Параметрическое семейство метрик для оценки надежности технических объектов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Климченко В.В. ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ СЕМЕЙСТВО МЕТРИК ДЛЯ ОЦЕНКИ НАДЕЖНОСТИ ТЕХНИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ

Задачи прогнозирования состояния играют чрезвычайно важную роль в контексте проблем повышения надежности и качества и, в частности, вопросов планирования профилактического обслуживания для широкого круга устройств и систем. При этом индивидуальный подход к задачам технического обслуживания, учитывающий специфические особенности каждого конкретного устройства, обладает целым рядом преимуществ [1] по сравнению с обслуживанием по наработке, опирающимся только на осредненные по некоторому ансамблю объектов статистические данные.

Применение методов прогнозирования технического состояния, построенных на основе классических процедур статистического анализа и обработки данных, требует знания полных вероятностных характеристик ошибок измерений и модели прогнозируемого процесса. На практике такие сведения редко бывают заданными. Зачастую они не могут быть получены, например, путем имитационного моделирования из-за высокой сложности технических объектов или непосредственно по имеющейся выборке (измерений параметров) из-за недостаточного ее объема. Для обеспечения соответствия исходной совокупности сведений предъявляемым требованиям могут быть приняты некоторые гипотезы (допущения) суть которых сводится к заданию неизвестных и не поддающихся экспериментальной проверке вероятностных характеристик прогнозируемого процесса и возмущений. Фактические значения этих характеристик могут не совпадать с принятыми при расчете. Это в ряде случаев может привести к значительному ухудшению точности и достоверности получаемых результатов по сравнению с оценками, найденными из теоретических соображений [2, 3]. Решение задачи прогнозирования состояния объектов техники ответственного назначения (ТОН) в таких условиях может привести к неоправданно оптимистическим результатам. Если же фактическое состояние технического объекта окажется хуже предсказанного, то требуемый уровень безотказности его функционирования может быть вообще не достигнут. Очевидно, что значительно меньшую опасность при управлении эксплуатацией объектов ТОН представляет получение пессимистических оценок их состояния. Такие оценки могут быть найдены с помощью минимаксных алгоритмов прогноза состояния ТОН. В подобных ситуациях применение минимаксного принципа (расчет на "наихудший" случай) может позволить преодолеть влияние мешающих факторов на качество оценок состояния ТОН [1].

Пусть на некотором интервале времени [0, Т] случайный процесс изменения какого-либо выходного параметра Х(Ь) , определяющего качество работы объекта, аппроксимируется разложением

т

X(Г) = X(Г) , / е [0, Т] ,

/=1

где Ах , ... , Ат - случайные коэффициенты; ф±(Ь) , ... , фт(Ь) - детерминированные функции времени. Такое разложение по детерминированному базису обычно отражает медленные изменения параметра Х(Ь), поэтому в качестве базисных функций чаще всего используются алгебраические полиномы невысокой степени :

т

X(Г) = X А/"1 , * е [0, Т] . (1)

j=1

Значения параметров объекта могут измеряться в процессе его эксплуатации. Предположим, что в моменты времени ^ , i = 1, 2, ... , п , были получены результаты У1 измерений параметра Х(^ :

т __

У1 = X(Г() + В, = XА/Г1 + Е1 , Г,е [0, Гп] с [0, Т] , 1 = 1,п , (2)

j=1

где невязка Е1 содержит, помимо ошибки 1-го измерения, возможную погрешность используемой модели (1).

В практических ситуациях информация о стохастических свойствах случайных величин Aj , Е1 , как правило, отсутствует. Чаще всего можно лишь указать ограничения на возможные значения ошибок Е1 :

- Дi < Е1 < Дi , 1 = 1, п . (3)

При этом из соотношений (2) и (3) следуют ограничения

т

У1 - дi <

Пусть D -условиям (4)

X А/

/=1

множество

< У1 + дi

I = 1, п . (4 )

зсех точек (А1 , А2

т

Ат) т-мерного пространства, удовлетворяющих

(А, а

(А+, А+

X- (^ Тогда х-^) <

,Ап) = агё пип ;

(4.--.4я)еВ ^-=1

т

= агётах ,

(4.---.4я)еВ ]=\

(5)

(6)

X А? 1

/=1

1]

X А/

/=1

/-1

х+№)

< х+^)

V

(А1

(7)

А2

Ат)

е 1

Следовательно, значение полинома (1), коэффициенты которого удовлетворяют условиям (4), не может достичь нижней (или верхней) границы допуска хт1п (хтах) на параметр X прежде, чем этого уровня достигнет минимальный (максимальный) полином х-^) (х+(^). Поэтому, согласно минимаксным

принципам эксплуатации технического объекта, ближайшие по времени профилактические мероприятия должны быть назначены на момент ^ = т1п^- , t+}, где ^ - время первого (после момента ^ )

пересечения полиномом х-(^ нижней границы допуска хт1п ; t+ - время первого (после момента ^ ) пересечения полиномом х+^) верхней границы допуска хтах .

Медленные изменения контролируемого параметра, описываемые полиномиальной моделью (1), как правило, вызваны такими явлениями, как старение или износ, поэтому они необратимы. Предположим для определенности, что реализации процесса Х(Ь) убывают. Тогда экстремальные полиномы Х-(Ь) и х+(Ь) не пересекают верхнюю границу допуска хтах при Ь > 0, поскольку на интервале времени [ 0, Ьп ]

т

рассматриваемый объект находился в работоспособном состоянии. Также без ограничения общности можно считать, что полиномы х_(С) и х+(С) пересекают нижнюю границу хт1п в моменты времени С = 1 и С = 2 соответственно, так как этого можно добиться путем нормирования (выбора соответствующего масштаба и начала отсчета на временной оси).

Таким образом, отказ рассматриваемой системы может произойти в момент времени С* е [ 1, 2 ].

Пусть Г(С) = РгоЬ{ С* < С } - интегральная функция распределения вероятностей величины С* . Тогда

Е(1) = 0 V I < 1 , Е(1) = 1 V I > 2 , (8)

но значения Г(С) при 1 < С < 2 редко бывают известны. Согласно минимаксным принципам, в подобных условиях профилактические мероприятия должны проводиться непосредственно перед моментом С=1, что соответствует оптимальному управлению эксплуатацией для случая

Г 0, г < 1;

Г(С) = \ (9)

[ 1, г > 1.

Такой подход (расчет на наихудший случай) оправдан, если отказ объекта может привести к катастрофическим последствиям. Если же убытки, возникающие из-за отказа системы, соизмеримы с затратами на профилактические мероприятия, предположение о законе распределения (9) может оказаться экономически нецелесообразным. В таких случаях предпочтительнее стратегия эксплуатации, допускающая «небольшие» отклонения распределения Г(С) от наиболее пессимистичного, определяемого соотношением (9). При этом возникают вопросы, связанные с измерением величины отклонений законов распределения, то есть вопросы выбора метрики в пространстве ¥, элементами которого являются функции распределения, удовлетворяющие условиям (8). Рассмотрим параметрическое семейство метрик рь в пространстве ¥, заданное по следующему правилу.

Пусть 0 - множество всех непересекающихся замкнутых интервалов, являющихся подмножествами интервала [ 1, 2 ] ;

Г(С) , Н(С) е ¥ ;

f(t)

ёЕ (г)

, Л(С)

ёН (г)

ёг ёг

Расстояние рь(? , Н) между функциями Г(С) и Н(С) определим как точную нижнюю грань значений переменной д , при которых для любого подмножества О с 0 справедливы неравенства

|/(г)ёг < | Н(г)ёг + д , |к(г)ёг < | /(г)ёг

+ д

в7

в

в7

т < г}

в

где

= { С | г = гь(д)

Ьо , Ь Ь = (Ьо , Ь , Ь2)т .

В целях придания метрике рь естественных свойств расстояния (неотрицательность, симметрия, не-

3 т е О : -г < С

= Ьо + Ьгд + Ь2д2 ;

Ь2 - параметры метрики рЬ

равенство треугольника)

а) гЬ (0) = 0 ;

б) гЬ(1) = 1 ;

^Ь (Я)

едем ограничения на параметры Ь0

Ь2

в)

г)

ёд

ё 2 (я)

ёд2

> 0 V д е (0, 1)

> 0

Из условий а) и б) следует Ь0

0

1, то есть для выбора в пространстве параметров Ь0,

Ь , Ь2 остается лишь одна степень свободы, поэтому гЬ(д) можно представить в виде

гЬ(д) = гА(д) = Ад + (1 - А) д2 ,

где А = Ь .

Условие г) эквивалентно неравенству А < 1 , при этом из в) следует А > 2( А - 1)д . Если д

принимает положительные значения, то произведение в правой части этого неравенства неположительно, поэтому при А > 0 неравенство справедливо. С другой стороны, правая часть стремится к нулю при д ^ 0 , поэтому требование А > 0 необходимо. Таким образом, 0 < А < 1 .

Выбор конкретного значения параметра А из интервала [ 0 , 1 ] должен отражать требования,

предъявляемые к показателям безотказности данного технического объекта. Если значение А близко к нулю, то к наиболее пессимистичному закону (9) окажутся достаточно близки (в смысле принятой метрики) только такие распределения величины С*, плотность которых сконцентрирована недалеко от момента времени С = 1 . Стратегия профилактического обслуживания, опирающаяся на такую метрику,

окажется близка к минимаксной, ориентированной на наихудший случай. Если же убытки, к которым может привести отказ объекта, сопоставимы с затратами на профилактические мероприятия, то целесообразно увеличить А для снижения эксплуатационных затрат. Заметим также, что при выборе значения А = 1 предлагаемая метрика совпадает с метрикой Прохорова [4].

ЛИТЕРАТУРА

1. Абрамов О.В., Розенбаум А.Н. Управление эксплуатацией систем ответственного назначения. Владивосток: Дальнаука, 2000. - 200 с.

2. Ершов А.А. Стабильные методы оценки параметров (обзор) // Автоматика и Телемеханика, 1978,

№ 8, С. 66-100.

3. Эльясберг П.Е. Определение движения по результатам измерений. М.: Наука, 1976. 416 с.

4. Прохоров Ю. В. Сходимость случайных процессов и предельные теоремы теории вероятностей // Теория вероятностей и ее применения, 1956, т. 1, в. 2, С. 177-238.