О построении циркулянтных сетей размерности четыре с максимальным числом вершин при любом диаметре Текст научной статьи по специальности «Математика»

ПРИКЛАДНАЯ ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА

2013 Прикладная теория графов №3(21)

УДК 519.87

О ПОСТРОЕНИИ ЦИРКУЛЯНТНЫХ СЕТЕЙ РАЗМЕРНОСТИ ЧЕТЫРЕ С МАКСИМАЛЬНЫМ ЧИСЛОМ ВЕРШИН

ПРИ ЛЮБОМ ДИАМЕТРЕ

Э. А. Монахова

Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН,

г. Новосибирск, Россия

E-mail: emilia@rav.sscc.ru

Рассматривается задача оптимизации неориентированных циркулянтных сетей, состоящая в максимизации числа вершин при заданных степени и диаметре графа. Получена новая нижняя оценка достижимого числа вершин циркулянтных сетей размерности четыре при любых диаметрах. Построены новые бесконечные семейства циркулянтов, достигающих найденной оценки. Для графов найденных семейств получены различные аналитические описания.

Ключевые слова: неориентированные циркулянтные сети, диаметр, максимальный порядок графа.

Введение

Циркулянтные сети (графы) являются графами Кэли абелевых групп и широко изучаются в теории графов и дискретной математике, а также играют важную роль в разнообразных приложениях, в том числе в теории кодирования, распределённых вычислениях, моделировании химических реакций, при построении и анализе топологий сетей (оптических, клеточных, нейронных) и высокопроизводительных мультипроцессорных систем [1-11].

Пусть si, s2,... , sk, n — целые числа, такие, что 1 ^ s1 < s2 < . . . < sk < n, и S = (s1, s2,... , sfc). Неориентированный граф C(n; S) с множествами вершин V = = {0,1,... , n — 1} и рёбер E = {(i,j) : |i — j| = si (mod n),l = 1,... , k} называется циркулянтным, числа из множества S — образующими, k — размерностью, n — порядком графа.

Диаметром графа G называется d(G) = max d(i, j), где d(i, j) — длина кратчайше-

i,jeV

го пути из вершины i в вершину j графа G.

Пусть M(d, k) для любых натуральных d и k — максимально возможное (достижимое) натуральное n, такое, что существует множество образующих S = (1, s2,... , sk), при котором d(C(n; S)) ^ d. Известно [11, 12], что

M(d,k) « P(d,k) = E CkCd'-i2k-i,

i=0

где верхняя граница P(d, k) может рассматриваться как граница Мура для циркулянтных графов размерности k. Получение точных значений функции M(d,k) для k ^ 3 достаточно трудоёмко и сводится к полному перебору параметрических описаний графа. Нижние оценки для M(d, k) в каждом отдельном случае могут зависеть от рассматриваемого диаметра и, как правило, получаются посредством поиска бесконечных семейств графов, достигающих этих оценок [1, 13, 14].

Наиболее полный обзор результатов по оценкам диаметра и достижимого порядка k-мерных, k ^ 2, неориентированных циркулянтных графов можно найти в [3]. Более ранние обзоры представлены в работах [1, 2]. Для размерности 2 задача построения циркулянтов с единичной образующей и максимальным порядком M(d, 2), совпадающим с P(d, 2) = 2d(d + 1) + 1 при любом диаметре d, решена (для ссылок см. [3]). Для размерности 3 нижняя оценка достижимого порядка циркулянтов последовательно улучшалась в [1, 11, 15]. В [16] найдена экстремальная функция M(d, 3) для любого диаметра d и построены бесконечные семейства трёхмерных циркулянтов с порядком, совпадающим с M(d, 3), вид которой, как оказалось, зависит от класса вычетов d по модулю 3. В [17] доказано, что существует граф Кэли абелевой группы с тремя образующими, который имеет диаметр d и размер, совпадающий с M(d, 3). Следует отметить, что открытые семейства двумерных и трёхмерных циркулянтных сетей успешно применяются в теории кодирования при построении совершенных кодов, исправляющих ошибки. В последнее время для построения таких кодов начали рассматривать четырёхмерные циркулянтные графы и циркулянты более высоких размерностей [5]. Наряду с двух- и трёхмерными циркулянтами, циркулянтные сети размерности 4 также используют как базовые элементы топологии при построении мультипроцессорных кластерных систем [8]. Важно подчеркнуть, что, взятые в качестве сетей связи мультипроцессорных систем, графы с максимальным (или близким к нему) порядком при заданных размерности и диаметре имеют высокие отказоустойчивость и скорость коммуникаций, минимальную задержку и максимальные связность и надёжность.

В данной работе будем исследовать максимально возможные циркулянтные сети размерности четыре с единичной образующей.

Для графов размерности k ^ 4 известны следующие результаты. В [11] доказано, что при n = tk, t — нечётное число, графы C(n; 1, t,... , tk-i) имеют диаметр

d = k (t — 1) = kn1/k — k.

2V ' 2 2

В частности, n = d4/16 + O(d3) для k = 4 и диаметра d = 0 (mod 4). В [9] изучены топологические свойства мультипликативных циркулянтов вида C(n; 1,t,... ,tk-i) с чётным t ^ 2 и n = tk и получен их диаметр

d = k- — 2-

Для k = 4 и диаметра d = 2 (mod 4) снова n = d4/16+O(d3). Эти результаты улучшены в [15]: пусть d и k — любые положительные целые, такие, что d ^ k ^ 3, и пусть t = |_(d — k + 3)/kJ, тогда

k—1 1 /4\ k

1 ' 4 ' Jk , гл/jk-U

М (^,к) ^ 2^ (4£)г = - т &к + 0(^к-1).

¿=о 2\ к)

Отсюда для размерности четыре М(^,4) ^ п = ^4/2 — (3/2)^3 + 0(^2). В [18] оценка функции М(^, 4) из [15] улучшена на 0(3^3/2) для любого нечётного диаметра. В [17] авторы, используя плотное покрытие решётками пространства Zk, при к = 4 нашли следующую оценку:

лЖй /14-^. / ^4/2 + ^3 при чётном ^,

, ^ П [ 8|_^/2_||~^/2]3 при нечётном ^.

В [19] оценка функции M(d, 4) из [17] улучшена для диаметров d = 0 (mod 4).

В данной работе в п. 1 получена новая нижняя оценка экстремальной функции M(d, 4) для любых диаметров d > 1 и построены бесконечные семейства циркулянт-ных сетей, достигающих найденной оценки, в п. 2 получены различные аналитические описания для графов найденных семейств, в п. 3 обсуждается проблема получения функции M(d, 4).

1. Новые семейства циркулянтных графов размерности четыре

Теоремы 1 и 2 позволяют улучшить нижнюю оценку функции M(d, 4) соответственно для чётных и нечётных диаметров d > 1. Это достигается путём построения бесконечных семейств циркулянтов {C(n(d); 1, s2(d), s3(d), s4(d)) : d ^ 2}, достигающих найденной оценки.

Теорема 1. Пусть d ^ 2 — чётное число, S = (1, s2, s3, s4), где

s2 = d +1, S3 = d3/2 + d2/2 + d, S4 = d3/2 + 3d2/2 + 3d + 2; (1)

n = d4/2 + d3 + 5d2/2 + 2d + 1. (2)

Тогда d(C(n; S)) = d.

Теорема 2. Пусть d > 1 —нечётное число, S = (1, s2, s3, s4), где

s2 = d, s3 = d3/2 + 3d/2, s4 = d3/2 + d2 + 3d/2 + 1, (3)

n = d4/2 + d3 + 5d2/2 + 2d +1.

Тогда d(C(n; S)) = d.

Пронумеруем вершины циркулянтного графа от 0 до n—1. Длину кратчайшего пути из вершины 0 в вершину x обозначим через D(x) = d(0,x), 0 ^ x < n. Определим +s4-и — в4-связи из х, если идти по ним в вершину x + s4 (mod n) (в прямом направлении) или в х — s4 (mod n) (в обратном направлении) соответственно. Аналогично определим +s3- и — з3-связи, +s2- и — s2-связи и +1- и —1-связи. Пусть А = s4 — s3. Кроме шагов длины 1 будем также использовать ±А-связи длины 2.

Предварительно докажем следующее утверждение.

Лемма 1. В циркулянтном графе C(n; 1, s2, S3, s4) с порядком, заданным (2), и образующими (1) для чётного d ^ 2 или (3) для нечётного d > 1 любой интервал вершин с номерами [a, b] длины b — а = А/2 с суммой D(a) + D(b) = d для чётного d или D(a) + D(b) = d +1 для нечётного d имеет свойство

max D(x) = d. (4)

a^x^b

Доказательство. Пусть D(a) = /,

d — /, / = 0,..., d, при чётном d,

^(Ь) 1 ^ +1 — І, І = 1,..., ^, при нечётном ^.

Все вершины с номерами из [а, Ь] можно достичь либо +з2- и ±1-связями из а, либо — з2- и ± 1-связями из Ь. Номер первой вершины от а, для которой Д(ж) = ^ +1 (без учёта — з2-связей из Ь), есть

a + (d/2 — 1)s2 + d/2 + 1 при чётном d, a + ([d/2] — 1)s2 + [d/2] при нечётном d.

С другой стороны, учитывая — 52-связи из Ь, имеем

Г Ь — /з2 при чётном ^,

[ Ь — (/ — 1)52 при нечётном ^,

то есть существует путь длины d в данную вершину. Для остальных вершин с расстоянием до 0, превышающим d, использование — 52- и ±1-связей из Ь также уменьшает до значения d функцию расстояний до вершины 0. В частности, свойство (4) выполняется, когда Д(а) = Д(Ь) = ^/2]. ■

Теперь можем написать общее доказательство к теоремам 1 и 2. Доказательство теорем 1 и 2. Пусть d ^ 2 — целое число. Рассмотрим цир-кулянтные графы С(п; 1,52,53,54) с порядками п, заданными (2), и образующими 5г, г = 2, 3, 4, заданными (1) при чётном d или (3) при нечётном d.

В силу (2) и (1) имеем при чётном d

4

п = ^/2) ^ 5г + 1, п = ^ — 1)^4 + А + 52, 54 = ^ + 1)Д/2 + 52,

г=1

где 52 = d +1; А = ^ + 1)2 + 1 = 52 + 1.

В силу (2) и (3) имеем при нечётном d

4

п = ^/2] ^ 5г — 52, п = ds4 + А + 52, 54 = ^ + 2)Д/2 + 52,

г=1

где 52 = d; А = d2 + 1 = 52 + 1.

Заметим, что числовые значения 52 (а также А) равны для двух взятых последовательно чётных и нечётных значений d.

Требуется доказать, что Д(х) ^ d для любой вершины 0 ^ х < п. Поскольку циркулянтные графы являются вершинно-транзитивными, достаточно рассмотреть вершины с номерами 0 ^ х ^ (п — 1)/2. Удобнее рассмотреть вершины с номерами 0 ^ х ^ ^/2]54 > (п — 1)/2.

В графе С(п; 1, 52, 53, 54) справедливо соотношение

Г^/21

[0, ^/2] 54] = и (А и Бг и Сг),

г=1

где а = [(г — 1)54, (г — 1)54 + 52]; В = [(г — 1)54 + 52, ¿53]; С = [¿53, ¿54].

Г<*/21

1. Пусть х е и Сг и х^к = ¿53 + к54, Угк = х*к + А/2. Тогда

г=1

Гсг/21 Г^/21 Г^/21-г

0 Сг 0 и ([хгк, угк] и [угк,хг-1,к+1]).

г=1 г=1 к=0

Отсюда следует, что Д(хгк) = Д(хг-1,к+1) = г + к ^ fd/2] (равенство имеет место при

к = |^/2] — г). Так как угк = п — (^/2] — г)53 — (^/2] — к)54, имеем

ДУгк )

d — (г + к) при чётном d, d +1 — (г + к) при нечётном d.

Тем самым

d при чётном d,

^(хгк) + ^(угк) ^(угк) + ^(хг- 1,к+1)

d +1 при нечётном d

для всех г = 1, 2,..., ^/2] и к = 0,1,... , ^/2] — г. Таким образом, интервалы [хгк, угк] и [угк,хг-1,к+1] обладают свойством (4), а значит, Д(х) ^ d для любой вершины И/21

х е и Сг.

г=1

2. Пусть хгк = (г — 1)54 + 52 + кА, угк = хгк + А/2 при к = 0,1,..., ^/2] — 1 — г,

хг,Г^/21-г = г53 — А/2 = — 1)54 — — г)53 + ^ Уг,Г^/21—г = г53.

Тогда

Гсг/21 Г^/21 ( Г^/21-1—г

0 Вг ^ ([хгк, угк] и [угк,хг,к+1]) и [хг,Г^/21—г, уг,Г^/21—г]

г=1 г=1 ^ к=0

Так как для всех х е [хг,г^/21—г,Уг,г^/21—г], г = 1,..., Г^/2], имеет место равенство

ч , п/ \ [ d при чётном d,

^ (хг, Г^/21—г) + ^ (уг,Г^/21—г) | Л I 1 '' Л

' 4/1 а +1 при нечётном d,

данные интервалы вершин обладают свойством (4), а значит, Д(х) ^ d для любой И/21

вершины х е и [хг,Г^/21—г,Уг,Г^/21—г].

г=1

Г^/21 —1

Остаётся рассмотреть случай, когда х е и Вг (при d > 2). Из определения хгк

г=1

следует, что Д(хгк) = г + 2к. Учитывая, что

52 + А/2 = Г^/2] 53 — (Г d/2] — 1)54,

получим угк = (Гd/2] — к)53 — (Гd/2] — г — к)54 и

d — г — 2к при чётном d,

^(угк) 1 | 1 • 07 "

I я +1 — г — 2к при нечётном d.

Таким образом,

, Г я при чётном я,

^(хгк) + £(угк) = 1 , •• .

л +1 при нечётном я

для интервалов [хгк, угк] длины А/2. По свойству (4) Д(х) ^ л для всех хгк ^ х ^ угк, г = 1, 2,..., Гя/2] — 1, к = 0,1,..., Гя/2] — 1 — г.

Рассмотрим интервалы вершин [угк,хг,к+1]. Имеем

хг,к+1 = (г — 1)54 + (к + 1)А + 52, Д(х^,к+1) = г + 2к + 2.

Отсюда следует, что

ч17-./ ч Г я + 2 при чётном я,

^(угк) + ^(хг,к+1) | Л I Ч " Л

’ л + 3 при нечётном я

для всех г = 1, 2,... , ^/2] — 1, к = 0,1,..., ^/2] — 1 — г. Разобьём каждый интервал

[Угк, хг,к+1] на две части: [угк, ^гк] и [¿гк, х*,к+1], где ¿¿к = х*,к+1 — 52 = (г — 1)54 + (к + 1)А.

Из определения ¿гк следует, что Д(ггк) = г + 2к + 1.

Интервал [угк, ¿гк] имеет длину, равную А/2 — 52, и

ч ч Г я +1 при чётном я,

С(Ы + !>(*к) И я + 2 при нечётном Л.

По этой причине для обеспечения условия D (x) ^ d на интервале [yik, z^] достаточно использовать +s2- и ± 1-связи из и — s2- и ± 1-связи из Zjfc.

На интервале [z^, x^+i] длины s2 максимум D(x) при использовании ±1-связей достигается в вершине xo = xj,fc+1 — [d/2j. Но существует путь в данном графе в вершину xo из yi,k+1, содержащий следующее количество образующих s2:

d/2 + 1 при чётном d,

[d/2] при нечётном d.

Поскольку

, . _ Г d — 1 — D(zjk) при чётном d,

,k+ у d — D(zjk) при нечётном d,

имеем D(x0) = [3d/2] — D(zjk). Отсюда D(x0) ^ d при D(zjk) ^ [d/2]. Нетрудно определить, что D(x0) ^ d и при D(zjk) < [d/2]. Таким образом, D(x) ^ d для всех zjfc ^ x ^ xi,fc+1.

3. Пусть x G Aj, i = 1, 2,..., [d/2], Aj = [(i — 1)s4, (i — 1)s4 + s2] = [x^, Zj].

Так как D(xj) = i — 1, D(zj) = i, возьмём самое большое значение i = [d/2], для него max D(x) = d. Тогда max D(x) ^ d для всех i = 1,... , [d/2].

Xi^X^Zi Xi^X^Zi

4. Строго говоря, там, где получено D(x) = d, может быть D(x) ^ d. Поэтому остаётся показать, что в данных графах существует хотя бы одна такая вершина x, что D(x) = d.

d

Пусть d = 0 (mod 4). В качестве искомой вершины возьмем x = (n — 1)/2 = — (s1 +

+s2 + s3 + s4). Видно, что в данную вершину существует путь из 0 длины d. Он же

d

является минимально возможным, так как x — n = — — (s1 + s2 + s3 + s4) — 1 даёт путь длины d+ 1 и длины всех других возможных путей из 0 в x не менее d. Следовательно, D(x) = d.

d + 3

В остальных случаях в качестве искомых вершин берем x =(n +1)/2 = —-— s4 +

d — 1 d — 1 d — 1 d + 2 d —2

+—4— S3--------4— S2-------------------4— при d = 1 (mod 4), x = (n — 1)/2 = —4— S4 +-4— S3 —

d +4 2 d —4 2 4 d + 1 d +4 1 d +4 1

----4— S2 +----4— при d = 2 (mod 4), x = (n + 1)/2 = —— S4 +-4— S3 +----4— S2 —

d 4 3 4 4 4 4

-----— при d = 3 (mod 4). Доказательства аналогичны случаю, когда d = 0 (mod 4).

Теоремы 1 и 2 доказаны.

2. Другие аналитические описания для графов найденных семейств

Для полученного семейства графов с чётными диаметрами из теоремы 1 найдены аналитически другие виды образующих.

Утверждение 1. Пусть d — чётное число, S(2) = (1,s22),s32),s42)) , где

s22) = d2/2 + d + 2, s32) = d3/2 + d2/2 + 2d, s42) = d3/2 + d2 + 2d +1, (5)

и n = d4/2 + d3 + 5d2/2 + 2d +1. Тогда d(C(n; S(2))) = d.

Доказательство. Достаточно показать, что образующие S(2) получаются из образующих S с помощью эквивалентного преобразования [3]. Для этого умножим каждую образующую из S = (1,s2,s3,s4) на s32), поскольку применение алгоритма

Евклида к п и в

(2)

дает (2)

(2) , в3

п, в

1. Образующая в!

(2)

1 переходит в в32). Образу ■

ющая в2 переходит в в! ' = 1, поскольку в2 • в32) = п — 1. Образующая в3 переходит

(2)

в в4 , поскольку в3 • в3

.(2)

(2)

(й2/2 + 1)п — в^2). Образующая в4 переходит в в22), поскольку

в4 • в32) = (й2/2 + й + 2)п — в22). Таким образом, получили изоморфное отображение образующих (1, в2, в3, в4) соответственно в образующие ^2), 1, в42), в22) ^. ■

Утверждение 2. Пусть й — четное число, 5(3) =

1 в(3) в(3) в(3) 1, в2 , в3 , в4

где

в(3)

в4

й3 + 2й2 + 4й + 3,

в2) = й3 + й2 + 3й + 1, в3 ) = й3 + й2 + 4й + 1,

и п = й4/2 + й3 + 5й2/2 + 2й +1. Тогда ё(С(п; 5(3))) = й.

Доказательство. Покажем, что образующие 5(3) получаются из образующих 5 с помощью эквивалентного преобразования. Для этого умножим каждую образующую из 5 = (1, в2, в3, в4) на в43) (применение алгоритма Евклида к п и в43) дает ^п, в43)^ = 1).

Образующая в! = 1 переходит в в43). Образующая в2 переходит в в23), так как в2 • в43) =

= 2п + в2). Образующая в3 переходит в 1, так как в3 • в4 ) = (й2 + й + 1)п — 1. Образующая в4 переходит в в33), так как в4 • в43) = (й2 + 3й + 5)п + в33). Таким образом, получили изоморфное отображение (1, в2, в3, в4) соответственно в (в43), в23), 1, в33^. ■

В табл. 1 даны примеры описаний циркулянтов размерности 4 порядка п из теоремы 1 с тремя видами образующих (1), (5), (6).

Таблица 1

Описания циркулянтов размерности 4 для чётных диаметров й

й п «1, «2, «3, «4 «(2) в1 , 5(2) в2 , «(2) % , «(2) «4 «(3) в1 , «(3) в2 , «(3) в3 , «(3) «4

2 31 1, 3, 8, 18 1, 6, 10, 13 1, 19, 21, 27

4 241 1, 5, 44, 70 1, 14, 48, 57 1, 93, 97, 115

6 967 1, 7, 132, 182 1, 26, 138, 157 1, 271, 277, 315

8 2737 1, 9, 296, 378 1, 42, 304, 337 1, 601, 609, 675

10 6271 1, 11, 560, 682 1, 62, 570, 621 1, 1131, 1141, 1243

12 12481 1, 13, 948, 1118 1, 86, 960, 1033 1, 1909, 1921, 2067

14 22471 1, 15, 1484, 1710 1, 114, 1438, 1597 1, 2983, 2997, 3195

16 37537 1, 17, 2192, 2482 1, 146, 2208, 2337 1, 4401, 4417, 4675

18 59167 1, 19, 3096, 3458 1, 182, 3114, 3277 1, 6211, 6229, 6555

Отметим, что значения А, А(2) = в(2) = в4 в(2) - в3 8 А( 3) = в(3) = в4 в(3) - в3 могут быть получе

из формулы

п = 2(й2/2 + 1)М(й/2, 2) + й2/2 — 1,

из которой следует, что А = 2М(й/2, 2); |_п/А] = й2/2 + 1; Д(2) = й2/2 + 1; |_п/А(2)] = = 2М(й/2, 2); Д(3) = й2 + 2; |_п/А(3)] = М(й/2, 2).

Найденные образующие (1), (5), (6) представляют собой полиномы относительно й. Вторые образующие во всех трех видах — полиномы первой, второй и третьей степеней для образующих (1), (5), (6) соответственно, а третьи и четвертые образующие — полиномы третьей степени. В следующем утверждении все четыре образующие графов рассматриваемого семейства — полиномы третьей степени.

3

Утверждение 3. Пусть й > 2 — четное число, 5(4) = (в(!4),в24),в34),в44)), где

в!4) = й3/2 — 3й2/2 — й — 3, в24) = й3 + 2й2 + 6й + 6, в34) = й3 + 3й2 + 8й + 4, в!14) = 7й3/2 + 13й2/2 + 13й + 5, и п = й4/2 + й3 + 5й2/2 + 2й +1. Тогда ё(С(п; 5(4))) = й.

Доказательство. Покажем, что образующие 5(4) получаются из образующих 5 с помощью эквивалентного преобразования. Для этого умножим каждую образующую из Б = (1,в2,в3,в4) на в24). Образующая в! = 1 переходит в в24). Образующая в2 переходит в в34), так как в2 • в24) = 2п + в34). Образующая в3 переходит в в!4), так как в3 • в24) = (й2 + й + 3)п + в!4). Образующая в4 переходит в в44), так как в4 • в24) = (й2 + 3й + 7)п + в4*4). Таким образом, получили изоморфное отображение

2 4 (4) (4) (4) (4)

(1, в2, в3, в4) соответственно в ( в2 , в3 , в! , в4 ). ■

Отметим, что только при й = 4 образующая в!4) равна 1.

Для семейства графов с нечетными диаметрами из теоремы 2 также существуют другие аналитические описания образующих.

Утверждение 4. Пусть й > 1 —нечетное число, 5(2) = (1,в22) ,в32) ,в42)), где в22) = (й2 + 3)/2, в32) = (й3 + й2 + 3й + 1)/2, в42) = й3/2 + й2 + 5й/2 + 2, (7)

и п = й4/2 + й3 + 5й2/2 + 2й +1. Тогда ё(С(п; 5(2))) = й.

Доказательство. Достаточно показать, что образующие 5(2) получаются из образующих 5 с помощью эквивалентного преобразования. Для этого умножим каждую образующую из 5 = (1,в2,в3,в4) на в42), поскольку применение алгоритма Евклида к п и в42) = (п — 1)/й дает ^п, в42^ = 1. Образующая в! переходит в в42). Образующая в2 переходит в в!2) = 1, поскольку в2 • в42) = п — 1. Образующая в3 переходит в в22), поскольку в3 • в42) = (й2 + 3)/2 • п — в22). Образующая в4 переходит в в32), поскольку в4 • в42) = (й2 + 2й + 3)/2 • п + в32). Таким образом, получили изоморфное отображение образующих (1, в2, в3, в4) соответственно в образующие ^в42), 1, в22), в32) ^. ■

Утверждение 5. Пусть й > 1 —нечетное число, 5(3) = (1,в23) ,в33) ,в43)), где

в23) = й3 + й2 + 3й, в33) = й3 + 2й2 + 4й + 2, в43) = й3 + 2й2 + 5й + 3, (8)

и п = й4/2 + й3 + 5й2/2 + 2й +1. Тогда ё(С(п; 5(3))) = й.

Доказательство. Покажем, что образующие 5(3) получаются из образующих 5 с помощью эквивалентного преобразования. Умножим каждую образую щую из 5 = = (1,в2,в3,в4) на в23) (применение алгоритма Евклида к п и в23) дает ^п, в23)^ = 1).

Образующая в1 = 1 переходит в в23). Образующая в2 переходит в в33), так как в2 • в23) = = 2п — в33). Образующая в3 переходит в в43), так как в3 • в23) = (й2 — й + 3)п — в43). Образующая в4 переходит в 1, так как в4 • в23) = (й2 + й +1)п — 1. Таким образом, получили изоморфное отображение (1, в2, в3, в4) соответственно в (в23), в33), в43), 1^. ■

В табл. 2 приведены примеры описаний циркулянтов размерности 4 порядка п из теоремы 2 с тремя видами образующих (3), (7), (8).

Таблица 2

Описания циркулянтов размерности 4 для нечётных диаметров с!

й п вЪ в2) «3, «4 «(2) «(2) «1 , «2 , «(2) % , «(2) «4 ,(3) ,(3) «1 , «2 , «(3) в3 , «(3) «4

3 97 1, 3, 18, 28 1, 6, 23, 32 1, 45, 59, 63

5 511 1, 5, 70, 96 1, 14, 83, 102 5, 6 1 1 197, 203

7 1681 1, 7, 182, 232 1, 26, 207, 240 1, 413, 471, 479

9 4231 1, 9, 378, 460 1, 42, 419, 470 1, 837, 929, 939

11 8977 1, 11, 682, 804 1, 62, 743, 816 1, 1485, 1619, 1631

13 16927 1, 13, 1118, 1288 1, 86, 1203, 1302 1, 2405, 2589, 2603

15 29281 1, 15, 1710, 1936 1, 114, 1823, 1952 1, 3645, 3887, 3903

17 47431 1, 17, 2482, 2772 1, 146, 2627, 2790 1, 5253, 5561, 5579

3. К вопросу об экстремальной функции М(й, 4)

Из теорем 1 и 2 следует, что найденная нижняя оценка (2) достижимого числа вершин циркулянтных сетей размерности 4 и любого диаметра й > 1 лучше на 0(5й3/2) оценки из [15] и на 0(5й2/2) —оценки из [17]. В табл. 3 приведены результаты сравнения порядков графов найденных семейств и графов из [15, 17] для диаметров

2 ^ й ^ 17.

Таблица 3 Порядки известных графов и графов новых семейств при равных диаметрах

й п [15] п [17] п й п [15] п [17] п

2 16 31 3 64 97

4 170 192 241 5 170 432 511

6 170 864 967 7 170 1536 1681

8 170 2560 2737 9 2340 4000 4231

10 2340 6000 6271 11 2340 8640 8977

12 2340 12096 12481 13 11310 16464 16927

14 11310 21952 22471 15 11310 28672 29281

16 11310 36864 37537 17 34952 46656 47431

С помощью программы перебора параметрических описаний циркулянтных графов показано при к = 4, что граф порядка п =241 —максимально возможный цир-кулянтный граф диаметра й = 4. Представленные в табл. 4 (табл. 2 из [19]) наборы образующих для данного экстремального графа соответствуют образующим из теоремы 1, утверждений 1, 2 и 3, кроме образующих (1, 31, 82, 86), для которых не удалось найти обобщающего аналитического описания.

В табл. 4 также даны максимально возможные циркулянты для других диаметров, полученные с помощью программы перебора.

Таблица 4

Описания максимальных циркулянтов диаметра й и размерности 4

й Р (й, 4) п = М(й, 4) 5 = (вЬ в2, «3, «4)

1 9 9 (1, 2, 3, 4)

2 41 35 (1, 6, 7, 10), (1, 7, 11, 16)

3 129 99 (1, 24, 39, 44)

4 321 241 (1, 5, 44, 70), (1, 14, 48, 57), (1, 31, 82, 86), (1, 93, 97, 115)

5 681 511 (1, 5, 70, 96), (1, 14, 83, 102), (1, 165, 197, 203)

Формула (2) для порядков циркулянтных графов при d = 0 (mod 4), как отмечалось в выдвинутой в [19] гипотезе, задаёт значения экстремальной функции M(d, 4)

при d = 0 (mod 4). Вопрос, насколько близко подошли найденные семейства к значениям функции M (d, 4) при других диаметрах, остаётся открытым.

ЛИТЕРАТУРА

1. Bermond Camellas F., and Hsu D. F. Distributed loop computer networks: a survey //

J. Parallel Distributed Comput. 1995. V. 24. P. 2-10.

2. Hwang F. K. A survey on multi-loop networks // Theor. Comp. Sci. 2003. No. 299. P. 107-121.

3. Монахова Э. А. Структурные и коммуникативные свойства циркулянтных сетей // Прикладная дискретная математика. 2011. №3(13). С. 92-115.

4. Нестеренко Б. Б., Новотарский М. А. Клеточные нейронные сети на циркулянтных графах // Искусственный интеллект. 2009. №3. С. 132-138.

5. Martinez C., Beivide R., and Gabidulin E. M. Perfect codes from Cayley graphs over Lipschitz integers // IEEE Trans. Inform. Theory. 2009. V. 55. No. 8. P. 3552-3562.

6. Camellas F., Mitjana M., and Peters J. G. Broadcasting in small-world communication networks // 9th Inter. Coll. on Structural Information and Communication Complexity (SIROCCO 9), 2002. Proc. Informatics. 2002. No. 13. P. 73-85.

7. Narayanan L., Opatrny J., and Sotteau D. All-to-all optical routing in chordal rings of degree four // Algorithmica. 2001. V. 31. No. 2. P. 155-178.

8. Muga F. P., Saldana R. P., and Yu W. E. S. Building graph-based symmetric cluster // NECTEC Techn. J. 2001. V. 11. No. 9. P. 195-199.

9. Stojmenovic I. Multiplicative circulant networks. Topological properties and communication algorithms // Discrete Appl. Math. 1997. No. 77. P. 281-305.

10. Воробьев В. А. Простейшие структуры однородных вычислительных систем // Вычислительные системы. Вопросы теории и построения ВС. Новосибирск, 1974. №60. С. 35-49.

11. Wong C.K. and Coppersmith D. A combinatorial problem related to multimodule memory organizations // J. Assoc. Comp. Mach. 1974. No. 21. P. 392-402.

12. Корнеев В. В. О макроструктуре однородных вычислительных систем // Вычислительные системы. Вопросы теории и построения ВС. Новосибирск, 1974. №60. С. 17-34.

13. Macbeth H., Siagiova J., and Siran J. Cayley graphs of given degree and diameter for cyclic, Abelian, and metacyclic groups // Discrete Math. 2012. V. 312. No. 1. P. 94-99.

14. Jia X.-D. and Su W. Triple loop networks with minimal transmission delay // Int. J. Found. Comp. Sci. 1997. V.8. No.3. P. 305-328.

15. Chen S. and Jia X.-D. Undirected loop networks // Networks. 1993. No. 23. P. 257-260.

16. Monakhova E. A. Optimal triple loop networks with given transmission delay: topological design and routing // Inter. Network Optimization Conf. (IN0C’2003), Evry/Paris, France. 2003. P. 410-415.

17. Dougherty R. and Faber V. The degree-diameter problem for several varieties of Cayley graphs, 1: the Abelian case // SIAM J. Discrete Math. 2004. V. 17. No.3. P.478-519.

18. Монахова Э.А. Оптимизация циркулянтных сетей связи размерности четыре // Дискретный анализ и исследование операций. 2008. Т. 15. №3. С. 58-64.

19. Монахова Э. А. Новая достижимая нижняя оценка числа вершин в циркулянтных сетях размерности четыре // Дискретный анализ и исследование операций. 2013. Т. 20. №1. С.37-44.