CC BY
38
ПРИКЛАДНАЯ ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА
2014 Прикладная теория графов №3(25)
УДК 519.87:519.6:519.178
К ВОПРОСУ О МАКСИМАЛЬНО ДОСТИЖИМОМ ЧИСЛЕ ВЕРШИН ЦИРКУЛЯНТНЫХ ГРАФОВ ПРИ ЛЮБОМ ДИАМЕТРЕ
Э. А. Монахова, О. Г. Монахов
Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН,
г. Новосибирск, Россия
E-mail: [email protected]
Рассматривается задача о максимально достижимом числе вершин при заданных размерности и диаметре неориентированных циркулянтных графов. В 1994 г.
Ф.П. Муга доказал теорему о том, что это число является нечётным при любых размерностях и диаметрах циркулянтного графа, что подтверждается для одно-, двух- и трёхмерных циркулянтов. В настоящей работе доказано, что найденное доказательство теоремы некорректно. На основании новых данных скорректирована таблица максимально достижимых порядков циркулянтов размерности четыре.
Ключевые слова: неориентированные циркулянтные графы, диаметр, максимальный порядок графа.
Введение
Циркулянтные графы являются графами Кэли абелевых групп и широко изучаются в теории графов и дискретной математике, играя также важную роль в разнообразных приложениях (см. [1-3] и ссылки в них).
Пусть si, s2,... , sk, n — целые числа, такие, что 1 ^ s1 < s2 < ... < sk < n, и S = {s1,s2,... , Sfc}. Неориентированный граф C(n; S) с множествами вершин V = = {0,1,... , n — 1} и рёбер E = {(v, (v ± si) mod n) : v E V, l = 1,... , k}, называется циркулянтным, числа из множества S — образующими, k — размерностью, n — порядком графа. Диаметром графа G называется d(G) = maxd(i,j), где d(i,j) —длина
i,jeV
кратчайшего пути из вершины i в вершину j графа G.
Пусть x E V — вершина циркулянтного графа C(n; S), а у — другая его вершина, k k
такая, что у = aisi(x). Тогда будем говорить, что у достижима из x за |ai| ша-
i=1 i=1
гов. Поскольку циркулянтные графы являются вершинно-транзитивными, достаточно
рассматривать в качестве начальной вершины нулевую. В циркулянте размерности k функция P(d, k) определяет максимальное (теоретически) число вершин, которые могут быть достижимы из любой вершины графа самое большее за d шагов. Известно (см. ссылки в [1]), что
P (d,k) = Е Ck Ck-i2k-i,
i=0
где значение функции P(d, k) может рассматриваться как граница Мура для цирку-лянтных графов размерности k.
Для того чтобы в циркулянте диаметра d достигалась эта верхняя граница, необходимо, чтобы различные комбинации кратностей образующих (и их обратных) создавали пути из нулевой вершины длины от 1 до d, которые ведут к различным вершинам.
Отметим, что достижение этой верхней границы эквивалентно достижению плотной упаковки пространства Zk k-мерными сферами Ли Sk,d радиуса d [4-6]. При этом Sk,d определяется для любого заданного диаметра d как множество элементов пространства Zk, которые могут быть выражены как слова длины не более d через канонические образующие ei, 1 ^ i ^ k, пространства Zk, взятые положительно или отрицательно. Или если рассматривать метрику L1 (Manhattan): Sk,d есть множество точек в Zk на расстоянии не более d от нуля, то есть Sk,d = {(x1,... , xk) E Zk : |x1| + ... + |xk| ^ d}.
В работе [7] авторы доказали, что плотная упаковка пространства Zk k-мерными сферами Ли возможна для любой размерности k ^ 1 для радиуса 1 и для размерностей k = 1, 2 для любого радиуса. Предположение Голомба — Вельча [7] утверждает, что это невозможно для любой размерности k > 2 и радиуса d > 1. По подходам к решению этой проблемы см., например, работу [5], в которой получены компактные доказательства невозможности такой упаковки для размерностей k = 3, 4,5, и ссылки в [4-6].
Следуя [8], определим для любых натуральных d и k экстремальную функцию M(d, k) как максимально возможное (достижимое) натуральное n, такое, что существует множество образующих S = {1, s2,... , sk}, при котором d(C(n; S)) ^ d. Имеем M(d, k) = P(d, k) для k ^ 2, а именно M(d, 1) = 2d +1, M(d, 2) = 2d2 + 2d +1, и M(d, k) < P(d, k) для k > 2.
Получение точных значений функции M(d, k) для k ^ 3 достаточно трудоёмко и сводится к полному перебору параметрических описаний циркулянтного графа. Нижние оценки для M(d, k) в каждом отдельном случае могут зависеть от рассматриваемого диаметра и, как правило, получаются посредством поиска бесконечных семейств графов, достигающих этих оценок.
В [8] для циркулянтов всех размерностей k ^ 3 получены нижние оценки функции M(d, k), равные
k1
M(d, k) ^ n = 2q ^ (4q)i,
i=0
где q = |_(d — k + 3)/kJ, d ^ k.
В [8] также приведены найденные компьютерным поиском значения M(d, 3) (и образующих соответствующих графов) для диаметров 2 ^ d ^ 10. Отметим, что для d = 4 и d =10 указаны не совсем точные значения, но все полученные M(d, 3) являются нечётными числами. На основе этих данных и того факта, что M(d, 1) и M(d, 2) являются нечётными при любых d, авторы выдвинули гипотезу, что значения M(d, k) являются нечётными числами при любых d и k.
Эта гипотеза подтверждена в [9] для k = 3 (см. также [10]): найдена экстремальная функция M(d, 3) для любого диаметра d через построение бесконечных семейств трёхмерных циркулянтов с порядком, совпадающим с M(d, 3). Вид этой функции зависит от класса вычетов d по модулю 3, а функция является нечётным числом при любом d. В работе [11] доказано также, что существует граф Кэли абелевой группы с тремя образующими, который имеет диаметр d и размер равный M(d, 3).
В 1994г. Ф.П. Муга доказал следующую теорему.
Теорема 1 [12]. Значение M(d, k) является нечётным числом при любых d ^ 1 и k ^ 1.
В настоящей работе доказано, что доказательство вышеприведенной теоремы из [12] некорректно и соответственно нельзя сделать вывод, что M(d, k) при любых d и k является нечётным числом, что подтверждает опровергающий пример циркулянт-
ного графа размерности четыре. На основании работы [4] скорректирована таблица максимально достижимых порядков циркулянтов размерности четыре, приведённая в [13].
1. Комментарии к теореме 3 из работы [12]
При доказательстве теоремы 3 [12] автор использует следующие рассуждения. Во-первых, перечисляет все пути, ведущие в вершины, которые достижимы из заданной вершины (например, из нуля) самое большее за d шагов. Их число равно Р^, к), которое, как можно заметить, является нечётным при всех ^ и к. При к = 1 и к = 2 эти пути (и соответственно вершины, в которые они ведут) могут быть все различны, как показано ранее. При к ^ 3 не все пути обязательно ведут в разные вершины. Если
некоторые из путей неотличимы, то существуют по крайней мере два пути, которые
к к к к
ведут в одну и ту же вершину. Пусть это будут £ = £ вг^г. Если £ |аі| ^ £ |вг|,
і=1 і=1 і=1 і=1
к
то удаляется больший путь £ агзг. Тем самым уменьшается на единицу исходный спи-
г=1
сок путей. Но в исходном списке также присутствует другая вершина, в которую ведут кк
пути £ — агзг и £ — вгзг, получающиеся путем замены на обратные образующие, и они
і=1 г=1
к
равны. Поэтому необходимо удалить из списка также путь £ — агзг. После примене-
г=1
ния этого метода снова до тех пор, пока не останутся все различные пути (вершины), и удаления каждый раз двух путей остаётся нечётное число вершин.
В этом доказательстве рассмотрены не все возможные варианты. Когда автор по-
кк
лагает, что другая вершина, в которую ведут пути £ — агзг и £ — вг^г, обязательно
і=1 г=1
отлична от рассмотренной, он тем самым неявно предполагает, что в рассматриваемом графе имеется нечётное число вершин, поскольку в случае чётного числа вершин в циркулянтном графе порядка п возможна ситуация, когда рассматриваемая вершина и вершина с путями, образованными заменой на обратные образующие, могут совпадать; например, если это вершина с номером п/2 и она находится от нуля на расстоянии, равном диаметру d графа. Таким образом, автор просто не доказал, что такая ситуация не может встретиться в графе с максимально возможным числом вершин, поэтому его доказательство не является корректным. Таким образом, и теорема 3 [12], и её доказательство являются ошибочными.
В [4] найден первый пример, подтверждающий ошибочность рассматриваемой теоремы для циркулянтных графов размерности четыре. Для диаметра d =3 найден циркулянтный граф с числом вершин п = 104 и образующими Б = {1,16, 20, 27}, который является максимально возможным четырёхмерным циркулянтом диаметра три. Обратим внимание, что при определении экстремальной функции М^, к) авторы [8] ограничиваются наборами образующих циркулянтного графа, содержащими 51 = 1 (или образующую, взаимно простую с п). Но нигде не доказано, что другие наборы образующих не могут дать максимальный граф. Поэтому мы дополнительно проверили (на кластере НКС-30Т Сибирского суперкомпьютерного центра) с помощью программы полного перебора параметрических описаний циркулянтных графов все нечётные значения п в диапазоне 105 ^ п ^ 129, где 129 = Р(3, 4), и не нашли других графов диаметра три.
2. К вопросу об экстремальной функции M(d, 4) Нижеприведённый результат из [ІЗ] улучшает нижнюю оценку экстремальной функции M(d, 4), полученную в работах [8, 11], для любых диаметров d > І.
Теорема 2. Для всех d ^ 2 существует неориентированный четырёхмерный цир-кулянтный граф, который имеет диаметр d и порядок равный n = d4/2 + d3 + 5d2/2 + + 2d + І. Множество образующих S для данного графа при чётном d есть
{І, d + І, d3/2 + d2/2 + d, d3/2 + 3d2/2 + 3d + 2},
при нечётном — {І, d, d3/2 + 3d/2, d3/2 + d2 + 3d/2 + І}.
В свою очередь, найденная в [1З] оценка функции M(d, 4) улучшена на O(d2/2) в [4].
Теорема 3 [4]. Для всех d ^ 2 существует неориентированный граф Кэли абелевой группы с четырьмя образующими, который имеет диаметр d и размер равный
= Г (d4 + 2d3 + 6d2 + 4d)/2, если d = 0 (mod 2),
n I (d4 + 2d3 + 6d2 + 6d + І)/2, если d = І (mod 2).
Множество образующих S для данного графа при чётном d есть
{І, (d3 + 2d2 + 6d + 2)/2, (d4 + 4d2 - 8d)/4, (d4 + 4d2 - 4d)/4},
при нечётном — {1, (d3 + d2 + 5d + 3)/2, (d4 + 2d2 — 8d — 11)/4, (d4 + 2d2 — 4d — 7)/4}.
Таким образом, на сегодняшний день максимально возможными циркулянтными графами размерности четыре и любого диаметра являются графы, полученные в [4].
Основываясь на работе [4], можно скорректировать приведённую в [1З] табл. 4 максимально достижимых порядков циркулянтов размерности четыре (в таблице выделены курсивом новые значения порядков графов и их образующие, полученные в [4]).
Описания максимальных циркулянтов диаметра d и размерности 4
d n = M(d, 4) S = {si, S2, S3, S4}
1 9 {1, 2, 3, 4}
2 35 {1, б, Т, 10}, {1, Т, 11, 16}
3 104 {1, 1б, 20, 27}
4 24S {1, бі, 72, 76}
5 52S {1, S9, 156, 162}
б 9S4 {1, 163, 34S, 354}
ЛИТЕРАТУРА
1. Монахова Э. А. Структурные и коммуникативные свойства циркулянтных сетей // Прикладная дискретная математика. 2011. №3(13). С. 92-115.
2. Bermond J.-C., Cornelias F., and Hsu D. F. Distributed loop computer networks: a survey // J. Parallel Distributed Comput. 1995. V. 24. P. 2-10.
3. Hwang F. K. A survey on multi-loop networks // Theor. Comput. Sci. 2003. No. 299. P. 107-121.
4. Lewis R. R. The degree-diameter problem for circulant graphs of degree 8 and 9 // Electron. J. Combinator. http://web.ArXiv.org/1404.3948.pdf, 20 April 2014.
5. Horak P. Tilings in Lee metric // Eur. J. Combinator. 2009. No. 30. P. 480-489.
6. Costa S. I. R., Strapasson J. E., Alves M. M. S., and Carlos T. B. Circulant graphs and tessellations on flat tori // Linear Algebra Applicat. 2010. V. 432. No. 1. P. 369-382.
7. Golomb S. W. and Welch L. R. Perfect codes in the Lee metric and the packing of polyominoes // SIAM J. Appl. Math. 1970. V. 18. No. 2. P. 302-317.
8. Chen S. and JiaX.-D. Undirected loop networks // Networks. 1993. No. 23. P. 257-260.
9. Monakhova E. A. Optimal triple loop networks with given transmission delay: topological design and routing // Inter. Network Optimization Conf. (IN0C’2003). Evry/Paris, France. 2003. P. 410-415.
10. Monakhova E. A. Triple circulant communication networks of parallel computer systems // Optoelectronics, Instrumentation and Data Processing. N. Y.: Allerton Press Inc., 2006. No. 3. P. 90-101.
11. Dougherty R. and Faber V. The degree-diameter problem for several varieties of Cayley graphs, 1: the Abelian case // SIAM J. Discrete Math. 2004. V. 17. No.3. P. 478-519.
12. Muga F. P. Undirected circulant graphs // Inter. Symp. on Parallel Architectures, Algorithms and Networks. IEEE, 1994. P. 113-118.
13. Монахова Э.А. О построении циркулянтных сетей размерности четыре с максимальным числом вершин при любом диаметре // Прикладная дискретная математика. 2013. №3(21). С. 76-85.
