CC BY
15
Энтропия в слабо-диссипативной теории Колмогорова-Арнольда-Мозера
THE USE OF COMPOSITE REINFORCEMENT
Imomnazarov T.S., S.A.M. Al-Sabri , M.H.Dirie
Department of Architecture and Construction Engineering Academy
Peoples' Friendship University of Russia
Abstract
The article covers problems of implementation into practice of construction of non-metallic composite reinforcement. The advantages and disadvantages of composite reinforcement in comparison with steel are considered proposals of activities ensure mass introduction of composite reinforcement. .
composite reinforcement, fiberglass reinforcement, basalt reinforcement, steel reinforcement
Keywords:
Date of receipt in edition: 14.04.18 Date of acceptance for printing: 19.04.18
УДК 517.957
ЭНТРОПИЯ В СЛАБО-ДИССИПАТИВНОЙ ТЕОРИИ КОЛМОГОРОВА-АРНОЛЬДА-МОЗЕРА
М.Р. Богданов, А.С. Кабанов, М.И. Ястребцева Московский политехнический университет, г. Москва
Слабо-диссипативная теория Колмогорова-Арнольда-Мозера изучает малые возмущения гамиль-тоновых систем в классе всех гладких динамических систем. Из этого следует, что мы разрушаем интеграл динамики, задаваемый гамильтонианом, но используем методы гамильтоновой механики и термодинамики для изучения численных характеристик маловозмущённой системы в качестве асимптотического анализа расчётных численных данных. Самый простой наиболее исследованный пример в слабо-диссипативной теории связан с «Bogdanov-map». Это описание при подходящем выборе параметров имеет достаточно много асимптотически (не)устойчивых периодических орбит, что позволяет нам проводить анализ численных термодинамических величин на практике, сравнивая эти результаты с работами Клаузиуса.
Аннотация
В данной статье указаны результаты численного расчета основных термодинамических переменных. Зависимость термодинамических потенциалов от температуры и давления, и геометрические характеристики динамики. Динамика представляется с помощью дискретной аппроксимации в виде ломаных Эйлера как семейство векторных полей, показывающих в бифуркации Богданова-Такенса.
Ключевые слова:
термодинамика, численный расчет основных термодинамических переменных, энтропия История статьи: Дата поступления в редакцию
11.05.18
Дата принятия к печати 19.05.18
Нормальные формы динамических систем
Выбор объектов исследования для математиков является основной проблемой, ввиду длительности по времени создания новых содержательных теорий.
Нормальные формы динамических систем создают примеры, которые репрезентативны в смысле математической статистики или теории вероятностей. Изначально они возникли в работах А. А. Андронова и его предшественников в связи с развитием теории бифуркаций.На сменуисследованиям ХУШ-Х1Х столетий индивидуальных динамических систем пришло более тр эдное изучение семейств динамических систем, зависящих от конечного числа параме тров. Другой энтузиаст теории бифуркаций В.И. Арнольд говорил: «На полках библиотек пылится много работ, посвящённых исследованию конкретных индивидуальных систем, но простые модельные системы сценариев потери и смены устойчивости не построены и не исследованы...». Он подразумевал знаменитую работу А.А. Андронова, п освящённую исследованиюдомейсмвдиекторныхндлшннклинейном м одельном однопараметрическом семействе на сегодняшний день называемую бифуркацией Андронова-Хопфс.Сею В.И.Арнольд эаи идеи вплотил в теории версальных деформаций линейных систем, далекопродвив)с нсмдмдовамия Жордана по нормальным формсм индиеимуалмиын линейиыхоператором в аннммномерною слн-ае.
Основная модель
В классической теории КАМ рассматриваются гамильтоновы системы в четномерном евклидовом пространстве Я2" {(д1,...,, дп,р1,.,р,)}, где: — фазовые координаты, а р. — сопряженные им импульсы . Гамильтониан Н (д,...,, дп,р1,.,рп) представляется в виде:
Н = Ы0М ех Ыгм е2 х ы2м- • , (1)
где система с гамильтонианом Ид интегрируемая (например, Ид = Е 1 + (q, Вq), гдеВ — симме-
_ у л £
тричная положительно определеннаяматрица.Возмущение И1 выбираетсяотвечающимслучаю общего положения.
При подобных обстоятельствах, в Я2" возникает гамильтонова динамическая система следующего вида
■ _ дн
' dq . dH
q _ — dp'
-1,...,п (2)
Движение материальной точки в системе происходит на поверхности уровня:
Н (q^...,, q^p^.-.p) = const, (3)
которая является гиперповерхностью в R2", т.е. имеет коразмерность один в случае общего положения.
В слабо-диссипативной теории КАМ мы разрушаем интеграл (3). Проще говоря, мы пишем на Н дифференциальное уравнение. Если быть точнее, мы рассматриваем полупрямое произведение га-мильтоновой системы (2),являющейся прямым сомножителем, на систему в проекции на Н. В окрестности неособого значения Н это эквивалентно рассмотрениюдинамической системывпроекциина трансверсаль к поверхности уровня гамильтониана (3).
В простейшем содержательном (нетривиальном) случае такое уравнение можно представить в данном виде:
x = £■ F (x, x, ql,..., qn, p1,..., p„) (4)
Осталось заметить, что в окрестности нерезонансного тора интегрируемой системы с гамильтонианом Ид в уравнении (4) зависимость от q1,...,, qn, p1,^,prf можно привести систему в R2n+1 к прямому произведению. Далее мы приводим результаты исследования слагаемого (4) в нормальной форме.
Энтропия в слабо-диссипативной теории Колмогорова-Арнольда-Мозера Дискретная модель динамики
Слабо-диссипативная теория КАМ рассматривает динамику пробной в окружающей сплошной среде с коэффициентами малых сил вязкости переменного знака. Самая простая модель общего положения кусочно-линейной динамики пробной частицы в обезразмеренном виде дается отображением
"Уп+1
Уп+1 = Уп + к• хп \хп - + + хп)• Уп
где: £,ц — малые величины. В [1] изложена связь (1) с системой на прямой:
(5)
- ди I \ ■
X =---+( £+ и-X )• X
дх (6)
где: и = х2/2 — х3/3 определяет потенциальные силы,
£ (кинематическая вязкость), ц — малые величины в коэффициенте вязкости.
При £ = ц = 0 в системе (2) энергия и имеет вид и = /2 + и(х) и используется выше для расчета термодинамических потенциалов (при £, ц Ф 0, но £, ц < 1 в слабо-диссипативном случае).
На рисунках 1-3 все величины обезразмерены, но уместно брать в рассуждение нормировку в системе (2): дно потенциальной ямы отделено от коры ангармонического потенциала на величину 1/6 (характерный масштаб по оси энергий и термодинамических потенциалов); расстояние от дна потенциальной ямы до коры 1 по фазовой прямой, а нуль коэффициента трения 0.1^ 0.01 (характерные масштабы на оси центра тяжести периодической орбиты (х_с =Е , где N — период орбиты)).
Рис. 1. Зависимость энтропии от температуры (для асимптотически устойчивых периодических орбит (а) и для асимптотически неустойчивых периодических орбит (б)
Рис. 2. Зависимость энтропии от давления для (для асимптотически устойчивых периодических орбит (а) и для асимптотически неустойчивых периодических орбит (б)
Рис. 3. Зависимость энтропии от давления для асимптотически неустойчивых периодических орбит при фиксированной средней энергии (а) и для асимптотически устойчивых периодических орбит (б)
На рисунке 1 нами показана зависимость энтропии от температуры. Для асимптотически (не) устойчивой периодической орбиты температура вычисляется из распределения Больцмана, где статистический вес принимает пропорциональным площади области захвата соответствующей орбиты.
На рисунке 2 показана зависимость температуры от давления. Давление рассчитывается как работа внешних сил, делённая на изменение объёма, а именно в адиабатическом приближении. Объём здесь значит площадь области захвата асимптотически (не)устойчивой периодической орбиты. На рисунке 26 в добавлении к рисунку 2а видно распределение энтропии от давления для асимптотически неустойчивых периодических орбит в выделенном диапазоне средней энергии.
В заключение хотим сказать, что пробная частица может рассматриваться как дефект в твердом теле, и помогает объяснять результаты в задачах разрушения твердого тела.
ЛИТЕРАТУРА
1. Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978,
2. Богданов Р.И., Богданов М.Р., Баранов М.А. Дисперсность пробных частиц в слабо-диссипативной КАМ-теории. Научный вестник Московского государственного технического университета гражданской авиации. 2013. № 194. С. 5-12.
3. Богданов Р.И., Богданов М.Р., Кузин П.С. Теория прямых измерений, теория Ито-Стратоновича и слабо-дис-сипативная теория Колмогорова-Арнольда-Мозера. Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования. 2012. № 3. С. 99.
4. Богданов Р.И., Богданов М.Р., Кузин П.С. Термодинамические симметрии в слабо-диссипативной теории КАМ. Научный вестник Московского государственного технического университета гражданской авиации. 2011. № 165. С. 5-18.
5. Богданов Р.И., Богданов М.Р. Модель дожигания отходов в турбулентном режиме. // В сб. Экологические проблемы индустриальных мегаполисов: Материалы международной научно-технической конференции. Донецк-Авде-евка. 21-23 мая 2008. Донецк, ДонНТУ Министерство образования и науки Украины, 2008,с. 53-55.
6. Богданов Р.И. Нелинейные динамические системы на плоскости и их приложения. — М.: Вузовская книга, 2003. 376 с.
7. Богданов Р.И., Богданов М.Р. Оценка плотности потоков частиц в слабо-диссипативной теории Колмогорова-Арнольда-Мозера. Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования. 2010. № 4. С. 5-11.
Энтропия в слабо-диссипативной теории Колмогорова-Арнольда-Мозера
8. Богданов Р.И., Богданов М.Р. Свойства странного аттрактора в слабо-диссипативной теории Колмогорова-Ар-нольда-Мозера. Труды международной конференции «DIFF2008», 27 июня — 1 июля 2008. Суздаль-Владимир, Владимирский государственный университет, с. 54-55.
9. Богданов Р.И., Богданов М.Р. Статистики в слабо-диссипативной теории Колмогорова-Арнольда-Мозера. Тезисы докладов международной конференции «Дифференциальные уравнения и топология», посвященная 100-летию со дня рождения А.С. Понтрягина, Москва, 17-22 июня 2008. М: Издательский отдел факультета ВМК МГУ им. М.В. Ломоносова, МАКС Пресс, 2008, с. 100-101.
10. Богданов Р.И., Богданов М.Р. Теплопроводность при транспорте электронного газа. // Тезисы докладов XXXVIII международной конференции по физике взаимодействия заряженных частиц с кристаллами. Под редакцией проф. А.Ф. Тулинова. М: Университетская книга, 2008, с. 36.
11. Богданов Р.И., Богданов М.Р. Термодинамика струйных течений в слабо-диссипативной версии теории Колмо-горова-Арнольда-Мозера. Научный вестник Московского государственного технического университета гражданской авиации. 2009. № 140. С. 5-13.
12. Богданов Р.И. Богданов М.Р. Турбулентность в рамках слабо-диссипативной версии теории КАМ. Тезисы докладов международной конференции «Анализ и особенности», посвященная семидесятилетию Владимира Игоревича Арнольда 20-24 августа Москва 2007, с. 35-38.
13. Богданов Р.И. Факторизация диффеоморфизмов над фазовыми портретами векторных полей на плоскости. Функц. анализ и его приложения, т. 31, вып. 2, 1997, с. 67-70.
14. Больцман Л. Избранные труды. Молекулярно-кинетическая теория газов. Термодинамика. Статистическая механика. Теория излучения. Общие вопросы физики. М.: «Наука», 1984, 590 с.
15. Зоммерфельд А. Термодинамика и статистическая физика. М: Изд-во иностр. лит-ры, 1955,479 с.
16. Колмогоров А.Н. Избранные труды. Кн. 1: Математика и механика. М.: Наука, 1988.
17. Arrowsmith D.K., Cartwright J.H.E., Lansbury A.N., Place C.M. The Bogdanov-map: bifurcations, mode locking, and chaos in a dissipative system// International Journal of Bifurcation and Chaos, 1993, v. 3. № 4, p. 803-842.
18. Bogdanov R.I., Bogdanov M.R. FROM THE NEWTON VERSION OF THE KOLMOGOROV-ARNOL'D-MOSER THEORY TO A WEAKLY DISSIPATIVE VERSION. Journal of Mathematical Sciences. 2012. Т. 187. № 3. С. 272-279.
19. Bogdanov R.I., Bogdanov M.R., Kuzin P.S. CONTINUOUS BILLIARDS AND THE WEAKLY DISSIPATIVE KOLMOGOROV — ARNOLD — MOSER THEORY. Journal of Mathematical Sciences. 2013. Т. 188. № 3. С. 181-184.
Просьба ссылаться на эту статью следующим образом:
Богданов М.Р., Кабанов А.С., Ястребцева М.И. Энтропия в слабо-диссипативной теории. — Системные технологии. — 2018. — № 27. — С. 29—33.
ENTROPY IN WEAKLY DISSIPATIVE THEORY KOLMOGOROV-ARNOLD-MOSER Bogdanov M.R., Kabanov A.S., Yastrebtseva M.I. Moscow Polytechnic University
Abstract
In this paper we indicate the results of a numerical calculation of the basic thermodynamic variables. Dependence of thermodynamic potentials on temperature and pressure, and geometric characteristics of dynamics. The dynamics is represented by a discrete approximation in the form of Euler polygons as a family of vector fields that show Bogdanov-Takens in the bifurcation.
Keywords:
thermodynamics, numerical calculation of basic thermodynamic variables, entropy. Date of receipt in edition: 11.05.18 Date of acceptance for printing: 19.05.18
