CC BY
42
2007
НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА серия Математика и физика
№ 114
УДК 517.983+517.55+517.95
ПЕРЕХОД ОТ РАЗВИТОЙ ТУРБУЛЕНТНОСТИ К КВАЗИРАВНОВЕСНОМУ СОСТОЯНИЮ
Р.И. БОГДАНОВ1, М.Р. БОГДАНОВ
Переходу от ламинарного течения жидкости (или газа) к турбулентному посвящено огромное количество литературы (особенно в 20-м столетии), связанной с основополагающими работами Л.Д. Ландау, А.Н. Колмогорова и последующими уточнениями сценария перехода, Рюэля, горьковской школы и т.д., учитывающими новые качественные результаты теории динамических систем. Вопросу обратного перехода исследователи уделяли, по-видимому, значительно меньше внимания. В статье предлагается сценарий такого перехода, возникающий в рамках слабо-диссипативной версии теории Колмогорова-Арнольда-Мозера, на основе анализа численных результатов по оценке числа Рейнольдса.
1. Непрерывная модель динамики
Ниже мы в краткой форме, избегая деталей (которые можно найти в [2, 8, 14, 15], а также в библиографических ссылках этих работ), излагаем сценарий асимптотического выхода динамики на странный гиперболический аттрактор через серию мелкомасштабных структур, лежащих в фазовом пространстве в окрестности гиперболического аттрактора с хаотической динамикой. Эти мелкомасштабные (асимптотически устойчивые) структуры обладают более высокой температурой, поэтому мы пользуемся прилагательным “квазиравновесное” в сочетании с понятием “состояние”.
Мы отправляемся от одномерной модели движения жидкости (или газа), определяемой следующим уравнением Ньютона
ди{х)
тх =-----— + / (я) х. (1)
Учитывая далее локальные результаты бифуркации Богданова-Такенса [3, 4,5] мы выбираем потенциал в простейшем нелинейном виде
ТТ х*
Ж + У’
а коэффициент трения / (х) в виде
{(х)=ц + х, где е, ц, - малые вещественные параметры.
Локальный вариант бифуркации Богданова-Такенса с помощью подходящей ренормализации [4] приводит к макромодели уравнения вида (1), где
^ = у - у, /(х)=£ + цх. (2)
Макромодель динамики жидкости (или газа) (2) при условии ц — 0 показывает, что в эйлеровы уравнения мы добавляем маленькую кинематическую вязкость е. Слагаемое /лхх (билинейное трение) можно интерпретировать в качестве модели теплового взаимодействия частицы с внешней средой [5].
Замечание. Исследование бифуркации Богданова-Такенса, выполненное в 70-е годы 20-го столетия, мотивировалось развитием теории бифуркаций динамических систем, восходящей к работам А.А. Андронова совместно с Л.С. Понтрягиным, Пейксото и т.д. [3]. Основной вопрос заключался в доказательстве существования единственного предельного цикла, возникающего в вышеуказанной бифуркации [4].
Исследования выполнены при частичной поддержке фонда РФФИ грант № 04-01-00115.
Замечание. В монографии В.И. Арнольда [3] излагается серия примеров, в которых впервые проявились стохастические свойства решений непрерывных (дискретных) моделей: пример Лоренца, Фейгенбаума, Хенона, Хенона-Хейлеса. В работе [1] в 90-х годах ХХ-го столетия было предложено изучать 5-й пример, названный “Bogdanov map” (подробности ниже, в п. 2). Авторы [1] отметили наличие периодических орбит с периодом 5, 7, 13. В работах [5], [6], отображение “Bogdanov map” было рассмотрено при значениях параметров модели, обеспечивающих наличие богатого семейства периодических орбит. Суть предложения авторов [1] сводится к получению квадратичного возмущённого линейного примера в фазовом пространстве размерности 2 (для этого необходимо в модели Лоренца “выбросить” одно линейное уравнение из двух). Низкая размерность фазового пространства упрощает топологические сложности фазовых траекторий (как в непрерывном, так и в дискретном времени) и позволяет эффективно проводить вычисления на доступных сегодня мощностях и ресурсах ЭВМ.
2. Дискретная модель динамики
В работе [1] было предложено дискретизовать модель (1)-(2) с помощью полуявной схемы Эйлера (координата берётся в текущей точке, а скорость — в точке, сдвинутой вперёд по времени на шаг дискретизации) первого порядка. После новой ренормализации получаются итерации Эйлера (полиномиальные)
/ %п+1 = %П “Ь Уп+1 /"дЧ
\ Уп+1 = Уп + кхп (:Хп - 1) + (в + ЦХп) уп
Таким образом, в рамках вычислительной гидродинамики [11] мы имеем возможность изучать динамику “пробной частицы” на молекулярном (атомарном, электронном) уровне с феноменологическим учётом внешней сплошной среды.
Основной интерес в исследовании динамики, описываемой (3), представляют периодические орбиты.
Периодические орбиты в общем положении являются либо асимптотически устойчивыми (состояния “out”), асимптотически неустойчивыми (состояния “in”) либо гиперболическими (рассеивающиеся центры, образующие область в фазовом пространстве стохастической диффузии Арнольда).
Численные расчёты [5] показывают, что при е,ц ~ 10-5 отображение (2) может иметь
до 103 периодических орбит, причём период меняется в пределах 1 — 108. В частности в [5]
приведены результаты расчетов для значений параметров, указанных в таблице. Здесь h -безразмерный шаг дискретизации: h2 = к.
Таблица
№ £ к II V II 3. н 1 Макросим- метрия
1 -1.0Е-5 1.26150 1.123 5.80Е-5 0.17000 6
2 -1.0Е-5 1.53000 1.237 9.80Е-5 0.10204 5
3 -1.0Е-5 2.02955 1.425 2.85Е-4 0.03500 4
4 -7.0Е-6 2.83910 1.685 2.53Е-4 0.02767 3
В столбце х0 — —е/[1 приведено значение абсциссы нуля “коэффициента трения” / (ж). При / (х) <0 мы имеем диссипацию энергии пробной частицы, а / (ж) > 0 отвечает возбуждению динамики.
Параметры е, /х, к выбирались из соображений охватить все случаи маленьких значений макросимметрии динамики (3). Здесь слово макросимметрия означает наличие периодической орбиты с соответствующим периодом и максимальной площадью бассейна притяжения
Рис. 1. Схематическое расположение орбит типа “ш” в фазовом пространстве и разделяющей их области стохастической диффузии Арнольда
орбиты, т.е. статистическим весом. На рис. 2 представлена иллюстрация макросимметрии порядка 4. По горизонтальной оси меняется координата х: —0/5 ^ х ^ 1; по вертикальной оси координата у: — 0/5 ^ у ^ 0.5. На рис. 3 показана в увеличенном масштабе окрестность одной точки из двух периодических орбит порядка п = 462. Видно, что окрестность одной периодической орбиты “одета” 4 “лепестками”, а другой — 5 “лепестками”.
Несложно оценить размер этой окрестности. Площадь области захвата всей периодической орбиты складывается из приблизительно равных по площади (так как е,/л 1) 462 частей. Площадь одной части оценивается как пг2. Поэтому
Другими словами размеры “лепестка” в нормировке (3) порядка 10~2. Таким образом, для периодических орбит с порядком 108 мы имеем размеры структур (асимптотически (неустойчивых) порядка 10~8Ч-10~9.
Анализ адиабатических инвариантов вдоль периодических орбит [6, 7, 9, 12, 13], таких как: средняя энергия, средняя длина пробега и т.д. разбивает периодические орбиты на группы (кортежи), в которых адиабатические инварианты ведут себя систематическим образом (например, “насыщаются” к постоянной величине с ростом периода). Систематическое поведение адиабатических инвариантов обязано топологии расположения в фазовом пространстве периодических орбит кортежа.
462 • 7гг2 < 1.5-1,
Рис. 2. Иллюстрация случая макросимметрии 4-го порядка
3. Численные результаты
В частности мы получаем возможность оценить число Рейнольдса в зависимости от периода орбиты внутри кортежа. Здесь мы понимаем число Рейнольдса в качестве отношения сил давления к силам вязкости вдоль периодической орбиты.
В наших расчётах давление в состоянии “out” с повышением периода до ~ 107~8 падает на 2 или 3 порядка. Силы вязкости при этом насыщаются, т.е. при величине периода > 102 -г 103 принимают постоянное значение. Таким образом с ростом периода расчёты показывают падение числа Рейнольдса с величин 106 до 103~4. Следовательно мы обнаруживаем тенденцию с ростом периодов перехода от турбулентной динамики ансамбля “пробных частиц” к равновесному движению. Осталось заметить, что масштаб высокопериодичных движений типа “out” уменьшается, а сами эти орбиты “сходятся” к гиперболическому аттрактору, отвечающему стохастической диффузии Арнольда.
Заключение
Интерес к исследованию турбулентных течений исторически возник естественным образом (приливы и отливы океанов, морей интересовали астрономов в XVII-XVIII вв.). Связь с термодинамическими исследованиями в конце XIX в. обострила этот интерес. В начале XX в. внимание исследователей привлекает вопрос возникновения и развития турбулентности в связи с увеличением мощностей, используемых в приложениях.
Наряду с этими очевидными мотивами в конце ХХ-го столетия появилось большое количество работ о конечномерных аттракторах в бесконечномерных пространствах решений нелинейных уравнений математической физики. Изложенный выше одномерный пример динамики пробной частицы в подходе слабо-диссипативной версии теории Колмогорова-Арнольда-Мозера показывает, по крайней мере, несколько особенностей выхода на странный аттрактор, которые ускользали от внимания в предшествующие годы:
РИС. 3. Увеличенное изображение двух седловых орбит одинакового порядка 462, но с разными структурами окрестности.
а) странный аттрактор (конечномерный) в нелинейном случае может “одеваться” мелкомасштабными асимптотическими устойчивыми вихрями, что препятствует получению традиционных академических асимптотических оценок сходимости, но взамен даёт более реалистичную картину развитых течений жидкости (или газа);
б) динамика на асимптотически устойчивом конечномерном аттракторе помимо гиперболических компонент аттрактора может иметь макро (микро) устойчивые структуры в достаточном количестве для создания условий диссипации энергии в процессе транспорта жидкости (или газа);
в) появление асимптотически устойчивых мелкомасштабных структур показывает трудности восстановления динамики в численных расчётах (шаг решётки как минимум должен быть меньше масштабов такой структуры, что ведёт к необходимости динамической адаптации сетки в расчётах);
г) мелкомасштабные асимптотически устойчивые структуры с учётом их статистического веса могут правильно оцениваться при моделировании шума измеряемого сигнала;
д) наконец отметим, что изменение знаков параметров и фазовых координат обращают динамику. Поэтому вышеизложенное можно применить к сценарию возникновения турбулентности.
Можно надеяться, что изложенные выше результаты обострят интерес к соответствующим теоретическим и экспериментальным исследованиям.
ЛИТЕРАТУРА
1. Arrowsmith D.K., Cartwright Lansbury A.N., Place С.M. The Bogdanov-map: bifurca-
tions, mode locking, and chaos in a dissipative system // International Journal of Bifurcation and Chaos, 3 (1993), № 4, p. 803-842.
2. Dynamic System and Turbulence, Warwick - 1980. Proceeding. Editing by D. Rand and L.S. Young. Lecture Notes in Math., p. 390.
3. Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. - М.: Наука, 1978.
4. Арнольд В.И. Лекции о бифуркациях и версальных семействах. // УМН, №5,1972. Т.27. С. 119-184.
5. Богданов Р.И. Нелинейные динамические системы на плоскости и их приложения. - М.: Вузовская книга, 2003.
6. Богданов Р.И., Гайдученко И.В., Расторгуев В.А., Тарасов Ю.И. Спектрометрия в слабодиссипативной теории Колмогорова-Арнольда-Мозера. Время, хаос и математические проблемы / Тр. семинара. -М.: Книжный дом Университет, 1999. С. 203-223.
7. Богданов Р.И., Богданов М.Р. Новый механизм микроразрушений твердого тела //Упругость и неупругость: Материалы Международного научного симпозиума по проблемам механики деформируемых тел, посвященного 95-летию со дня рождения А. А. Ильюшина; Под ред. И.А. Кийко, Р.А. Васина, Г.Л. Бровко. - М:, ЛЕНАНД, 2006. С. 295-300.
8. Вишик М.И., Фурсиков А.В. Математические задачи статистической гидродинамики. - М.: Наука, 1978.
9. Генералов М.Б., Нагорных С.Н., Богданов М.Р., Богданов Р.И., Митрофанов. А.В. Механизм микроразрушения в слабо диссипативной КАМ-теории / Механика. Теплофизика. Экология: Сб. научных трудов МГУ ИЭ, Вып. 3. - М.: Издательский центр МГУ ИЭ, 2006. С. 3-38.
10. Колмогоров А.Н. Избранные труды. Кн. 1: Математика и механика. - М.: Наука, 1988.
11. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. Под редакцией П.И. Чушкина. - М.: Мир, 1980.
12. Сухаревский В.В. Бистабильные состояния в отображении Богданова / Вестник МГУ, серия Математика. Механика, №5. 2003. С. 3-5.
13. Сухаревский В.В. Оценка температуры и плотности частиц в слабо диссипативной теории Колмогорова-Арнольда-Мозера. / Вестник МГУ, серия Физика. Астрономия, №6. 2005. С. 28-29.
14. Хайрер Э., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жёсткие и диффе-ренциально-алгебраические задачи. - М.: Мир, 1999.
15. Фриш У. Турбулентность. Наследие А.Н. Колмогорова; Под ред. М.Л. Бланка. - М.: ФАЗИС, 1998. Т. XIV.
TRANSITION FROM A DEVELOPED TURBULENCE ТО A QUASI-EQUILIBRIUM
STATE
Bogdanov R.I., Bogdanov M.R.
A significant number of papers treats a transition of a laminar fluid / gas flow to turbulent one. It dates back to works of L.D. Landau, A.N. Kolmogorov and the subsequent refinements by D. Ruelle, by Gor’kiy school and so on; these refinements take into account new qualitative results from the theory of dynamic systems. But the other way round transition (that is, turbulence -» laminar) apparently interested researchers much less. In this paper a script of such a transition arising in frameworks of weak dissipation version of the Kolmogorov-Arnold-Moser theory is offered. The results are based on analysis of numerical modelling of the Reynolds’ number.
Сведения об авторах
Богданов Рифкат Ибрагимович, 1950г.р., окончил МГУ им. М.В. Ломоносова (1973), доктор физико-математических наук, профессор, ведущий научный сотрудник НИИ ядерной физики им. Д.В. Скобельцына МГУ им. М.В. Ломоносова, автор более 150 научных работ, область научных интересов - нелинейные уравнения математической физики, теория бифуркаций динамических систем.
Богданов Михаил Рифкатович, 1984 г.р., окончил МГУ им. М.В. Ломоносова (2006), аспирант Московского государственного университета инженерной экологии, автор 6 научных работ, область научных интересов - нелинейные уравнения математической физики.
