Перечисление D-инвариантных идеалов кольца Rn(k, j) Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.44+519.1

Перечисление Р-инвариантных идеалов кольца КП(К,

Пусть К — локальное кольцо главных идеалов с нильпотентным максимальным идеалом J. В статье завершается 'решение проблемы перечисления инвариантных относительно диагональных автоморфизмов идеалов кольца п х п матриц над К с коэффициентами из J на главной диагонали и над ней.

Ключевые слова: комбинаторные тождества, метод коэффициентов, перечисление на решетках, теория колец.

Введение

Кольцо всех п х п-матриц над ассоциативным кольцом К с единицей с коэффициентами из идеала 7 на и над главной диагональю обозначают через Яп(К, 7). Когда идеал 7 квазирегулярный (например, нильпотентный), это радикальное кольцо, а при 7 = 0 это есть обычное кольцо ЖТ„(К) (нижних) нильтреугольных матриц степени п над К.

Нормальные подгруппы присоединенной группы кольца ЖТ„(К) (она изоморфна унит-реугольной группе иТп(К)), инвариантные относительно подгруппы V диагональных автоморфизмов, перечислены для любого поля (даже тела) К порядка > 2 в [1, следствие 4.3]. Их число равно (1/п)(, как показал методоми интегральных представлений комбинаторных сумм Г.П. Егорычев в монографии [2, теорема 2.1.2]; см. также [3]. Согласно [4], это число совпадает с числом Р-инвариантных идеалов кольца ЖТ„(К) и с аналогичным числом для ассоциированного кольца Ли; столько же Р-инвариантных идеалов имеет алгебра ЖТ„(К) (|К| > 2), которую изучали Дюбиш и Перлис [5]. Аналогичные задачи изучались позднее для алгебр Шевалле и унипотентных подгрупп групп лиева типа [6-8].

Идеалы кольца Д„(К, 7) характеризуются в [9] и [10] на основе введенного понятия Т — границы (см. § 1), зависящей от определенной пары (С, С) наборов матричных позиций и 7-подмодуля Т в К .В случае локального кольца К главных идеалов с нильпотентным максимальным идеалом 7 число всех Р-инвариантных идеалов кольца Д„(К, 7) конечно и при |К/71 > 2 является функцией П(п, в) от п и ступени в нильпотентности 7.

Ранее Г.П. Егорычев и В.М Левчук редуцировали проблему нахождения функции П(п, в) к вычислению числа П+(п) пар (С, С'), для которых г > ] при всех (г,_?') € С [11]. В настоящей статье мы применяем метод интегральных представлений комбинаторных сумм (метод коэффициентов), устанавливая замкнутый вид числа П+(п). Основная теорема. Для числа (п) выполняются следующие 'равенства:

Максим Н. Давлетшин*

*

Институт математики, Сибирский федеральный университет, Свободный, 79, Красноярск, 660041,

Россия

Получена 18.12.2010, окончательный вариант 25.02.2011, принята к печати 10.03.2011

* davmaks@gmail.com © Siberian Federal University. All rights reserved

= 22n-1 + ( 2(29" 3+!9V(n4 - 2n3 - 27n2 + 20n - 4). (1)

(n — 2)!(n + 2)!

С учетом редукционной формулы Егорычева-Левчука мы завершаем решение названной

" ■ )

2(n — 1)\ f2n\ 4 / 2n \ 02n-1

выше проблемы вычисления функции Q(n, s): Q(n, 1) = (1/n)(и

Q(n,s) = (2sn + n — s — 1) v 4 — — - + 22n-1, s> 1. (2)

\ n — 1 J \n/ n \n — 2J

1. Перечисление D-инвариантных идеалов кольца Rn(K, J) на решетках

При описании идеалов кольца ДП(К, J) используется понятие T-границы A, A = A(T; L, L') ([9, Definition 2.1]), которая зависит от J-подмодуля T в К и следующей пары наборов элементов матриц:

L = {(iljl) , (¿2,j2) , ..., (¿r ,jr )} > 1, 1 ^ j1 < j2 < ••• < jr ^ n, 1 < ¿1 < ¿2 < ••• < ¿r ^ n;

L' = {(1,jr), (k1,m1), (k2,m2), ... , (kq, mg), (¿1,n)} , q > 0,

jr ^ m1 < m-2 < ... < mq ^ n, 1 ^ k1 < k2 < ... < kq ^ ¿1.

Мы определим пару (L, L') как "множество углов степени n

Пусть L (¿,j), ¿, j G 1,n, будет множество всех последовательностей типа L произвольной длины r, r ^ 1, в которых ¿1 = jr = j, а L (¿,j), ¿,j G 1,n, есть множество всех последовательностей L типа (включая пустое множество) произвольной длины q, q ^ 0, определенная начальными условиями ¿1 = ¿, jr = j .В [9] указано, что число N = N (Д) всех идеалов кольца ДП(К, J) равно

n n

ВД = ЕЕ |L (¿,j) l|L' (¿,j) |.

i=1 j=1

Тогда Q(n) есть число всех множеств углов (L, L') степени n , а (n) — число всех множеств углов (L, L') степени n с г > j для всех (¿, j) G L.

Следующее утверждение доказано в [11, теорема 3].

Теорема 1. Для чиеел Q+(n), n = 3, 4,... следующая комбинаторная формула справедлива:

n i- 1

(n) =

i=2 j=1

=(n-1)/

— 1,j) x(i-1i-n-o + EE i=2 j=i

n n- 1

=(n-1)

L (* — 1,j)

x Ci-nj, (3)

где

=(n-1)

L (* — 1,j)

выражение вида

{r-1 fci 2r-fci-fc2-2 ^ ^ k k + 1

E E E (fci) j s)(fc2^ ^2r - s - fci - fc2 - J X s _ r + k +2 x

fcl=Q fc2=0 s = r - fc2- 1 1

r-1 fci 2r-fci-fc2-2

./2s-2r+fci +fc2+^ + V fi-Ц j'-Л/'п-^ s \x (4)

•v s-r+fc2 + 1 / + V fci Л JuJ V2r-s-fci-fc2-2/ x (4)

x

ki=Q k2 = 0 s=r-k2-1

k2 — k1 + 1 /2s-2r+fci + fc2 + 2)

s — r + k2 + 2V s-r+ki+1

/2s-2r+fci + fc2 + 2) 1 V s-r + fci + 1 J [

2. Вычисление числа 0,+ (п)

В этом параграфе с помощью метода коэффициентов [2] будут найдены интегральные представления и вычислены в замкнутом виде различные комбинаторные суммы, которые последовательно возникают в процессе вычисления исследуемой кратной комбинаторной суммы (3) для чиеел П+(п).

Пусть П+(п) = Т1 + Т2 + Т3, где

n i-1 / • I ■ 1\ /• 1 I

I n — i + j — 1 \ l i — 1+ n — j

Т1 '= ¿2 з -1 г - 1 , <5»

¿=2 ¿=1 у 7 7 у 7

-А^/г - 1 + п - Л((п -г + .Л Ап -г + з

" ¿=2 £1 г - 1 Ж 3 Н 3 + 1

/г - 1+ п - з) Г (1+ ц)п+3- (1 - ц) 1 (б)

= ЕЕ(у г - 1 -Ц3+-}, (6)

¿=2 з = у ' у '

Т3 := - Ё Ё 'Г С - 1 - п - .)(• - Г+п-3 - в2- з) +

+ ¿у-1/' г - 1 + п - зЛ Л - 1+ п - з'\ / 2. - 2г + ^^ 1 г -1 И в + г Аз - г - в + 1

¿=2 з = я=0 у / \ 1 / V

Лемма 2. Для натуральных п > 2 справедливо следующее комбинаторное тождество:

Т=ё ё (п +1-')("+г -1-1)=<» -1) с;-2)- (7)

¿—2 3—1

Доказательство. Используя известные соотношения и интегральные представления для соответствующих биномиальных коэффициентов, мы получаем

п ¿-1 / ■ . ■ 1\/ . ■ • 1\ « ¿-2 / . .

( п - г + з - 1 \ п + г - з - 1N п - г + з\/п + г - з

Tl i=2 М j — 1 A n — j / ¿2j=0V j An — j— i

™ ^ / (1 — x)-n+i-1 (1 — y)-i-2 = > > < res-—:-res-:-

^^ x xj+1 y yn-J

i=2 j=0 ^

Применяя формулу геометрической прогрессии под знаком суммы по индексу j, мы получаем

" Г(1 — x)-n+i-1 (1 — y)-i-2 1 — (y/x)4

Е

i=2

res

xy

xyn 1 — y/a

(правило линейности [2])

" (1 — x)-n+i-1 (1 — y)-i-2 1

|x|»|y|=p,p«1

E

res

xy

y — x

|x|»|y|=p,p<1

yn

-Е

res

xy

(1 - x)

— n+i- 1

(1 - у)

—i —2

xl 1yn i+1 (y — x)

|x|»|y|=p,p«1

(замена переменных X = x/ (1 — x), Y = y/ (1 — y) под знаком оператора res в первой и второй суммах)

T1 = Е

i=2

-

res

xy

i=2

res

xy

(1 + x)n—i (1 + y) yn (x - y)

(1+ x)n—1 (1 + y)n

xi—1yn —i+1 (x - y)

n+i— 1

|x|»|y|

|x|»|y|

(в первой сумме берём вычет по x, а во второй — под знаком res суммируем по индексу i)

Е

i=2

res

y

(1+ y)n—i (1+ y)

n+i-1

- res

xy

(1+ x)n—1 (1 + y)n x xyn-1 (x - y) ( x - y)

|x|»|y|

E

i=2

res

y

(1 + y)

2n-1

- res

xy

(1 + x)n—1 (1+ y)n yn—1 (x - y)2

c|»|y|

Поступая аналогично, возьмем в первой сумме вычет по у, а во второй — по ж:

t.=± Cn-v -

d ((1+ x)n—1 (1+ y)n ) dx( yn—1 )

x=y

'2n - Л (n - 1П - (n - 1) res

n - 11 y

(1 + x)n—2 (1+ y)n

yn—1

i iw'2n - 1\ , n (1 + У) (n - ^ l „ 1 )- (n -1) res—yn-r

n - 1

2n-2

y yn

= (n- 1H'2"-Л - (n- 1)Г2П-Л=(П - .2

n - 1 n - 2 n - 1

□

Пусть

где

nn-1

T2 :=EE

i=2 j=i

i - 1 + n - j n - j

nn

n - i + j j

n - i + j j+1

Е Е--E -I = Si + S2,

i=2 \j=i j=n

S. :=

n

E

i=2

2n - i n + 1

2n - i

nn

i - 1 + n - j

S2 :=2.2.

i=2 j=i

n - j

n - i + j j

n - i + j j+1

(8) (9)

(10) (11)

n

y

n

y

x=y

n

Лемма 3. Для п = 3,4,... справедливо следующее комбинаторное тождество:

* = Е

¿=2

2п - г п + 1

2п - г п

2п - 1

п+2

2п - 1

п + 1

Доказательство. Имеем

¿=2

51 = ^ (1 + х)2п^/х"+2 - (1 + х)2п- /хп+1}

п

>Х){(1 + х)2«- (1 - х) /хп+2} =

ГвБ

и

ГвБ •

и

{(1 + х)2п-2 (1 - х) (1 - (1+ х)-(п-1)) /хп+2 (1 - (1 + х)-1)} {(1 + х)п (1 - х) /хп+3 + Гв8 (1 + х)2п-1 (1 - х) /хп+3} =

- ГвБ

и

(1+ х)2п-1 (1 - х) /хп+3 - 0: = / 2п - 1) / 2п - 1)

V п + 2 7 V п+1),

таким образом,

Е

¿=2

2п - г 2п - г

п+ 1 п

2п - 1

п+2

2п - 1

п+1

Следующее утвержденее устанавливается аналогично доказательству леммы 3 Лемма 4. Для п = 3,4,... справедливо следующее тождество:

пп

52

¿=2

г - 1 + п- з п- з

п - г + з з

п - г + з з+1

2п 2п

- (п - 1) - + 2 +1

п / \ п + 1

(12) □

(13)

Из формул (9), (12) и (13) следует Лемма 5. Для п = 3,4,... справедливо следующее тождество:

п п- 1

Т2 :=ЕЕ

¿=2

г - 1 + п - з п - з

п - г + з з

п - г + з з+1

2п - Л /2п - Л (п 1) /2п\ / 2п п + 2/ V п + 1/ - (п - ) V п) + V п +1

п

п

и

п

2.1. Вычисление суммы Тз

Лемма 6. Для п = 3, 4,... справедливо следующее тождество:

Fi

™ а -1 + п - л res (i + y)n—j+i—1

\ i — 1 / yu уги-г+2(у — u)

i=2 j=n 4 '

(1+ u)2j—2i (1 — u4)

Доказательство. С помощью метода коэффициентов мы последовательно получаем

Fi = ЕЕ

i=2 j=n

\n—j+i —1

(1+ u)2j—2i (1 — u4)

i — 1 + n — A (1 + y)

. res- .

i — 1 y yu y®uj г+2 (y — u)

n

E1

i=2

yu

(1 + y)i—1 (1+ u)2n—2i (1 — u4) y®un—®+2(y — u)

E

res

u

i=2 (1+ u)2

res

yu

(1+ y)i—1 (1+ u)2(n—i} (1 — u4)

yi+1 un—4+2(1 — u/y)

(1 — u4)

,,n—i+2

n

E1

i=2

|y|»|u|=p

^^ Î1+Ë («/y)'

yy

по определению оператора res .

□

Лемма 7. Для n = 3,4,... справедливо следующее тождество:

тз=—g g3 (■—1—n—ОС—7+n—ОС —j—з>+

+

n n—1j— i— 1 Л A /• 1 I Л / о- о-

i i — 1+ n — Л i — 1 + n — J \ / — 2i

i=2 j=i ' = 0

i—1

s + i

j — i — s + 1

nn

i — 1 + n — A (1 + y)n—j+i—1 (1 + u)2j—2i (1 — u4)

^ n — j 1reS"

i=2 j=i v J

y®uj .+ 2 (y — u)

(15)

Доказательство леммы разобьем на ряд утверждений. Лемма 8. Пусть |t| = р = 0,01, |u| = 10, |y| = 104. Тогда

Тз

res

tyu

t—n+1 (1+ y)n (1 — u4)

(1 — t)2 (y — ( —1 + t (1 + u)2 /u))yu2(y — u) (y — t/ (1 — t))

|y|»|u|»|t|=p

где интегралы

Ji := res

J2 := res

J1 + J2 + J3 + J4

(1 — u4)

tn (1 — t) u2(u — t (1 + u)2)

(1 — u4) (1 + u)

n-1

tn—1 (1 — t) u2(u — t (1 + u))2

u|»|t|=p

|u|»|t|=p

(16)

(17)

(18) (19)

0

0

u

J3 := res

tu

(1 - u4) (1 - t)

-n-1

tn+lu (u - t/ (1 - t))2(u - (1 - t) /t)

|u|»|t|=p

J4 := res

(1 - u4) (1 + u)

2n-1

(1 - t)2 (u - t (1 + u)2)(u - t/ (1 - t))2(u - (1 - t) /t))

|u|»|t|=p

(20) (21)

Доказательство. Имеем

Тз

nn

ЕЕ

i=2 j=i

res (1 + z)

i-1+n-j z—n + j — 1

x res

yu

(1 + у)

n-j+i-1

(1+ u)2j-2i (1 - u4)

yiuj i+2(y - u)

|y|»M=p

V{resV l (1 + z)i-1+n-j z-n+j-1} x

' ^ zyu ' ^ I

2 j=i

(1 + y)

n-j+i-1

(1+ u)2j-2i (1 - u4)

yiuj i+2(y - u)

|y|»|u|=p.

Eres < (1 + z)

zyu I

z)n-1 z-n+i-1

i=2

(1 - z (1+ u)2 / (1+ z)(1+ y) u)-

res (1 + z)

zyu I —^

n„-n+i-1_

(1+ уГ (1 - u4)

yiu2(y - u) (1+ y)n (1 - u4)! _

i=2

(1 + z) ( 1 + y) u - z (1 + u)2 yiu(y - u)

res

_ (1+ y)n (1 - u4)

_x_-_-_

(1 + z) (1 + y) u - z (1 + u)2 y2u(y - u) (1 - z/y)

(1 + z)n z-n+1

res

(1 + z)n z-n+1 (1+ y)n (1 - u4) ((1 + z) (1 + y) u - z (1 + u)2)yu(y - u) (y - z)

|y|»|u|»|z|=p

Если здесь сделать замену t = z (1 + z) 1 G H1, z = t (1 - t) 1, dz/dt = (1 -1) 2 ,y - z y- t (1 - t) , то

T3 = res

(z/ (1 + z))-n+1 (1 - u4) (1+ y)n

res

res

zyu (u (1 + y) - z (1 + u) / (1 + z))yu(y - u) (y - z)

_t-n+1 (1 - u4) (1+ y)n_

(1 - t)2 (u (1 + y) - t (1 + u)2)yu(y - u) (y - t (1 - t)-1)

t-n+1 (1+ y)n (1 - u4)

(1 - t)2 (y - (-1 + t (1 + u)2 u-1))yu2(y - u) (y - t (1 - t)-1)

|y|»|u|»|t| = p

(1 - u4)

tn-1 (1 - t)2 u2 y

(1 + y)n

(y - u) (y - t/ (1 - t)) (y - (-1 + t (1 + u)2 u-1))

|u|»|t| = p.

Вычислим последний интеграл по теореме о вычетах, в котором при выборе |t| = р = 0,1, |u| = 10, |y| = 103 мы имеем полюсы первого порядка в точках y = 0, y = u, y = t/ (1 — t) и y = —1 + t (1 + u)2 u-1. Тогда

, 1 - u4 T3 = res { -i-'-2—

tu I tn-1 (1 - t)2 u2

(1 + y)n

_(y - u) (y - t (1 - t)-1) (y - (-1+1 (1 + u)2 u-1 ))_

M»|t|=p,y=Q

1

u

n

00

1

+

+

(1 + у)«

У (у - t (1 - г)-1) (у - (-1+ г (1 + и)2 и-1))_

(1+ у)п

+

+

у(у - и)(у - (-1+ г (1 + и)2 и-1))

|и|»|е|=р,у=и +

+

(1 + У)п

_у(у - и) (у - г (1 - г)

(1 - и4)

+

г«-1 (1 - г)2 и2

|и|»|4|=р,у=-1+4(1+и)2и-!)

1 - г

г(и - г (1 + и)2)

+

+

(1 - г) (1 + и)«

(и (1 - г) - г) (и2 + и - г (1 + и)2)

|и|»|е|=р +

и|»|4|=Р

+

и(1 - г)

3- п

г (г - и (1 - г))(иг + (1 - г) и - (1 - г) г (1 + и)2)

+

и|»|4| = Р

(1 - г) и3 (г (1 + и)

(-и + г (1 +

и)2)(-и + г (1 + и)2 - и2)(- (1 - г) и + (1 - г) г (1 + и)2 - иг)

и|»|«|=р>

Лемма 9. При |и| ^ |г| = р справедливо следующее равенство:

= Гея

¿и

(1 - и4)

(1 - г) г«и2(и - г (1 + и)2)

|и|»М=р

□

(22)

< 1, то вычисление

Доказательство. Так как |г| = р = 0,01, |и| = 10 и г (1 + и) /и вычетов по и и г проводится с использованием метода коэффициентов, аналогично тому, как это сделано в лемме 7. □

Лемма 10. При |и| ^ |г| = р для п = 3, 4,... справедливо следующее равенство:

72

Гея

¿и

г-п+1 (1 - и4) (1 + и)п

(1 - г) и2 (и (1 - г) - г) (и2 + и - г (1 + и)2)

= (п - 1) --

2 2п

п п- 2

Доказательство проводится аналогично лемме 8.

(23)

73 = гея

(1 - и4)

(1 - г)п+1 г«+1 и(и - г/ (1 - г))2(и - (1 - г) /г)

|и|»|4|=р

74 = гея

¿и

(1 - и4) (1+ и)

2п-1

(1 - г)2 (и - г (1 + и)2)(и - г/ (1 - г))2(и - (1 - г) /г))

|и|»|4|=р

п

0

1

и

□

Лемма 11. При n = 3,4,... и выполнении условий |u| ^ |t| = р справедливо следующее равенство:

J3

res

tu

1

(1 — u4)

(1 — t)n+1 tn+1 u(u — t/ (1 — t))2(u — (1 — t) /t)

|u|»|t|=p

2n—1

2n

n + 1

2n + 1 + 2n nn

(25)

Доказательство. Поскольку |t| = р1 = 0,01, |u| = р2 = 10 и |t/ (1 —1)| < 1 < р2, |(1 — t)/t| « 100 > 10 = р2, то вычислим последний интеграл как вычет по u в точках u = 0, u = t/ (1 — t), исключая точку u = (1 — t) /t, получаем

J3 = res

1

t ltn+1 (1 — t)

n+1

(1 — u4)

(u — t/ (1 — t))2(u — (1 — t) /t)

+

+ res

Так как

d

du

(1 — u4)

u(u — (1 — t) /t)

+

1

u=t/(1 — t),

1

t |(1 — t)n+1 tn+1 (—t/ (1 — t))2 (— (1 — t) /t)

1 r —4u3

+

(1 — u4) (2u — (1 — t) /t)

t | (1 — t)n+1 tn+1 u(u — (1 — t) /t) u2 (u — (1 — t) /t)2

Ju=t/(1 —t)

[(1 — u4)]u=t/(1—t) = [(1 — u2) (1 + u2)]u=t/(1—t) = (1 — 2t) (2t2 — 2t + 1)/ (1 — t)4

то

J3 = — res

— res{-

4 (t/1 — t)2

(1 — t)—n _

--r--rest-t—t

tn+2 (1 — t)n+1 tn+1 (t/ (1 — t) — (1 — t) /t)

1 (1 — 2t) (2t2 — 2t +1) (2t/(1 — t) — (1 — t) /t)

Nn+1

t (1 — t)n+1 tn+1 (1 — t)4 (t/1 — t)2((t/1 — t) — (1 — t) /t)2

}

2n

+ res

2t4 — 2t3 + 5t2 — 4t + 1

Таким образом,

n +V t (1 — t)n+2 tn+2(1 — 2t)

. 2n \ 2t4 — 2t3 + 5t2 — 4t +1

J3 = — + res-n;-.

3 Vn +v t (1 — t)n+2 tn+2(1 — 2t)

Если под знаком интеграла (26) сделать замену t = (1 — (1 — 4w)1/2)/2 G H1 , то

w = t (1 — t) G H1, t = (1 — (1 — 4w)1/2 )/2 G H1, 1 — 2t = (1 — 4w)

œ i /2«\ '+1

dt/dw =(1 — 4w) —1/2 , (1 — 4w)1/2 = —2 sjW ,

1/2

(26)

0

u

что в результате простых вычислений приводит к следующему выражению для ^3:

73 = -

2п

+ гея

п + 1/ г

2г4 - 2г3 + 5г2 - 4г + 1 (1 - г)п+2 г«+2(1 - 2г)

г=(1-(1-4ш)1/2)/2

2п п + 1

1 + 10 (1 - 4ю) - 2(1 - 4ю)1/2 - 2(1 - 4ю)д// + (1 - 4ю)

+ гея

ш

3/2

8(1 - 4ю)

2п 1 1

I +_гея_

п + 1) 8 ш (1 - 4ю) юп+2 4

5

+ т гевш

1

1 (1 - 4ю)-1/2 1 (1 - 4ю)1/2

— гея

4 ш

2п

п+2

--гея

4 ш

+ гея

юп+2 (1 - 4ю)

+—4п+1 +0 - -

1 (1 - 4ю)-1/2 (1 + (1 - 4ю))

п + 17 ' 8~ ' 4 "Ш юп+2

+0

2п п + 1

+2

2п-1

1 (1 - 4ю) 1/2 (2 - 4ю)

--гея

4 ш

ад

п+2

2п п + 1

+ *«-. - 1 гез + гез <' - 4ю>-'/2

ю

п+2

■

п+1

(27)

1 /2в\ я+1

Используя хорошо известное разложение (1 - 4ю)1/2 = -2 У] -( для (27), мы

я=о в + 1 V в )

получаем

73 = -I „+ ,<+'

2п-1 ^2п + 2\ + /2п\ =22«-1 2 V п+ 17 + 1 п

2п п + 1

2п + 1 + 2п пп

Лемма 12. Справедливо следующее равенство:

□

74 = гея

(1 - и4) (1 + и)

2п-1

-1

(1 - г)2 (и - г (1 + и)2)(и - г/ (1 - г))2(и - (1 - г) /г))

= 0. (28)

|и|»|г|=р

Доказательство. Положим

Л

4 = гея

и

(1 - и4) (1 + и)

„п-1

2п-6

х гея

г (г - и/ (1 + и)2) (г - 1/ (1 + и))(г - и/ (1 + и))2

где |и| ^ |г| = р. Если теперь в соответствии с условием |и| ^ |г| = р положить, например, |г| = р1 =0, 01, |и| = р2 = 10 и и/ (1 + и)2 « 10 > р1 =0,01, |и/ (1+ и)| « 1 > р1 =0,01, |1/ (1 + и)| « 0,1 ^ р1 =0, 01, то подынтегральная функция по переменной г в интеграле (20) не имеет особенностей внутри области |г| = р1 = 0, 01, и потому интеграл (28) равен нулю. □

Замечание. Вычисление сумм для 71, 72 73 в замкнутом виде было проведено выше с помощью соответствующих теорем о вычетах, а их результаты получили подтверждение при численной проверке. Две из них были вычислены с помощью известной теоремы о вычетах, в то время как интегралы = 74 = 0 тривиально поддались вычислению по теореме о полной сумме вычетов, поскольку соответствующий вычет в бесконечно удаленной точке равнялся нулю.

2

ш

и

г

Из формул (22) - (25) и (28) немедленно вытекает следующая формула для Т3 = 7 + 7 + 7з + Л.

Лемма 13. Для п = 3,4,... справедливо следующее тождество:

2п-1 , , ,, 2 / 2п \ / 2п \ /2п [2п

ТЗ = ^ + (n — 1) — Пп — J — n +1 — n + nb (29)

Из формул (7), (14) и (29) вытекает справедливость основной теоремы.

В результате, используя основную теорему, мы получаем общую формулу (2) для перечисления Р-инвариантных идеалов кольца ДП(К, 7).

Замечание. Упрощения формул обычно дает новую информацию о структуре объектов перечисления. Например, упрощение известных формул для Д^3)(п) позволило Г.П. Его-рычеву лучше понять структуру множества перечисляемых правильных слов (коммутаторов) и затем 'решить проблему Каргаполова о вычислении рангов факторов Д^(п) нижнего центрального к-ступенио разрешимого ряда свободной разрешимой группы с д образующими для произвольных к [2]. Это дало возможность ему и другим авторам в дальнейшем решить аналогичную задачу для свободной полинильпотентной группы и для свободных групп многообразий. Другой ответ на проблему Каргополова был предложен в [13].

Вычисление в замкнутом виде и простота формул суммирования (1) и (2) позволяют поставить следующую проблему: дать независимое графовое доказательство и алгебраическую интерпретацию формулы (1) для числа всех множеств углов (£, С) степени п с г > ] для всех («, € £.

Выражаю признательность профессору Г.П.Егорычеву и профессору В.М.Левчуку за ряд полезных замечаний при подготовки этой статьи к печати.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант 09-01-00717).

Список литературы

[1] В.М.Левчук, Подгруппы унитреугольных групп, Известия АН СССР, Сер. матем., 38(1974), №6, 1202-1220.

[2] Г.П.Егорычев, Интегральные представления и вычисление комбинаторных сумм, Новосибирск, Наука, (1977); English: Transl. of Math. Monographs 59, AMS, 1984, 2-nd Ed. in 1989.

[3] B.A.Tolasov, The number of normal subgroups of triangular group that are contained in the unitriangular subgroup, Algebra and Number Theory. Nalchik: Kabardino-Balkarsk. Gos. Univ., 2(1977), 122-126.

[4] В.М.Левчук, Связи унитреугольной группы с некоторыми кольцами, Алгебра и логика, 5(1976), 348-360.

[5] R.Dubish, S.Perlis, On total nilpotent algebras, Amer. J. Math. 73(1951), №3, 439-452.

[6] G.P.Egorychev, V.M.Levchuk, Enumeration of characteristic subgroups of unipotent Lie-type groups. Algebra. Ed.: Yu.L.Ershov, E.I.Khukhro, V.M.Levchuk, N.D.Podufalov, Walter de Gruyter: Berlin-New York, 1996, 49-62.

[7] Г.П.Егорычев, В.М.Левчук, Перечислительные проблемы для групп и алгебр типа Ли, Докл. РАН, 330(1993), 464-467.

[8] G.P.Egorychev, V.M.Levchuk, Enumeration in the Chevalley algebras, ACM SIGSAM Bulletin, 35(2001), 20-34.

[9] F.Kuzucuoglu, V.M.Levchuk, Ideals of some matrix rings, Commun. in Algebra, 28(7), (2000), 3503-3513.

[10] В.М.Левчук, Г.С.Сулейманова, Нормальное строение присоединенной группы в радикальных кольцах Д„(К, J), Сиб. матем. журн., 43(2002), №2, 519-537.

[11] М.Н.Давлетшин, Г.П.Егорычев, В.М.Левчук, Комбинаторная формула для D-инвариантных идеалов кольца Än(K, J), Материалы Всероссийской конференции Алгебра, логика и методика обучения математике, Красноярск, Краснояр. гос. пед. ун-т им. В.П.Астафьева, 2010, 23-32.

[12] Коуровская тетрадь (Нерешенные вопросы теории групп), 14-е изд., Новосибирск, ИМ СО РАН, 1999.

[13] V.M.Petrogradsky, Growth of finitely generated polynilpotent Lie algebras and groups, generalized partitions, and functions analytic in the unit circle, Intern. J. Algebra Comput., 9(1999), 179-212.

Enumeration of D-invariant Ideals of the Ring Rn(K, J)

Maxim N. Davletshin

Let K be a local ring of the main ideal with a nilpotent maximal ideal J. The paper is devoted to finished

of solution of problem enumeration of ideals of the ring K of n x n matrices with coefficients of J on the

main diagonal and above it.

Keywords: combinatorial identities, method of coefficients, enumeration of lattice, ring theory.