Семейство метрик для планирования технического обслуживания эксплуатируемых систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 51-74

семейство метрик

для планирования технического обслуживания эксплуатируемых систем

В.В. Климченко

Рассмотрена задача управления состоянием технического объекта на этапе эксплуатации в условиях дефицита информации о его статистических характеристиках. Предложено однопараметрическое семейство метрик для критериев управления; параметр метрики может выбираться в зависимости от требований, предъявляемых к показателям безотказности объекта. Отмечено, что предлагаемый подход допускает некоторые отклонения от «наиболее жесткого» — минимаксного, традиционно применяемого при недостатке информации, и таким образом позволяет снизить эксплуатационные издержки для технических устройств, отказ которых не приводит к катастрофическим последствиям.

Ключевые слова: управление состоянием, метрическое пространство, интенсивность отказов.

ВВЕДЕНИЕ

Управление состоянием технических объектов в процессе их эксплуатации требует выполнения некоторого комплекса профилактических, ремонтных и других восстановительных работ, направленных на поддержание способности устройств выполнять заданные функции на должном уровне. Индивидуальный подход к задачам технического обслуживания, учитывающий специфические особенности каждого конкретного устройства, обладает рядом преимуществ [1] по сравнению с обслуживанием по наработке, опирающимся только на осредненные по некоторому ансамблю объектов статистические данные.

Эффективное управление эксплуатацией и, в частности, планирование технического обслуживания данной конкретной системы должно опираться на прогноз ее состояния. Если известны соответствующие вероятностные характеристики процесса деградации параметров, определяющих качество функционирования технического объекта, а также заданы распределения ошибок, неизбежно возникающих при измерении этих параметров, то процедуру прогнозирования можно построить на основе широко распространенных методов математической статистики и теории случайных процессов. Однако в практических ситуациях требуемые вероятностные характеристики редко бывают известны, а сбор исходных данных для расчета их статистических оценок связан с испытани-

ем большого числа изделий в течение длительного времени, которое к тому же нередко приводит к разрушению испытываемых устройств.

Как правило, дефицит исходной информации восполняется по минимаксному принципу: предполагается, что все неизвестные величины принимают наиболее неблагоприятные значения. Такой подход в большинстве случаев оправдан, поскольку потери, вызванные отказом объекта, обычно многократно превышают затраты на профилактические мероприятия. Минимаксные стратегии технического обслуживания ценою повышенных затрат на профилактику снижают вероятность (а следовательно, и частоту) отказов, наносящих большой материальный ущерб (а иногда и создающих угрозу здоровью и жизни людей).

1. МИНИМАКСНЫЙ АЛГОРИТМ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ СОСТОЯНИЯ ТЕХНИЧЕСКИХ УСТРОЙСТВ

Рассмотрим алгоритм, использующий заданную структуру процесса деградации параметров устройства для прогнозирования его технического состояния [1]. Пусть на некотором интервале времени [0, Т ] случайный процесс изменения какого-либо выходного параметра Х(^), определяющего качество работы объекта, аппроксимируется разложением

т

X«) = £ Л^р), / е [0, Т],

} = 1

где Ар ..., Ат — случайные коэффициенты; фД?), ..., Фт(?) — детерминированные функции времени. Такое разложение по детерминированному базису обычно отражает медленные изменения параметра Х(?), поэтому в качестве базисных функций чаще всего используются алгебраические полиномы невысокой (как правило, первой или второй) степени:

т

Х(?) = £ А/3 -1, ? е [0, Т]. (1)

3 = 1

Значения параметров объекта могут измеряться в процессе его эксплуатации. Предположим, что в моменты времени / = 1, 2, ..., п, были получены результаты Г, измерений параметра Х(?):

т

Г = Х(?г) + Е = £ А/ ?/-1 + Ер

3 = 1

?1 е [0, ?„] с [0, Т], / = ~п, (2)

где невязка содержит, помимо ошибки /-го измерения, возможную погрешность используемой модели (1). Число измерений должно быть не меньше числа неизвестных параметров: п 1 т.

В практических ситуациях информация о стохастических свойствах случайных величин А. и Е,,

3 *

как правило, отсутствует. Чаще всего можно лишь указать ограничения на возможные значения ошибок Е,.:

-д. т Е. т д., / = ТТП. (3)

Из соотношений (2) и (3) следуют ограничения

т

Г, - Д т £ А/?,3-1 т г + д,, / = м. (4) 3 = 1

Пусть Б — множество всех точек (А1, А2, ..., Ат) т-мерного пространства, удовлетворяющих условиям (4);

т

(А- , А- , ..., Ат) = агвшп 1 £ А]Т3-1 \;

3 = 1

т

(А+, А+ , ..., Ат) = агвшах 1 £ Ау-Т3-1 \;

х-(?) = £ 4?3 1; х+(?) =£ А+ ?3 1.

3 = 1 Тогда [1, 2]:

3 = 1

х-(?) т £ 33 1 т х+(?) V (А1, А^..., Ат) е Б,

3 = 1

< ? < Т.

Следовательно, значение полинома (1), коэффициенты которого удовлетворяют условиям (4), не может достичь нижней (верхней) границы допуска хш1п (хтах) на параметр X прежде, чем этого уровня достигнет минимальный (максимальный) полином х_(?) (х+(?)). Поэтому, согласно минимаксным принципам эксплуатации технического объекта, ближайшие по времени профилактические мероприятия должны быть назначены на момент ?п = шт{?_, ?+}, где — время первого (после момента ?п) пересечения полиномом х_(?) нижней границы допуска хт1п; — время первого (после момента ?п) пересечения полиномом х+(?) верхней границы допуска хтах.

Как видно из определения полиномов х_(?) и х+(?), их коэффициенты отыскиваются путем минимизации (соответственно, максимизации) фунт

кции Х(Т; А) = £ А3Т3 1 по т-мерной области Б.

3 = 1

Так как целевая функция линейна по аргументам А1, А2, ..., Ат, а границы множества Б задаются линейными неравенствами (4), для вычисления искомых коэффициентов можно воспользоваться развитым математическим аппаратом линейного программирования (например, симплекс-методом [3]).

Во многих случаях бывают априорно известны некоторые общие закономерности протекания процесса Х(?). Учет такой информации при расчетах может существенно повысить точность прогнозных оценок состояния данного объекта. При этом желательно (там, где это возможно) сформулировать имеющиеся априорные сведения в виде дополнительных линейных ограничений на коэффициенты модели (1).

Пусть, например, известно, что процесс Х(?) монотонно убывает, причем скорость этого убывания постепенно снижается. Для аппроксимации таких процессов можно использовать нисходящую (левую) ветвь параболы с положительным старшим

дХ

коэффициентом: т = 3; А3 > 0; — = А2 + 2А3? < 0

3 д? 23

V? е [0, Т]. Последнее из этих условий с учетом предыдущего эквивалентно неравенству А2 + 2А3Т < 0, которое вместе с условием А3 > 0 должно быть добавлено к системе неравенств-ограничений (4) при отыскании экстремальных полиномов х_(?) и х+(?). Таким образом, все ограничения остаются, как и целевая функция Х(Т; А), линейными, поэтому расчеты по-прежнему могут выполняться симплекс-методом, хорошо зарекомендовавшим себя на практике [3].

Заметим, что если бы в момент первого измерения оказалось, что хтах — Г1 < Д1, это означало

т

т

бы, что точность измерения при полученном его результате (Г1) недостаточна для заключения о работоспособности объекта. Потребовалось бы профилактическое (если не аварийное) вмешательство в работу устройства, в результате которого значение измеряемого параметра должно быть откорректировано. Поэтому будем считать, что *тах 1 Г1 + Д1. Но из ограничений (4) следует ^-(?1) < Г1 + Д1 и х+(?1) < Г1 + Д1, что с учетом условия убывания означает отсутствие пересечения экстремальных полиномов с верхней границей допуска -тах на интервале [?1, Т ]. Также без ограничения общности можно считать, что полиномы х_(?) и -+(?) пересекают нижнюю границу -т1п в моменты времени ? = 1 и ? = 2 соответственно, так как этого можно добиться путем нормирования (выбора соответствующего масштаба и начала отсчета на временной оси). Если же максимальный полином -+(?) не пересекает нижнюю границу допуска на интервале [?п, Т ], то можно воспользоваться каким-либо взаимно однозначным преобразованием, отображающим интервал [?_, да) в интервал [1, 2). Например,

?* = 2 — ехр{—у(? — ?-)}, (5)

где параметр преобразования у — произвольная положительная константа, значение которой для удобства восприятия результатов вычислений (во избежание появления чисел очень больших или малых порядков при расчетах) целесообразно выбрать соразмерно с интенсивностью отказов, характерной для рассматриваемого класса технических объектов.

Таким образом, отказ рассматриваемой системы может произойти в момент времени ? * е [1, 2]. Пусть Д?) = РгоЬ{?* < ?} — интегральная функция распределения вероятностей величины ? *. Тогда Д?) = 0 V ? < 1, Д?) = 1 V ? > 2, (6)

но значения Д?) при 1 < ? < 2 редко бывают известны. Согласно минимаксным принципам, в подобных условиях профилактические мероприятия должны проводиться непосредственно перед моментом ? = 1, что соответствует оптимальному управлению эксплуатацией для случая

Д?) = ЗД =

0, ? < 1; 1, ? > 1.

(7)

2. ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ СЕМЕЙСТВО МЕТРИК В ПРОСТРАНСТВЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ

Минимаксный подход (расчет на наихудший случай) оправдан, если отказ объекта может привести к катастрофическим последствиям. Если же убытки, возникающие из-за отказа системы, соиз-

меримы с затратами на профилактические мероприятия, предположение о законе распределения (7) может оказаться экономически нецелесообразным. В таких случаях предпочтительнее стратегия эксплуатации, допускающая «небольшие» отклонения распределения Д?) от наиболее пессимистичного, определяемого соотношением (7). При этом возникают вопросы, связанные с измерением отклонений законов распределения, т. е. вопросы выбора метрики в пространстве У, элементами которого служат функции распределения, удовлетворяющие условиям (6). Рассмотрим параметрическое семейство метрик р> в пространстве У, заданное по следующему правилу.

Пусть © — множество всех непересекающихся замкнутых интервалов, являющихся подмножествами интервала [1, 2];

Д?), Н(?) е У;

/(?) = Ш11, А(0 = Щ-.

д? д?

Расстояние р>(Д Н) между функциями Д?) и Н(?) определим как точную нижнюю грань множества таких неотрицательных значений переменной 4, при которых для любого подмножества С с © справедливы неравенства

|/(?)Д? < | Л(?)Д? + 4,

(8)

где Gz = {? | 3 т е С: | ? — т | < г}; г = гь(4) = Ь0 + + Ь14 + Ь24 ; Ь0, Ь1 и Ь2 — параметры метрики р>; Ь = Ьр Ь2)Т.

В целях придания метрике р> естественных свойств расстояния (неотрицательность, симметрия, неравенство треугольника) введем ограничения на параметры Ь0, Ь1 и Ь2:

а) г>(0) = 0;

б) г>(1) = 1;

в) > 0 V 4 е (0, 1);

г) > 0.

Из условий а и б следует Ь0 = 0, Ь1 + Ь2 = 1, т. е. для выбора в пространстве параметров Ь0, Ь1 и Ь2 остается лишь одна степень свободы, поэтому г>(4) можно представить в виде

2

гь(4) = гх(4) = Х4 + (1 — Х)4 ,

где X = Ь1.

Условие г эквивалентно неравенству X < 1, при этом из условия в следует X > 2(Х — 1)4. Если 4 принимает положительные значения, то произведение

£

в правой части этого неравенства не положительно, поэтому при X > 0 данное неравенство справедливо. С другой стороны, правая часть стремится к нулю при q ^ 0, поэтому требование X l 0 необходимо.

Таким образом, ограничения, связанные с естественными свойствами расстояния в пространстве распределений приводят к однопараметри-ческому семейству метрик рх, X е [0, 1]. При этом функции, входящие в пространство могут описывать распределение времени как постепенных (параметрических), так и внезапных отказов рассматриваемого технического объекта.

3. АНАЛИЗ СВОЙСТВ СЕМЕЙСТВА МЕТРИК Pl

Интуитивное понятие расстояния, формализуемое метрикой, подразумевает выполнение следующих условий для любых функций распределения вероятностей F(t), H(t) и R(t), принадлежащих множеству

1) p,(F, H) = 0 о F(t) - H(t);

2) p,(F, H) = р,(Я, F);

3) px(F, H) < p,(F, R) + p,(R, H).

Свойство 1 очевидно из определения (8) метрики р.

Для доказательства свойства симметрии 2 обозначим через QFH множество неотрицательных значений q, удовлетворяющих условию (8) при любом G с ©. Согласно определению, p^(F, H) = inf QFH. Пусть q0 < p^(F, H). Тогда q0 g QFH, т. е. 3 W с ©:

J/(t)dt > J h(t)dt + q0

(9)

W

Wz

где г = ^(?о) = ^^о + (1 - х)(9о) .

Обозначив дополнение множества Ж до интервала [1, 2] через V, можно представить неравенство (9) в виде

1 -

J/(t)dt > 1 - J h(t)dt + q0,

откуда

Jh(t)dt > J/(t)dt + q0

Vz

т. е. #0 £ 0НР. Но если множество 0НР не содержит элементов, значения которых меньше Н), то Н) < М" 0НР = р^(Н, Д). Аналогичными рассуждениями доказывается неравенство р^(Д, Н) 1 1 р^(Н, F), откуда следует свойство 2.

Неравенство 3 можно доказать путем следующих рассуждений.

Пусть G — произвольное подмножество множества ©;

qi = PX(F, R); q2 = PX(R, H); q3 = q1 + q2;

= z^, = Gzk, k = 1, 2, 3;

r(t) - ^ . v' dt

Тогда J/(t)dt - J h(t)dt = J/(t)dt - J r(t)dt

+

+

J r(t)dt - J h(t)dt m p^(F, R) + J r(t)dt - J h(t)dt.

Поскольку г3 = + д2) = х(^1 + д2) + (1 - Х)х х (^ + #2) = г1 + г2 + 2(1 — Х)^1^2, множество V? содержит подмножество + ), которое, в свою

очередь, включает в себя (Vx) , т. е. V? з V, где V = (Vx ). Таким образом, ввиду неотрицательности подынтегральной функции &(?), |г(1)А — |й(1)Л < |г(1)Л — |й(1)Л < р^(Л, Н).

^ ^ V

Следовательно, |— | < р^(Д, Л) +

о у3

+ р^(Л, Н) = #3. Полученное неравенство, в силу произвольности выбора подмножества С, означает, что #3 е 0РН. Справедливость неравенства 3 следует из того, что р^(Д, Н) = тГ 0РН.

4. ПРИМЕРЫ

Пусть остаточный временной ресурс т технического устройства подчинен закону распределения определенного вида с плотностью /(т), которая содержит неизвестные параметры. Предположим, что для выполнения очередной задачи требуется непрерывная эксплуатация данного технического объекта в течение ц часов. Тогда, воспользовавшись каким-либо взаимно однозначным преобразованием ? = й(т), отображающим интервал [?_, да) в интервал [1, 2), можно представить вероятность безотказной работы устройства на интервале времени [?_, + ц] в виде

¡_ + ц п

р = 1 — | /(т)А = 1 — = 1 — Д(п),

С 1

где п = ¿(¿_+ ц) (предполагается, что при т 1 функция й(т) монотонно возрастает);

/(?) = /(т(0) ; т(?) = Г1^).

Функция распределения Д(?) не известна, поскольку плотность / (т) (а следовательно, и /(?))

3

V1 V3 V1 V3

z

содержит неизвестные параметры. В подобных ситуациях можно выбирать функцию Д?) в расчете на «наихудший» случай, т. е. по формуле (7): Д?) = ?). При этом профилактические мероприятия должны быть предприняты к моменту времени ? = 1. Расчет на «наихудший» случай необходим, если отказ данного объекта может привести к катастрофическим последствиям. Если же ущерб, вызванный отказом, с^ сопоставим с затратами на профилактику сг, то допустимо отступление от предположения о «наихудшем» распределении на некоторую величину в в целях снижения эксплуатационных затрат.

При этом решение о проведении (или непроведении) очередной профилактики принимается на основе «умеренно пессимистичной» оценки вероятности р безотказной работы, отыскиваемой по множеству таких распределений Д?), отклонение которых от «наихудшего» распределения не

превышает заданной величины р.

Пример 1. Плотность распределения остаточного временного ресурса т технических устройств часто описывается экспоненциальным законом [4, 5]:

/(т) = аехр{—а (т - О}, т >

где а — интенсивность отказов. Применяя отображение (5), получим

/(t) = /Т(т(0) d = f(t- - ln(2 - t)/y)/(y(2 - t)) =

= (a/y)(2 - t)1

_ л(«/г) - 1

(10)

t_ + ц

p = 1 - J aexp{-а(т - t-)}dt :

1 + «

= 1 - Г а (2 - г)(а/г)-1Л = 1 - + я), (11) 1 у

где ^ = 1 - ехр{— у ц}; значение параметра а не известно.

Расстояние Е) между функциями и Дг)

можно найти как значение д = д*, при котором достигается равенство

1 + г (?)

и(д) = | /(г)Л + д = 1, (12)

1

где г(д) = Ад + (1 - А^д2. Действительно, если д < д*, то ЦДд) < 1. В этом случае, при выборе в качестве множества С достаточно малой окрестности точки г = 1, не выполняется условие

J/w(t)dt m J /(t)dt + q,

(13)

где /^(0 = ^^^ ^ , т. е. /^(0 является дельта-функцией

Дирака, сосредоточенной в точке г = 1. Следовательно, такие значения д не принадлежат множеству Оржр . Если

же д > д*, то неравенство (13) справедливо при любом С с ©. Чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть только такие множества С, которые содержат точку г = 1,

так как в противном случае J/(t)dt = 0, и справедливость

G

неравенства (13) очевидна. Но из включения 1 е G следует, что интервал [1, 1 + z(q)) входит в множество G, поэтому, в силу неотрицательности плотности /(t),

1 + z(q )

J/(t)dt + q l J /(t)dt + q =

Gz 1

= U(q) > U(q*) = 1 = J/w(t)dt.

G

Таким образом, q* = p^(FW, F), и неизвестное значение a можно найти, подставив в равенство (12) допустимое отклонение р вместо q.

Пусть, например, cd/cr = 5; р = 24; р = 0,2; X = 0,8; у = 0,001. Воспользовавшись соотношениями (10)—(12), найдем:

1 + z( 0,2)

1 = U(0,2) = 1000a J (2 - t)1000a-1dt + 0,2 = 1

= 1 - (1 - z(0,2))1000a + 0,2 = 1,2 - 0,8321000a.

Следовательно, 0,8321000a = 0,2, откуда 1000a = = ln(0,2)/ln(0,832) = 8,7506 = a/y, и оценку вероятности безотказной работы технического объекта на интересующем нас интервале времени можно найти по формуле (11): p = (1 - s)(a/Y) = exp{ —ap} = 0,8106.

Профилактика, выполненная к моменту времени t = 1, позволит избежать потерь cd, но потребует затрат cr. Если же отказаться от профилактических мероприятий, то оценкой математического ожидания потерь будет Мс = p -0 + (1 - p) - cd = (1 - p)5cr = 0,9471cr < c„ т. е. проведение профилактики нецелесообразно. Однако если параметру метрики присвоить значение X = 0,4, аналогичные расчеты приведут к иному выводу. В этом случае a/y = 14,6559, p = 0,7035 и Мс = 1,4827cr, откуда следует потребность в выполнении профилактических мероприятий к моменту t = 1.

Пример 2. Экспоненциальный закон описывает распределение остаточного ресурса с приемлемой точностью, если на рассматриваемом интервале времени можно пренебречь износом данного устройства. В противном случае необходимо воспользоваться законом распределения временного ресурса с монотонно возрастающей интенсивностью отказов, например, распределением Релея [6]:

г0, т< t_,

/(т) =

Т - t_

е2

exp

(Т - t- ) ' 2е2

Т> t_,

где 9 — параметр, значение которого в рассматриваемом примере не известно.

Для отображения интервала [г_, да) в интервал [1, 2) в данном случае удобнее воспользоваться преобразованием

t = 2 - exp

(T-t-Г 2

т l t-,

причем значение параметра преобразования желательно выбрать из диапазона возможных значений парамет-

z

ра распределения 9. Полагая V = £,2/92, найдем по аналогии с предыдущим примером:

ДО = v(2 - /Г1,

+ И г 2 л

1 г т - I (т - )2Ь

р = 1 - | —г- ехр \--— [ й% =

92

292

1 + г

1 - | v(2 - - 1Л = 1 - Д1 + г),

где г = 1 - ехр{—ц2/(2£2)}.

Пусть сй/сг = 5; ц = 24; р = 0,2; X = 0,8; = 100. Значение параметра 9 можно выбрать из условия (12), которое при # = р задает допустимое отклонение распределения остаточного ресурса от «наихудшего» закона (7): 1 + г(0,2)

1 = V | (2 - ) - 1<И + 0,2 = 1

= 1 - (1 - г(0,2))у + 0,2 = 1,2 - 0,832\ Следовательно, V = 1п(0,2)/1п(0,832) = 8,7506; 92 = = 1142,8; р = (1 - гУ = ехр{—ц2/(292)} = 0,7772.

В случае отказа от профилактических мероприятий к моменту времени / = 1 ожидаемые потери составили бы Мс = (1 - р)5сг = 1,1138сг > сг, т. е. профилактику следует выполнить.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Традиционным путем преодоления априорной неопределенности служит минимаксный подход, суть которого состоит в присвоении «наихудших» значений неизвестным характеристикам технического объекта и условий его эксплуатации. Такой подход оправдан, если отказ данной системы может привести к катастрофическим последствиям. В противном случае чрезмерно пессимистичная стратегия технического обслуживания приводит к завышению эксплуатационных затрат. Избежать подобных недостатков позволяют критерии управления состоянием эксплуатируемого устройства, основанные на предлагаемом параметрическом семействе метрик рг

Эффективное управление должно ориентироваться на показатели надежности и качества данного объекта, к важнейшим из которых относится вероятность безотказной работы р. В принципе, вероятность р можно вычислить, если известна плотность /¿(Лр ..., Лт) совместного распределения вероятностей коэффициентов Л1, ..., Лт. Однако плотность / редко бывает известна, а сбор статистических данных для хотя бы весьма приближенной ее оценки требует испытаний очень большого числа изделий в течение длительного времени. Как правило, более доступна информация о виде закона распределения остаточного ресурса т. Например, часто удается из теоретических соображений выдвинуть гипотезу о принадлежности плотности

/ (т) тому или иному классу функций (с точностью до неизвестных параметров) [7]. При этом для случайных величин, принадлежащих данному семейству, отыскивается закон распределения какой-либо статистики, не зависящей от значений неизвестных параметров функции /(т). Поскольку т — одномерная величина, построение требуемых статистик не вызывает затруднений. Их можно использовать для проверки гипотезы о виде закона распределения остаточного ресурса по результатам небольшого числа испытаний.

Выбор значения параметра Х из интервала [0, 1] должен отражать требования, предъявляемые к показателям безотказности данного технического объекта. Если значение Х близко к нулю, то к наиболее пессимистичному закону (7) окажутся достаточно близки (в смысле принятой метрики) только такие распределения остаточного ресурса ? *, плотность которых сконцентрирована недалеко от момента времени ? = 1. Это свойство метрики рх можно использовать при выборе параметра Х: в случае отсутствия достаточной информации для определения наиболее подходящего значения Х допустимы отклонения в меньшую сторону. Стратегия технического обслуживания, опирающаяся на такую метрику, окажется более «осторожной», т. е. она будет ближе к минимаксной стратегии, ориентированной на наихудший случай. Если же убытки, к которым может привести отказ объекта, сопоставимы с затратами на профилактические мероприятия, то целесообразно увеличить Х для снижения эксплуатационных затрат. Заметим также, что при выборе значения Х = 1 предлагаемая метрика совпадает с метрикой Прохорова [8].

ЛИТЕРАТУРА

1. Абрамов О. В., Розенбаум А. Н. Управление эксплуатацией систем ответственного назначения. — Владивосток: Даль-наука, 2000. — § 4.2.

2. Абрамов О. В., Розенбаум А. Н. Прогнозирование состояния технических систем. — М.: Наука, 1990. — 126 с.

3. Моисеев Н. Н, Иванилов Ю. П., Столярова Е. М. Методы оптимизации. — М.: Наука, 1978. — 352 с.

4. Справочник по надежности — Т. 1 / Под ред. Б. Р. Левина. — М.: Мир, 1969. — 340 с.

5. Надежность технических систем: Справочник / Под ред. И. А. Ушакова. — М.: Радио и связь, 1985. — 608 с.

6. Дружинин Г. В. Надежность систем автоматики. — М.: Энергия, 1967. — 528 с.

7. Гнеденко Б. В, Беляев Ю. К, Соловьев А. Д. Математические методы в теории надежности. — М.: Наука, 1965. — Гл. 2, 4.

8. Прохоров Ю. В. Сходимость случайных процессов и предельные теоремы теории вероятностей // Теория вероятностей и ее применения. — 1956. — Т. 1, вып. 2. — С. 177—238.

Статья представлена к публикации членом редколлегии А. С. Манделем.

Климченко Владимир Владимирович — канд. техн. наук, ст. науч. сотрудник,

Институт автоматики и процессов управления ДВО РАН, г. Владивосток, ®(4232) 31-02-02, И volk@iacp.dvo.ru.

1