Парциальные вклады отдельных гармоник в мощность синхротронного излучения круговой поляризации Текст научной статьи по специальности «Физика»

ФИЗИКА

PHYSICS

УДК 531:530.145

ББК 22.314

Б 77

Бойченко С.Е.

Ассистент кафедры прикладной .математики и информационных технологий факультета математики и компьютерных наук Адыгейского государственного университета, тел. (8772) 59-39-04

Парциальные вклады отдельных гармоник в мощность синхротронного излучения круговой поляризации

(Рецензирована)

Аннотация

Проведен теоретический анализ зависимости парциального вклада в мощность синхротронного излучения круговой поляризации от номера гармоники и скорости частицы.

Ключевые слова: синхротроннеє излучение, круговая поляризация, парциальные вклады.

Boychenko S.E.

Assistant Lecturer of Department of Applied Mathematics and Information Technologies of the Faculty of

Mathematics and Computer Science, Adyghe State University, ph. (8772) 59-39-04

Partial contributions of individual harmonics to the power of circular polarization synchrotron radiation

Abstract

The theoretical analysis is undertaken to determine the dependence of the partial contribution to the power of circular polarization synchrotron radiation upon number of a harmonic and velocity of a particle.

Key words: synchrotron radiation, circular polarization, partial contributions.

Введение

В последнее десятилетие, на основе асимптотик и численного анализа, были обнаружены новые свойства в поведении углового распределения мощности синхротронного излучения (СИ). Подробный обзор этих теоретических исследований СИ и обширный список литературы приведен в [1]. Для того чтобы улучшить анализ свойств СИ были введены новые величины, такие как парциальный вклад, точные количественные характеристики степени угловой концентрации СИ - эффективный угол излучения, угол отклонения и другие. Так как в указанных в работах [1] основное внимание уделялось изучению линейной поляризации СИ, то некоторые аналогичные задачи оказались до конца не решенными. В частности остался неизученным вопрос о парциальных вкладах СИ круговой поляризации.

Как известно из классической теории синхротронного излучения, распределение по номерам гармоник мощности СИ круговой поляризации может быть представлено в виде:

>(пв)=Озу, (v,в), о, =с-^,

(1)

¥ (^в) = V

2в!У^в)-(1 -в1) |л,.(у)4' + ИвЛОв)

(2)

»о'+^пв)

о, 2 в

з ¥о(v, в), ¥о(v, в) = - (¥+1(v, в) + ¥-1(v, в)Х

2

(3)

где е - заряд частицы, и = в ■ с - ее скорость, с - скорость света, Я - радиус орбиты, v - номер гармоники. Индекс I характеризует поляризацию излучения I = +1 соответствует правой круговой поляризации, I = -1 - левой круговой поляризации.

В [2] подробно изучены свойства специальных функций, описывающих распределение (1), и для них получены весьма хорошие аппроксимации элементарными функциями.

После суммирования по спектру из (1)-(3) можно получить выражения для поляризационных компонент и полной мощности СИ как функции скорости:

о

»“(в) = Ё»(+>.в), I = о, +1, -1, (4)

v=1

»¡"(в)=2»о(в)п,(в), »о(в) = в ,

п(й=1+^\x,(в), х(х) =4(1 2х)ЁvJliv*), (5)

2 8 X V =1

»0+)(в) = К )(в) + >(в) = 1 »о(в). (6)

В формуле (5) х - аргумент функции х1( х).

Также как и в [3] будем определять парциальный вклад гармоники v в мощность излучения по формуле:

Р^чв) = ВД/Ж, I = о,+1,-1. (7)

Как видно, парциальный вклад представляет собой долю, вносимую излучением на у-гармонике в полную излучаемую мощность при определенном значении в.

Очевидно, что при фиксированном номере гармоники v для левой и правой круговой поляризации СИ парциальный вклад Р„ )(в) является функцией скорости.

При этом справедливо равенство:

Ё р" )(в)=1.

V=1

В работе [3] был проведен полный анализ зависимости парциального вклада линейной части СИ от номера гармоники V, поляризации излучения и энергии частицы. В частности, численно исследован парциальный вклад основной и высших гармоник. При этом обнаружены новые особенности, а именно, скорости ву), в которых достигаются максимальные значения парциального вклада, существенно отличаются от тех

значений скоростей, при которых в сумме ^) максимальным является сла-

v=1

гаемое Щ ^). Здесь индекс I характеризует линейную поляризацию СИ.

Несмотря на весьма обширное исследование, в [3] не был затронут вопрос о поведении парциального вклада круговой поляризации мощности СИ. Частично этого касаются только работы [2] и [4]. В [4] представлены результаты численного расчета величин вУ, при которых максимум излучения падает на гармонику v. При этом расчет для круговой поляризации не проводился, поскольку после интегрирования по углу обе круговые поляризации совпадают и равны половине полной мощности. Поэтому имеет смысл, в русле логики работы [3], рассмотреть излучение круговой поляризации СИ только в верхней (нижней) полуплоскости. Данная работа служит логическим продолжением работы [3].

Аналитическое исследование парциальных вкладов гармоник

Изучим поведение функции рV'1 )(в) во всей области изменения параметров 1 < v <^, 0 < в < 1 для круговой поляризации СИ. Для этого будем использовать обозначения, принятые в [3]:

Р,т(в) = (1 -в^в), I = 0, ± 1. (9)

Тогда из (1) и (3) получим, что

ч)(в)=,=±1,

4вП, (в)

т(0)/-/!?\ _ 3¥0’,в)

2в3

(10)

Используя представления функций Бесселя [5] степенными рядами

Ґ \2к X '

V 2 ) к=0 к! Г(у + к +1)

\^)

Л2( X) =

"х Г І

V 2 ) Г(2у + к +1)Г2 (V + к + 1)к!

(-1)к Г (2v + 2к +1)

(11)

а также то, что выражение дЛв) из (10) совпадает с выражением (7) работы [3]

ЧЛв) = 3v

(-1)к [(V + к)3 - (V + к)2 - V - к + IV2 ]X х ]

2к

, х = 2vв, (12)

получим следующие разложения в ряд для функций ¥і (V, в), , = 0, ± 1

2в3

¥0(v, в) = ^г Ч(0, ¥і(v, в) = ¥0 (^ в) + 'I(в)

/• л2у х

¥o(v,в) = 2в~] I

(-1)к

/• ч 2к

х х

V 2 ) к=0 к! Г(2v + к + 1)

М0, М0

V 2 )

2^ + к)3 - (V + к)2 - V - к + 2v2 ¡(V + к)2 -1

2vв/2(vв)

к=0

ґ Л2у

X х

к! Г (2v + к +1)

• М, М

Г (2v + 2к +1) Г2 (V + к +1) • 22

¥,О'.в) = в^| X

(-1) *

2 У к=0 к! + к +1)

X

V 2 У

2М 0 + lM1v

■> 2v-1

(14)

ч(1 )(в) =

3у

4П,(в)

к=0

(-1)к

ґ ,Л2кґ о2v

к! Г1 (2v + к +1)

X

V 2 J

2М0 + М>

22v-1

(15)

Так как ряды (12) и (15) сходятся абсолютно и равномерно для всех комплексных X, то их удобно использовать для качественного и численного исследования поведения функций 41 )(в), Р( )(в).

В нерелятивистском случае (в << 1), имеем:

,(, )^_ 3^)--2

ЧЇ )(в) =

п (в) Г (V) • 22

(V+1)4П + і

2 Г (V + 3/2) vГ (V)

Значение выражения р(0)(в) берем из [3].

3^ + 1)v 2(vв)2v-2 2(2v +1) Г (2v)

€ )(в) - р( )(в), Р(0)(в)

р(,)(в) я 3v3(vв)2v-2(22v(V +1)Г2(V +1) + ,• Г(2v + 2))

” П, (в) Г (2v + 2) • 22"+1 Г2 (V +1)

(16)

Из (16) следует, что в нерелятивистском случае для первой гармоники получаем такой же результат, как и при линейной поляризации СИ: р(1 )(0) = ч^1 )(0) = 1, а для

других гармоник (V > 1):

р(1 )(0) = ЧЇ )(0) = 0, і = ±1,0

IVі)

1

2 -1

2

2v-2

Сравним чі+ї)(в), ЧІ 1}(в), чV0)(в) в нерелятивистском случае. Преобразуем ч(і), і = ±1 к виду:

41 \в)

1

+1-

2П (в) ^ + 1)21v+1 Г > + Щ (в)

?Г(в).

Для больших

__т(2у±

(V +1)2^+1 Г 1(V + 1)п (в)

номеров гармоник -> 0 и тогда 4°

/?)

2П(в)

7 1

Учитывая, что П+1(0) = —, П-1(0) = —, окончательно получаем:

8 8

+')(в) - у«Т, ¿'"(в) - 44«’,

имеем,

что

«ГЧв)<«Лв)<«Г'Чв)^РГЧв)<Pv(0)(в)<РГЧв), v> 1, 0<в<< 1. (18)

т(0)/

т(-1)/

з(+1)

(0)/

>(-1)/

В ультрарелятивистском случае у>> 1 (/ = 1^1 -в2) при нахождении асим-

птотики получаем такое же выражение, как и формула (12) из [3]:

4(1)

Р1 )(в< 1) -\, Р1 )(1) = 0.

Г

(19)

Как следует из (17) и (19), на концах отрезка [0, 1] неотрицательные функции Ру )(в) (v > 1) обращаются в нуль, поэтому внутри этого отрезка найдется такая точка

в = в{() У = У(°) = 1^1 ~(ву) )2 , в которой всякая функция р)(в) (v > 1) достигает

V У

своего максимального значения Р^) = Р^ )(вv(г)) (v > 1).

Для больших значений номера гармоники в ультрарелятивистском случае воспользуемся аппроксимацией функций Бесселя и их производных функциями Макдо-нольда К 2/3, К1/3 [5]. Тогда, с учетом обозначений, получим:

у=тг^ У = "'':(2/3y>''^ Р")(в) -V,(у), <?“)(в) - (М)4'3у-'У,(. (20)

3^ v

У (в

уж-

■,/3 Кш

V

V 2 У

^(2vв) К1/3(уI

уЖу

у (в

К

2-л 2/3

:в 1 1:в 1 “

[Уl: (у)ёу - -------= [К1/3 (Х)^Х ^ уl: (У)^У - -г= |К1/3 (х)Ф. (21)

0 Жл!3 у/2 0 3 V

1

Отметим, что аппроксимация у0( у) была получена в [3].

, л 9л/э

¥0( У) = У

8п

2 К 2/ 3 (У) - |КШ( х)ёх

(22)

, X Зл/3 2

¥,(У ) = —- У 4п

К

^ 1/3

2К2/3(У) - [К1/3(X)ёх + 21--------------Т2

У п 3

і = ±1.

(23)

Откуда при больших V находим следующие асимптотики:

ч?Чв)

1 6 Ґ 2 ^ V337 Г 2

________[ь

2п

0,776458v3

(24)

2

Г2

3/36

чу1)(в) -^чгчв)+А 2

3 6п

ч;+ (в) - 0,874389v3, чУ(в) - 0,3927302v

(25)

В результате при / >> 1 неравенства (18) заменяются на противоположные:

чУ ■1)(1) < чЛ1) < чП1) ^ Р Ч)(в) < РУв) < Р+1)(в)

(26)

Определение точек максимума ) в асимптотическом случае сводится, как и в [3], к решению трансцендентных уравнений (штрих обозначает производную):

др( )(в) ёв

(27)

“ ^

2 К 2/ 3 (У) - |КШ( х)ёх

4 УК 2 / 3 (У ) + 2 У 2 К2/3(У) - 2 У |К1/3( ^ - У 2 |К1/3( ^

У

V У

(28)

При этом используем следующие формулы:

к.2 (х) = - У-Ку(х) - К1-у (х), = П3 - -2 ук1/3(у) - 31 ^ 2/3(х)ёх. (29)

Окончательно имеем:

2

V

Р(У) = ^0( У) + ■

61

ҐЛ

л

■л/3

К

1/3

У

V 2 у

- УК1

/3

Ґ'ЛК (УлЛ

К2/3

У V 2 у

V 2 уу

і = ±1.

(31)

Отметим, что формула (30) полностью совпадает с выражением (17) из [3]. Определяя из уравнений р( у(1)) = 0 числа у(1), получим

Р) - V-1 • ¥(У(і)Х ГУ) = а, =

(і) - „„1/3

3 У(,) у

1/3

і = ±1.

(32)

Выражение для у0 (у0), имеет такой же вид, как и в работе [3]:

3^/3

¥0(у0) = ~Т1 у0 (4К2/3(у0) + 3у0К1/3(у0)),

16л

(33)

находим ¥і (Уі):

X

ґ \ >/3 2

¥і(Уі) = — У(і)х

8л'

( Л

4К 2/3 (У(і)) + 3 у(і )К1/3(у(і)) +

л

л/3

4К

1/3

У(і)

+ 6у(і )К1/3

V 2 У

К

2/3

ґ Ун ^

V 2 УУ

(34)

Полученные выражения являются основой для последующего численного анализа.

Численный расчет парциальных вкладов гармоник

Результаты численного расчета величин Р^ )(в) для основной гармоники v = 1 представлены на рисунке 1 (штриховой линией отмечены графики парциальных вкладов для сигма и пи-компонентов линейной поляризации СИ). Из рисунка видно, что все функции Р1(г )(в) являются монотонно убывающими (от 1 до 0) функциями в, при этом на всем интервале 0 < в < 1 выполняются неравенства

р;(-1)(в) < Р(0)(в) < Р(+1).

Графики функций ч1 (в) представлены на рисунке 2. Из рисунка видно, что все

ч1і )(в) являются убывающими, выпуклыми вверх функциями. Для этих функций на всем полуинтервале 0 < в < 1 справедливо неравенство:

2

3

і

2

ч;-‘>(в) < #'(в) < ч,( *ц(в)

Р' )(в)

в

Рис. 1. Парциальный вклад первой гармоники в мощность СИ круговой поляризации

4' )(в)

в

Рис. 2. Графики функций «[' )(в)

В точке в = 1 имеем «+1)(1) - 0,807544, 41(0)(1) - 0,67167, «-1)(1) - 0,202149. Парциальные вклады высших гармоник представлены графиками функций Ру )(в) ( v = 2 + 10) - рисунки 3-5, графики функций 41(')(в) ( v = 2 +10) - рисунки 68, графики функций у (у) - рисунок 9.

Численные значения параметров этих функций приведены в таблице 1.

в

. 3.

мощность круговой поляризации СИ

в

. 4.

компоненту круговой поляризации СИ

Р.'Лв)

в

. 5.

компоненту круговой поляризации СИ

«Лв)

в

Рис. 6. Графики функций 41 ’(в) А™ различных номеров гармоник

в

0.1 0.2 аз 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

в

Рис. 7. Графики функций 4^+1)(в)

Рис. 8. Графики функций д1 1)(в)

У(у)

Рис. 9. Графики функции у (у)

Таблица 1

Численные значения характерных параметров функций у (у), Р{у1 )(в),' = ±1

v ' = 1 ' = -1

Д(+) г?} Р (+) : в(~) У(°,_) Р (-) :

2 0,53197 1,18097 0,26296 0,45927 1,12575 0,29801

3 0,64799 1,31294 0,15899 0,58263 1,23041 0,18544

4 0,70999 1,42003 0,11446 0,65291 1,32024 0,13466

5 0,74988 1,51153 0,08954 0,69949 1,39930 0,10559

6 0,77818 1,59225 0,07358 0,73307 1,47026 0,08677

7 0,79952 1,66489 0,06247 0,75863 1,53487 0,07359

8 0,81631 1,73126 0,05428 0,77884 1,59433 0,06386

9 0,82994 1,79259 0,04800 0,79531 1,64961 0,05638

10 0,84126 1,84969 0,04302 0,80902 1,70131 0,05045

11 0,85085 1,90328 0,03898 0,82065 1,74999 0,04565

12 0,85910 1,95386 0,03564 0,83066 1,79604 0,04167

13 0,86629 2,00184 0,03282 0,83939 1,83983 0,03832

14 0,87262 2,04750 0,03042 0,84707 1,88153 0,03547

15 0,87824 2,09109 0,02834 0,85390 1,92146 0,03301

16 0,88327 2,13281 0,02653 0,86001 1,95972 0,03087

17 0,88782 2,17301 0,02494 0,86552 1,99651 0,02899

18 0,89194 2,21164 0,02353 0,87053 2,03204 0,02732

19 0,89570 2,24891 0,02227 0,87509 2,06629 0,02583

20 0,89914 2,28487 0,02114 0,87927 2,09941 0,02450

у(+) = 1,24806 У(+)( у(+)) = 0,42988 а{+) = 0,81138

у(-) = 1,58365 ¥(-)( у(-)) = 0,13880 а(-) = 0,74946

Автор благодарен В.Г. Багрову и В.Б. Тлячеву за обсуждения и полезные замечания.

Примечания:

1. Багров ВТ. Особенности углового распределения мощности синхротронного излучения отдельных гармоник спектра // Известия вузов. Физика. 2008. Т. 51, № 4. С. 5-19.

2. -

вой поляризации синхротронного излучения при изменении энергии заряда / . . , . . , . . , . . // . . 2004. Т. 47, № 4. С. 68-75.

3.

в мощность синхротронного излучения / . . , . . , . . , . . // . . 2006. . 49, 7. . 3-10.

4. -деления синхротронного излучения (стас-сическая теория) / ВТ. Багров, Г.Ф. Копы, . . , . . //

вузов. Физика. 1986. Т. 29, № 4. С. 125. (Деп. в ВИНИТИ 12.11.1985. № 7927. -В. 85.)

5. . ., . .

, , . М.: Наука, 1971. 1108 с.

References:

1. Bagrov V.G. The peculiarities of angular distribution of synchrotron radiation power of separate spectrum harmonics // News of higher schools. Physics. 2008. Vol. 51, No. 4. P. 5-19.

2. The evolution of angular distribution of circular polarization of synchrotron radiation at the change of charge energy / V.G. Bagrov, M.V. Dolzhin, V.B. Tlyachev, A.T. Yarovoy // News of higher schools. Physics. 2004. Vol. 47, No. 4. P. 68-75.

3. The partial contributions of separate harmonics to synchrotron radiation power / V.G. Bagrov, M.V. Dolzhin, K.G. Seravkin, V.M. Shakhmatov // News of higher schools. Physics. 2006. Vol. 49, No. 7. P. 3-10.

4. The numerical analysis of spectral distribution of synchrotron radiation (classical theory) / V.G. Bagrov, G.F. Kopytov, G.K. Razina, V.B. Tlyachev // News of higher schools. Physics. 1986. Vol. 29, No. 4. P. 125. (Dep. in VINITI 12/11/1985. No. 7927. - V. 85.)

5. Gradshteyn I.S., Ryzhik I.M. The tables of integrals, sums, numbers and products. M.: Nauka, 1971. 1108 p.