CC BY
40
Пропустите 2 пустые страницы
Пропустите пустую страницу
2009
НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА серия Математика и физика
№ 140
УДК 517.983+517.55+517.95
ТЕРМОДИНАМИКА СТРУЙНЫХ ТЕЧЕНИЙ В СЛАБО-ДИССИПАТИВНОЙ ВЕРСИИ ТЕОРИИ КОЛМОГОРОВА-АРНОЛЬДА-МОЗЕРА
Е И. БОГДАНОВ, М.Е БОГДАНОВ
Слабо-диссипативная версия теории Колмогорова-Арнольда-Мозера (КАМ) рассматривает динамические системы, являющиеся малым возмущением общего положения гамильтоновых систем. Отметим, что классическая КАМ-теория изучает динамические системы, представляющие возмущение вполне интегрируемых гамильтоновых систем в классе всех гамильтоновых систем. Важное, с численной точки зрения, отличие слабо-диссипативной версии КАМ заключается в сочетании свойств стохастической динамики, присущей странному гиперболическому аттрактору, с асимптотически (не)устойчивыми режимами движения, представляющими регулярные свойства динамики. Для регулярных движений мы приводим численные термодинамические величины, такие как температура, кривые изотерм, изобар, коэффициенты теплоемкости, теплопроводности и т.п.
Излагаемые результаты относятся к динамике пробной частицы (или ансамбля частиц), движущейся в окружающей сплошной среде, с учетом массовых потенциальных сил и сил трения, действующих на частицу. Ансамбль таких частиц образует струю в рассматриваемой сплошной среде.
Ключевые слова: гамильтоновы динамические системы, стохастическая динамика струй.
1. Основная модель динамики
Струйные течения жидкости (или газа) рассматривались в связи с различными прикладными задачами многими авторами [12 - 14]. Визуализация таких течений, [1],[12],[13], указывает на их весьма запутанный характер в трехмерном пространстве.
Поле скоростей движущейся среды для струйного течения имеет “ось” движения. В окрестности такой оси можно рассмотреть цилиндрическую систему координат в трехмерном пространстве, выбирая в качестве оси OZ ось вихревого движения. Динамику движущихся частиц в случае очевидной вращательной симметрии, отвечающей вращению вокруг оси OZ, легко описывать в “нулевом приближении” проекцией на полярный радиус в вышеуказанной системе координат.
В проекции на полярный радиус мы пользуемся уравнением Ньютона:
dU
тх = —-—I- f (х) х, (1)
дх
где через х обозначен полярный радиус, а слагаемые в правой части (1) отвечают потенциальным силам, связанным с потенциалом U (х), а также силам трения с коэффициентом трения f (х).
В нулевом приближении в центре полярной системы координат потенциал U (х) мы выбираем с потенциальной ямой, т.е.
U (х) = ах2 + ..., (2)
где многоточие обозначает члены более высокого порядка по х в ряду Тейлора потенциала U (х). Коэффициент трения естественно представить в виде
f (х) = £ + ..., (3)
где £ - кинематическая вязкость, а многоточие обозначает добавки в коэффициент трения
более высокого порядка малости по х.
Если ограничиться младшими членами разложения, указанными в (1) и (2), то полу-
чается линейная, естественно, интегрируемая модель динамики вихрей. Линейная модель
Рис. 1.
использовалась многими авторами работ по математической физике, начиная с XVIII столетия, но она не дает описания нелинейных эффектов динамики. Поэтому мы вынуждены учесть кубический член для потенциала, чтобы получить простейшую нелинейную модель потенциальных сил. Учитывая, что квадратичный член потенциала отвечает возвращающей силе Гука и тот факт, что коэффициент Гука мал, мы по сути дела вводим локальный максимум потенциала в окрестности потенциальной ямы. Аналогичное соображение, касающееся малости коэффициента кинематической вязкости, приводит к необходимости в (3) учесть следующий член при разложении в ряд Тейлора по степеням х коэффициента трения.
Таким образом, для слабо сжимаемых сплошных сред с малой кинематической вязкостью мы приходим к необходимости использовать методы теории бифуркаций динамических систем для получения модельных систем общего положения.
Речь идет об анализе рядов Тейлора уравнения (1) в окрестности точки х = 0, т.е. оси вихря. Точнее нас интересует вопрос о том, какие слагаемые ряда нужно удержать в модели, а какие отбросить, не меняя качественных свойств описания динамики.
Ответ дается семейством векторных полей возникающих в бифуркации Bogdanov-Takens
X = у
у = г + х2 + (д ± х) у
где г и д - малые параметры, подробнее см.[2].
Семейство векторных полей (4) является моделью полей скоростей движущейся сплошной среды при малых значениях коэффициента упругости Гука и кинематической вязкости при более общих предположениях по сравнению с видом уравнения (1), [3].
Заключительным шагом в построении модели является переход к дискретной динамике движения пробной частицы (или их ансамблей) в вышеуказанном поле скоростей сплошной среды. Для этого мы дискретизуем динамику (4) с помощью постоянного шага по времени
(4)
Рис. 2.
следующим образом:
хп+1 = хп + h • уп+1 ^
Уп+1 = Уп + ь • у\ х = хп. (5)
У = уп )
Суть дискретизации заключается в предположении, что пробная частица движется свободно прямолинейно в течении постоянного шага по времени, а по истечении этого времени “пере-рассеивается” с учетом навязанного пика на индикатриссе рассеяния [5-7]. На этом пути мы получаем возможность учитывать основы молекулярно-кинетической теории вещества, восходящей к работам Л. Больцмана конца XIX столетия.
Именно динамику такой модели, описываемой системой (5), мы исследуем численными методами.
2. Основные численные результаты
Основным достоинством модели динамики в дискретном времени с точки зрения численных методов исследования является низкая размерность фазового пространства (равна двум) и наличие дробно-рационального выражения для отображения, обратного (5).
Нижеследующие результаты численного исследования мы приводим в обезразмеренном виде, т.е. мы вычисляем характеристики ансамблей частиц для ренормализованного отображения (5) в виде:
хп+1 хп + уп+1
уп+1 = уп + кхп (хп - 1) + (г + дхп) уп
В семействе (6) параметры г, д являются малыми величинами. Мы приводим результаты численных исследований семейства (6) при значениях г, д ^ 10-5, а к ^ 1.
Указанный выбор параметров подчинен единственному условию: наличие у семейства (6) большого количества асимптотически (не)устойчивых периодических орбит.
(6)
Рис. 3.
Периодической орбитой отображения (6), обозначаемого ниже через д (х), называется решение уравнения
дп (хо) = хо,
где неизвестными величинами являются целое число п ^ 0и х 0 € И2.
(7)
Рис. 4.
Периодические орбиты определяют адиабатические инварианты динамики. Точнее, для каждой точки х0 Е И2 определены временные средние:
(8)
3=1
Если х0 - точка периодической орбиты с периодом п, то временные средние будут сходиться к среднему значению функции Е вдоль периодической орбиты.
(9)
3=1
Таким образом, эргодическая теория, [3],[11], получает свою естественную модификацию с учетом соображений общего положения.
Рис. 5.
В гамильтоновом консервативном случае уравнений динамики движение частицы в непрерывном времени происходит на изоэнергетических поверхностях в фазовом пространстве. Если изоэнергетическая поверхность компактна(что выполнено в случае общего положения, в частности, для вполне интегрируемых гамильтоновых систем), то вычисление временных средних упрощается с помощью гипотезы эргодичности. Гипотеза эргодичности заключается в предположении всюду плотности орбиты точки на изоэргодической поверхности (или на множестве транзитивности фазового потока), что позволяет временное среднее выразить в виде интеграла по изоэнергетической поверхности или по множеству транзитивности. Дальнейшие соображения приводят к статистическим распределениям типа Больцмана-Гиббса, позволяющим выразить статистический вес движений с определенной энергией, что существенно используется в моделях классической квантовой механики.
Ниже мы используем в качестве функций на фазовом пространстве такие характеристики, как полная энергия, отвечающая непрерывной модели при г = д = 0, кинетическая энергия, длина свободного пробега и тому подобные физические величины.
Рис. 6.
Адиабатические инварианты с ростом периода периодических орбит обнаруживают, по крайней мере, две возможности: “насыщаются”, т.е. выходят на постоянное значение, либо линейно зависят от периода. Все периодические орбиты при этом разбиваются на подмножества, в которых постоянные насыщения или наклоны линейных зависимостей хорошо отличаются между собой при возрастании периода. Расстояния между постоянными насыщения различаются на порядки в десятичной шкале. Разбиение на подмножества по различным насыщающимся величинам проявляет сильную корреляцию, что объясняется топологией периодических орбит в фазовом пространстве, [5],[8].
Периодическая орбита (7) имеет в общем положении определенный топологический тип: асимптотически (не)устойчивый фокус, гиперболическая орбита. Асимптотически (не)устой-чивым периодическим орбитам отвечает область (соответственно отталкивания) притяжения на фазовой плоскости: множество точек, итерации которых сходятся к периодической орбите при (п —ж) п +ж. В литературе эти множества называют бассейнами притяжения (соответственно при t —ж или t +ж). Бассейн притяжения периодической орбиты с периодом п разбивается на п подмножеств приблизительно равной площади, так как якобиан отображения g близок к единице. Если через S (п) обозначить площадь одной из п компонент бассейна притяжения, то мы получаем возможность вычислить абсолютную температуру, отвечающую частицам в окрестности периодической орбиты, в соответствии с распределением Больцмана-Гиббса
S (п) = CWst • e-hE/kT, (10)
где k - постоянная Больцмана; п - период орбиты; T - абсолютная температура; E - средняя энергия вдоль орбиты.
На рис. 1 и 2 мы приводим средние значения энергии E по вертикальной оси в зависимости от периода орбиты. Пользуясь подходящими значениями средней энергии, мы разбиваем периодические орбиты на группы. Для расчета температуры мы используем условные вероятности состояний, где условием выступает принадлежность к группе.
На рис. 3 приведены рассчитанные температуры в зависимости от периода.
1,0x1011 8,0x10'12 6,0x10'12
со
от 12
Ш 4,0x10'12
2,0x10'12 0,0
0,0 -1,0x10'5
^ -2,0x10'5 Е ф о
& -3,0x10'5
Л
-4,0x105 -5,0x105
Р Ргеэ. 2.0Е-5 - 6.0Е-5
т-------1-----1------1------1-----1------1-----1-------1—
О 1x103 2x103 3x103 4x103
Тетрег.
Рис. 7.
Рис. 8.
В области периодов периодических орбит порядка 1.5 • 105 на рис. 2 видно, что график температур обнаруживает излом, что указывает на фазовый переход 1-го рода при ненулевой температуре в рассматриваемой модели.
На рис. 4, 5, 6 приведены изотермы и изохоры вышеуказанных состояний.
Поведение изохор обнаруживает точки фазового перехода тройного типа, т.е. точки фазового перехода второго рода (рис. 7-9).
3. Заключение
Рис. 9.
В литературе низкоразмерные модели динамики представлены в большом объеме [9-12]. В последние десятилетия интерес сосредоточивался на гамильтоновых системах. Использование ангармонического потенциала в термодинамике, в частности, принадлежит Л.Д. Ландау [10]. Выводом является мнение, что в одномерных моделях невозможны фазовые переходы.
Мы рассматриваем не гамильтонову систему, т.е. открытую систему, являющуюся малым возмущением гамильтоновой. Диссипативные добавки в виде трения (с возбуждением при отрицательном коэффициенте трения) мы выбираем с учетом двух обстоятельств: первое заключается в условии общности положения коэффициента трения, гарантируемой бифуркацией Богданова-Гакенса; второе связано с численным выбором параметров коэффициента трения для расчетов. Уместно подчеркнуть, что возмущение меньше второго порядка малости по сравнению с кором ангармонического потенциала.
В результате мы получаем возможность фазового перехода в области периодов периодических орбит порядка 103 -г 104. Заметим также, что падение коэффициентов теплопроводности и теплоемкости с ростом периода делает высокопериодичные состояния энергетически выгодными [7-8].
В заключение отметим очевидные ограничения вышеизложенного рассмотрения динамики пробной частицы. Речь идет о пролетном времени частицы в окрестности периодической (не)устойчивой орбиты. С ростом орбиты это пролетное время увеличивается. Га-ким образом, нужны специальные условия для практической реализации высокопериодических состояний. Поэтому в ряде случаев экспериментальное обнаружение фазового перехода сопряжено с необходимостью усложнения эксперимента и экспериментальных методик. С учетом экспоненциального уменьшения статистического веса высокопериодичных асимптотически (не)устойчивых орбит дополнительные условия, отмеченные выше, не кажутся тривиальными. Возможно здесь кроется причина довольно значительного периода между
появлением классической теории Колмогорова-Арнольда-Мозера и ее слабо-диссипативной версии.
ЛИТЕРАТУРА
1. Альбом течений жидкости и газа: Пер. с англ./Сост. М. Ван Дайк. - М: Мир, 1986 .
2. Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. - М.: Наука, 1978.
3. Арнольд В.И., Авец А. Эргодические проблемы классической механики. - Ижевск: Ижевская республиканская типография. 1999.
4. Belotserkovskii O.M. Turbulence and Instabilities. - M.: MZpress, 2003.
5. Богданов Р.И. Нелинейные динамические системы на плоскости и их приложения. - М.: Вузовская книга, 2003.
6. Богданов Р.И., Богданов М.Р. Слабо-диссипативная версия теории Колмогорова-Арнольда-Мозера: теория и практика расчетов. // Журнал Вычислительной Математики и Математической Физики, 2008, т. 48, №3, с. 73-90.
7. Богданов Р.И., Богданов М.Р. Структурообразование в слабо-диссипативной теории Колмогорова-Арнольда-Мозера //ДАН, 2008, т. 418, №6, с. 754-758.
8. Богданов Р.И., Богданов М.Р. Переход от развитой турбулентности к квазиравновесному состоянию //Научный Вестник МГТУ ГА, серия ’’Математика и физика”, №114, 2007, с. 50-55.
9. Бэкстер Р. Точно решаемые модели в статистической механике. - М.: Мир, 1988.
10. Ландау Л.Д. Собрание трудов. - М.: Наука, 1969. Т.1.
11. Синай Я.Г. Современные проблемы эргодической теории.//Современные Проблемы Математики, вып. 31. - М.: Физматгиз, 1995.
12. Фриш У. Турбулентность. Наследие А.Н. Колмогорова. - М.: ФАЗИС, 1988.
13. Чжен П. Отрывные течения. - М.: Мир, 1973.
14. Чжен П. Управление отрывом потока. - М.: Мир, 1979.
THERMODYNAMICS OF STREAMS IN A WEAK-DISSIPATION VERSION OF THE KOLMOGOROV-ARNOLD-MOSER THEORY
Bogdanov R.I., Bogdanov M.R.
Weak dissipation version of the Kolmogorov-Arnold-Moser theory (КАМ) deals with the dynamic systems that are small perturbations of general positions Hamiltonian systems. We note that the classical KAM-theory studies the dynamic systems representing perturbation of completely integrable Hamiltonian systems in a class of all Hamiltonian systems. From the numerical point of view, an important peculiarity of weakly-dissipative version of КАМ is a combination of properties of the stochastic dynamics (proper for the strange hyperbolic attractor),
with asymptotically (un) stable dynamics of a motion representing the regular properties of dynamics. For the
regular movements we obtain numerical thermodynamic magnitudes, such as temperature, graphs of isotherms and isobars, coefficients of a heat capacity, of a thermal conduction, etc.
These results are related to dynamics of a trial particle (or ensemble of particles), moving in a continuous medium under possible action of mass potential forces and/or friction. The ensemble of such particles organizes a stream in the surrounding continuous medium.
Сведения об авторах
Богданов Рифкат Ибрагимович, 1950 г.р., окончил МГУ им. М.В. Ломоносова (1973), доктор физико-математических наук, профессор, ведущий научный сотрудник НИИ ядерной физики им. Д.В. Скобельцына МГУ им. М.В. Ломоносова, автор более 150 научных работ, область научных интересов - нелинейные уравнения математической физики, теория бифуркаций динамических систем.
Богданов Михаил Рифкатович, 1984 г.р., окончил МГУ им. М.В. Ломоносова (2006), аспирант Московского государственного университета инженерной экологии, автор 7 научных работ, область научных интересов - нелинейные уравнения математической физики.
