CC BY
8
ПРИКЛАДНАЯ ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА
2018 Прикладная теория графов №41
УДК 519.87
НОВЫЕ СЕМЕЙСТВА МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫХ ЦИРКУЛЯНТНЫХ СЕТЕЙ1
Э. А. Монахова
Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН,
г. Новосибирск, Россия
Рассматривается задача оптимизации циркулянтных сетей, состоящая в максимизации числа вершин при заданных степени и диаметре графа. На основе изучения мультипликативных циркулянтов с образующими, представленными в виде степеней нечётных чисел t ^ 5, построены два новых семейства мультипликативных циркулянтов нечётных размерностей k ^ 3 и диаметров d = 0 mod k и чётных размерностей k ^ 4 и диаметров d = 0 mod k и d = 0 mod k/2, графы которых превосходят по числу вершин при тех же размерностях и диаметрах известные семейства мультипликативных циркулянтов.
Ключевые слова: мультипликативные циркулянтные сети, диаметр, максимальный порядок графа.
DOI 10.17223/20710410/41/8
NEW FAMILIES OF MULTIPLICATIVE CIRCULANT NETWORKS
E. A. Monakhova
Institute of Computational Mathematics and Mathematical Geophysics SB RAS, Novosibirsk,
Russia
E-mail: [email protected]
For circulant networks, the problem of the maximal attainable number of nodes under given degree and diameter of their graphs is considered. A research of multiplicative circulant networks with generators in the form of (1, t, t2,... ,tk-1) for odd t ^ 5 is presented. On the base of this research, two new families of multiplicative circulant networks of orders n = (t + 1)(1 + t + ... + tk-1)/2 + tk-1 for odd dimensions k ^ 3 and diameters d = 0 mod k and even dimensions k ^ 4 and diameters d = 0 mod k and d = 0 mod k/2 are constructed. The orders of these graphs are larger than orders of graphs of all known families of multiplicative circulant networks under the same dimensions and diameters.
Keywords: multiplicative circulant networks, diameter, maximum order of a graph.
1. Введение и основные определения
Пусть s1, s2,..., sk, n — целые числа, такие, что 1 ^ s1 < s2 < ... < sk < n. Граф C с множеством вершин V = {0,1,... ,n — 1} и множеством рёбер E = {(i, j) : i — j = = si mod n, l = 1,..., k}, называется циркулянтмым, числа S = (s1, s2,..., sk) —образующими, (n; S) —его параметрическим описанием, k — размерностью, n — порядком
Исследование выполнено в рамках проекта № 0315-2016-0006.
графа. Циркулянтные графы являются вершинно-транзитивными. Степень циркулянта равна 2к, если вк = п/2. При чётном п и вк = п/2 циркулянт имеет степень 2к — 1. В данной работе рассматриваются только связные циркулянтные графы чётных степеней. Известно, что циркулянтный граф С(п; з2,... , вк) является связным, если и только если наибольший общий делитель чисел з1, з2, ..., в к, п равен 1.
Циркулянтные сети (графы) широко изучаются при проектировании и анализе вычислительных систем, в теории графов и дискретной математике, в качестве топологии мультипроцессорных систем и компьютерных сетей и для других применений [1-3]. Интересным представляется новое направление использования циркулянтных сетей в центрах обработки информации больших баз данных [4].
Циркулянтные сети С(п; 1, ¿2,... ,£к-1) с образующими, представленными в виде степеней натурального числа £ ^ 2, называются мультипликативными циркулянтами. Следует отметить, что мультипликативные циркулянтные сети имеют простые коммуникационные алгоритмы, эффективны относительно трассировки интегральных схем, живучести и отказоустойчивости и поэтому могут использоваться в качестве структур сетей связи суперкомпьютерных систем.
Диаметром графа С называется ^С) = тах^г,^), где ^г,^) —длина кратчайшего пути из вершины г в вершину ] графа С. Для любых натуральных й и к пусть М(й, к) обозначает максимально возможное (достижимое) натуральное п, такое, что существует множество образующих S = (1,з2,...,зк), при котором ё(С (п; Б)) ^ й. В [1, 2] можно найти обзоры результатов по оценкам диаметра и достижимого порядка к-мерных, к ^ 2, циркулянтных сетей.
Приведём известные результаты, касающиеся оценок диаметра и достижимого порядка к-мерных, к ^ 2, циркулянтных сетей.
к-1
В [5] показано, что М(й, к) ^ 1+ ^ СкС^-г2к-г, получена нижняя граница диаметра
г=0
для любых п и к порядка -(к!)1/кп1/к и доказана
Теорема 1. Циркулянтные сети вида С(п; 1,£,£2,... , £к-1), где п = £к и £ ^ 3 — нечётное число, имеют диаметр й = к|_£/2_|.
Для к = 2 задача построения семейств двумерных циркулянтов с единичной образующей и максимально возможным порядком при любом диаметре й решена (см., например, обзор в [1]). Найдена [6, 7] функция М(й, к) для к = 3 и любого диаметра й и аналитически построены семейства трёхмерных циркулянтов с порядком, совпадающим с М(й, 3). Для к = 4 наилучшие известные оценки функции М(й, 4) аналитически найдены с помощью компьютерного поиска в [8]. В [9, 10] авторы представили таблицу, содержащую свод самых больших известных циркулянтных сетей, найденных в литературе для ряда значений степеней и диаметров. Таблица рекордных циркулянтов включает в том числе ряд значений порядков графов, полученных на основании перечисленных аналитических результатов для размерностей 2, 3 и 4, а также результаты для нечётных степеней, найденные в [7, 8, 10]. В настоящее время таблица рекордных циркулянтных сетей для к ^ 8 и й ^ 10 представлена в Интернете [11] и постоянно обновляется.
Изучение мультипликативных циркулянтов, начатое в работе [5], продолжалось в последующие годы. Результаты теоремы 1 улучшены в [12]:
Теорема 2. Пусть й и к — натуральные числа, й ^ к ^ 3 и р = [(й — к + 3)/к]. Тогда
к-1 1 / 4\к М(й, к) ^ п = 2рЕ (4р)^ = - у йк + 0(йк-1).
г=0 2 \ к /
На основе теоремы 2 в [12] построены семейства мультипликативных циркулянтов с большим числом вершин, чем в [5], при тех же размерностях и диаметрах.
В [13, 14] рассмотрены свойства мультипликативных циркулянтных сетей вида С(п; 1, ¿,... , £к-1) с нечётным £ ^ 3 и 2£к-1 < п ^ £к и получена общая формула для верхней оценки диаметра:
й(п; 1,£,£2,..., £к-1) ^ (к — 1) [¿/2] + |"(п — £к-1)/(2£к-1)].
В [15] исследованы свойства мультипликативных циркулянтов вида С(п; 1,£,... ,£к-1) с п = £к и чётным £ ^ 2 и получен их диаметр:
й(£к ;1,£,£2,...,£к-1) = к£/2 — [к/2].
Показано также, что мультипликативные циркулянтные сети как графы с образующими, представленными в виде степеней целого числа, имеют простые алгоритмы парного [13, 15] и трансляционного обменов [15], эффективны относительно трассировки интегральных схем, живучести и отказоустойчивости [13, 14]. В [16] получены новые улучшенные оценки для М(й, к):
й — [к/4]
Теорема 3. Пусть р й ^ к + [к/4]. Тогда
к
где й и к > 4 — целые числа, такие, что
М(й,к) ^ п = <
к-1
2р Е (4р)\ если кр + [к/4] ^ й < кр + [к/2],
г=0
к-1
(2р + 1) Е (4р + 1)\ если кр + [к/2] ^ й < к(р +1),
г=0 к1
(2р + 2) Е (4р + 3)\ если к(р +1) ^ й < к(р + 1) + [к/4].
г=0
В настоящей работе продолжено исследование нижних оценок экстремальной функции М(й, к) и получение их аналитических выражений при любых размерностях к > 4. На основе изучения циркулянтов с образующими, представленными в виде степеней нечётных чисел £ ^ 5, получены аналитически новые нижние оценки достижимого числа вершин циркулянтных сетей размерностей к > 4 и построены соответствующие семейства мультипликативных циркулянтов, реализующих эти оценки.
2. Новые семейства мультипликативных циркулянтных сетей
Для мультипликативных циркулянтов размерностей к = 4 и 5 проведены дальнейшие исследования сетей, рассмотренных в работах [5, 15, 16]. С помощью компьютерного поиска исследованы диапазоны их существования и определено максимальное значение порядка графа, при котором значения диаметров и образующих совпадают с найденными в [5, 15, 16]. Полученный результат позволил улучшить порядки графов по сравнению с известными результатами [5, 12, 15, 16]. Анализ значений подмножеств найденных максимально возможных порядков графов мультипликативных циркулянтов размерности 5 (табл. 1) послужил основой теоретического обобщения полученных результатов для любых размерностей.
В табл. 1 использованы следующие обозначения: d — диаметры найденных мультипликативных циркулянтов; п — их порядки; £ — параметр, порождающий соответствующие множества образующих графа 5 = (1,£,£2,£3 , £4).
Таблица 1 Новые циркулянтные графы размерности 5
k = 5
d n t d n t d n t
6 682 4 15 111271 11 24 1245289 19
7 2343 5 16 137598 12 25 1505931 19
8 4399 7 17 216587 13 26 1692610 20
9 8803 7 18 282053 15 27 2246255 21
10 13605 7 19 383303 15 28 2671209 23
11 22820 8 20 484553 15 29 3230891 23
12 36905 9 21 563592 16 30 3790573 23
13 52707 11 22 798669 17 31 4168812 24
14 81989 11 23 984647 19 32 5289713 25
Рассмотрим множество мультипликативных циркулянтных сетей вида С(п; 1,£,£2, ... ,£к-1), к ^ 3, с нечётным £ ^ 5. В теореме 4 представлены два новых бесконечных семейства рассматриваемых сетей, которые улучшают известные оценки достижимого порядка циркулянтных графов. Далее Д(х), 0 ^ х < п, обозначает длину кратчайшего пути из вершины 0 в вершину х.
Теорема 4. Пусть к ^ 3, £ ^ 5 — нечётное число, Б = (1, £2,..., £к-1). Если
к—1
п = Г*/2"| Е £г + £к-1, (1)
i=0
то
d(n; S) = ^^ (2)
при следующих условиях:
k ^ 3 — нечётное число и t = 3 mod 4 (3)
или
k ^ 4 — чётное число. (4)
Доказательство. Рассмотрим циркулянтный граф C(n; 1, t, t2,..., tk-1), где t ^ 5 — нечётное число и значение n удовлетворяет (1). Заметим, что все вершины графа образуют замкнутый цикл 0,1,... , n — 1, 0.
Возьмём любую вершину 0 ^ x < n рассматриваемого графа. Определим со, такое, что с0 = x mod t и |с0| ^ Lt/2j. Для любых i = 1,... , k — 1 определим ci, такие, что
1 i-1 ci = — ( x — Е citj | mod t, " j=0
|ci| ^ Lt/2j для i = 0,... , k — 2 и 0 ^ cfc- ^ |"t/2] + 1. Тогда
fc-i
x = E Citi = C0S1 + C1S2 + ... + Cfc-iSfc.
i=0
Вычисленные таким образом коэффициенты c, i = 0,... , k—1, являются координатами
пути из вершины 0 в x, а именно: |q| определяет, сколько раз в пути из вершины 0
в x использовалась соответствующая образующая, а знак (+ или —) у c указывает
направление движения по соответствующей образующей. Обозначим длину этого пути
k-i
через D+(x). Имеем D+(x) = Е Ы.
i=0
Второй возможный путь из 0 в x определим, взяв разность x — n. Учитывая (1), k-i
имеем x — n = Е где ci = c — |~t/2] для i = 0,..., k — 2 и c'k_i = ck-i — |~t/2] — 1.
i=0
В дальнейшем с помощью алгоритма 1 преобразуем коэффициенты ci в ci' таким
образом, чтобы выполнялось условие |ci'| ^ |_t/2J, i = 0,... , k — 2. Преобразованные
коэффициенты ci', i = 0,... , k — 1, являются координатами второго возможного пути из i k- 1
вершины 0 в x. Обозначим длину этого пути через D-(x). Она равна D-(x) = Е |ci' |.
i=0 i
Для любой вершины 0 ^ x < n длина кратчайшего пути
D(x) ^ min{D+(x),D-(x)}.
Пусть значение выполнено (1). Покажем, что диаметр d графа C(n; 1, t, t2,... , tk-i) удовлетворяет (2). Для этого докажем, что для любой вершины 0 ^ x < n при выполнении как условия (3), так и условия (4)
D+(x) + D-(x) ^ k|"t/2] + 1 = 2d +1.
Далее последовательно для i = 0, 1, . . . , k — 1 выполняем преобразование коэффициентов ci в ci' и подсчитываем суммы |ci| + |ci'| (алгоритм 1). На рис. 1 приведена граф-схема алгоритма 1, где T = |~t/2].
Суммируя результаты выполнения алгоритма 1 и анализируя все возможности k обходов по данной граф-схеме (соответственно k образующим), получаем для любой вершины 0 ^ x < n
Е(Ы + |ci'|) ^ k|~t/2] + 1 = kT + 1 = 2d + 1.
i=0
Следовательно, или D+(x) ^ d, или D-(x) ^ d. Покажем, что в данном графе существует хотя бы одна такая вершина x, что D(x) = d. Рассмотрим два возможных варианта.
Случай (3). Пусть k ^ 3 — нечётное число и t = 3 mod 4. В качестве искомой
t + 1 k-i t + 1 k-2 t + 5
вершины возьмём x0 = -E ti. Имеем x0 — n =--E ti--tk-i. Таким
4 i=0 4 i=0 4
образом, k-i |ci| = + k = d и k-i |ci'| = + (k — 1) +—+5 = + k + 1 = d + 1.
i=0 i 4 i=0 i 4 4 4
Рассмотрение длин альтернативных путей из 0 в x0 показывает, что они не меньше d. Следовательно, D(x0) = d.
Алгоритм 1. Алгоритм преобразования коэффициентов
Вход: параметр ¿; коэффициенты с* и с* для г = 0,... , к — 1.
Выход: суммы |с*| + |с*'|, г = 0,... , к — 1.
1: г = —1.
2: Увеличить г на 1. Положить с*' = с*.
3: Если г < к — 1 и с* ^ 0, то
заменяем с' на с" = с'' + ¿. Очевидно, при такой замене сумма |с*'| + |с*'+1| не увеличивается по сравнению с суммой |с' | + |с'+1| (соответственно в последующем будет замена с'+1 на с*'+1 = с'+1 — 1). При этом 0 ^ с*' ^ [¿/2] и |с| + |с''| = [¿/2] —1, перейти в п. 8.
4: Если г = к — 1, то
5: из условия 0 ^ ск-1 ^ [¿/2] + 1 следует —[¿/2] — 1 ^ с'к_ 1 = с'к_ 1 ^ 0 и |ск-1| + + К-1| = [¿/2] + 1, перейти в п. 15.
6: Если г < к — 1 и с* > 0, то
7: |с*| = |с* — [¿/2]| ^ [¿/2]. Тогда |с*| + |с*'| = [¿/2], перейти в п. 2.
8: Увеличим г на 1 и положим с* = с* — 1.
9: Если г = к — 1, то
10: |ск-1| + |ск-1| = [¿/2] + 2, перейти в п.15.
11: Если с* > 1, то
12: |с*| + |с"| = [¿/2] + 1, перейти в п. 2.
13: Если с* ^ 1, то
14: заменяем с" на новое значение с" = с*' + £ (соответственно в последующем будет замена с*+1 на с*'+1 = с*+1 — 1). При этом —1 ^ с*' ^ [¿/2] и
[¿/2] — 2, если — [¿/2] +2 ^ с* ^ 0, [¿/2], если с* € {—[¿/2] +1,1},
перейти в п.8. 15: Конец алгоритма.
Рис. 1
Случай (4). Пусть k ^ 4 — чётное число и t = 1 mod 4. В качестве искомой вершины возьмём
xo = ^ + t + ^ t2 + t3 + ... + ^ tk-2 + tk-1.
Имеем
xo - n = -1 - — t - t2 - — t3 - ... - tk-2 - — tk-1. 0 2 2 2
k—1 k—1 Таким образом, £ |c| = k/2((t - 1)/2 + 1) = d и £ |c£'| = k/2((t - 1)/2 + 1) + 1 = d +1. i=0 i=0 Длины всех других возможных путей из 0 в x0 не меньше d. Следовательно, D(x0) = d.
Случай, когда k ^ 4 — чётное число и t = 3 mod 4, доказывается аналогично случаю (3). ■
В табл. 2 показан результат сравнения известных семейств мультипликативных циркулянтов с полученными в работе. Здесь n1, n2 и n — порядки графов, найденных соответственно посредством теорем 2 [12], 3 [16] и 4.
Таблица 2
Сравнение семейств мультипликативных циркулянтов
k = 5 k = 6
d ni П2 n t d ni П2 n t
10 682 11204 13 605 7 9 2 730 11718 14 843 5
15 18 724 96 630 111271 11 12 2 730 78 432 95 239 7
20 135 726 433 928 484 553 15 15 149 796 332 150 391199 9
25 559 240 1375 610 1505 931 19 18 149 796 1 062 936 1223 987 11
30 244 210 3 510 732 3 790 573 23 21 1628 718 2 815 638 3186 931 13
Поясним на примерах результат сравнения двух новых семейств с известными семействами мультипликативных циркулянтов.
1. Пусть k = 5 и d =25. Тогда в силу теоремы 2 имеем Ы5) ^ и = 559 240. Теорема 3 даёт следующую оценку: Ы5) ^ и = 1375 610. Новое семейство при том же диаметре даёт оценку Ы5) ^ и = 1505 931. Данный порядок циркулянта достигается при образующих 5 = (1,£2,£3,£4), где £ = 19.
2. Пусть к = 6 и d =18. Тогда в силу теоремы 2 Ы5) ^ и = 149 796. Теорема 3 даёт следующую оценку: Ы5) ^ и = 1 062 936. Новое семейство при диаметре d =18 даёт оценку Ы5) ^ и = 1 223 987. Данный порядок циркулянта достигается при образующих 5 = (1,£,£2,£3,£4,£5), где £ = 11.
С помощью специально разработанной компьютерной программы показано, что порядки графов новых семейств мультипликативных циркулянтов являются максимально возможными для исследуемых типов образующих при диаметрах d ^ 22 и 20 и размерностях соответственно к = 4 и 5. Для дальнейшей работы представляет интерес возможность доказательства обобщения данного результата для любых размерностей и диаметров.
Таким образом, полученная в настоящей работе оценка функции Ык), подтверждённая конструктивно построением семейств мультипликативных циркулянтных сетей, для размерностей к ^ 5 (чётных степеней 10 и более) остается пока лучшей известной оценкой.
ЛИТЕРАТУРА
1. Монахова Э. А. Структурные и коммуникативные свойства циркулянтных сетей // Прикладная дискретная математика. 2011. №3. С. 92-115.
2. Monakhova E. A. A survey on undirected circulant graphs // Discr. Math., Algorithms and Appl. 2012. No.4(1). P. 17-47.
3. Perez-Roses H. Algebraic and computer-based methods in the undirected degree/diameter problem — a bief survey // Electronic J. Graph Theory and Appl. 2014. No. 2(2). P. 166-190.
4. Erickson A., Stewart I. A., Navaridas J., and Kiasari A. E. The stellar transformation: From interconnection networks to datacenter networks // Comput. Networks. 2017. No. 113. P. 29-45.
5. Wong C. K. and Coppersmith D. A combinatorial problem related to multimodule memory organizations // J. Assoc. Comput. Mach. 1974. No. 21. P. 392-402.
6. Monakhova E. Optimal triple loop networks with given transmission delay: Topological design and routing // Intern. Network Optimization Conf. (IN0C'2003), Evry/Paris, France, 2003. P. 410-415.
7. Dougherty R. and Faber V. The degree-diameter problem for several varieties of Cayley graphs, 1: The Abelian case // SIAM J. Discrete Math. 2004. No. 17(3). P. 478-519.
8. Lewis R. The degree-diameter problem for circulant graphs of degree 8 and 9 // arXiv:1404.3948v1, 2014.
9. Feria-Puron R., Ryan J., and Perez-Roses H. Searching for large multi-loop networks // Elec. Notes Disc. Math. 2014. No. 46. P. 233-240.
10. Feria-Puron R., Perez-Roses H., and Ryan J. Searching for large circulant graphs // arXiv:1503.07357v1 [math.CO] (25 Mar 2015). P. 31.
11. The Degree/Diameter Problem For Circulant Graphs. http://combinatoricswiki.org/ wiki/The_Degree_Diameter_Problem_for_Circulant_Graphs.
12. Chen S. and Jia X. -D. Undirected loop networks // Networks. 1993. No. 23. P. 257-260.
13. Parhami B. Chordal rings based on symmetric odd-radix number systems // Proc. Intern. Conf. on Communications in Computing (Las Vegas, NV, June 27-30). Los Alamitos: IEEE Press, 2005. P. 196-199.
14. Parhami B. A class of odd-radix chordal ring networks // The CS'J J. Comput. Sci. Eng. 2006. Vol. 4. No. 2-4. P. 1-9.
15. Stojmenovic I. Multiplicative circulant networks. Topological properties and communication algorithms // Discr. Appl. Math. 1997. Vol.77. P.281-305.
16. Monakhova E. A. On an extremal family of circulant networks //J. Appl. Industr. Math. 2011. No. 5(4). P. 1-7.
REFERENCES
1. Monakhova E. A. Strukturnye i kommunikativnye svojstva cirkulyantnyh setej [Structural and communicative properties of circulant networks]. Prikladnaya Diskretnaya Matematika, 2011, no.3, pp. 92-115. (in Russian)
2. Monakhova E. A. A Survey on undirected circulant graphs. Discr. Math., Algorithms and Appl., 2012, no. 4(1), pp. 17-47.
3. Perez-Roses H. Algebraic and computer-based methods in the undirected degree/diameter problem — a bief survey. Electronic J. Graph Theory and Appl., 2014, no. 2(2), pp. 166-190.
4. Erickson A., Stewart I. A., Navaridas J., and Kiasari A. E. The stellar transformation: From interconnection networks to datacenter networks. Comput. Networks, 2017, no. 113, pp.29-45.
5. Wong C. K. and Coppersmith D. A combinatorial problem related to multimodule memory organizations. J. Assoc. Comput. Mach., 1974, no. 21, pp. 392-402.
6. Monakhova E. Optimal triple loop networks with given transmission delay: Topological design and routing. Intern. Network Optimization Conf. (INOC'2003), Evry/Paris, France, 2003, pp.410-415.
7. Dougherty R. and Faber V. The degree-diameter problem for several varieties of Cayley graphs, 1: The Abelian case. SIAM J. Discrete Math., 2004, no. 17(3), pp. 478-519.
8. Lewis R. The degree-diameter problem for circulant graphs of degree 8 and 9. arXiv:1404.3948v1, 2014.
9. Feria-Puron R., Ryan J., and Perez-Roses H. Searching for large multi-loop networks. Elec. Notes Disc. Math., 2014, no. 46, pp. 233-240.
10. Feria-Puron R., Perez-Roses H., and Ryan J. Searching for large circulant graphs. arXiv:1503.07357v1 [math.CO] (25 Mar 2015), p. 31.
11. The Degree/Diameter Problem For Circulant Graphs. http://combinatoricswiki.org/ wiki/The_Degree_Diameter_Problem_for_Circulant_Graphs.
12. Chen S. and Jia X. -D. Undirected loop networks. Networks, 1993, no. 23, pp. 257-260.
13. Parhami B. Chordal rings based on symmetric odd-radix number systems. Proc. Intern. Conf. on Communications in Computing (Las Vegas, NV, June 27-30). Los Alamitos, IEEE Press, 2005, pp. 196-199.
14. Parhami B. A class of odd-radix chordal ring networks. The CS'J J. Comput. Sci. Eng., 2006, vol. 4, no. 2-4, pp. 1-9.
15. Stojmenovic I. Multiplicative circulant networks. Topological properties and communication algorithms. Discr. Appl. Math., 1997, vol.77, pp. 281-305.
16. Monakhova E. A. On an extremal family of circulant networks. J. Appl. Industr. Math., 2011, no. 5(4), pp. 1-7.
