Симметричные формы над полулокальными кольцами Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.7

Симметричные формы над полулокальными кольцами

Ольга А.Старикова*

Северо-Восточный государственный университет, Портовая 13, Магадан, 685000, Россия

Получена 10.10.2008, окончательный вариант 15.12.2008, принята к печати 10.01.2009

В работе рассматриваются симметричные матрицы, квадрики и квадратичные формы (включая вырожденные) над полулокальными кольцами.

Ключевые слова: полулокальное кольцо, нормальная форма, квадрика, симметричная форма, локальное кольцо коэффициентов, полиномиальные алгебры.

Введение

Рассматриваются симметричные матрицы, квадрики и квадратичные формы (включая вырожденные) над полулокальными кольцами. В основном исследуемом случае локального кольца K коэффициентов с главным максимальным идеалом J =< е > ранее была установлена приводимость симметрической матрицы A над K к клеточно-диагональному виду с клетками A^efk для невырожденных диагональных матриц Ak, [1]. Теорема 1.2 выявляет, что клетки Ak определены с точностью до конгруэнтности.

Задачи классификации квадратичных форм и квадрик проективных пространств над локальными кольцами исследовались в [1]—[3]. В § 2 перечисляются классы конгруэнтных симметрических матриц над фактор-алгебрами действительных полиномиальных алгебр, а также полиномиальных алгебр над конечными полями.

1. Симметричные формы над полулокальными кольцами

Основная в этом параграфе теорема 1.2 выявляет необходимые и достаточные условия конгруэнтности симметрических матриц над локальным кольцом главных идеалов.

Всюду далее кольцо коэффициентов K является ассоциативно-коммутативным и с единицей. Некоторые инварианты диагонализируемых симметричных матриц выявляет доказанная в [2]

Лемма 1.1. Если симметричная матрица над локальным кольцом приводится конгруэнтным преобразованием к диагональному виду diag(di, ¿2,.. ., dn), то набор идеалов < di > не зависит от выбора преобразования.

* e-mail: [email protected] © Siberian Federal University. All rights reserved

Пусть К есть локальное кольцо с главным максимальным идеалом (е) и Ык* — система представителей смежных классов группы К * по подгруппе квадратов К *2 = {а2 | а € К *}, содержащая единицу кольца К. Матрицу над К назовем канонической, если она имеет вид

^ (к^1 ,к2е12 ,..., кг е1г, 0,..., 0), (1)

0 < ь1 < Ь2 < ... < Ьг, е1г =0, к, € Ык*,

где при ¿г_1 = Ьг в случае линейно-упорядоченной системы Ык* предполагаем также к,_ 1 ^

к,. С использованием леммы 1.1 в [1] доказана

Теорема 1.1. Пусть К есть локальное кольцо с главным максимальным идеалом (е) и обратимым элементом 2. Тогда всякая симметричная матрица А над К конгруэнтна канонической матрице (1) с однозначно определенными показателями Ь1, ¿2, .. ., Ьг.

Симметричные матрицы А и В и соответствующие им формы над К называем проек-тивно конгруэнтными (или конгруэнтными), если В = киАиТ (соответственно В = иАиТ) для обратимой матрицы и и обратимого элемента к € К.

Для построения нормального вида квадратичных форм над К, в силу теоремы 1.1, требуется исследовать вопрос о конгруэнтности матриц вида (1). Симметрическая матрица А вида (1) имеет клеточно-диагональный вид

А = (А^1 ^е^,...,А,е^,0), 0 < /1 </2 <...</, е^ =0 (2)

для подходящих обратимых диагональных клеток Ау и нулевой клетки О. Мы исследуем конгруэнтные матрицы А и О = иАиТ вида (1) с подобными клеточными разбиениями матриц и = Ни^ || и О с диагональными клетками О у.

Ранее в [2] было установлено, что клетки А& определены по модулю максимального идеала J с точностью до конгруэнтности. Следующая, основная в этом параграфе, теорема дает более точный результат.

Теорема 1.2. Пусть К — локальное кольцо в главным максимальным идеалом J и 1 + J С К*2. Матрицы А и О конгруэнтны над К тогда и только тогда, когда для всех ] = 1,. .., д конгруэнтны выбранные выше клетки Ау и О у.

Лемма 1.2. Пусть А и О — невырожденные диагональные матрицы над локальным кольцом К в главным максимальным идеалом 7 и 1 + 7 С К*2. Для конгруэнтности матриц А и О достаточно, чтобы они были конгруэнтны по модулю идеала J.

Доказательство. Предположим, что матрицы А и О конгруэнтны по модулю идеала J. Тогда существует такая симметричная матрица Б над J, для которой матрицы А и О + Б конгруэнтны. Докажем конгруэнтность матриц О = diag (¿1,...,^„) и О + Б. Согласно теореме 1.1 матрица О + Б конгруэнтна некоторой диагональной матрице В, причем в силу леммы 1.1 матрица В обратима. Более того, В = diag (¿1 + ^'1,..., ¿п + где € к = 1,..., п, так как для диагонализации матрицы О + Б достаточно применять лишь трансвекции. Положим = 1 + что корректно в силу условия 1 + 7 С К*2. Тогда

для V = diag (г_ ,..., г-1) имеем УВУ Т = О. Транзитивность отношения конгруэнтности завершает доказательство. □

Нам потребуется также установленная в [1]

Лемма 1.3. Пусть Aj, Dj и Ujj — выбранные выше клетки над произвольным локальным кольцом K c главным максимальным идеалом J = (е). Тогда клетки Utt, 1 ^ t ^ q, обратимы и, кроме того,

UttAtUf = Dt mod J, 1 < t < q; Utj = O mod Ke/t-/j, 1 < j < t < q.

Доказательство теоремы 1.2. Предположим, что в условиях теоремы матрицы A = diag (Aiefl, A2ef,... , Aqefq, O) и D = diag (Diefl, D2ef2,..., Dqefq, O) конгруэнтны. Тогда, согласно лемме1.3, диагональные клетки Aj и Dj (j = 1,...,q) конгруэнтны по модулю идеала J. Отсюда, применяя лемму 1.2, получаем конгруэнтность матриц Aj и Dj над кольцом K. Обратное утверждение очевидно. □

Замечание 1.1. Если в основном кольце с обратимым элементом 2 элемент j лежит в радикале Джекобсона, то при ci = 1 — j/2 получаем 1 — j = c1 [1 — j2/(2ci)2]. Для элемента в квадратной скобке аналогично найдем С2. Продолжая индуктивно, находим элементы cm € K*, такие что

2 2т 2т 1 — j = cm mod < j >, cm+i = cm mod < j > (m =1, 2, 3,... ).

Это показывает, что 1 — j есть обратимый квадрат как при условии нильпотентности элемента j, так и в случае, когда основным является кольцо целых p-адических чисел либо кольцо формальных степенных рядов от одной или нескольких переменных над полем. Из теоремы 1.2 непосредственно вытекает

Следствие 1.1. Если K*2 = K* и максимальный идеал нильпотентен ступени s, то число классов конгруэнтных симметричных (п х п)-матриц равно (n+s).

m

Пусть K = Kj — прямая сумма локальных колец Kj главных идеалов, и A — про-

j=i

извольная симметрическая (п х п)-матрица над кольцом K. Тогда матрица A представима

m

в виде суммы матриц A = Aj, где Aj — симметрическая (п х п)-матрица над коль-

j=i

цом Kj. Согласно теореме 1.1 для всякого слагаемого Aj существует обратимая матрица Uj € СЬ(п, Kj), такая что симметрическая матрица UjAjUT имеет канонический вид (1).

m

Тогда для U = J2 Uj € СЬ(п, K) матрица UAU T есть сумма канонических матриц. Если

i=i

над локальными кольцами Ki симметрические матрицы Ai приведены к (единственному) нормальному виду, то будем говорить, что матрица A имеет нормальный вид.

2. Перечисление классов конгруэнтных симметрических матриц над полиномиальными алгебрами

Классы конгруэнтных симметрических матриц над фактор-алгебрами действительных полиномиальных алгебр и полиномиальных алгебр над конечными полями перечисляют теоремы 2.2 и 2.4.

Для произвольного поля ^ обозначим через ^(ек-1) фактор-алгебру ^[ж]/ < хк >. Пусть Д и С — поля действительных и комплексных чисел, г(ж) € Д[х], deg(r(ж)) ^ 1.

я г

Тогда Д[х]/ < г(х) >= Е (Д(ега-1))йа ф ^ (С(е^-1))тэ для натуральных в,г,/а,.7> и

а=1 в=1

я г

ка, те > 0, причем deg(г(x)) = ^ /ака + ^ тв 141-

а=1 в=1

Отметим, что алгебра Д(е1-1) отвечает условиям следующей теоремы [1], распространяющей закон инерции вещественных квадратичных форм и выявляющей "нормальный" вид:

/¿^п^ + е<2 + ... + -+г-1)е<« (0 < »1 <...<»,, е4' = 0), (3)

где для целых чисел 0 ^ в ^ г, 0 ^ к < к + г ^ п полагаем

/(,'г) = —(хк+1 + хк+2 + ... + х!+я) + (х!+я + 1 + ... + Хк+Т).

Теорема 2.1. Пусть К есть локальное кольцо с главным максимальным идеалом J = (е), причем |К* : К*2| = 2, 1 + J С К*2 и 1 + К*2 С К*2. Тогда всякая ненулевая квадратичная форма над К приводится обратимым К — линейным преобразованием неизвестных к диагональному виду (3), причем показатели »1,.. ., гч и целые числа Г1, .. ., гд, в1,.. ., не зависят от способа приведения.

Обозначим через N (А, п) число классов конгруэнтных симметрических (п х п)-матриц над алгеброй А.

я г

Теорема 2.2. Для Д-алгебры А = £ (Д(ег"-1))йа ф £ (с(е^-1))тв имеем

а=1 в=1

г

п

а=1 в=1

N (А, п) = П (П+„21а)'а • П Г?" Г

Доказательство. Достаточно показать, что для алгебр плюральных чисел Д(е1-1) и С(е1-1) над полями действительных и комплексных чисел количество классов конгруэнтных симметрических (п х п)-матриц равно ("+2г) и ("+) соответственно. Для алгебры Д(е1-1) в силу теоремы 2.1 требуемое число классов находим как число неупорядоченных наборов [¿1,..., ¿п] с условием ^ € { — 1,1, —е, е,..., —е1-1, е1-1,0}, » = 1,..., п, тем самым N(Д(е1-1),п) = ("+2г). Равенство ^С(е^'-1),п) = ("+), вытекающее из следствия 1.1, завершает доказательство. □

Для произвольного поля ^ алгебры циклических и ациклических чисел могут быть определены как фактор-алгебры ^(ек-1) = ^[ж]/ < хк — 1 > и ^(»к-1) = F[ж]/ < хк + 1 > соответственно.

Следствие 2.1. Известные [4] разложения

Е(ек-1) I Д2еС--, к-четно; д(.к-1) = ^ С*^_ к

четно;

Д е С, к - нечетно; К ' I Д е С^^, к - нечетно

позволяют найти число классов конгруэнтных симметрических п х п-матриц над действительными алгебрами циклических и ациклических чисел. Именно для четных значений к получаем

N(Д(ек-1), п) = (п + 1)(к+2)/2(п + 2)2/4, N(Д(»к-1), п) = (п + 1)к/2,

а в случае нечетного ранга к

Ж(Д(ей-1),п) = N (Д(гй-1),п) = (п + 1)(й+1)/2(п + 2)/2.

Пусть Ер - простое поле Галуа нечетной характеристики, г(х) € Ер [ж], deg(r(ж)) ^ 1. в

Тогда Ер/ < г(х) >= Е (РрЬа (е/а-1))йа для натуральных Л.а,Ца и ка, причем deg(r(ж)) =

а=1

Е ^.ацака. Кольца Ер^а (е/а ) удовлетворяют условиям следующей теоремы, выявляющей

а=1

нормальный вид симметрических матриц [1].

Теорема 2.3. Пусть К есть локальное кольцо с обратимым элементом 2 и главным максимальным идеалом J = (е), причем |К* : К*2| = 2, 1 + J С К*2 и 1 + К*2 содержит обратимый неквадрат к. Тогда всякая симметричная матрица над К конгруэнтна единственной диагональной матрице вида

diag (¿¿е\ е4,..., е4 ,..., ¿тет, ет,..., ет , 0,..., 0), (4)

й,. .., € {1, к}, 0 < г < . .. < т, ет = 0.

Число классов конгруэнтных симметрических (п х п)-матриц над Ер-алгеброй определяет

Теорема 2.4. Для Ер-алгебры А = Е (Ер^а (е^-1))^ имеем

а=1

Я Шт{п/а + 1}

N (А, п) = П { Е (ПМ/Г^ + С-)^-1]}^.

а=1 4=1

Доказательство. Найдем число классов конгруэнтных симметрических (п х п)-матриц над локальным кольцом Ерна (е/а-1). По теореме 2.3 представителями таких классов служат различные (п х п)-матрицы вида (4). Всякая такая матрица однозначно определяется набором идеалов, порождаемых элементами главной диагонали и, кроме того, набором значений ^, • • • , Обозначая через £ количество попарно различных идеалов, порождаемых элементами главной диагонали, получаем, что число рассматриваемых матриц в зависимости от того, содержит или не содержит главная диагональ нулевые элементы, равно (П-!) (/)24-1 и (П-!) (/*)24 соответственно. Теорема доказана. □

Замечание 2.1. Число классов N (А, п) конгруэнтных симметрических (п х п)-матриц над Ер-алгеброй может быть найдено индуктивно. Положим

/пЦа) = /п,пЦа) + /п,п-1(^в) + ... + /пдОз) + /п,о(^в) + /П, о(Ц),

_ /М(Ц) = 2, ДоЦз) = 2Ц - 2, /1 ,о(ц) = 1,

V« = 2,п (Ц) = ), /пдЦа) = 2(/п-1,о(Ц) + Я-^оЦз)),

/-2 /-2 /п,о(Цв) = Е /п-1,о(Цв - 7) + Е /п-1,о(Цв - ^ /П о(Цв) = /п-1,о(Цв) + /П-1 оЦв).

7=о 5=1

Тогда

N (А, п) = П (2п + 1)йа • П (/„(ц ))тв.

а=1 в=1

Список литературы

[1] В.М.Левчук, О.А.Старикова, Квадратичные формы проективных пространств над кольцами, Мат. сб. 197(2006), №6, 97-110.

[2] V.M.Levchuk, O.A.Starikova, A normal form and schemes of quadratic forms, Journal of Mathematical Sciences, 152(2008),№4, 558-570.

[3] G.P.Egorychev, E.V.Zima, Simple Formulae for the Number of Quadrics and Symmetric Forms of Modules Over Local Rings, Communications in Algebra, 36(2008), №4, 1426-1436.

[4] В.В.Вишневский, А.П.Широков, В.В.Шурыгин, Пространства над алгебрами, Казань, Казанский ун-т, 1985.

Symmetric Forms over Semilocal Rings

Ol'ga A.Starikova

The necessary and sufficient conditions for congruence of quadratic forms over a local ring with a principal maximal ideal are considered. Up to this congruence, symmetric matrices over polynomial algebras are enumerated.

Keywords: symmetric forms, projective congruence, normal form, local ring of coefficients, polynomial algebras.