CC BY
9
Серия «Математика» 2016. Т. 17. С. 12—22
Онлайн-доступ к журналу: http://isu.ru/izvestia
ИЗВЕСТИЯ
Иркутского государственного университета
УДК 519.1+519.44/45 ЫБО 05+20
Перечисление собственных ¿-мерных подпространств пространства Ут над полем СЕ (д)
Г. П. Егорычев
Сибирский федеральный университет
Аннотация. В алгебре Шевалле над полем К, ассоциированной с произвольной системой корней, выделена нильтреугольная подалгебра NФ(К) с базисом {ег (г € Ф+)}. В 2001 г. Г. П. Егорычевым и В. М. Левчуком были поставлены две проблемы перечисления идеалов: специальных идеалов в алгебрах классических типов (проблема 1) и всех идеалов (проблема 2). При их решении возникает задача нахождения числа Ут,г, 1 < t < т, всех собственных ¿-мерных подпространств пространства Ут над полем ОЕ(д). Недавно В. П. Кривоколеско и В. М. Левчук нашли явное выражение для числа Ут,г через кратную сумму от д-комбинаторных чисел. Здесь с помощью метода коэффициентов интегрального представления и вычисления комбинаторных сумм, разработанного автором в конце 1980-х гг., найдено интегральное представление для чисел Ут>ь. Как следствие, получены две простые вычислительные формулы для этих чисел.
Ключевые слова: число подпространств пространства, метод коэффициентов, комбинаторные суммы.
1. Введение
Проблема нахождения числа подпространств пространств различного типа непосредственно связана с проблемой существования базисов в этих пространствах и их перечисления. Этой проблеме посвящено немалое число результатов различных авторов, из которых наиболее известной, вероятно, является следующая формула для числа Ут$ всех подпространств размерности Ь, 1 < £ < т, векторного пространства Ут над полем СЕ(д) (см. [6], с. 50):
Vm,t —
, 1 < t < m. (1.1)
q
Здесь [1]о , к = 0,1, 2,...,n, q = 0,1, 2,
[n]q!
Lkj q
коэффициент,
. , есть q-биномиальный
n
LkJ q
[k]q! X [П - k]q!
(l-q)(l-q2)...(l-qn) (1 -q)... (1 - qk) • (1 -q)... (1 - <t~k)'
= 0,k>n. (1.2)
В [8] Г. П. Егорычевым и В. М. Левчуком были поставлены две проблемы перечисления идеалов: специальных идеалов в алгебрах классических типов (проблема 1) и всех идеалов (проблема 2). При решении этой проблемы недавно в [3] была найдена следующая формула (кратного суммирования) для числа 1 < t < т, всех собственных ¿-мерных подпространств пространства Ут над полем СГ (д):
т— 1
Vm,2 =
Vm, 1 = (q - 1)
±И((? 2_1Г-2_1( 1Г-2
Vm,t =
£
-1)
m-jt
1=jl <J2<... <jt<m
(q - 1)t-jt
t-1
П (
k=1
q
1
q-1
)jk+i-jk-1, з < t < m.
(1.3)
Здесь с помощью метода коэффициентов Егорычева ([1], [7]) найдено интегральное представление для чисел и, как следствие этого результата, найдены две новые вычислительные формулы однократного суммирования для этих чисел. Первая формула рекуррентная, а вторая — типа включения-исключения, представленная комбинаторной знакопеременной суммой от произведений обычных и д-биномиальных коэффициентов. Ранее эти результаты были анонсированы (без доказательства) автором в [2]. В конце этой заметки поставлена задача нахождения комбинаторно-алгебраической интерпретации (прямого доказательства) полученных здесь формул для чисел
q
t
2. Решение задачи
В дальнейших выкладках мы используем схему вычислений и терминологию метода коэффициентов, включая понятие оператора формального вычета res и его свойства (см. [1], гл.1; [7] ). Для формального степенного ряда Лорана A(u) = anun, к — целое число, с комплексными
n=k
коэффициентами, по определению, оператор
resu{A(u)} = а-1. (2.1)
В частности, для степени ап, а € М, справедлива следующая простая формула:
ап = теви{(1 - аи)-1и-п-1}, п = 0,1,2,... (2.2)
Лемма 1. Следующее интегральное представление для Ут* справедливо:
~ * -1
Ут* = гевъ{у-т+1-1П (1 - ^(дк - 1)) }, 1 < £ < т. (2.3) к=1
Доказательство. Оогласно (1.3) при 3 < £ < т имеем
Ут>1 - ^ (а_ П
1=31<32<-<34<т У ' к=1
* _ 1)т-3ь *-1 / дк - 1\ Зк+1-Зк-1
у-зг П [д_1
33-1 34 1 Зг-1 т д 1^т-34 *-1 , к 1 \3к+1-3к-1
= Е Е ■■■ Е Е
(д — 1)*-3 ^ V д — 1 )
32=2 33=32 + 1 34-1=34-1 + 1 34=34-1 + 1 ' к=1
Заменяя множители общего члена под знаком последней суммы по формуле (2.2)
и
(п1_ 1)т-3г / п1 _ Л\ т-34
= (д-1У
(д - 1)*-34 у ' \д - 1
= (д- 1 Г~*ге8ш ( 1 -и<( т ) ) и}
т-гт„п I 1 „, I <7_1 1 1 п,-(т~Зг)-1
получим
\т—1,
Ут* = (д - 1)т
33-1 34-1 34-1 т , , * чч -1
«Е Е- Е Е ге!>'"(1-и'(т~г)) «г'""*'"1:
32=2 33=32 + 1 34-1=34-1 + 1 34=34-1 + 1 ЧУ
X Д.гевПк (1 - ик 1 щик+1~3к-1)-1 = (? - 1 Г"«х
33-1 34-1 34-1 т , ,2 1 \\-1
х И I] I] -и2 Г- ' ' х
32 = 2 33=32 + 1 34-1=34-1 + 1 34=34-1 + 1
(л (^-лх1 Л /V-!
X 1 - и3\ -- ... 1 - щ
д-1// V V д-1
^ и-(33-32-1)-1и-(34 33 1) 1 и-(34-34-1-1)-1и-(т-34)-Ь
х и,2 и,3 ... а*_ 1 а* }.
В последней (кратной) сумме сначала распространим суммирование по каждому индексу j2, j3,... ,jt до то. Это возможно, поскольку добавленные члены указанной суммы, очевидно, равны нулю по определению оператора res для каждой переменной u2, u3, ...,ut. Таким образом,
Vm,t = (q - l)m-t x
те те
E
те
E
j2 =2 j3 =j2 + 1 jt-1=jt-1 + 1 jt=jt-1 + 1
res
U2,U3,
...,ut { 1 - U2
q2 — 1 q- 1
x 1 - U3
q3 - 1 9-1
1
... 1 - Ut
дь - 1 9-1
-1
u
(j3 j2 1) 1 — (j4 j3 1) 1 -(jt-jt-1-1)-1 — (m—jt) — 1
u
...U
t1
1
Далее проведём следующую замену индексов суммирования: ¿1 = ¿2 — 2, ¿2 = 3з — ¿2 — 1, ¿з = ¿4 — 3з — I,---, г—1 = к — 3г—1 — 1, и, как следствие, ¿1 +¿2+ ¿3 + - --+¿1—1 = (32 —2)+к —32 — (¿ — 2), т.е. ¿1 +¿2 + - - - + ¿4—1 = к —, и к = ¿1 + ¿2 + --- + ¿—1 + Таким образом, имеем
те те
= (q - 1)m—tE £... Z
res
U2,U3,
¿1=0 ¿2=0 ¿—1=0
...,ut { 1 - U2
q2 — 1 q- 1
1
x 1 - U3
g3 - 1 9-1
1
... 1 - Ut
g* - 1 9-1
—1
U
—i2 — 1 — ¿3 — 1 „,—¿t-1 —1 ,—m+(i1+i2+...+it-1+t) —1
U
...U
t1
U
}.
Теперь, проведя перегруппировку членов последней суммы, последовательно выделяя её члены с индексами ¿1, ¿2,---, ¿г—1, получим
Vmt = (q - 1)m—tresut {(J2
Ut
x 1-Ut
дь-1
"FT"
— 1 t—1
) П
k=2
E
¿k =0
¿1=0
Utk reSuA 1 - Uk
qk — 1 9-1
1
U
—¿k — 1
Наконец, проведём в последнем выражении суммирование по ¿1 по формуле геометрической прогрессии
Е
¿1=0
U
¿1
1
1 - Ut
, \Ut \ < 1,
X
X
X
X
X
}
и следующее суммирование в каждой из квадратных скобок (независимо) по индексам ¿2,---,ц—1 по правилу подстановки метода коэффициентов: замена ик = иг, к = 2, 3,--- ,Ь — 1 :
те
У^ и^ тев
гк=0
ик
1 — щ
дк -1 9-1
1
u
- гк -1
1 — ик
дк -1 9-1
1
= |^1 — щ Таким образом, имеем
дк _ I
9-1
-1
, к = 2, 3,...,Ь — 1-
Ут,г = (д — 1)т—г X
ХТввиг {
и
—т+г—1
1 — иг
1 — иг
д* - 1 9-1
—1 г—1 X к=2 г
-1
П 1 — иг
дк - 1 9-1
ик=щ,
1
} : =
= {д- 1 )т-1ге8и{и~т+1-1 х (1 - и)-1 [] - и р) ) }
(замена V = и/(д — 1), и = (д — 1)у, ¿и = (д — 1)йу)
= (д — 1)т—г теву{(д — 1)—т+г—1 v—m+t—1x
х(д — 1) X (1 — (д — 1^)—1 П (1 — V (дк — 1))" }
к=2
г -1
= гев^—т+г—1П (1 — Адк — 0) },
к=1
что завершает доказательство леммы 1 при 3 < Ь < т-
Для окончания доказательства покажем, что формула (2.3) для чисел Утг при 3 < Ь < т даёт значения для этих чисел при начальных Ь = 1 и 2, приведённых в формуле (1.3). Действительно, согласно (2.3) имеем при Ь = 1 :
теву{V
— (т— 1) — 1
П(1 — v(д — 1)) — 1}
к=1
теву^—(т—1)—1 х (1 + ^(д — 1)г^)} = (д — 1)
т-1
г=1
что соответствует формуле (1.3) при Ь = 1- Аналогично согласно (2.3) имеем при Ь = 2 :
^—(т—2)—1П (1 — v(дк — Л) 1}
теву ^
к=1
ПЕРЕЧИСЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ t-МЕРНЫХ ПОДПРОСТРАНСТВ 17 = resv{v-(m-2)-1 (1 - v (q - 1))-1 (l - v (q2 - l))-1} =
+ 1Kesv{v-(m~2')-1 (l-v (q2 - l))"1}-
q
—res„0>~(m_2)_1 (1 ~v{q~ l))"1} = q
= (g2 _ l)m-2 _ 1( _ 1)m-2
что соответствует формуле (1.3) при t = 2. □
С помощью простой замены переменных под знаком оператора res в формуле (2.3) для Vm,t в следующей лемме мы получим две новые формулы для Vm,t, каждая из которых имеет некоторое самостоятельное значение.
Лемма 2. Следующие две формулы (интегральные представления) справедливы для числа Vm,t, 1 < t < m:
yt
Vm>t = resz{z~m~l x (1 - z)m~1-— }, (2.4)
z
(Qz)t 1
= гев^-™^-1 х (д - гГ-^-*-1 — }. (2.5)
(г)г
где, в соответствии со стандартными обозначениями для q-многочленов (г)г и (zq)t, положено
(г)г = (1 - г)(1 - qz)... (1 -
(zq)t = (1 - zq)(1 - q2z)... (1 - qtz) = Ц(1 - zqk). (2.6)
^ - ) = к=1
Доказательство. Если в (2.3) под знаком оператора тевъ (интеграла) сделать замену и = -¡гЬ^, и, соответственно,
dv = (1 - z)-2dz, (1 - v(qk - 1)) = (1 - zqk)/(1 - z), то получим формулу (2.4):
Vm, t = resv[v-m+t-in (1 - v(qk - 1)) } = k=1
resz{z~m+t~l(l — z)m~t+l(l — z)~2 x Ц (-^k)}
k=i ^1 zq J
= тев2{г—т+г—1 (1 — г)т—1 х ^ (1 — гдк)—1} =
к=1
л
= ге8х{х-т~1 х (1 -
д)г
Аналогично, если в (2.4) под знаком оператора теву (интеграла) сделать замену г = w/д, и, соответственно, дг = дм/д, (дг)г = (м)г, то получим формулу (2.5):
\ —т+г—1/ \ т—1
■ \ (_ 11
Ут,1 = ге8у,{ — х 1-- —¡—г} =
д д д (■ )г
= ге,зт{и)-т+ь-1 х(д- и))т~1 д~ь~1-Дг-}.
(■ )г
Из формул (2.3) и (2.4) непосредственно вытекают две вычислительные формулы для чисел Ут,г- П
Лемма 3. Рекуррентная формула для вычисления Ут,г- Следующая рекуррентная формула справедлива для чиела всех собственных Ь-мер-ных подпространств пространства Ут над конечным полем СГ(д) :
т-г
'„г =7 лдг — 1)к X Ут-
Утг = ^2(дг — 1)к X Ут—1—к,г— 1 - (2.7)
к=0
Доказательство. Если в формуле (2.3) для Ут>г
г -1
Ут, г = тев {г—т—1 (^ ^ (1 — ^^ (дк — 1)) )}
к=1
под знаком оператора теву воспользоваться формулой геометрической прогрессии
1 те
1-^-1) = Е ^ ~н < vtf -1),
то получим
1 t—1
vm,t = resv{v-m~l X x {у* П(1 - V (дк - l))-1)}
v (q ) k=1
те t—1 1
resJv—m—1x (S^tf- 1)kvk) x 'J' " ' ' ' ' ' —
,{v—m—1 x ^/(qt - 1)kvk) x (v^ (1 - v(qk - Ш )}
к=0 к=1
т—4
4-1
У^(д4 - 1)к х тев.и[у
(у4-1П (1 - у(дк - Л)-1)}
к=0
к=1
(по формуле (2.3) для У^ относительно каждого слагаемого последней суммы)
т-4
- 1)к х Ут-1-к,4-1,
к=0
что завершает доказательство (2.7)
□
В следующей лемме числа ут,4 выражены через конечную знакопеременную сумму (типа включения-исключения) от произведений обычных и ^-биномиальных коэффициентов с отрицательными степенями.
Лемма 4. Комбинаторная формула для вычисления ут,4. Следующая формула справедлива для числа всех собственных г-мерных подпространств пространства Ут над конечным полем СГ(д) :
т-4 /
^\т-4-кгк( т - 1
Ут,4 = ^(-1) к=0
г + к -1
г + к -1
(2.8)
Доказательство. Если в формуле (2.4) для Ут>4
Ут,4 = тев* [г-т+4-1 х (1 - г)
т1
(дг)4
под знаком оператора тезх воспользоваться формулой бинома Ньютона
(1 - г)т-1 = £(-1)^тк Ч к=0 к
и формулой хорошо известного д-аналога бинома Ньютона с отрицательными степенями
1
(дг)4
Е
к=0
г + к -1'
дкгк, \г\ < 1,
то получим
т-1/ ч те
Ут,4 = те**[г-т+4-1 х (£ (-1)к ( т- 1 гк) х (£
к=0 к к=0
г + к -1
дкгк} =
т- 4 т4
к=0
г + к - 1 ,к( л\т-4-к( т - 1
дк(-1)т
тгк
к
Ч
1
}
к
г
к
Ч
к
Ч
к
Ч
m-t
Е
к=0
/ л\т-1-к„к\ m 1
(-1) q U + к -1
t + к - 1
что завершает доказательство (2.8)
□
к
q
3. Заключение
Хорошо известно, что биномиальные коэффициенты (т), д-биноми-альные коэффициенты [т] , числа Лаха и др. допускают (и не единственную) комбинаторную интепретацию (см. [6], [1]). Например, д-би-номиальный коэффициент , как указано выше, есть число всех ^-мерных подпространств т-мерного векторного пространства Ут над конечным полем СГ(д)- Поэтому естественно, возникает следующая
Задача 1. Дать алгебраически-комбинаторное истолкование (прямое доказательство) формул (2.7) и (2.8) (см. [8]; [3]; [4]; [5]).
Автор выражает признательность своим коллегам Я. Н. Нужину, Ю.Д. Королькову, В. П. Кривоколеско, В. М. Левчуку, Н. Д. Ходюне за полезные замечания при написании этой заметки.
Список литературы
1. Егорычев Г. П. Интегральное представление и вычисление комбинаторных сумм / Г. П. Егорычев. - Новосибирск : Наука, 1977. - (на англ.: Transl. of Math. Monographs 59, AMS, 1984, 2-nd ed. in 1989).
2. Егорычев Г. П. О числе Vm,t всех собственных i-мерных подпространств пространства Vm над полем GF(q) / Г. П. Егорычев // Тр. Междунар. конф. «Алгебра и логика», посвящ. 70-летию В. М. Левчука и «XI школа-конференция по теории групп», посвящ. 70-летию А. Ю. Ольшанского. -Красноярск, 2016. - С. 27.
3. Кривоколеско В. П. Перечисление идеалов исключительных нильпотентных матричных алгебр / В. П. Кривоколеско, В. М. Левчук // Тр. ИММ УрО РАН. - 2015. - Т. 21, № 1. - С. 166-171.
4. Левчук В. М. Подгруппы унитреугольной группы / В. М. Левчук // Изв. АН СССР. Сер. мат. - 1974. - Т. 38, № 6. - С. 1202-1220.
5. Нильтреугольные подалгебры алгебр Шевалле и их обобщения / В. М. Левчук, А. В. Литаврин, Н. Д. Ходюня, В. В. Цыганков // Владикавказ. мат. журн. -2015. - Т. 17, № 2. - С. 37-46.
6. Стенли Р. Перечислительная комбинаторика. Т. 1 / Р. Стенли. - М. : Мир, 1990.
7. Egorychev G. P. Method of coefficients: an algebraic characterization and recent applications / G. P. Egorychev // Advances in Combinatorics, Springer, Math. Proc. of the Waterloo Workshop in Computer Algebra 2008, devoted to the 70th birthday G. Egorychev, - 2009. - P. 1-30.
8. Egorychev G. P. Enumeration in the Chevalley algebras / G. P. Egorychev, V. M. Levchuk // ACM SIGSAM Bulletin. - 2001. - Vol. 35, N 2. - P. 20-34.
Егорычев Георгий Петрович, доктор физико-математических наук, профессор, Институт фундаментальной подготовки, Сибирский федеральный университет, 660074, Краснооярск, ул. Киренского 26, каф. "МОДУС" тел.: (391)2461609 (e-mail: gegorych@mail.ru)
G. P. Egorychev
The Enumeration of own ¿-Dimensional Subspaces of a Space Vm over the Field GF(q)
Abstract. In the Chevalley algebra over a field K associated with any system of roots, it is allocated the niltriangular subalgebra N$(K) with the basis {er(r € )}. In 2001 G.P. Egorychev and V.M. Levchuk had been put two problems of a enumeration of ideals: special ideals in the algebras of classical types (the problem 1) and all ideals (the problem 2). At their decision there is the problem of a finding of the number Vm,t, 1 < t < m, all own t-dimensional subspaces of space Vm over the field GF(q). Recently V.P. Krivokolesko and V.M. Levchuk have found an obvious expression for the number Vmtt through a multiple sum from q-combinatorial numbers. Here by means of the method of coefficients of the calculation of combinatorial sums developed by the author in the late eighties, the integral representation for numbers Vmtt is found. As consequence two simple computing formulas for these numbers were received.
Keywords: a number of subspaces of space, the method of coefficients, combinatorial sums.
References
1. Egorychev G.P. Integral Representation and Computation of Combinatorial Sums. Novosibirsk, Nauka, 1977. English: Transl. of Math. Monographs 59, AMS, 1984, 2-nd ed. in 1989.
2. Egorychev G.P. About of the number Vmtt of all own t-dimensional subspaces of a space Vm over the field GF(q) / G.P. Egorychev. Trudy Intern. Conf. "Algebra and Logika"devoted to the 70th birthday V. M. Levchuk and "XI Worshop-seminar of theory groups"devoted to the 70th birthday A.Y. Olshanky, Krasnoyarsk, 2016, p. 27.
3. Krivokolesko V.P., Levchuk V.M. The enumeration of exceptional nilpotent ideals of matrix algebras. Trudy UrO RAN, Ekaterinburg, 2015, vol. 21, no 1, pp. 166-171.
4. Levchuk V.M. Subgroups of a unitriagular group. Izvestia. Akad. Nauk SSSR, Seria Mathem., 1974, vol. 38, no 6, pp. 1202-1220.
5. Levchuk V.M., Litavrin A.V., Hodyunyu N.D., Tsygankov V.V. Subgroups of a unitriagular group niltriangular subalgebras of Chevalley algebras and its generalizations. Vladikavkazsky Mathematical Journal, 2015, vol. 17, no 2, pp. 37-46.
6. Stanley R. Enumerative Combinatorics, Vol. 1. Moscow, Mir, 1990.
7. Egorychev G.P. Method of coefficients: an algebraic characterization and recent applications. Advances in Combinatorics, Springer, Math. Proc. of the Waterloo
22 r. n. ETOPblHEB
Workshop in Computer Algebra 2008, devoted to the 70th birthday G. Egorychev, 2009, pp. 1-30.
8. Egorychev G.P., Levchuk V.M. Enumeration in the Chevalley algebras. ACM SIGSAM Bulletin, 2001, vol. 35, no 2, pp. 20-34.
Egorychev Georgy Petrovich, Doctor of Sciences (Physics and Mathematics), Professor, Siberian Federal University, 26, Kirenskogo st., Krasnoyarsk, 660074; tel.: (391)2461609 (e-mail: gegorych@mail.ru)
