношения
itk-h)l(tko-h)
где b2f = СД2 max f AXc2max (¿з) для действительного значения a2max;
&2/ = 2 |Сд2maxfiAXc2max(t )| ДЛЯ КОМПЛеКСНОГО Значения a2max;
AXC2max (t3) — соответствующая координата вектора AXC2 (t3) = = P-1 [Un; Un; Фо(tk) - (tk)].
Соотношение (16) можно получить, обратившись к рис.3,в: точка tk1 получена как координата x точки пересечения прямых 4 и 7, координата y соответствует координате точки пересечения прямых 5 и 6.
После расчета времени tk0 с использованием функции fminbnd в программе с помощью встроенной функции initial пакета Control System Toolbox проверяется выполнение условия |ФУГ (t)| > 2п при t > tk. Если это условие выполняется, то в целях недопущения появления "вторичных" биений и увеличения времени переходного процесса, время переходного процесса ПпрЧ при t > tk определяется из условия |ФУГ (t)| = 2п при t > tk. При этом для нахождения времени tk0, как корня некоторого уравнения, использовалась встроенная функция fzero, в которой в качестве первого приближения tk0 аналогично применялась зависимость (16) tk1. Соответственно уравнения для определения времени ПпрЧ и ПпрФ по (14) и (15) будут преобразованы заменой величины tk величиной tk0.
С учетом полученных соотношений найдем время переходных процессов ПпрЧ и ПпрФ в СЧФАПЧ3 рассмотренным способом одновременной коммутации каналов управления и ТПЧ. Будем определять нормированное время перестройки СЧФАПЧ3 по частоте и фазе
tpfn — tpf^51 и tpfin = tpfi ^61 - (17)
Результаты исследований. Результаты расчета по (17) времени tpfn для процесса ПпрЧ и времени tpfin для процесса ПпрФ показаны на рис. 6. По оси x отложен нормированный скачок частоты А/УГ/(No>61 ). На рисунке приведены три группы кривых времени переходного процесса Ппр в СЧФАПЧ3 (k = о>61 /^б2 = 1, 2,4). Система ФАПЧ3 имеет две подобные "замороженные" передаточные функции в разомкнутом состоянии:
G (s) — G f s Пуг(s)
kJ П^ (s)
Рис. 6. Зависимости времени tpfп для переходного процесса ПпрЧ и времени ^^п для переходного процесса ПпрФ от параметра А/УГ/(Ышб1) при значениях к = 1 (1), 2 (2) и 4 (3)
Ч21 (T11 s + 1)
G.
ФАП2
(s) =
"max 1 Syr (Гц s + 1)
(C11 + C21 )Ns2 (T21 s + 1) s2 (T21 s + 1)
Фуг (s) = (s) =
^max 2 Syr (T12 s + 1)
при t < tk;
^2 (T12 s + 1)
при t > tk,
(С12 + С22 >2 (Г22 5 + 1) 52 (Г22 5 + 1)
где Т12 = ^12С225 Т22 = ^12С12С22/(С12 + С22)-
Параметры системы ФАПЧ3 определялись с использованием значения показателя колебательности М с помощью выражений, взятых из работы [7]:
Гц =
T12 =
/M/(M - 1) в ;
^61
_ /M/(M - 1) в
;
^62
T21 =
Г22 —
//M(M - 1) (M + 1)^61 ^M(M - 1)
(М +1)^б2 ' где М = 1,3.
На рис. 6 кривые зависимости времени ^п для процесса ПпрЧ показаны сплошными линиями, а кривые зависимости времени ^^п для процесса ПпрФ — штрихпунктирными. Все расчеты времени проводились для Фо) - Ф^^рк) = 2п, 5уг = 20 МГц/В, ¿тах1 = 5мА, ¿тах2 = 10 мА, N = 46, период опорного сигнала ^ = 0,4 • 10-7 с, Д/и = 10 000 Гц, Д/ = 1 Гц, Д/1£ = 1°, Д/уг = 100 МГц. При расчетах параметр Д/УГ/(N0^) изменялся за счет вариации значения об1.
В соответствии с рис. 6 наибольшим быстродействием обладает система ФАПЧ3 с к = 1. Нормированные кривые времени пере-
Бср ре2
Измерительный блок
Рис. 7. Модель в 81шиИпк МАТЬАВ системы ФАПЧЗ с коммутируемыми ФНЧ и ТПЧ
ходного процесса Ппр слабо возрастают с увеличением параметра Д/УГ/^об1). Блочная схема разработанной модели приведена на рис. 7.
Выводы. В заключение отметим, что "точная" и предложенная приближенная методика определения времени переходного процесса Ппр в системе ФАПЧ3 с режимами биений и в линейном режиме с коммутацией каналов управления и ТПЧ при наличии помех коммутации проверена на модели, разработанной в подсистеме БтиКпк МЛТЬЛВ. Сравнение результатов расчетов времени переходного процесса Ппр в этой модели и времени, полученного приближенным способом для СЧФАПЧ3 с одновременно коммутируемыми ЧФД, ТПЧ и ФНЧ, показало целесообразность применения приведенных формул с достаточной для инженерной практики точностью около 5... 10%.
ЛИТЕРАТУРА
1. Синтезаторы частот / Б.И. Шахтарин, Г.Н.Прохладин, А.А.Иванов и др. М.: Горячая линия - Телеком, 2007. 128 с.
2. Шапиро Д.Н., Паин А.А. Основы теории синтеза частот. М.: Радио и связь, 1981. 264 с.
3. Назаренко В.М., Ильинский И.В., Шахтарин Б.И. Быстродействующий цифровой синтезатор частот с высокой разрешающей способностью // Радиотехника. 1982. Т. 37. № 6. C. 54-57.
4. Пат. 7701299 US. Low phase noise PLL synthesizer / Oleksandr Chenakin (US). No. 12/205 632. Заявл. 05.09.2008, опубл. 20.04.2010.
5. Романов С.К., Тихомиров Н.М., Рахманин Д.Н. Методика определения быстродействия синтезаторов частот с коммутацией токов накачки и постоянных времени ФНЧ // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Приборостроение. 2010. № 3. С. 79-93.
6. МедведевВ.С., Потемкин В.Г. Control System Toolbox. М.: Диалог МИФИ, 1999. 287 с.
7. Левин В.А., Малиновский В.Н., Романов С.К. Синтезаторы частот с системой импульсно-фазовой автоподстройки частоты. М.: Радио и связь, 1989. 232 с.
REFERENCES
[1] Shakhtarin B.I. Prokhladin G.N., Ivanov A.A. Sintezatory chastot [Frequency synthesizers]. Moscow, Goryachaya liniya-Telekom Publ., 2007. 128 p.
[2] Shapiro D.N., Pain A.A. Osnovy teorii sinteza chastot [Fundamentals of the theory of frequency synthesis]. Moscow, Radio i Svyaz' Publ., 1981. 264 p.
[3] Nazarenko V.M., Il'inskiy I.V., Shakhtarin B.I. Fast digital frequency synthesizer with high resolution. Radiotekhnika [Radio Eng.], 1982, vol. 37, no. 6, pp. 54-57 (in Russ.).
[4] Chenakin O. Low phase noise PLL synthesizer. Patent US, no. 7701299, 2002.
[5] Romanov S.K., Tikhomirov N.M., Rakhmanin D.N. A technique for determining the performance of frequency synthesizers switching pump currents and LPF time constants. Vestn. Mosk. Gos. Tekh. Univ. im. N.E. Baumana, Priborostr. [Herald of the Bauman Moscow State Tech. Univ., Instrum. Eng.], 2010, no.3, pp. 79-93 (in Russ.).
[6] Medvedev V.S., Potemkin V.G. Control system toolbox. Moscow, Dialog MIFI Publ., 1999. 287 p.
[7] Levin V.A., Malinovskiy V.N., Romanov S.K. Sintezatory chastot s sistemoy impul'sno-fazovoy avtopodstroyki chastity [Frequency synthesizers with a pulse-phase-locked loop]. Moscow, Radio i svyaz' Publ., 1989. 232p.
Статья поступила в редакцию 24.04.2013
Станислав Константинович Романов — канд. техн. наук, ведущий научный сотрудник ОАО "Концерн "Созвездие". Автор более 110 научных работ в области синтеза частот.
ОАО "Концерн "Созвездие", Российская Федерация, 394018, Воронеж, ул. Плехановская, д. 14.
S.K. Romanov — Cand. Sci. (Eng.), leading researcher of OAO "Kontsern "Sozvezdie". Author of more than 110 publications in the field of frequency synthesis. OAO "Kontsern "Sozvezdie", Plekhanovskaya ul. 14, Voronezh, 394018 Russian Federation.
Николай Михайлович Тихомиров — д-р техн. наук, начальник научно-технического управления ОАО "Концерн "Созвездие". Автор более 100 научных работ в области синтеза частот.
ОАО "Концерн "Созвездие", Российская Федерация, 394018, Воронеж, ул. Плехановская, д. 14.
N.M. Tikhomirov — Dr. Sci. (Eng.), head of scientific and technical department of OAO "Kontsern "Sozvezdie". Author of more than 100 publications in the field of frequency synthesis.
OAO "Kontsern "Sozvezdie", Plekhanovskaya ul. 14, Voronezh, 394018 Russian Federation.
Дмитрий Николаевич Рахманин — канд. техн. наук, начальник отдела ОАО "Концерн "Созвездие". Автор более 30 научных работ в области синтеза частот. ОАО "Концерн "Созвездие", Российская Федерация, 394018, Воронеж, ул. Плехановская, д. 14.
D.N. Rakhmanin — Cand. Sci. (Eng.), head of department of OAO "Kontsern "Sozvezdie". Author of more than 30 publications in the field of frequency synthesis. OAO "Kontsern "Sozvezdie", Plekhanovskaya ul. 14, Voronezh, 394018 Russian Federation.
Александр Владимирович Гречишкин — аспирант, ведущий конструктор ОАО "Концерн "Созвездие". Автор более 15 научных работ в области синтеза частот. ОАО "Концерн "Созвездие", Российская Федерация, 394018, Воронеж, ул. Плехановская, д. 14.
A.V. Grechishkin — post-graduate, leading designer of OAO "Kontsern "Sozvezdie". Author of more than 15 publications in the field of frequency synthesis. OAO "Kontsern "Sozvezdie", Plekhanovskaya ul. 14, Voronezh, 394018 Russian Federation.
Владимир Николаевич Тихомиров — аспирант, конструктор ОАО "Концерн "Созвездие". Автор более 10 научных работ в области синтеза частот. ОАО "Концерн "Созвездие", Российская Федерация, 394018, Воронеж, ул. Плехановская, д. 14.
V.N. Tikhomirov — post-graduate, designer of OAO "Kontsern "Sozvezdie". Author of more than 10 publications in the field of frequency synthesis.
OAO "Kontsern "Sozvezdie", Plekhanovskaya ul. 14, Voronezh, 394018 Russian Federation.
