CC BY
54
Анализ формул (3)—(5) показывает, что при фиксированном значении энергии сигнала W путем увеличения спектральной плотности шума N вероятность правильного обнаружения радиосигнала может быть сколь угодно малой, даже в том случае, когда его параметры полностью известны, а приемник является оптимальным.
Изложенный в настоящей статье теоретический подход к оценке эффективности и качества приборов поиска объектов по характеристикам назначения в дальнейшем может быть использован для решения конкретных практических задач.
список литературы
1. Динер И. Я. Исследование операций. Л.: Изд-во ВМОЛУА, 1969. 605 с.
2. Шишкин И. Ф., Сергушев А. Г. Эффективность поисковых средств // Проблемы машиноведения и машиностроения: Межвуз. сб. СПб.: СЗТУ, 2003. Вып. 30. С. 42—45.
3. Шишкин И. Ф., Сергушев А. Г. Теория поиска // Тр. Междунар. семинара „Интеграция информации и геоинформационные системы — 2005" / Санкт-Петербург. Дом ученых РАН. СПб., 2005. С. 167—169.
4. Тихонов В. И. Статистическая радиотехника. М.: Радио и связь, 1982. 624 с.
5. Вакин С. А., Шустов Л. Н. Основы радиоэлектронной борьбы: Учеб. пособие. М.: Изд-во ВВИА, 1998. Ч. 1. 435 с.
Сведения об авторах
Игорь Федорович Шишкин — д-р техн. наук, профессор; Северо-Западный государственный заоч-
ный технический университет, кафедра метрологии, Санкт-Петербург; E-mail: [email protected]
Алексей Геннадьевич Сергушев — аспирант; Северо-Западный государственный заочный технический
университет, кафедра метрологии, Санкт-Петербург; E-mail: [email protected]
Рекомендована кафедрой Поступила в редакцию
метрологии 19.11.08 г.
УДК 519.24
В. М. Мусалимов, О. Е. Дик, А. Е. Тюрин
ПАРАМЕТРЫ ДЕЙСТВИЯ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО СПЕКТРА ВЕЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
Предложен новый метод оценивания параметров спектральной плотности энергии сигнала и детализирующих компонентов, полученных при дискретном вейвлет-разложении сигнала. Эффективность метода проверена при исследовании профилограмм поверхностей металлических образцов и анализе временных рядов кинетического тремора, возникающего при поддержании изометрического усилия руки человека.
Ключевые слова: вейвлет-преобразование, спектральная плотность сигнала, кумулята, параметры действия.
Введение. Вейвлет-преобразования широко используются для решения задач, связанных с подавлением шумов, сжатием больших объемов информации, анализом геофизических полей и сигналов, анализом электрокардиограмм, рентгенограмм и томограмм мозга [1—4].
Применение вейвлетов заключается в разложении одномерного сигнала х(/) по базису, образованному сдвигами и разномасштабными копиями функции-прототипа (материнского вейв-лета у(0). Вся информация о сигнале содержится в этом довольно небольшом наборе значений. При вейвлет-преобразовании выполняется свертка сигнала с масштабирующей функцией ф(^), что дает сглаженную версию исходного сигнала. Таким образом, выделяются характерные особенности сигнала в области локализации вейвлета. К сглаженному и детализирующим компонентам применяется быстрое преобразование Фурье с последующим оцениванием спектральной плотности энергии или спектральной плотности мощности, что позволяет исследовать распределение энергии компонентов сигнала или их мощности по частотам [5, 6].
Цель настоящей статьи — представление и обсуждение оригинального метода оценки спектральной плотности энергии нестационарного сигнала с использованием компьютерных технологий на примерах анализа метрических триботехнических профилограм и временных рядов кинетического тремора, возникающего в процессе поддержания изометрического усилия руки здорового человека и больного с синдромом паркинсонизма.
Исследование шероховатости поверхности. Профилограмма представляет собой дискретный ряд {х(^- )}г^1, мкм, значений пиков и впадин рельефа поверхности трибопары. Для анализа были выбраны пять фрагментов одномерного сигнала, содержащего 3500 отсчетов с базы £=1,75 мм. С помощью профилографа записывался профиль поверхности образцов до и после взаимодействия. В течение 1 с профилограф „проходил" 0,25 мм поверхности, записывая новое значение через каждые 0,5 мкм с частотой дискретизации 1000 Гц. В качестве исследуемого материала использовался сплав ЛС59. Предварительно поверхность образцов была отшлифована, при этом шероховатость составила Яа=0,22 мкм. Исследования производились на трибометрической установке „Трибал" [7]. Возвратно-поступательное движение исследуемых образцов относительно друг друга осуществлялось при определенной скорости их перемещения и выбранной величине нормального нагружения.
Исследование кинетического тремора. Для проведения экспериментов были привлечены 9 здоровых человек в возрасте от 40 до 52 лет и 9 больных с синдромом паркинсонизма в возрасте от 51 года до 58 лет. Испытуемые, сидя за столом перед монитором, нажимали пальцами выпрямленных рук на платформы с тензочувствительными датчиками, которые преобразовывали силу давления у(¿), Н, каждой руки в электрический сигнал. Благодаря жесткости платформ обеспечивалась более корректная регистрация усилия в изометрическом режиме (т.е. без движения пальцев в пространстве). Длительность регистрации составила 30 с, частота дискретизации 100 Гц. Регистрируемый сигнал изометрического усилия содержал медленный тренд и быстрый непроизвольный компонент (тремор). Этот компонент был выделен из полученного сигнала с помощью программы Ма1ЬаЬ, которая использует пороговую обработку вейвлет-коэффициентов по принципу Штейна несмещенной оценки риска. С учетом жесткости тензочувствительного элемента (г=1 Н/мм) величина тремора определяется как х({)=у(^)/г, мм.
Вейвлет-преобразование и кратно-масштабный анализ. Для дискретного сигнала {х(^- конечной длины N вейвлет-преобразование вычисляется для дискретных значений параметров масштаба а=2' и сдвига ё=к-2где к, ] — целые числа, при этом вейвлет- и масштабирующие функции имеют следующий вид:
Тогда дискретное преобразование сигнала на у'-м уровне разложения представляет собой суперпозицию вейвлетов и масштабирующих функций [8]:
ктах ктах
= Х ]Ф]к (0 ]У],к (0; ктах ^-1; ] = 0Л •••> = float(1о§2 #)•
к=0 к=0
Для вычисления вейвлет-коэффициентов аукк и коэффициентов которые задаются интегралами
aj,k = J x(t (t )dt , dj k = J x(t)'Ъ k(t )dt'
используется каскадный алгоритм [8]. На последнем уровне разложения m, который не может превышать значения float (log2 N) , формируются наборы коэффициентов аппроксимации последнего уровня и детализирующих коэффициентов всех уровней. Для восстановления сигнала по известному набору коэффициентов используется каскадный алгоритм обратного вейв-лет-преобразования. В итоге анализируемый сигнал равен сумме сглаженного компонента последнего уровня (Am) и деталей всех уровней разложения (Dm,..., D\):
kmax m kmax
x(ti) Am (ti)+Dm (ti) + ...+D1(ti) = Z am,k фm,k (t)+Z Z djk v j,k(t).
k=0 j=1 k=0
Для анализа полученных компонентов сигнала обычно применяется алгоритм быстрого дискретного преобразования Фурье с последующим оцениванием спектральной плотности энергии этих компонентов.
Параметры действия спектральной плотности энергии нестационарного сигнала.
Компоненты Db ..., Dm сигнала в явной форме не содержат информации о характеристиках
процесса. Для получения данных об энергетических характеристиках процесса целесообразно использовать методы цифрового спектрального анализа [9].
Спектральная плотность энергии сигнала равна квадрату фурье-преобразования сигнала:
E(f ) = |X (f )|2 = |J x(t )e "2rafidt|2,
где X (f) — спектр сигнала.
Частотное накопление спектральной плотности энергии, условно называемое кумулятой
f2
энергии, в пределах полосы частот f1, f2) определяется как s = J E(f)df.
fi
Проведем анализ размерностей величин. Его обычно связывают с конкретными характеристиками приборов: например, частотой Шо собственных колебаний чувствительного
элемента или его приведенной жесткостью с и массой m . Учитывая константу прибора
2
С 2 2
k = — = Ш2c, Н/(м-с ), введем Es (f) = kE(f), Дж. Тогда кумулята энергии будет измеряться m
в ваттах: Вт=Дж/с.
Примеры графиков спектральной плотности энергии и накопления энергии представлены на рис. 1, а, б соответственно, где Emax — максимальное значение спектральной плотности энергии; fmax — максимальная частота, соответствующая Emax; s — предельное значение ку-муляты энергии.
В качестве характеристик спектральной плотности энергии рассмотрим следующие величины:
* E
s Emax
Pi = ^-777-, Р2 =
(f2 f1 )fmax fm
Параметры р1 и р2 измеряются в джоулях в секунду (Дж-с). Разделим оба параметра на постоянную Планка И=6,62-10-34 Дж-с, тогда номинальный и интервальный параметры действия И = 1§ (р^И) и И = (Р2/И) будут безразмерными. (Физическая величина, имеющая размерность произведения энергии на время, называется действием.)
а) б)
Рис. 1
Анализ профилограмм. Исходная профилограмма, записанная с поверхностей образца (трибопары) до взаимодействия, представлена на рис. 2, а, а на рис. 2, б, в — соответственно профилограммы нижней и верхней поверхностей образца после взаимодействия.
а)
Рис. 3
Графики зависимостей параметров действия И1 и И2 от уровня разложения представлены на рис. 3 а, б соответственно, где приведены следующие обозначения кривых: 1 — 1-я пара трения (нижний профиль); 2 — 1-я пара трения (верхний профиль); 3 — 2-я пара трения (нижний профиль), 4 — 2-я пара трения (верхний профиль); 5 — исходный профиль.
Результаты обработки временных рядов физиологического и паркинсонического тремора. Результаты исследований быстрого непроизвольного компонента, или тремора сигнала (амплитудой А), полученные для здорового человека (рис. 4, а) и больного с синдромом паркинсонизма (рис. 4, б), демонстрируют двукратные отличия по амплитуде и отсутствие видимых отличий по частоте.
0 5 ^ с 0 5 ^ с
Рис. 4
Средние значения параметров действия И1 и И2 в зависимости от уровня разложения представлены на рис. 5 а, б соответственно, где кривая 1 отражает результаты исследования здоровых испытуемых, кривая 2 — больных с синдромом паркинсонизма. Оба параметра возрастают на каждом последующем уровне разложения. Для здоровых испытуемых средние значения И1 и И2 меньше значений, полученных для больных. Наибольшие отличия наблюдаются на первом уровне разложения (т.е. для высокочастотных деталей). Для параметра И1 тангенсы углов наклона усредненных прямых равны 0,624 (для здоровых испытуемых) и 0,25 (для больных), т. е. отличаются в три раза; для параметра И2 тангенсы углов наклона практически совпадают и равны 0,49.
Рис. 5
Таким образом, параметр И1 наиболее чувствителен к изменениям в состоянии человека и может служить критерием отличия спектральной плотности энергии детализирующих компонентов разложения исходных сигналов.
Заключение. Рассмотрен оригинальный метод оценки спектральной плотности энергии нестационарного сигнала с использованием компьютерных технологий. В основу оценки положены физически обоснованные номинальный и интервальный параметры действия.
На примерах анализа трибометрических профилограмм и временных рядов кинетического тремора, возникающего в процессе поддержания изометрического усилия руки здорового человека и больного с синдромом паркинсонизма, продемонстрирована эффективность
применения параметров действия. Интервальный и номинальный параметры действия используются при исследовании трибоконтактных взаимодействий различных материалов как интегральные характеристики, включая коэффициенты трения и меры шероховатости.
1. Астафьева Н. М. Вейвлет-анализ: основы теории и примеры применения // Успехи физических наук. 1996. № 166. С. 1145—1170.
2. Crowe J. A., Gibson N. M., Woolfson M. S., Somekh M. G. Wavelet transform as a potential tool for ECG analysis and compression // J. of Biomedical Scientific Instruments. 1994. Vol. 30. P. 63—68.
3. Бойцов С. А., Гришаев С. Л., Солнцев В. Н., Кудрявцев Ю. С. Анализ сигнал-усредненной ЭКГ (по данным вейвлет-преобразования) у здоровых и больных ИБС // Вестн. аритмологии. 2001. № 23. С. 32—36.
4. Блаттер К. Вейвлет-анализ. Основы теории. М.: Техносфера, 2006. 280 с.
5. СмоленцевН. К. Основы теории вейвлетов. Вейвлеты в MatLab. М.: ДМК Пресс, 2005. 301 с.
6. McAuley J. H., Marsden C. D. Physiological and pathological tremors and rhythmic central motor control // Brain. 2000. Vol. 123, N 8. Р. 1545—1567.
7. Мусалимов В. М., Валетов В. А. Динамика фрикционного взаимодействия. СПб.: СПбГУ ИТМО, 2006. 186 с.
8. Малла С. Вейвлеты в обработке сигналов: Пер. с англ. М.: Мир, 2005. 671 с.
9. Марпл-мл. С. Л. Цифровой и спектральный анализ и его приложения: Пер. с англ. М.: Мир, 1990. 584 с.
Сведения об авторах
Виктор Михайлович Мусалимов — д-р техн. наук, профессор; Санкт-Петербургский государственный
университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра мехатроники; E-mail: [email protected] Ольга Евгеньевна Дик — канд. физ.-мат. наук; Институт физиологии им. И. П. Павлова РАН,
список литературы
Андрей Евгеньевич Тюрин
Санкт-Петербург; ст. науч. сотрудник; E-mail: [email protected]
магистрант; Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра мехатрони-ки; E-mail: [email protected]
Рекомендована кафедрой мехатроники СПбГУ ИТМО
Поступила в редакцию 16.12.08 г.
