CC BY
89
2013
НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА
№ 194
УДК 517.983+517.55+517.95
ДИСПЕРСНОСТЬ ПРОБНЫХ ЧАСТИЦ В СЛАБО-ДИССИПАТИВНОЙ КАМ-ТЕОРИИ
Р.И. БОГДАНОВ, М.Р. БОГДАНОВ, М.А. БАРАНОВ
Простейший пример слабо-диссипативной КАМ-теории даёт кусочно-линейное движение пробной частицы в окружающей сплошной среде. Через постоянный во времени шаг частица перерассеивается в соответствии с полем потенциальных сил, слабо возмущённых переменного знака силами вязкости. В результате мы получаем дискретное отображение плоскости на себя под названием «Водёапоу-шар».
Асимптотически (не) устойчивые периодические движения пробной частицы позволяют оценить массу физических параметров модели. Здесь, отправляясь от работ Ланжевена, мы рассматриваем геометрические размеры движущихся частиц.
Ключевые слова: дисперсность, геометрические размеры пробных частиц, гамильтоновы динамические системы, стохастическая динамика струй.
Неожиданным образом теория колебаний [11; 33-35; 39-45; 47-50; 52-57] пополнилась новым примером.
Традиционно теория малых колебаний исходит из движений в окрестности минимума потенциальной энергии в натуральных гамильтоновых системах [7-9]. Движения являются просто устойчивыми по Ляпунову. Известно, какое количество восхитительных результатов получили специалисты в XIX - XX вв. [40; 43-50; 55-58].
Проблемы квантовой механики потребовали ввести в эту модель простейшие усложнения. В окрестности минимума нужно учесть кубический член в разложении в ряд Тейлора потенциала вдоль оси, где упругая составляющая мала. Это начало нелинейной теории, где мало наработанных методов исследований вплоть до XIX столетия.
Следующим шагом явилось введение релаксационных колебаний Ван-дер-Полем [28; 38; 44]. Он предложил учесть силы вязкости в уравнении движения пробной частицы. К сожалению, исходя из физических соображений коэффициент вязкости был выбран в виде чётной функции
от фазовой координаты (е + тх2). Большое внимание релаксационным колебаниям уделял наш
соотечественник Е.Ф. Мищенко [44].
Следующий шаг в теории колебаний был сделан в XX столетии [7-11; 25], благодаря настойчивости В.И. Арнольда - энтузиаста теории бифуркаций. Очевидный ответ пришёл из теории бифуркаций. Известен пример бифуркации Андронова-Хопфа, описывающий изменение состояния устойчивости в однопараметрическом семействе векторных полей [7; 25]. Очередной вопрос с точки зрения спектральной теории линейных операторов заключался в следующем. Как происходит потеря устойчивости в двупараметрических семействах векторных полей в случае двух нулевых собственных значений матрицы линейной части векторного поля в особой точке? Ответ даётся бифуркацией Богданов-Такенса [1; 11; 25] и выглядит чрезвычайно просто. Нужно к потенциальным силам, отвечающим ангармоническому потенциалу, добавить силы вязкости. Но коэффициент вязкости, в отличие от предположений Ван-дер-Поля, должен быть линейной, а не квадратной функцией фазовой переменной.
В литературе после 1970-х годов появилось много версий бифуркации Богданов-Такенса. Но нам здесь важна следующая форма [1; 25]
1. Введение
& = /
у = х (X - 1) + (е + тх) у
2. Переход к дискретной модели
С целью понижения размерности задачи мы перейдём к дискретному варианту динамики (1) [1; 34]. Имея в виду вычислительные средства исследований и физические соображения для понимания результатов наших вычислений, мы дискретизуем систему (1) в простой полуявной схеме Эйлера
V! = Хп + ЬУп+11 (2)
Л+1 = Уп + ьуп,
где е, | - малые параметры [1; 25].
Отображение (2), известное в литературе как «Бо§ёапоу-шар», при подходящих значениях е и т имеет много асимптотически (не)устойчивых периодических орбит. Наряду с асимптотически (не)устойчивыми по Ляпунову периодическими орбитами имеются в большом количестве гиперболические орбиты или состояния рассеяния ансамбля пробных частиц в квантовой механике.
Физические характеристики гиперболических и асимптотически (не)устойчивых периодических орбит различаются [10-32]. В частности, для асимптотически (не)устойчивых орбит существует понятие абсолютной температуры. Это позволяет получить оценки размеров пробных частиц.
Наличие температуры позволяет нам получить распределение геометрических размеров в зависимости от периодов периодических орбит. В начале наших рассуждений лежат соотношения Ланжевена [42]
А?=ЯТ.. 1
N 3я|- а
где Ах2 - дисперсия фазовой координаты; Я - универсальная газовая постоянная; Т - температура; N - число Авогадро; | - коэффициент вязкости; а - размер частицы; т - время наблюдения частицы. Таким образом, обращая равенство относительно а, мы получаем распределение по найденным периодическим орбитам геометрических размеров а пробных частиц в слабо-диссипативной теории КАМ.
Ниже мы приводим соответствующие иллюстрации.
3. Общность положения предыдущих рассмотрений
В классической теории КАМ [7; 39] рассматриваются гамильтоновы системы в четномер-ном евклидовом пространстве Я2п {(д^..., дп, Л,..., рп)}, где д1 - фазовые координаты, а р - сопряженные им импульсы. Гамильтониан Н (цх,.., дп, д,..., рп) представляется в виде
Н = Н0 +еНх +е2 Н2 +..., (3)
где система с гамильтонианом Н0 вполне интегрируемая (например, Н0 = ^ р2 /2 + (д, Вд), где В симметричная положительно определенная матрица [6-9]. Возмущение Н1 выбирается отвечающим случаю общего положения.
Таким образом, в Я2п возникает гамильтонова динамическая система следующего вида [7; 25; 44]
ЭН]
Р =
. дН др
i = 1,..., п. (4)
Движение материальной точки в системе происходит на поверхности уровня
Н(д^.. дп, Р1,..., РпConst, (5)
которая является гиперповерхностью в R2n, т.е. имеет коразмерность один в случае общего положения.
В слабо-диссипативной теории КАМ [2-32] мы разрушаем интеграл (5). Другими словами, мы пишем на H дифференциальное уравнение. Точнее, мы рассматриваем полупрямое произведение гамильтоновой системы (4), являющейся прямым сомножителем, на систему в проекции на H. В окрестности неособого значения H - это эквивалентно рассмотрению динамической системы в проекции на трансверсаль к поверхности уровня гамильтониана (5).
В простейшем содержательном (нетривиальном) случае такое уравнение можно представить в виде
x =eF(x,x, qx,..., qn, д,..., pn), (6)
где в неособом случае x координата в ортогональном направлении к поверхности уровня
H (q^..^ qn, д,..., Pn ) = const.
Осталось заметить, что в окрестности нерезонансного тора вполне интегрируемой системы с гамильтонианом H0 в уравнении (4) зависимость от qx,.., qn, pl,..., pn можно «убить», т.е.
привести систему в R2n+1 к прямому произведению [9; 25; 42]. Ниже мы приводим результаты исследования слагаемого (4) в нормальной форме, опустив случай вырождения коразмерности один, т.е. нулевое или чисто мнимое собственное число матрицы линеаризации системы в окрестности инвариантного тора.
4. Компьютерные результаты
Мы приводим результаты расчётов на современных PC-компьютерах, т.е. мы имеем ограничения по точности расчётов, ориентированные на возможности языка программирования Borland Pascal 7.0 под DOS-управлением. Это приводит приблизительно к 17 десятичным знакам мантиссы.
По вертикальной оси мы откладываем размеры частицы. По горизонтальной оси откладываются частоты колебаний пробной частицы. Частоты откладываются на отрезке [0;1], т.е. максимальная частота нормируется на 1.
Отдельно мы приводим асимптотически неустойчивые (рис. 1-3) и устойчивые состояния (рис. 4-6). Здесь важно отметить, что мы используем средний коэффициент трения вдоль периодической орбиты. Ничего удивительного, что эта величина меняет знак для асимптотически устойчивых и неустойчивых орбит. Поэтому устойчивые орбиты лежат ниже горизонтальной оси. По абсолютной величине размеры частиц убывают по мере повышения частоты колебаний.
Отметим также, что по обеим осям используется логарифмическая шкала (отрицательные значения размеров частиц для асимптотически устойчивых орбит взяты по модулю).
Рис. 1. Зависимость геометрических размеров пробной частицы от частоты колебаний для асимптотически неустойчивых орбит
Е=013027203
Рис. 2. Зависимость геометрических размеров пробной частицы от частоты колебаний для асимптотически неустойчивых орбит с фиксированной средней энергией (Е~0.13027203)
Рис. 3. Зависимость геометрических размеров пробной частицы от частоты колебаний для асимптотически неустойчивых орбит с фиксированной средней энергией (Е~0.130291751)
-8
1-гттт ..........1 .........1 .........1 ........
10'6 10'5 10'* 10'3 10"г
пи_
Рис. 4. Зависимость геометрических размеров пробной частицы от частоты колебаний для асимптотически устойчивых орбит
Е=0.12224
Рис. 5. Зависимость геометрических размеров пробной частицы от частоты колебаний для асимптотически устойчивых орбит с фиксированной средней энергией (Е~0.12224)
-й
I
а>
N
'Ш
Рис. 6. Зависимость геометрических размеров пробной частицы от частоты колебаний
для асимптотически устойчивых орбит с фиксированной средней энергией (Е~0.12397)
Заключение
Немного существует публикаций о регулярных компонентах хаотической динамики [2-8]. Возможно, всё связано с тем фактом, что развитие теории вероятностей происходило во второй половине XX столетия [9-11; 44-49].
К сожалению, классическая КАМ-теория, восходящая к 50-м годам XX столетия, обнаружила в первую очередь гиперболическое поведение траекторий динамических систем, что отчётливо видно в работе Д.В. Аносова [6]. Странный аттрактор, возникший в 60-е годы, повлёк развитие стохастических методов описания динамики, обоснованной эргодическим поведением динамики [9; 48].
Открытие, к сожалению, численное, большого количества асимптотически (не)устойчивых движений в окрестности гиперболических траекторий позволяет по-новому взглянуть на проблемы хаотической и регулярной динамики.
Такое обилие асимптотически (не)устойчивых движений прекрасным образом согласуется с идеями термодинамики. И можно только удивляться провидению Клаузиуса, сформулировавшего её основы [35].
Оценка дисперсности пробных частиц даёт к предыдущим расчётным величинам, таким как теплопроводность, теплоёмкость, средняя энергия, термодинамические потенциалы, вдобавок важную геометрическую характеристику движения.
ЛИТЕРАТУРА
1. Arrowsmith D.K., Cartwright J.H.E., Lansbury A.N., Place C.M. The Bogdanov-map: bifurcations, mode locking, and chaos in a dissipative system // International Journal of Bifurcation and Chaos, 1993, v. 3. №4, p. 803-842.
2. Belotserkovsrii O.V. Turbulence and Instabilities /. M: MZpress, 2003, 460p.
3. Dynamic System and Turbulence, Warwick - 1980. Proceeding. Editing by D. Rand and L.S. Young. Lecture Notes in Math., p. 390.
4. Bogdanov R.I., Nagornykh S.N. and Bogdanov M.R. New Nature of the Noise of Thermally Stimulated Electron Emission from Rods under Cyclic Torsion. : Journal of Surface Investigation, X-ray, Synchrotron and Neutron Techniques, 2007. - С. 157-166.
5. Альбом течений жидкости и газа / пер. с англ. М. Ван Дайка. - М.: Мир, 1986.
6. Аносов Д.В. Геодезические потоки на замкнутых римановых многообразиях отрицательной кривизны // Труды МИАН им. В. А. Стеклова. - 1967. - Т. XC.
7. Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. - М. : Наука,
1978.
8. Арнольд В.И. Лекции о бифуркациях и версальных семействах // Успехи математических наук. - 1972.
- Т. 27. - № 5. - С. 119-184.
9. Арнольд В.И., Авец А. Эргодические проблемы классической механики. - Ижевск: Ижевская республиканская типография, 1999.
10. Богданов Р.И., Богданов М.Р. Турбулентность в рамках слабо-диссипативной версии теории КАМ // Анализ и особенности: тезисы докладов междунар. конф., посвященной семидесятилетию Владимира Игоревича Арнольда. - М., 2007. - С. 35-38.
11. Богданов Р.И. Нелинейные динамические системы на плоскости и их приложения. - М.: Вузовская книга,
2003.
12. Богданов Р.И. Факторизация диффеоморфизмов над фазовыми портретами векторных полей на плоскости // Функциональный анализ и его приложения. - 1997. - Т. 31. - Вып. 2. - C. 67-70.
13. Богданов Р.И., Богданов М.Р. Свойства странного аттрактора в слабо-диссипативной теории Колмогоро-ва-Арнольда-Мозера: труды междунар. конф. «DIFF2008». - Суздаль - Владимир: Владимирский государственный университет, 2008. - С. 54-55.
14. Богданов Р.И., Богданов М.Р. Модель дожигания отходов в турбулентном режиме // Экологические проблемы индустриальных мегаполюсов: материалы междунар. научн.-техн. конф. - Донецк: ДонНТУ Министерство образования и науки Украины, 2008. - С. 53-55.
15. Богданов Р.И., Богданов М.Р. Статистики в слабо-диссипативной теории Колмогорова-Арнольда-Мозера // Дифференциальные уравнения и топология: тезисы докладов междунар. конф., посвященной 100-летию со дня рождения А.С. Понтрягина. - М: Издательский отдел факультета ВМК МГУ им. М.В. Ломоносова, МАКС Пресс, 2008. - С. 100-101.
16. Богданов Р.И., Богданов М.Р. Тепловые характеристики струйных течений в слабо-диссипативной теории Колмогорова-Арнольда-Мозера // Доклады Академии наук. - 2008. - Т. 423. - № 5. - С. 1-4.
17. Богданов Р.И., Богданов М.Р. Теплопроводность при транспорте электронного газа: тезисы докладов XXXVIII междунар. конф. по физике взаимодействия заряженных частиц с кристаллами / под ред. проф. А.Ф. Тули-нова. - М.: Университетская книга, 2008. - С. 36.
18. Богданов Р.И., Богданов М.Р. Переход от развитой турбулентности к квазиравновесному состоянию // Научный Вестник МГУ ГА, серия Математика и физика. - 2007. - № 114. - С. 50-55.
19. Богданов Р.И., Богданов М.Р. Слабо-диссипативная версия теории Колмогорова-Арнольда-Мозера: теория и практика расчетов // Вычислительная математика и математическая физика. - 2008. - Т. 48. - № 3. - С. 73-90.
20. Богданов Р.И., Богданов М.Р. Структурообразование в слабо-диссипативной теории Колмогорова-Арнольда-Мозера // Доклады Академии наук. - 2008. - Т. 418. - № 6. - С. 754-758.
21. Богданов Р.И., Богданов М.Р. Тепловые характеристики транспортных процессов на наноуровне: сб. трудов науч. конф. студентов, магистрантов и аспирантов МГУИЭ. - М: МГУИЭ, 2008. - С. 35-37.
22. Богданов Р.И., Богданов М.Р. Термодинамика турбулентности в слабо-диссипативной версии теории КАМ // Энергетические проблемы индустриальных мегаполисов: сб. трудов IV междунар. науч.-практич. конф.
- М.: МГУ ИЭ.
23. Богданов Р.И., Богданов М.Р., Нагорных С.Н. Механизм разрушения на локальных разогревах при циклическом кручении стержней // IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике: аннотации докладов. - Нижний Новгород: Изд-во Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2006. - Т. III. - С. 40.
24. Богданов Р.И., Богданов М.Р., Нагорных С.Н. Новая природа шума термостимулированной электронной эмиссии со стержней при циклическом кручении: тезисы докладов XXXVI междунар. конф. по физике взаимодействия заряженных частиц с кристаллами. - М.: Изд-во МГУ, 2006.
25. Богданов Р.И. Фазовые портреты динамических систем на плоскости и их инварианты. - М.: Вузовская книга, 2008.
26. Богданов Р.И., Богданов М.Р. Новый механизм микроразрушений твердого тела. Упругость и неупругость: материалы междунар. науч. симпозиума по проблемам механики деформируемых тел, посвященного 95-летию со дня рождения А. А. Ильюшина / под ред. И. А. Кийко, Р. А. Васина, Г. Л. Бровко. - М: ЛЕНАНД, 2006.
- С. 295-300.
27. Богданов Р.И., Гайдученко И.В., Расторгуев В.А., Тарасов Ю.И. Спектрометрия в слабо-диссипативной теории Колмогорова-Арнольда-Мозера // Время, хаос и математические проблемы: труды семинара. - М: Книжный дом Университет, 1999. - С. 203-224.
28. Боголюбов Н.Н. Собрание науч. трудов: в 12 т. Труды семинара: Механика, 1939-1980 / под ред. И.И. Плакида, А. Д. Суханова. - 2006.
29. Больцман Л. Избранные труды. Молекулярно-кинетическая теория газов. Термодинамика. Статистическая механика. Теория излучения. Общие вопросы физики. - М.: Наука, 1984.
30. Бор Н. Избранные научные труды: в 2 т. - М.: Наука. - 1970. - Т. 1. - 1971. - Т. 2.
31. Бэкстер Р. Точно решаемые модели в статистической механике. - М.: Мир, 1985.
32. Вишик М.И., Фурсиков А.В. Математические задачи статистической гидродинамики. - М.: Наука, 1978.
33. Генералов М.Б., Нагорных М.Б., Богданов М.Р., Богданов Р.И., Митрофанов А.В. Механизм микроразрушения в слабодиссепативной КАМ-теории // Механика. Теплофизика. Экология: сб. науч. трудов МГУ ИЭ.
- М.: Издательский центр МГУ ИЭ. - 2006. - Вып. 3. - С. 3-38.
34. Заславский Г.М. Гамильтонов хаос и фрактальная динамика. - М.-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Ижевский институт компьютерных исследований, 2010.
35. Зоммерфельд А. Термодинамика и статистическая физика. - М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1955.
36. Рюэль Д. Термодинамический формализм. Математические структуры классической равновесной статистической механики. - М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002.
37. Ильюшин А. А. Механика сплошной среды. - М: Изд-во Московского университета, 1990.
38. Капица П.Л. Физика и техника низких температур: научные труды. - М.: Наука, 1989.
39. Колмогоров А.Н. Математика и механика: избранные труды. - М.: Наука, 1988. - Кн. 1.
40. Ландау Л.Д. Собрание трудов. - М.: Наука, 1969. - Т. 1.
41. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика. - М.: Наука, 1964.
42. Ланжевен П. Избранные труды. - М.: Изд-во АН СССР, 1960.
43. Леонтович М.А. Введение в термодинамику. Статистическая физика. - М.: Наука, 1983.
44. Мищенко Е.Ф., Садовничий В.А., Розов Н.Х., Колесов А.Ю. Автоволновые процессы в нелинейных средах с диффузией. - М.: Физматгиз, 2010.
45. Планк М. Термодинамика. Теория излучения и квантовая теория. Теория относительности. Статьи и речи. Избранные труды. - М.: Наука, 1975.
46. Роуч П. Вычислительная гидродинамика / пер. с англ. В. А. Гущина, В.Я. Митницкого / под ред. П.И. Чушкина.
- М.: Мир, 1980.
47. Седов Л.И. Механика сплошной среды. - М: Наука, 1973. - Т. 1, 2.
48. Синай Я.Г. Современные проблемы эргодической теории // Современные проблемы математики. - М.: Физматгиз, 1995. - Вып. 31.
49. Сухаревский В.В. Бистабильные состояния в отображении Богданова // Вестник МГУ, серия Математика. Механика. - 2003. - № 5. - С. 3-5.
50. Сухаревский В.В. Оценка температуры и плотности частиц в слабо-диссипативной теории Колмогорова-Арнольда-Мозера // Вестник МГУ, серия Физика. Астрономия. - 2005. - № 6. - С. 28-29.
51. Ферми Э. Термодинамика. - Ижевск: Издательский дом «Удмуртский университет», 1998.
52. Ферми Э. Научные труды. - М.: Наука, 1972. - Т. II.
53. Ферми Э., Паста Дж., Улам С. Изучение нелинейных задач // Научные труды. - 1972. - Ч. II.
54. Фриш У. Турбулентность. Наследие А.Н. Колмогорова / пер. с англ. А.Н. Соболевского / под ред. М.Л. Бланка. - М.: ФАЗИС, 1998. - Т. XIV.
55. Хайрер Э., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жёсткие и дифференциально-алгебраические задачи / пер. с англ. - М.: Мир, 1999.
56. Чжен П. Отрывные течения. - М.: Мир, 1973.
57. Чжен П. Управление отрывом потока. - М.: Мир, 1979.
DISPERSITY OF TRIAL PARTICLES IN A WEAKLY DISSIPATIVE KAM THEORY
Bogdanov R.I., Bogdanov M.R., Baranov M.A.
The simplest example of the weakly dissipative KAM theory gives a piecewise linear motion of a trial particle in the surrounding continuum. Through a constant time step particle rescatter according to the field of potential forces, slightly perturbed variable sign viscous forces. The result is a discrete mapping of the plane onto itself called the «Bogdanov-map».
Asymptotically (in)stable periodic motion of a trial particle can estimate some of the physical parameters of the model. Here, starting from the work of Langevin, we consider the geometrical sizes of the moving particles.
Key words: dispersion, geometrical sizes of a trial particles, Hamiltonian dynamical systems, stochastic dynamics of the jets.
Сведения об авторах
Богданов Рифкат Ибрагимович, 1950 г.р., окончил МГУ им. М.В. Ломоносова (1972), доктор физико-математических наук, профессор, ведущий научный сотрудник Научно-исследовательского института ядерной физики им. Д.В. Скобельцына МГУ им. М.В. Ломоносова, заведующий кафедрой высшей математики МГМУ (МАМИ), автор более 200 научных работ, область научных интересов - нелинейные уравнения математической физики, теория бифуркаций динамических систем.
Богданов Михаил Рифкатович, 1984 г.р., окончил МГУ им. М.В. Ломоносова (2006), кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики МГМУ (МАМИ), автор более 50 научных работ, область научных интересов - нелинейные уравнения математической физики, теория бифуркаций динамических систем.
Баранов Максим Александрович, 1988 г.р., окончил МГУИЭ (2010), аспирант МГМУ (МАМИ), автор 2 научных работ, область научных интересов - нелинейные уравнения математической физики, теория бифуркаций динамических систем.
