Научная статья на тему 'Параполное модельное множество'

Параполное модельное множество Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
190
25
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
МОДЕЛЬНОЕ МНОЖЕСТВО / MODEL SET / МНОЖЕСТВО ХИНТИККИ / HINTIKKA SET / ПАРАПОЛНАЯ ЛОГИКА / PARACOMPLETE LOGIC / ПАРАЛОГИКА / СЕМАНТИКА / SEMANTICS / ТЕОРИЯ МОДЕЛЕЙ / MODEL THEORY / ОТМЕЧЕННАЯ ФОРМУЛА / SIGNED FORMULA / PARALOGIC

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Шангин Василий Олегович

В статье построено оригинальное модельное множество для параполной логики PComp (параполное модельное множество), которое является обобщением модельного множества, предложенного Я. Хинтиккой для классической логики высказываний.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Paracomplete model set

The author constructs an original model set for a paracomplete logic PComp (paracomplete model set) which is the generalization of the model set proposed by J. Hintikka for the classical propositional logic.

Текст научной работы на тему «Параполное модельное множество»

ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР. 7. ФИЛОСОФИЯ. 2013. № 4

ЛОГИКА

В.О. Шангин

ПАРАПОЛНОЕ МОДЕЛЬНОЕ МНОЖЕСТВО**

В статье построено оригинальное модельное множество для парапол-ной логики РСотр (параполное модельное множество), которое является обобщением модельного множества, предложенного Я. Хинтиккой для классической логики высказываний.

Ключевые слова: модельное множество, множество Хинтикки, парапол-ная логика, паралогика, семантика, теория моделей, отмеченная формула.

V.O. S h a n g i п. Paracomplete model set

The author constructs an original model set for a paracomplete logic PComp (paracomplete model set) which is the generalization of the model set proposed by J. Hintikka for the classical propositional logic.

Key words: model set, Hintikka set, paracomplete logic, paralogic, semantics, model theory, signed formula.

Введение

Понятие «модельное множество» (множество, максимально насыщенное сверху вниз) было введено Я. Хинтиккой [/. Hintikka, 1957, р. 1—14] для классической логики. В дальнейшем модельное множество (в том числе для неклассических логик) стали называть множеством Хинтикки. Грубо говоря, модельное множество формул обладает некоторыми условиями (например, непротиворечивостью), позволяющими доказать его выполнимость, т.е. наличие модели, в которой все формулы из этого множества принимают значение «истина».

Модельные множества успешно применяются в теории доказательств. Например, с их помощью Р. Шмульян доказывает полноту построенных им исчислений для классической логики высказываний и предикатов [i?. Smullyan, 1965, p. 123—139]. Развивая подход Р. Шмульяна, М. Фиттинг использует модельные множества и коллекции модельных множеств для доказательства полноты предложенных им аналитических таблиц для интуиционистской и модальной

* Шангин Василий Олегович — кандидат философских наук, ассистент кафедры логики философского факультета МГУ имени М.В. Ломоносова, тел.: 8 (495) 939-18-46; e-mail', shangin@pliilos.msu.ru

** Работа подготовлена при финансовой поддержке РГНФ (проект № 13-03-00088а).

логик [М. Fitting, 1969]. Результат В. Карнелли о систематизации любой конечнозначной логики с помощью предложенных им аналитических таблиц базируется на построении модельных множеств [W. Carnielli, 1987, vol. 52 (2), p. 473-493].

Долгое время считалось, что метод построения модельных множеств не применим к (автоматическому) поиску натурального вывода. Ситуация изменилась с появлением работ У. Сига и его учеников, где данный метод (косвенным образом) используется для доказательства полноты так называемых «промежуточных» исчислений, доказательство в которых затем трансформируется в доказательство в натуральном исчислении [W. Sieg, J. Byrnes, 1998, vol. 60 (1), p. 67—106]. Данная статья является продолжением серии статей, посвященных (автоматическому) поиску натурального вывода в классической и неклассической (в частности, временной) логиках, где метод построения модельных множеств применяется при доказательстве полноты алгоритмов [A. Bolotov, О. Grigoryev, V. Shangin, 2007, p. 47-58], [A. Bolotov, V. Shangin, 2012, vol. 21 (1), p. 1—24]. В частности, в указанной работе Болотова и Шангина [ibid.] построено оригинальное модельное множество для некоторой паранепротиворечивой логики (паранепротиворечивое модельное множество).

Статья структурирована следующим образом. В параграфе 1 задаются синтаксис и семантика для пропозициональной парапол-ной логики РСотр. Для связности изложения основного результата в параграфе 2 кратко описывается классический результат Хин-тикки. Параграф 3 содержит применение метода Хинтикки к логике РСотр: в нем построено параполное модельное множество с отмеченными формулами. Наконец, параграф 4 посвящен основному результату статьи — построению параполного модельного множества без отмеченных формул.

1. Логика РСотр: синтаксис и семантика

Задается стандартный пропозициональный язык L с алфавитом {pv q, г, р2, ..., (, ), &, V, з, —,}. Определение формулы языка L обычно. Буквы /1, В, С, D,AV ... обозначают произвольные формулы языка L. Буквы Г, А, X, Гх, ... обозначают произвольные конечные множества формул языка L. А = В есть сокращение для (А з В) & (В з А). Определение отмеченной формулы стандартно за небольшим исключением: мы будем писать «L4» («0А») вместо «1Л» («fA»), понимая при этом, что А оценивается как классически истинная и ложная соответственно. (В рассматриваемой нами логике РСотр мы будем писать «fA», понимая при этом, что А принимает третье истинностное значение <</>>.) Знак «•» обозначает конец доказа-

тельства. В работе мы используем пропозициональную параполную логику PComp [A. Avron, 1991, vol. 56(1), p. 276—294]. Определения паралогики, параполной логики см. [В.М. Попов, 2010, вып. 16, с. 205-220].

Определение. Аксиоматика PComp:

— Позитивный фрагмент классической логики высказываний;

--г-1/4 =А; -,(4 &B) = (-nAv -lВ); -ЦА vB) = (-nA& -В)\ -ЦА dJ) =

(л &

--4 з (4 з Я).

Правило вывода — модус поненс.

Определение. Связки PComp задаются следующими таблицами:

—1 А & 1 / 0 V 1 / 0 3 1 / 0

0 1 1 1 / 0 1 1 1 1 1 1 / 0

/ / / / / 0 / 1 / / / 1 1 1

1 0 0 0 0 0 0 1 / 0 0 1 1 1

Множество выделенных значений — множество {1}.

2. Построение модельного множества для классической логики

Мы начнем с результата Хинтикки для классической логики высказываний и дадим для наших целей определения модельного множества для формул и для отмеченных формул.

Определение (множества Хинтикки для классической логики без отмеченных формул). Множество X называется множеством Хинтикки, если для него выполняются следующие условия (Л и В суть произвольные формулы из X):

1. Неверно, что^4 g X и -A g X;

2. —,—А g X => A G X;

3.А&Ве X =>^4 g X и 5 g X; —¡(А & Д) g X => —A g X или —В g X;

4. Av Be X=>v4g X или В g X; —,(А v В) g X => -н/4 g X и —J? g X;

5.Az)Be X => -Л g X или В g X; -,(/4 з Д) g X => 4 g Хи -J? g X. Определение (множества Хинтикки для классической логики

для отмеченных формул). Множество X называется множеством Хинтикки, если для него выполняются следующие условия (А и В суть произвольные формулы из X):

1. Неверно, что 1Ае X и 0^4 g X;

2. 1—1/4 g X => OA G X; 0^4 G X => L4 G X;

3. l(A&B)e X=> L4g XhLBg X; 0(A&B)e X=>0^4g ХилиОЯс X;

4. L4v£g X=>L4g Хили 15g X; 0(AvB)e X=>0^4g Xh05g X;

5. 1(A=>£)e X^>0Ae Xили IBe X; 0(4зe X=> L4g ХиОВе X. Лемма Хинтикки. Любое модельное множество X выполнимо

[/. Hintikka, 1957, vol. XVII (2), p. 1-14].

3. Построение модельного множества для РСотр

с отмеченными формулами

В. Карнелли обобщил результат Хинтикки на некоторые неклассические логики, а именно он предложил общий метод построения модельного множества для любой конечнозначной табличной логики [W. Carnielli, 1987, vol. 52 (2), p. 473—493] (см. также распространение данного метода на натуральный вывод в: [М. Baaz, C.G. Fermuller, R. Zach, 1993, p. 208-213]).

Схематично данный метод состоит в следующем. Берем произвольную n-значную логику, п > 2. Все п истинностных значений этой логики «превращаются» в символы-отметки, и работа в дальнейшем идет только с отмеченными формулами. Условия для множества Хинтикки задаются с помощью табличного определения связок выбранной л-значной логики. Покажем, как данный метод применим к логике РСотр.

Определение (множества Хинтикки для логики РСотр для отмеченных формул). Множество X формул называется множеством Хинтикки, если для него выполняются следующие свойства (А и В суть произвольные формулы из X; полужирным отмечены специфические условия для РСотр):

1. Неверно, что 1А е X и 0/1 е X; неверно, что 1А е X и/А е X; неверно, что ОАе X и/Л е X;

2. l^A g X => OA G X; О^А еЕ^ЫЕ Х;/-пЛ ЕЕ^ЕЕ;

3. ЦА & В) g X => Ые X и IB е X; 0 (А & В) е X => ОАе X или ОВе X; fiA & Б) g X => (f/1 g X и IB е X) или (fA е X и fB е X) или (1Л g X и fB g X);

4. L4 v 5 g X => 1А g X или IB е X; 0 (A v 5) е X => 0/1 е X и ОВе X; .ДЛ v fi) е X => (f/1 е X и fB е X) или (/^ g X и Ой g X) или (0Л g X и fB g X);

5. 1 (/! 3 5) G X => 0/1 G X или 15 G X илиG X; 0 (/1 з 5) е X => 1А g X и 0 В g Х;/(Л 3fi)GX=>l/lGXH./BGX.

Лемма Хинтикки для логики РСотр. Любое модельное множество X выполнимо. Доказательство рутинно следует из табличных определений связок логики РСотр.

4. Построение модельного множества для РСотр

без отмеченных формул

Универсальность метода Карнелли одновременно является его недостатком. Во-первых, использование отмеченных формул не всегда необходимо, и множество Хинтикки для некоторой л-значной логики, естественно, строится без отмеченных формул. Во-вторых, метод Карнелли громоздок, ибо он жестко привязан к п истинност-

ным значениям данной логики. Таким образом, возрастание параметра п при построении множества Хинтикки ведет к необходимости формулировать п условий для &, п условий для V и т.д.

В третьих, из второго факта вытекает то, что в наихудшем случае в л-значной логике возможны п - 1 невыделенных значений, т.е. таких значений, которые не принимает ни одна общезначимая в данной логике формула. Поскольку метод Карнелли работает с аналитическими таблицами (одной из форматизаций метода от противного), в таком случае нужно построить все п - 1 аналитических таблиц, чтобы убедиться в общезначимости формулы. В-четвертых, мы особо отметим тот факт, что метод Карнелли (опять же в силу своей универсальности) не всегда показывает специфику конкретной л-значной логики.

Данная статья, будучи продолжением работы Болотова и Шан-гина [A. Bolotov, V. Shangin, 2012, vol. 21 (1), p. 1—24], свободна от указанных недостатков. Прежде всего, паранепротиворечивое [ibid.] и параполное (см. ниже) множества Хинтикки для пропозициональной трехзначной паранепротиворечивой логики PCont и для пропозициональной трехзначной параполной логики PComp, соответственно, строятся без отмеченных формул.

Кроме того, сравнение паранепротиворечивого (параподного) модельного множества без отмеченных формул с паранепротиво-речивым (параполным) модельным множеством для отмеченных формул показывает, что возрастание параметра (в данном случае в сравнении с классической логикой) не всегда приводит к необходимости формулировать дополнительные условия для пропозициональных связок. Читатель может сравнить число полужирных условий в определении множества Хинтикки для логики PComp для отмеченных формул (см. выше) и число полужирных условий в определении множества Хинтикки для логики PComp без отмеченных формул (см. ниже).

Отсутствию еще одного недостатка будет посвящено наше дальнейшее исследование, в котором мы применим построенное в данной статье параполное модельное множество к автоматическому поиску натурального вывода в параполной логике PComp. И наконец, предложенные в данной статье и в указанной работе [ibid.], модельные множества показывают специфические свойства рассматриваемых паралогик. Например, множество Хинтикки для логики PComp без отмеченных формул в работе Болотова и Шан-гина [ibid.] эксплицитно задает главное свойство паранепротиворечивой логики — диалетейю: наличие формулы и ее отрицания не является противоречием, которое приводит к тривиализации и возможности обосновать все, что угодно; наоборот, наличие в пара-непротиворечивом модельном множестве формул ри—,р позволяет

оценить р как «/», где «I» — это третье (неклассическое) значение паранепротиворечивой логики РСотр.

Определение (множества Хинтикки для логики РСотр без отмеченных формул). Множество X называется множеством Хинтикки, если для него выполняются следующие условия (А и В суть произвольные формулы из X; р — пропозициональная переменная, не входящая в X; полужирным отмечено специфическое условие для РСотр):

Случаи 1—4 являются классическими.

4. А з В е X => —А е X или В е X или Л з (/> & ^р) е X; —. (А з В) е X => А е X и -лВ е X.

Лемма Хинтикки для логики РСотр без отмеченных формул. Любое модельное множество X выполнимо. Доказательство ведется по числу формул в X и длине формулы в X.

Напомним, что формула^ принимает значение «1» в двух случаях: (а) если А е X и -А <£ X; (б) если А е X и А з (р & —,р) ё X; А принимает значение «О», если -А е X и А г X; А принимает значение <</>>, если А з (р & —р) е X, А <£ X, -А <£ X.

Отметим, что в силу конечности множества X и бесконечности алфавита языка /,, мы всегда найдем такую пропозициональную переменную р, которая не входит в X. Альтернативно мы могли бы использовать подход В.М. Попова [В.М. Попов, 2000, вып. XIV, с. 36—41], где происходит погружение классической пропозициональной логики в ее импликативный фрагмент и в импликатив-ный фрагмент интуиционистской пропозициональной логики. Также альтернативой было бы введение в алфавит языка /, знака абсурда «/'» для обозначения невыполнимой формулы и, соответственно, появление нового вида формулы: А з Г.

Случаи 1—4 рассматриваются классически.

Рассмотрим случай 5, подслучай А з В е X.

Приписывание значения формуле А з В, с,(А з В), происходит следующим образом: если с,(А з В) = 1, то (5.1) ^А = 0 или (5.2) с,В= I или (5.3) =/

5.1. Согласно определению множества Хинтикки для множества РСотр без отмеченных формул, —А е X.

Таким образом, из имеющихся 16 случаев, в зависимости от того, А е X или —А е X или А з (р & —,р) е X или -А з (р & —,р) е X, исключаем случаи:

Восемь случаев, когда -А <£ X;

Четыре случая (из оставшихся восьми), когда А е X (по определению множества Хинтикки для множества РСотр без отмеченных формул, неверно, чтоу4 е X и -А е X);

Два случая (из оставшихся четырех), когда -А з (р & —¡р) е X (из -А е X и -А з (р & -^р) е X следует, что р & —,р е X, а значит,

ре X и —р g X, что невозможно по определению множества Хин-тикки для множества РСотр без отмеченных формул).

Остались два случая, отличающиеся между собою наличием формулы Л з (р & в X:

Случай 15:435g X, A i X, -A g X, А з (р & —,/>) g X, —.4 з (р & (É X.

Случай 16:4 з В g X, 4 <t X, -н4 g X, 4 з (р & —,/>) <t X, —.4 з (р & (É X.

Случай 16 рассматривается в классической логике: если ^(4 з В) = 1, то ^4 = 0.

В случае 15 ^4 = 0, учитывая, что из -А в логике РСотр следует 4 з (р & —,/>).

Случай 5.2. Согласно определению множества Хинтикки для множества РСотр без отмеченных формул, В g X.

Таким образом, из имеющихся 16 случаев, в зависимости от того, В g X или —1В g X или 5 з (р & —ip) g X или —1В з (р & —ip) g X, исключаем случаи:

Восемь случаев, когда В i X;

Четыре случая (из оставшихся восьми), когда S g X (по определению множества Хинтикки для множества РСотр без отмеченных формул, неверно, что В g X и S g X);

Два случая (из оставшихся четырех), когда В з (р & —¡р) g X (из В g X и 5 з (р & —ip) g X следует, что р & —,р g X, а значит, /> g X и —iP g X, что невозможно по определению множества Хинтикки для множества РСотр без отмеченных формул).

Остались два случая, отличающиеся между собою наличием формулы —1В з (р & —р) в X:

Случай 15:435g X, 5 g Х,^5з(р&^?)е Х,5з(р&

(É X.

Случай 16:435g X,5g X,-,5 з (р & ^р) £ Х,5з(р&

(É X.

Случай 16 рассматривается в классической логике: если ^(4 з В) = 1, то = 1.

В случае 15 \В = 1, учитывая, что из В в логике РСотр следует

—ьбз (р & —|Р).

Случай 5.3. Согласно определению множества Хинтикки для множества РСотр без отмеченных формул, 4 з (р & —р) g X.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Таким образом, из имеющихся 16 случаев, в зависимости от того, В g X или —1В g X или В з (р & —ip) g X или —l5 з (р & —р) g X, исключаем случаи:

Восемь случаев, когда4 з (р & -нр) g X;

Четыре случая (из оставшихся восьми), когда 4 g X (из 4 g X и 4 з (р & —р) g X следует, что р & —,р g X, а значит, ре Еи^е X,

что невозможно по определению множества Хинтикки для множества РСотр без отмеченных формул).

Один случай (из оставшихся четырех), когда —А е X, —А з (р & —р) е X (из —A g X и —А з (р & —р) е X следует, что р & —,р е X, а значит, ре X и —,/> е X, что невозможно по определению множества Хинтикки для множества РСотр без отмеченных формул).

Остались 3 случая:

Случай 14: /4 з В е X, /4 ¡ё X, -н/4 е X, /4 з (р & -^р) е X, -А з (р & —р) £ X (см. 5.1, случай 15).

Случай 15: А з В е X, А <£ X, -А <£ X, А з (р & -р) е X, -н/4 з (р & -пр) G X.

Случай 16: /4 з 5 g X, /4 g X, —Л <£ X, /4 з (р & —,/>) е X, -А з (р &

-тР) g X.

В случае 15 q/1 = J\ учитывая, что формула —А з (р & ^р) — это частный случай формулы С з (р & ^р).

В случае 16 q/1 =/ так как ^4 принимает значение «/», если Л з (р & —ip) g X, /4 g X, ^4 g X.»

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Попов В.М. Погружение классической пропозициональной логики в ее импликативный фрагмент и в импликативный фрагмент интуиционистской пропозициональной логики // Труды научно-исследовательского семинара логического центра ИФРАН. М., 2000. Вып. XIV

Попов В.М. Секвенциальные аксиоматизации простых паралогик // Логические исследования. М.; СПб., 2010. Вып. 16.

Avron A. Natural 3-valued logics: characterization and proof theory // Journal of Symbolic Logic. 1991. Vol. 56 (1).

Baaz M., Fermuller C.G., Zach R. Systematic construction of natural deduction systems for many-valued logics // The Proceedings of 23rd International Symposium on Multiple Valued Logic. Sacramento (CA). May 1993. Los Alamitos, 1993.

Bolotov A., Grigoryev O., Shangin V. Automated natural deduction for prepositional linear-time temporal logic // Proceedings of the 14th International Symposium on Temporal Representation and Reasoning. Alicante, Spain, June 28—June 30. 2007.

Bolotov A., Shangin V. Natural deduction system in paraconsistent setting: proof search for PCont // Journal of Intelligent Systems. 2012. Vol. 21 (1).

Carnielli W. Systematization of the finite many-valued logics through the method of tableaux // Journal of Symbolic Logic. 1987. Vol. 52 (2).

Fitting M. Intuitionistic logic, model theory and forcing. Amsterdam, 1969.

Hintikka J. A new approach to sentential logic // Societas Scientarium Fennica Commentationes Physico-Mathematicae. 1957. Vol. XVII (2).

Sieg W., Byrnes J. Normal natural deduction proofs (in classical logic) // Studia Logica. 1998. Vol. 60 (1).

Smullyan KM. Analytic natural deduction // Journal of Symbolic Logic. 1965. Vol. 30 (2).

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.