CC BY
8
2020 Прикладная теория графов №49
ПРИКЛАДНАЯ ТЕОРИЯ ГРАФОВ
УДК 519.87
ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ СЕРИИ СЕМЕЙСТВ АНАЛИТИЧЕСКИ ОПИСЫВАЕМЫХ ЦИРКУЛЯНТНЫХ СЕТЕЙ
СТЕПЕНИ ШЕСТЬ1
Э. А. Монахова
Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН,
г. Новосибирск, Россия
Получена серия семейств неориентированных кольцевых циркулянтных сетей степени шесть любого заданного диаметра d > 1, которая включает в том числе циркулянтные сети максимального порядка для всех диаметров d = 0 (mod 3) и d = 2 (mod 3). Серия семейств задаётся определяющими соотношениями между порядком графа и его образующими и порождающим параметром p, 1 ^ p < d, при этом образующие и порядки графов являются полиномами третьей степени относительно диаметра графа. Приведены примеры построения новых семейств циркулянтных сетей степени шесть на основе задания функций p = p(d).
Ключевые слова: неориентированные циркулянтные сети степени шесть, циркулянтные графы заданного диаметра, семейства циркулянтных графов.
DOI 10.17223/20710410/49/8
A SET OF FAMILIES OF ANALYTICALLY DESCRIBED TRIPLE LOOP NETWORKS DEFINED BY A PARAMETER
E. A. Monakhova
Institute of Computational Mathematics and Mathematical Geophysics SB RAS, Novosibirsk,
Russia
E-mail: [email protected]
A set of families of undirected triple loop networks of the form C(N(d,p); 1,s2(d,p), s3(d, p)) with the given diameter d > 1 and a parameter p = 1,2,..., d — 1 is obtained. For each such family, the order N of every graph in the family and its generators s2 and s3 are defined by a cubical polynomial function of the diameter. The found set includes circulant graphs of degree 6 with the largest known orders for any diameters d = 0 (mod 3) and d = 2 (mod 3). Examples of constructing new families of triple loop networks based on the definition of functions p = p(d) are presented.
Keywords: undirected triple loop networks, circulant graphs of degree 6 with given diameter, families of circulant graphs.
Исследование выполнено в рамках бюджетного проекта ИВМиМГ СО РАН №0315-2019-0006.
Введение
Циркулянтные сети (графы) (см. обзоры [1-5]) широко изучаются в качестве популярной топологии для мультипроцессорных систем и компьютерных сетей и в ряде других приложений. Актуальным становится их применение в качестве топологии для сетей на кристалле (networks-on-chip) [6-8]. Это обусловлено их лучшими структурными характеристиками и высокими показателями масштабируемости при большом количестве узлов по сравнению со стандартными топологиями сетей на кристалле. Важной задачей для сетей на кристалле с циркулянтной топологией является разработка эффективных алгоритмов маршрутизации, связанных с особенностями требований, предъявляемых к используемым ресурсам сетей на кристалле.
Дадим определение циркулянтных сетей. Пусть n, N G N, S = {s^s2,...,sn} — множество целых чисел, 1 ^ s1 < ... < sn ^ [N/2J. Неориентированный циркулянт-ный граф C(N; s1,... , sn) имеет множество вершин V = ZN = {0,1,... , N—1} и множество рёбер A = {(v, v ± Sj mod N) : v G V, i = 1,... , n}. Числа s1, s2,... , sn называются образующими графа, N — его порядком, n — размерностью, степень вершин графа равна 2n. Будем исследовать кольцевые циркулянтные сети вида C(N; 1, s2,..., sn) с s1 = = 1, изучаемые в литературе как самостоятельный класс графов. Диаметр графа (оценивает максимальную структурную задержку в сети) равен d(C(N; S)) = max d(u, v),
где d(u, v) —длина кратчайшего пути между вершинами u и v.
В литературе известны следующие аналитически описываемые семейства кольцевых циркулянтных сетей степени шесть и диаметра d: графы вида C(3d2 + 3d + 1; 1, 3d +1, 3d + 2) [9]; циркулянтные сети с N = 8d3/27 + 4d2/3 + 2d +1 [10]; циркулянты с N = 32|_d/3_|3 + 8|_d/3_|2 + 2|_d/3j [11] и диаметром, меньшим или равным d, где d ^ 3. Получены алгоритмы поиска кратчайших путей [12, 13] для семейства из [9] и эквивалентных графов вида C(3d2 + 3d + 1; d, d + 1, 2d + 1) [14]. В [15] найдено семейство трёхмерных циркулянтов с порядком N = 4d2 — 2d — 2, где d = 3, 5 (mod 6) —диаметр графов, как решение оптимизационной задачи на максимум при рассмотрении произведения Кронекера двух циркулянтов степеней два и три. В [15] дан алгоритм поиска кратчайших путей для графов найденного семейства. Следует отметить, что образующие графа C(3d2 + 3d +1; 1, 3d +1, 3d+2), где d ^ 1, получены в [9] как решение оптимизационной задачи на максимум при укладке (tessellation) трёхмерного графа на плоскости, когда рассматриваются графы диаметра d вида C(Nmax = 3d2 + 3d +1; s1, s2, s1 + s2). Заметим, что в большинстве этих работ порядки графов рассматриваемых семейств — это квадратичные функции от диаметра, хотя больший интерес представляет получение семейств с кубической функцией от диаметра, как более плотных и компактных графов. В [16] найдено семейство циркулянтных сетей степени шесть с максимальным порядком среди всех кольцевых циркулянтов заданного диаметра d и приведён аналитический алгоритм поиска кратчайших путей для найденного семейства. В работе [8] для кольцевых циркулянтных сетей степени шесть общего вида предложены различные алгоритмы поиска кратчайших путей и даны оценки требуемых ресурсов при реализации в сетях на кристалле.
В настоящей работе представлено параметрически задаваемое аналитическое описание кольцевых циркулянтных графов степени шесть, которое порождает серию семейств циркулянтных сетей, включающую в том числе семейство графов с максимально возможным порядком для любого заданного диаметра, а также позволяет синтезировать новые семейства с лучшими структурными характеристиками, чем известные в литературе. Интересным приложением полученного результата является возмож-
ность решения проблемы поиска кратчайших путей в семействах циркулянтных сетей степени шесть с помощью аналитического метода, общего для всех графов семейства.
1. Теорема о построении серии циркулянтных графов степени шесть
Рассмотрим множество трёхмерных циркулянтных графов вида С (Ж; 1, з2, з3), где 1 < з2 < з3 ^ [N/2]. Будем использовать обозначение ^(х), 0 ^ ж < N, для длины кратчайшего пути из вершины 0 в вершину х. В графе С (Ж ;1,з2,з3) выделим две ближайшие по циклу, образованному образующей вершины м,^, и < V, такие, что значения Д(м) и Д(^) получены без использования образующих ±з1. Тогда расстояния из вершины 0 до всех вершин, лежащих между и и V, могут быть вычислены с использованием того факта, что разница между смежными вершинами равна единице.
Лемма 1. Пусть в циркулянтном графе С (Ж ;1,з2 , з3) вершины и, V, и < V,— ближайшие по циклу, заданному образующей з1 = 1, значения которых Д(м) и Д(^) получены без использования образующих ±1 . Тогда
тах £(ж) = |_(£(и) + + V — и)/2] (1)
и достигается в вершине ж = [(V + и + — Д(и))/2].
Следующая теорема даёт возможность построения целой серии семейств рассматриваемых графов заданного диаметра, что достигается введением в аналитическое описание графов параметра р, зависящего от диаметра. Эта теорема задаёт один из возможных типов определяющих соотношений между порядком графа и его образующими, когда и порядок графа N, и образующие з2 и з3 являются полиномами третьей степени относительно диаметра.
Теорема 1. Для каждого целого ^ > 1 пусть
р = 1, 2,..., ^ — 1. (2) Тогда диаметр циркулянтных графов вида С (Ж; 1, з2, з3), где
N = 8рз — (Ш + 8)р2 + (8^2 + 8^)р + 2^ +1,
32 = 4р(^ — р)2 + 2р(^ — р) + d — 3р, (3)
33 = З2 + 4р,
равен d.
Доказательство. Рассмотрим циркулянтный граф С^; 1, з2, з3) вида (3). Пусть
А = Зз — З2 = 4р, (4)
г = ^ — р)А +А/2 + 1.
Согласно (3), порядок графа равен произведению двух нечётных чисел N = (2^ — р) + + 1)г и его образующие имеют вид = ^ — р)г — А/2, = (d — р)г + А/2.
Поскольку число вершин графа состоит из целого числа интервалов длины г, будем называть их г^-интервалами на графе, где 0 ^ г ^ 2(d — р) —номер интервала, или кратко г г = [гг, гг + г]. Симметрия функции расстояний Д(х) в циркулянтах относительно N/2 позволяет в дальнейшем ограничиться значениями г = 0,1,... , d—р. Будем также использовать термин А-интервалы для обозначения перемещений (прыжков) по гг-интервалу на длину А из вершин левого или правого концов гг-интервала. В силу (4)
перемещение на величину А даёт приращение функции расстояния D(x) на 2. Так как r = N — (s2 + s3), перемещения в графе на величину r также дают приращение функции расстояния D(x) на 2.
Выделим в рассматриваемом графе две вершины F и R = N — F, F < N/2 < R, играющие ключевую роль в определении функции расстояний:
F = (s2 + s3)/2= (d — p)r.
Имеем R = F + r, D(F ± А/2) = D(R ± А/2) = 1. Тогда, выбирая минимальный из двух возможных путей в вершину F (или R) из 0, получим
D(F) = D(R)= f^/1. при 1rdS/2p < , (5)
I2(d — p) при |d/2| ^ p ^ d — 1.
Для определения диаметра рассматриваемого графа учитываем следующее. Каждый из интервалов вида
[js2 mod N, js3 mod N], 1 ^ j ^ d,
состоит из j А-интервалов, на концах которых вершины x имеют расстояния до нуля D(x) = j .В силу леммы 1 в серединах этих А-интервалов находятся вершины с максимумами (равными) расстояний до 0. Аналогичные рассуждения применимы для интервалов вида
[N — js3 mod N, N — js2 mod N], 1 ^ j ^ d. Согласно (3) и учитывая, что N = 2F + r, для N выполняется условие
jF = —2iF (mod N)
для нечётных j, где
2i + j = 2(d — p) + 1. (6) Рассмотрим rj-интервал, где i G {0,... , d — p}. Имеем
—2is2 mod N = i(r + А), —(2i + 2)s3 mod N = (i + 1)(r — А), js3 mod N = ir + jА/2, (j — 2)s2 mod N = (i + 1)r — (j — 2)А/2.
Таким образом,
D(i(r + А)) = 2i, D((i + 1)(r — А)) = 2i + 2; (7)
D(ir + j А/2) = j, D((i + 1)r — (j — 2)А/2) = j — 2. (8)
Итак, надо доказать, что для графов вида (3) максимальное расстояние до вершины 0 из любой вершины x, 0 ^ x ^ [N/2J, равно d. Для удобства представления будем рассматривать интервал 0 ^ x ^ R. Всё множество вершин {0,..., R} разобъём на шесть
5
подмножеств Vm, 0 ^ m ^ 5, |Vm| = (d — p + 1)r, соответственно типам содержа-
m=0
щихся в них rj-интервалов (табл. 1 и 2). Тип ^-интервала определяется значениями функции D(x) на его концах (например, для множеств Vq, V1 и V2 имеем D(ir) = 2i,
Таблица 1
Распределение вершин 0 ^ х ^ Я графов вида (3) по типам п-интервалов
при наличии обратной волны из ¥
Параметр p : 1 < p < |"d/2]
Множество Тип ^-интервала Значения i Мощность множеств
Vo 2i, 2i + 2 0 < i < [d/2j - p |Vo| = (Ld/2j - p)r
Vi 2i,j - 2, 2i + 2 i = Ld/2j - p |Vi| = r
V2 2i,j,j - 2, 2i + 2 Ld/2j - p < i < Ld/2j IV2I = (p - 1)r
V3 2i,j, j - 2, 2d - 1 - 2i i = Ld/2j |V3| = r
V4 2d + 1 - 2i, j, j - 2, 2d - 1 - 2i Ld/2j < i < d - p IV4I = (Td/21 - p - 1)r
V5 2p + 1, j, j, 2p +1 i = d - p |V5| = r
Таблица 2
Распределение вершин 0 ^ х ^ Я графов вида (3) по типам п-интервалов при отсутствии обратной волны из ¥
Параметр p : fd/2] < p < d - 1
Множество Тип rj-интервала Значения i Мощность множеств
Vi 2i, j - 2, 2i + 2 i = 0, p = d/2 II 1р = ¿/2, 1 11 |0, р = ¿/2
V2 2i, j, j - 2, 2i + 2 J 0 < i < d - p, p = d/2, |0 < i < d - p, p = d/2 IV | [(р — 1)г> Р = ¿/2, 1 (й — р)г, р = ¿/2
V5 2(d - p),j,j, 2(d - p) i = d - p = г
Д(гг + г) = 22 + 2), а также тем, учитываются или нет значения ] и ] — 2 в определении функции расстояния Д(х) вершин внутри интервала (учитываются значения, не превышающие Для наглядности доказательства теоремы все основные параметры, относящиеся к множествам 0 ^ т ^ 5, суммированы в табл. 1 и 2.
В табл. 1 представлены результаты, когда есть прямая волна расстояний, порождённая г-интервалами из 0, и есть обратная волна расстояний, порождённая г-интер-валами из вершины ¥ (см. первое соотношение (5)). В табл. 1 выделяются особые случаи: >0 = 0 при р = [^/2], = 0 при р =1, = 0 при р = [^/2] — 1.
В табл. 2 представлены результаты, когда есть прямая волна расстояний, порождённая г-интервалами из 0, и нет обратной волны расстояний, порождённой г-интерва-лами из вершины ¥ (см. второе соотношение (5)). В этом случае в графе отсутствуют множества вершин типа >0, и ^, а также VI = 0 при р ^ (^ + 1)/2.
В процессе доказательства далее будем разделять вершины, принадлежащие всем г^-интервалам из множеств 0 ^ т ^ 5, на три множества (интервала вершин):
3
Г = А и А2 и А3, где £ |Ак | = г. Обозначив через хг (хг) номера вершин в А2,
к=1
соответствующие левому (правому) концам интервала А2, получим
А = [¿г, хг], А = [хг ,Хг], А3 = [хг, ¿г + г].
1) Пусть х е И, где 1 ^ р < [^/2], р = [^/2] (табл. 1).
Множество вершин >0 состоит из г^-интервалов, 0 ^ г < д = — р, где
Д(гг) = 22, Д(гг + г) = 2« + 2 и значения ], — 2 не учитываются при расчёте Д(х) для вершин х е г. Для >0 определим хг = ¿г + дД, хг = (г + 1)г — дД, |А1| = |А3| = дД.
Для А1 имеем Д(х) = 2 г на концах г Д-интервалов, затем на концах оставшихся (д — г) Д-интервалов значения Д(х) увеличиваются на 2, достигая значения Д(хг) = 2д.
Таким образом, для A1 функция D(x) достигает максимума, когда i = q — 1. В силу (1) получаем maxD(x) = 2|_d/2j — 1 < d.
xGAx
Для A2 имеем D(x^) = D(xr) = 2(_d/2j — p). Из вершин x^ и xr навстречу друг другу идут волны А-интервалов, увеличивающих на 2 значения D(x), которые заканчиваются, когда D(x) достигает значений 2|_d/2j. В силу (1) получим для всех i max D(x) = d.
Учитывая для ^-интервала, что, начиная с вершины x = ir + r, D(x) = 2i + 2 на концах (i + 1) А-интервалов, получаем, по аналогии с A1, max D(x) = 2|_d/2j ^ d.
жеАз
2) Пусть x G V1, где 1 ^ p < [d/2] и p = d/2.
Множество вершин V1 состоит из одного r-интервала, где i = _d/2j — p (см. табл. 1 и 2). Для него D(ir) = 2i, D(ir + r) = 2i + 2, и при расчёте D(x) для вершин x G r учитываем только j — 2 ^ d. Определим x^ = ir + iА, xr = (i + 1)(r — А), |A11 = iА, | A31 = (i + 1)А.
Для A1 имеем D(x) = 2i на концах всех i А-интервалов. Таким образом, применяя (1), получим maxD(x) = |_(2i + 2i + А)/2! = 2_d/2j ^ d. Отметим, что A1 = 0 при
xGAx
p = d/2.
Для A2, согласно (7), имеем D(x^) = 2i и D(xr) = 2i+2. Из вершин x^ и xr навстречу идут волны А-интервалов, увеличивающих на 2 значения D(x). Волны заканчиваются, когда D(x) достигает при нечётных d значения (d — 1) или при чётных d — значения (d — 2) при движении из xi или значения d при движении из xr. Применяя (1), получим: maxD(x) = _(2i + d + А/2 + 1)/2j = d при чётных d; max D(x) = max{_(2i + 2i + 2 +
+ А)/2!, _(2i + 2 + d — 1 + А/2 + 1)/2j} = d при нечётных d. Отметим, что и в случае p =1 при чётных d, когда |A2| = 3, maxD(x) = d.
Для A3 имеем D(x) = 2i + 2 на концах всех (i + 1) А-интервалов, D(x) = j — 2 = = 2[d/2] — 1 в их серединах. Таким образом, применяя (1) и (6), получаем maxD(x) =
жеАз
= _(2i + 2 + j — 2 + А/2)/2! = _(2(d — p) + 1 + 2p)/2j = d.
3) Пусть x G V2, где 1 ^ p ^ d — 1.
Множество V2 состоит из ^-интервалов, где D(ir) = 2i, D(ir + r) = 2i + 2, и при расчёте D(x) для вершин x G r учитываем значения j и j — 2. Значения i представлены в табл. 1 и 2. Определение xi и xr на ^-интервале зависит от значений i:
а) при 2i < d — p — 1: x^ = i(r + А) + А/2, xr = (i + 1)(r — А) — А/2, |A2| = = (d — p — 2 — 2^А + А/2 + 1;
б) при 2i = 2 _d/2j — p: x^ = i(r + А) + А/2, xr = (i + 1)r — Ь'^А, |A2| = 1;
в) при 2i > d—p: xi = ir +[7/2^, xr = (i+1)r — _j/2JА, |A2| = (d—p—j)А+А/2+1. Для A1 имеем D(x) = 2i на концах i А-интервалов и D(x) = j в их серединах
во всех случаях а-в. Для A3 аналогично имеем D(x) = 2i + 2 на концах (i + 1) А-интервалов, D(x) = j — 2 в их серединах. Таким образом, применяя (1) и (6), получаем max D(x) = max D(x) = _(2i + j + А/2)/2! = d.
xGAi
Для A2, согласно (7), имеем D(x£ — А/2) = 2i и D(xr + А/2) = 2i + 2 в случае a; согласно (8), D(xz — А/2) = j и D(xr + А/2) = j — 2 в случае в. Из вершин (xi — А/2) и (xr + А/2) на множестве A2 навстречу друг другу идут волны А-интервалов, увеличивающих на 2 значения D(x). Учитывая значения |A2| и применяя (1), получим: maxD(x) = _(2(2i + 2) + 2(d — p — 2i — 2) + А/2 + 1)/2j = d в случае a;
maxD(x) = _(2j + 2(d — p — j) + А/2 + 1)/2j = d — в случае в.
4) Пусть x G V3, где 1 ^ p < [d/2].
Множество V3 состоит из ^-интервала, для которого i = _d/2j, D(ir) = 2i, значение D(ir+r) = 2 [d/2] — 1 формируется обратной волной длины r из вершины F. Поскольку j = 2([d/2] — p) + 1 ^ d, при расчёте D(x) для вершин x G r учитываем j и j — 2. Определим xi = ir + j А/2, xr = (i + 1)r — j А/2, |A^ = IA31 = j А/2.
Для A1 имеем D(x) = 2i на концах i А-интервалов и D(x) = j в их серединах. Таким образом, применяя (1) и (6) и учитывая значение |A11, получим maxD(x) =
= _(2i + j + А/2)/2J = d. 1
Так как в случае p =1 при нечётных d значение |A2| = —1, то для него A2 не рассматривается. При p > 1 для A2 имеем D(xi) = D(xr) = j. Из вершин xi и xr навстречу идут волны А-интервалов, увеличивающих на 2 значения D(x), которые заканчиваются, когда D(x) достигает значений 2 [d/2] — 1. Из (1) следует maxD(x) =
= _(2j + 2(d — p — j) + А/2 + 1)/2j = d.
Для A3 имеем D(xr) = j, D(ir + r) = 2 [d/2] — 1 и D(x) = j — 2 для остальных концов А-интервалов. Применяя (1),получим max D(x)=max{2[d/2] —1, _(2(j — 2)+А)/2!}= d.
жеАз
5) Пусть x G V4, где 1 ^ p < [d/2].
Множество V состоит из ^-интервалов, _d/2j < i < d — p, для которых D(ir) = = (2d +1 — 2i), D(ir + r) = (2d — 1 — 2i) —нечётные значения, образованные обратной волной длины r из вершины F. При расчёте D(x) для вершин x G rj учитываем j и j — 2. Положив xi = ir + j А/2, xr = (i + 1)r — j А/2, получим |A11 = |A3| = j А/2.
Для A1 имеем D(x) = j на концах всех А-интервалов, D(ir) = 2d +1 — 2i. Таким образом, в силу (1) получим max D(x) = max{_(2j + А)/2J, _(2d +1 — 2i + j + А/2)/2!} =
xGAi
= max {2d +1 — 2i} ^ d. |_d/2j<j<d-p
Для A2 имеем D(xi) = D(xr) = j. Из вершин xi и xr навстречу идут волны А-интервалов, увеличивающих на 2 значения D(x). Волны заканчиваются, когда D(x) достигает значений 2 [d/2] — 1. Учитывая |A21 и применяя (1), получим max D(x) =
= _(2j + 2(d — p — j) + А/2 + 1)/2j = d.
Для A3 имеем D(xr) = j, D(ir + r) = 2d — 1 — 2i. На концах остальных А-интервалов, входящих в A3, D(x) = j — 2. Таким образом, сравнивая с множеством A1 и применяя (1), получим max D(x) < max D(x) < d.
ж€Аз xGAi
6) Пусть x G V5, где 1 ^ p ^ d — 1.
Множество V5 состоит из rj-интервала, где i = d — p. При расчёте D(x) для вершин x G [F, R] также учитываем j = 1. Используя (5), определяем значения D(x) в вершинах F и R. Делим вершины rj следующим образом: A1 = [F, F + А/2], A2 = [F+А/2, R—А/2], A3 = [R—А/2, R], |A11 = |Aa| = А/2, |A2| = (d—p—1)А+А/2+1.
Для A1 и A3 различаем два случая:
а) D(F) = D(R) = 2p +1. Согласно (1), получаем maxD(x) = maxD(x) =
^GAi жбАз
= _(2p + 1 + 1 + А/2)/2J = 2p +1 ^ d;
б) D(F) = D(R) = 2(d — p). Согласно (1), получаем maxD(x) = maxD(x) =
xGAi ж€Аз
= _(2(d — p) + 1 + А/2)/2J = d. Случай, когда x G A2, сводится к случаю 5, когда x G A2 и j = 1. ■
Из доказательства теоремы 1 следует наличие общей схемы структуры рассмотренных графов, что, вероятно, даст возможность разработки для них общего вида функции расстояний зависящей от d и параметра р.
2. Способы построения серии семейств циркулянтных сетей степени шесть
Можно выделить два способа получения серии циркулянтных сетей степени шесть. Первый способ. Пусть параметр р последовательно пробегает значения на всем диапазоне (2) для каждого целого d > 1. Тогда получаем бесконечное множество Ф кольцевых циркулянтных сетей степени шесть и диаметров d = 2, 3,...:
Ф = и и С (Ж ;М2,*з),
где N, з2 и з3 определяются формулами (3). Имеет место следующее свойство порядков графов полученной серии семейств.
Лемма 2. Число вершин N графов вида (3) при всех d> 1 и р =1, 2,...^ — 1 есть произведение двух взаимно простых нечётных чисел.
Доказательство. Рассмотрим циркулянтный граф С (Ж; 1, з2, з3) вида (3). Здесь N = дг, где q = 2d — 2р +1, г = 4pd — 4р2 + 2р +1. Отсюда следует г = 2рд + 1, то есть д и г — взаимно простые числа при всех d > 1 и р = 1, 2,...^ — 1. ■
В табл. 3 дан пример представления значений порядков N графов в виде произведений двух взаимно простых чисел для диаметров 2 ^ d ^ 8 и 1 ^ р ^ d — 1.
Таблица 3 Представление порядков N графов множества Ф в виде произведения двух взаимно простых чисел
d Р
1 2 3 4 5 6 7
2 N = 3 х 7
3 N = 5 х 11 3 х 13
4 N = 7 х 15 5 х 21 3 х 19
5 N = 9 х 19 7 х 29 5 х 31 3 х 25
6 N =11 х 23 9 х 37 7 х 43 5 х 41 3 х 31
7 N =13 х 27 11 х 45 9 х 55 7 х 57 5 х 51 3 х 37
8 N =15 х 31 13 х 53 11 х 67 9 х 73 7 х 71 5 х 61 3 х 43
С помощью системы Wolfram Mathematica 10 был получен фрагмент одного из возможных построений семейств циркулянтных сетей из множества Ф. Диаметр графов изменялся от d =2 до 25, а параметр p — от p = 1 до p = d — 1. В табл. 4 приведены описания найденных трёхмерных циркулянтных графов вида C(N; 1, s2, s3): диаметры графов 3 ^ d ^ 10, соответствующие им значения 1 ^ p ^ d — 1, порядки графов N и образующие s2 и s3. На рис. 1 показан график зависимости N от p и d для полученного фрагмента циркулянтных графов из множества Ф.
Решим теперь задачу оптимизации для циркулянтных графов из множества Ф: на множестве графов Ф заданного диаметра d > 1 найти функцию p = p(d), которая задаёт максимум функции N = N (p) при всех d > 1.
Таблица 4
Параметры описания графов множества Ф при 3 ^ d ^ 10
d Р N «2 «3 d Р N «2 «3 d Р N «2 «3 d Р N «2 «3
3 1 55 20 24 6 3 301 123 135 8 3 737 329 341 9 7 355 128 156
3 2 39 9 17 6 4 205 74 90 8 4 657 284 300 9 8 147 33 65
4 1 105 43 47 6 5 93 21 41 8 5 497 203 223 10 1 741 349 353
4 2 105 38 46 7 1 351 160 164 8 6 305 110 134 10 2 1173 548 556
4 3 57 13 25 7 2 495 221 229 8 7 129 29 57 10 3 1365 631 643
5 1 171 74 78 7 3 495 214 226 9 1 595 278 282 10 4 1365 622 638
5 2 203 83 91 7 4 399 163 179 9 2 915 423 431 10 5 1221 545 565
5 3 155 56 68 7 5 255 92 112 9 3 1027 468 480 10 6 981 424 448
5 4 75 17 33 7 6 111 25 49 9 4 979 437 453 10 7 693 283 311
6 1 253 113 117 8 1 465 215 219 9 5 819 354 374 10 8 405 146 178
6 2 333 144 152 8 2 689 314 322 9 6 595 243 267 10 9 165 37 73
25
Рис. 1. График зависимости порядка N циркулянтов из Ф для d = 2,..., 25 и p = 1,..., d — 1
Теорема 2. Для любого целого d > 1 максимум N = N (p), определяемого формулами (3), достигается при
I Id/31, если d = 0 (mod 3) или d = 1 (mod 3), p(d) = p = < (9)
I [d/3], если d = 2 (mod 3) или d = 1 (mod 3).
Доказательство. Рассмотрим циркулянтный граф C(N;1,s2,s3) вида (3). Функция N — кубический полином относительно p для любого заданного d. Надо найти такую целочисленную функцию p(d), при которой значение N равно максимуму для любого d > 1. Для этого вычислим производную N по p и приравняем её нулю:
—— = 24p2 — 16(2d + 1)p + 8d(d + 1) = 0. Полученное квадратное уравнение относи-dp
тельно p имеет коэффициенты а = 24, b = — (32d + 16), c = 8d2 + 8d. Дискриминант S = b2 — 4ac = 162(d2 + d + 1) > 0. Следовательно, N имеет один локальный максимум,
когда р = (2( + 1 — л/(2"+(+1)/3 (второе решение р2 = (2( + 1 + л/(2"+(+1)/3 ^ ( не подходит). Так как ( < л/(2 + ( + 1 < ( +1 и соответственно (/3 < р! < (( + 1)/3, взяв ближайшее целое, получим для любого ( > 1 значения р((), равные (9). Подставляя найденные значения р в (3), получим (10) (см. далее), а также соответствующие значения образующих максимального графа. ■
Второй способ. Если в качестве р взять любую целочисленную функцию от (, удовлетворяющую условию 1 ^ р(() < (, то можно синтезировать новые бесконечные семейства циркулянтных сетей. Ниже представлены два примера полученных таким способом семейств циркулянтных сетей степени шесть, принадлежащих Ф.
Пример 1. Пусть р(() = [(/2], где ( > 1. Тогда
C (N ;1,s2,ss)
C(d3 + 2d2 + 2d +1; 1, (d3 + d2 - d)/2, (d3 + d2 + 3d)/2) при чётных d, C(d3 + d2 + d; 1, (d3 - 3)/2 - d, (d3 - 3)/2 + d + 2) при нечётных d.
Новое семейство из примера 1 по соотношению лучше семейств, найденных в [9, 10, 14, 15].
Пример 2. Пусть р(() = р*, где р* определяется соотношением (9). Тогда семейство циркулянтных графов С (Ж ;1,з2,з3) диаметра ( > 1 с максимальным N и образующими, представленными в виде полиномов третьей степени от (, описывается следующим образом:
N (d)
(s2(d), S3(d))
37 d3 + 196 d2 + 2d +1,
32 [d/3j3 + 48 Ld/3J2 + 22 |d/3j + 3, 32 [d/3j3 + 80|_d/3j2 + 70|_d/3j +21,
16 4 ,2 4 ' —d3 + -d2, s2 + -d 27 9 ' 2 3
'16 ,3 4 ,2 2 17 4.4*
—d3 + -d2--d + —, S2 + -d--
27 9 3 27' 2 3 3
16 3 4 2 4 46 4 8
—d3 + -d2--d--, s2 + -d + -
27 9 3 27 2 3 3
16 3 4 2 2 29 4 4
—d3 + -d2--d---, S2 + -d + -
27 9 9 27' 2 3 3
если d = 0 если d = 1 если d 2
(mod 3), (mod 3), (mod 3)),
f10)
или
если d = 0 (mod 3),
если d = 1 (mod 3), если d = 2 (mod 3).
Семейство из примера 2 по соотношению N/d превосходит семейства, полученные в [9-11, 14,15]. Для всех диаметров d = 0 (mod 3) и d = 2 (mod 3) максимальный порядок N(d), равный (10), совпадает с максимумом N, найденным в [16], а при d = 1 (mod 3) оказывается меньше на величину 4(2|_d/3j + 1). Отметим, что при d = 1 (mod 3) существуют два набора образующих третьей степени от d, которые задают максимум N(d), равный (10).
Заключение
Получена серия параметрически описываемых бесконечных семейств кольцевых циркулянтных сетей степени шесть, включающая графы максимального порядка для заданного диаметра. Это является новым результатом в теории циркулянтных сетей, дающим возможность синтеза ранее неизвестных семейств с меняющимся диаметром, а также при фиксированном диаметре d > 1 построения серии из d - 1 графов. Ранее были известны только отдельные бесконечные семейства циркулянтов. Другая
особенность полученного результата — наличие общей схемы структуры графов получающихся семейств — даёт возможность разработки для них общих аналитических методов поиска кратчайших путей, что подтверждено на примере семейства из [17], являющегося частным случаем параметрически описываемых бесконечных семейств. Получение новых серий семейств сетей, построенных на других типах определяющих соотношений между порядком и образующими графа, и эффективных аналитических алгоритмов парной маршрутизации для них является одним из направлений будущей работы и представляет интерес с практической точки зрения, так как циркулянтные графы степени шесть известны как одна из перспективных топологий для сетей на кристалле.
Автор выражает благодарность О. Г. Монахову за экспериментальные результаты, проведённые c помощью системы Wolfram Mathematica 10.
ЛИТЕРАТУРА
1. Монахова Э. А. Структурные и коммуникативные свойства циркулянтных сетей // Прикладная дискретная математика. 2011. №3. С. 92-115.
2. Monakhova E. A. A survey on undirected circulant graphs // Discrete Math. Algorithms Appl. 2012. No.4. https://www.researchgate.net/publication/267143246_A_survey_ on_undirected_circulant_graphs.
3. Perez-Roses H. Algebraic and computer-based methods in the undirected degree/diameter problem — A brief survey // Electr. J. Graph Theory Appl. 2014. No. 2(2). P. 166-190.
4. Bermond J.-C., Cornelias F., and Hsu D. F. Distributed loop computer networks: a survey // J. Parallel Distributed Comput. 1995. No. 24. P. 2-10.
5. Hwang F. K. A survey on multi-loop networks // Theor. Comput. Sci. 2003. No. 299. P. 107-121.
6. Romanov A., Amerikanov A., and Lezhnev E. Analysis of approaches for synthesis of networks-on-chip by using circulant topologies //J. Physics: Conf. Ser. 2018. V. 1050. P. 1-12.
7. Romanov A. Yu. Development of routing algorithms in networks-on-chip based on ring circulant topologies // Heliyon. 2019. V. 5. No. 4. P. 1-23.
8. Романов А. Ю, Ведмидь Е. А., Монахова Э. А. Проектирование сетей на кристалле с топологией кольцевой циркулянт с тремя образующими: разработка алгоритмов маршрутизации // Информационные технологии. 2019. №25(9). С. 522-530.
9. Yebra J. L. A., FiolM.A., Morillo P., and Alegre I. The diameter of undirected graphs associated to plane tessellations // Ars Combinatoria. 1985. No.20B. P. 159-172.
10. Wong C. K. and Coppersmith D. A combinatorial problem related to multimodule memory organizations // J. Assoc. Comput. Mach. 1974. No. 21. P. 392-402.
11. Chen S. and Jia X.-D. Undirected loop networks // Networks. 1993. No. 23. P. 257-260.
12. Barriere L., Fabrega J., Simo E., and Zaragoza M. Fault-tolerant routings in chordal ring networks // Networks. 2000. V.36(3). P. 180-190.
13. Thomson A. and Zhou S. Gossiping and routing in undirected triple-loop networks // Networks. 2010. No. 55(4). P. 341-349.
14. Liestman A. L., Opatrny J., and Zaragoza M. Network properties of double and triple fixed-step graphs // Int. J. Found. Comp. Sci. 1998. V.9. P. 57-76.
15. Jha P. K. A family of efficient six-regular circulants representable as a Kronecker product // Discr. Appl. Math. 2016. V. 203. P. 72-84.
16. Monakhova E. Optimal triple loop networks with given transmission delay: Topological design and routing // Intern. Network Optimization Conf. (IN0C'2003), Evry/Paris, France, 2003. P. 410-415.
17. Монахова Э. А., Монахов О. Г. Динамический алгоритм парной маршрутизации для аналитически задаваемых семейств циркулянтных сетей степени шесть // Сб. статей XIX Междунар. науч.-технич. конф. «Проблемы информатики в образовании, управлении, экономике и технике». Пенза: ПДЗ, 2019. С. 30-37.
REFERENCES
1. Monakhova E. A. Strukturnye i kommunikativnye svoystva tsirkulyantnykh setey [Structural and communicative properties of circulant networks]. Prikladnaya Diskretnaya Matematika, 2011, no. 3, pp. 92-115. (in Russian)
2. Monakhova E. A. A survey on undirected circulant graphs. Discrete Math. Algorithms Appl., 2012, no. 4. https://www.researchgate.net/publication/267143246_A_survey_ on_undirected_circulant_graphs.
3. Perez-Roses H. Algebraic and computer-based methods in the undirected degree/diameter problem — A brief survey. Electr. J. Graph Theory Appl., 2014, no. 2(2), pp. 166-190.
4. Bermond J.-C., Comellas F., and HsuD.F. Distributed loop computer networks: A survey. J. Parallel Distributed Comput., 1995, no. 24, pp. 2-10.
5. Hwang F. K. A survey on multi-loop networks. Theor. Comput. Sci., 2003, no. 299, pp.107-121.
6. Romanov A., Amerikanov A., and Lezhnev E. Analysis of approaches for synthesis of networks-on-chip by using circulant topologies. J. Physics: Conf. Ser., 2018, vol. 1050, pp. 1-12.
7. Romanov A. Yu. Development of routing algorithms in networks-on-chip based on ring circulant topologies. Heliyon, 2019, vol.5, no. 4, pp. 1-23.
8. Romanov A. Yu., VedmidE.A., and Monakhova E. A. Proektirovanie setej na kristalle s topologiej kol'cevoj cirkulyant s tremya obrazuyushchimi: razrabotka algoritmov marshrutizacii [Designing networks-on-chip based on triple loop (circulant) networks: routing algorithm development]. Informacionnye Tekhnologii, 2019, no. 25(9), pp. 522-530. (in Russian)
9. Yebra J. L. A., FiolM.A., Morillo P., and Alegre I. The diameter of undirected graphs associated to plane tessellations. Ars Combinatoria, 1985, no. 20B, pp. 159-172.
10. Wong C. K. and Coppersmith D. A combinatorial problem related to multimodule memory organizations. J. Assoc. Comput. Mach., 1974, no. 21, pp. 392-402.
11. Chen S. and JiaX.-D. Undirected loop networks. Networks, 1993, no. 23, pp. 257-260.
12. Barriere L., Fabrega J., Simo E., and Zaragoza M. Fault-tolerant routings in chordal ring networks. Networks, 2000, no. 36(3), pp. 180-190.
13. Thomson A. and Zhou S. Gossiping and routing in undirected triple-loop networks. Networks, 2010, no. 55(4), pp. 341-349.
14. Liestman A. L., Opatrny J., and Zaragoza M. Network properties of double and triple fixed-step graphs. Int. J. Found. Comp. Sci., 1998, vol.9, pp. 57-76.
15. Jha P. K. A family of efficient six-regular circulants representable as a Kronecker product. Discr. Appl. Math., 2016, vol.203, pp. 72-84.
16. Monakhova E. Optimal triple loop networks with given transmission delay: Topological design and routing. Intern. Network Optimization Conf. (IN0C'2003), Evry/Paris, France, 2003, pp.410-415.
17. Monakhova E. A. and Monakhov O. G. Dinamicheskij algoritm parnoj marshrutizacii dlya analiticheski zadavaemyh semejstv cirkulyantnyh setej stepeni shest' [A dynamic algorithm of two-terminal routing for analytically described families of degree six circulant networks]. Proc. XIX Intern. Conf. "Problemy Informatiki v Obrazovanii, Upravlenii, Ekonomike i Tekhnike", Penza, PDZ Publ., 2019, pp. 30-37. (in Russian)
