CC BY
83
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ОСНОВЫ ПРОБЛЕМ НАДЕЖНОСТИ И КАЧЕСТВА
УЛК 65.012.122
у
\
БО! 10.21685/2307-4205-2017-1-1
ОСНОВНЫЕ ОСОБЕННОСТИ И СВОЙСТВА МЕТОДА ГАРАНТИРОВАННОГО ПРОГНОЗА1
О. В. Абрамов
Введение
Прогнозирование состояния технических устройств и систем играет важную роль при планировании их эксплуатации. Умение предсказать возможный момент отказа особенно важно для объектов ответственного назначения, потеря работоспособности которых связана с большими материальными потерями или катастрофическими последствиями. В большинстве своем это сложные системы, изготовляемые в небольшом числе экземпляров, эксплуатирующиеся в отличающихся условиях и реализующие экстремальные технологии. Стратегия эксплуатации таких систем должна носить индивидуальный и превентивный (упреждающий отказы) характер.
Индивидуальное планирование эксплуатации возможно при условии получения текущей информации о действительном состоянии каждого объекта, т.е. реализация индивидуальной стратегии эксплуатации требует непрерывного или дискретного контроля и анализа технического состояния объекта. Предполагается, что реальное техническое состояние объекта можно оценить по результатам контроля (измерения) его параметров, а прогнозирование их изменений позволяет эксплуатировать объект до появления признаков опасного снижения надежности, исключив при этом преждевременные демонтажи узлов и агрегатов, а также выполнение других трудоемких работ, имеющих зачастую сомнительную полезность для надежности функционирования.
Основные трудности при решении задачи прогнозирования для синтеза стратегии эксплуатации по состоянию связаны с тем, что прогноз приходится осуществлять для каждого объекта индивидуально, при малых объемах исходной информации (по небольшому набору результатов контроля) и в присутствии помех (ошибок контроля), статистические свойства которых достоверно не известны. В этих условиях классические методы математической статистики и теории случайных процессов теряют свои привлекательные свойства, а их использование для прогнозирования приводит к существенным ошибкам и невысокой достоверности прогноза.
Известны некоторые подходы к решению задачи индивидуального прогнозирования и планирования эксплуатации при дефиците и неполной достоверности исходной информации, позволяющие получать в этих условиях достаточно надежные результаты. К их числу относится метод индивидуального гарантированного прогноза [1, 2]. Основная его идея состоит в том, что из множества возможных реализаций случайного процесса деградации свойств (состояния) исследуемого технического объекта, согласующихся с результатами контроля (не противоречащих им), выбираются «наихудшие». Под наихудшими реализациями понимаются такие, которые раньше остальных могут выйти за пределы области работоспособности. Такие реализации можно называть экстремальными [3].
1 Работа выполнена при частичной финансовой поддержке гранта ДВО РАН программы «Дальний Восток», проект №15-1-4-007 о (0262-2015-0124).
Основные элементы метода гарантированного прогноза
Пусть работоспособность технического объекта определяется состоянием выходного параметра у(0, причем условие работоспособности задано в виде A(t) < y(t)<B(t), где A(t), B(t) -нижняя и верхняя границы допустимых изменений параметров соответственно. Будем считать, что процесс изменения параметра представляет собой реализацию случайной функции следующего вида:
m
Y (t ) = X Ykuk (t), (1)
k=0
где m - фиксировано; {Yk }m=0 - случайные величины; {uk (t)}m=0 - непрерывные детерминированные функции времени.
Объект эксплуатируется в интервале времени [0, T], в течение которого может осуществляться контроль или перестройка (коррекция) параметра. Ошибки контроля (а также ошибки идентификации процесса, погрешности, вызванные наличием обратимых флюктуаций, и др.) будем рассматривать как некоторую помеху Y(t), накладывающуюся на данную реализацию процесса (1). О помехе известно только, что возможные ее значения не превышают некоторых заданных величин 5t. Для определенности будем считать, что
|Y(t)|<5, te[0,T]. (2)
Задача состоит в назначении таких моментов контроля и коррекций, при которых гарантируется прохождение параметра у в области допустимых значений в течение времени эксплуатации [0, T] . При этом необходимо стремиться к тому, чтобы число контрольных замеров (и коррекций) было по возможности минимальным.
Пусть в результате контроля, проведенного на интервале [ t0, t^ ], получен отрезок реализации 0 (t). Ввиду наличия ошибок измерения (помехи) наблюдаемые и истинные значения параметра будут связаны следующим соотношением:
0(0 )=У (tj ) + Y(tj ), (3)
где y(tjj) - истинное значение параметра в момент j.
На основании соотношений (2) и (3) можно записать 0 (t) - 5< y (t) < 0 (t) + 5, te[ t0 , t^ ] . Таким образом, на интервале [ t0, t^ ] истинная реализация процесса Y (t ) заключена в трубке, ограниченной функциями f (t)=0(t)-5 (снизу) и g(t)=0(t) + 5 (сверху). В этой трубке находится множество реализаций случайного процесса (1), кривых вида X ykuk (t ), которые назовем допустимыми.
Для прогнозирования поведения процесса при t > t выделим из этого множества кривых «наихудшие», т.е. такие, которые при t>t^ идут либо выше, либо ниже всех остальных. Эти наихудшие допустимые реализации ранее других пересекутся с ограничениями A(t) и B(t), и
ближайший к ^ момент пересечения наихудшей реализации с A(t) или B(t) естественно принять за момент следующего ( ц+1)-го контроля.
Если в качестве модели случайного процесса изменения параметров состояния исследуемого технического объекта может быть принята структура в виде полинома Чебышева со случайными коэффициентами, то наихудшими реализациями будут экстремальные полиномы Карлина [4]. Аппарат экстремальных полиномов Карлина позволяет построить так называемый конус прогноза, образованный двумя наихудшими реализациями: нижней Lx (t) и верхней L2 (t), внутри которого
на интервале прогноза будет гарантированно находиться истинная реализация случайного процесса изменения технического состояния исследуемого объекта.
Рассмотрим случай дискретного контроля. Пусть процесс изменения параметра по-прежнему представляет собой полином вида (1), где {uk (t)} m=0 - непрерывно дифференцируемые функции на [0, T ], образующие систему Чебышева. Измерения проводятся в моменты времени
t0 < t1 <...<tц, результаты измерений {6j }Ц=0 . Ошибки измерений по абсолютной величине не превосходят заданного числа 8>0. Интервалы [6j -8, 6j + 8], j=0,1,..., ц , назовем окнами контроля.
Реализацию y(t) случайного процесса (1), которая на [ t0, tц ] проходит через все окна контроля, т.е. для которой выполняются неравенства
\y (t})-6j |<8, j = 0,1,..., ц, (4)
назовем допустимой.
Таким образом, в отличие от предыдущего в данном случае допустимые реализации процесса ограничены только значениями в окнах, т.е. неравенствами (4). Можно показать, что и в данном случае существуют экстремальные полиномы - аналоги полиномов Карлина (при условии, что число окон не менее m + 1), которые выделяют конус прогноза.
Нахождение экстремальных реализаций L\(t) и L2(t) сводится в этом случае к решению следующих двух задач линейного программирования [2, 5]:
m
1) шах £ zu (t*);
Zk k=0 m
2) min £ zkuk (t*X
Zk k=0 при ограничениях
m
6j -8<£ zkuk(t*)<6j +8, j=0,1,...,ц , (5)
k=0
где t* - любая фиксированная точка из (^ ,T ].
Особенности и свойства метода
Метод гарантированного прогноза (МГП) обладает целым рядом полезных свойств. Главное из них состоит в том, что предлагаемый метод позволяет получать гарантированный результат прогноза при минимальном объеме априорной информации об ошибках исходных данных. Для осуществления прогноза достаточно задать лишь границы возможных значений ошибок (множество возможных значений ошибок). При этом понятие ошибок исходных данных может включать в себя не только ошибки измерений, но и ошибки принятой модели процессов дрейфа параметров, других возмущающих факторов. Гарантированный прогноз позволяет получать строгие оценки для самих искомых величин (значений параметров в будущем), а не для математических ожиданий или вероятностей. Немаловажна и простая вычислительная схема алгоритмов получения экстремальных реализаций (границ конуса прогноза), которая при непрерывном контроле сводится к известным процедурам нахождения полиномов Карлина, а при дискретном - к задаче линейного программирования [5].
Рассматриваемый метод прогноза отвечает общим требованиям, предъявляемым на практике к любой прогнозирующей процедуре:
а) процедура должна быть оптимальной в смысле принятого критерия оптимальности прогноза;
б) результат прогноза должен быть однозначным (для данной процедуры);
в) в предположении об отсутствии ошибок измерения и модели результат прогноза должен совпадать с истинным значением прогнозируемого параметра. Иначе говоря, должно выполняться так называемое условие несмещенности:
y(t)=ф[y(X)], teT\TK, xeTKсT,
где у(х) - истинное значение прогнозируемого параметра на интервале наблюдений (контроля) TK сТ ; y(t) - истинное значение параметра на интервале прогноза T \ TK ; Ф - оператор преобразования (алгоритм прогноза).
Однозначность и несмещенность гарантированного прогноза следуют из процедуры построения экстремальных реализаций.
Метод является оптимальным в том смысле, что позволяет определить минимальный интервал l(t) = L1 (t) - L2 (t), внутри которого гарантированно находится значение параметра в любой будущий момент времени t при максимально неблагоприятных изменениях параметра, согласующихся с принятыми допущениями об ошибках измерения и модели дрейфа параметра:
l * (t) = min maxi ya (t ) - yß (t )|,
ya,yße^ teT\tJ P 1
где ^ - множество допустимых реализаций, содержащее на интервале контроля T cT только возможные относительно результатов наблюдений 9(t) и ограничений на ошибку реализации y(t), т.е. удовлетворяющие неравенству 9(t)-8x(t)<y(t)<9(t) + 82(t), te TK, где ya, yß (t) - произвольные реализации y(t) из множества ^.
МГП, являясь по своей сути методом интервального оценивания будущих значений параметра (любое t-сечение конуса прогноза дает интервал возможных значений параметра в данный момент времени), вместе с тем позволяет осуществлять и точечный прогноз.
Рассмотрим произвольное t-сечение конуса прогноза ( t eT \ TK ). В рассматриваемый момент
времени t прогнозируемый параметр у имеет максимальное ymax = L1t и минимальное у"1" = L2t значения. Примем за точечную оценку прогнозируемого параметра в момент t среднеарифметическое y^ и ytmax, т.е.
y=0,5 (ymin+ymax ). (6)
Несложно убедиться, что эта оценка оптимальна в смысле минимума максимально возможной ошибки оценивания параметра yt. Действительно, максимальное отклонение этой оценки от наиболее неблагоприятного возможного значения прогнозируемого параметра в момент времени t будет минимальным:
min max
{y,} zeQ
yt - Z zkuk ( t ) k=0
где Q - множество всех возможных действительных векторов г={ хк } ™=0 , не противоречащих результатам измерений и принятым допущениям об ошибках контроля (5).
Таким образом, если не нарушена гипотеза о предельно возможных ошибках измерений, то апостериорно по конкретной выборке измерений может быть определена максимально возможная ошибка в полученной оценке для параметра у в момент прогноза которая равна
шах| Д * | = 0,5(уГ "УГ). (7)
Вследствие однозначности значений уШах и уШ'п рассматриваемый метод дает однозначную оценку для параметра уР
Можно показать, что МГП обладает свойством асимптотической сходимости. При соблюдении гипотезы о предельно возможных ошибках измерений величина ¡1 = уШах - уШт с увеличением числа любых измерений будет уменьшаться (не возрастать). Для случая непрерывного контроля асимптотическая сходимость доказывается исходя из свойств экстремальных полиномов [4]. При дискретном контроле сходимость МГП следует из свойства усечения (с увеличением числа
измерений) выпуклого многогранника, описываемого системой неравенств (5) и представляющего собой область возможных действительных значений вектора коэффициентов г. Таким образом, включение в обработку любого дополнительного числа проведенных измерений уменьшает (не увеличивает) максимально возможную ошибку, т.е. с увеличением числа обрабатываемых измерений максимальная ошибка оценивания (прогноза) параметра не может быть ухудшена.
Мы обращаем на этот факт внимание, так как классические методы подобным свойством в ряде случаев не обладают. Так, широко распространенный метод наименьших квадратов при нарушении гипотезы о некоррелированности ошибок наблюдений приводит к асимптотическому росту ошибок оценивания и, следовательно, прогноза [6].
Точность гарантированного прогноза зависит от ошибок измерения, интервала наблюдения (числа измерений ц) и интервала упреждения (горизонта прогноза): t = t - tц. При этом ошибка
прогноза растет с увеличением ошибок контроля и интервала прогноза и убывает с ростом интервала наблюдения. Следует заметить, что МГП позволяет в некоторых случаях получить точное значение прогнозируемого параметра уже при конечном числе измерений. Так, например, при линейной модели процессов дрейфа параметров сходимость к истинной реализации может быть получена уже по результатам трех измерений, если в каждом из них измерительное устройство давало максимальную ошибку с чередованием ее знака, т.е.
01 = У(О+§ , е2 = у-5, 9з = у^з) + 8, где у(^) - истинное значение параметра в момент измерения ■ 0■ - результат измерения.
При этом система неравенств (5), полученная по результатам измерений у(0, имеет единственное решение, т.е. Ц^^)=Ь2^).
Нетрудно заметить, что для произвольной модели вида (1) сходимость результатов гарантированного прогноза к истинной реализации у(^ может быть достигнута при чередовании максимальной и минимальной ошибок в каждой из т + 2 точек контроля. Возможность полной сходимости при ограниченном числе наблюдений - важное достоинство МГП. Статистические методы прогнозирования такими свойствами не обладают.
Как отмечалось выше, МГП позволяет наряду с ошибками измерений учитывать и некоторые другие погрешности, главные из которых связаны с отличием реального процесса изменения параметров от принятой математической модели. Модели вида (1) достаточно хорошо описывают процессы необратимых изменений параметров, происходящих вследствие старения или износа. Обратимые изменения, вызываемые нестабильностью питающих напряжений, изменением нагрузок, колебаниями температуры и т.д., рассматриваются обычно в виде некоторой высокочастотной помехи, накладывающейся на основную тенденцию дрейфа параметров. Статистические характеристики такой помехи чаще всего бывают неизвестны. Более реальна ситуация, когда известны ограничения на величину обратимых флюктуаций. Эти ограничения можно учесть при решении задачи гарантированного прогноза.
Представим истинную реализацию процесса изменения параметра в виде
у ^)=ум ^) +Л(0, (8)
где ум ^) - функция вида (1), описывающая процесс необратимых изменений параметра; |(0 -составляющая, описывающая обратимые изменения параметра (в общем случае это ошибка математической модели).
Будем считать, что о составляющей г|(^ известно только, что | ) |< А . Пусть 0 =| 0■ }ц=0 -
вектор измеренных значений параметра. Полагая, как и прежде, что измерения проводятся с ошибкой | Т ^) | < 5 , можно записать 0 - 8 < у < 0 + 8 , где у = | у■ } ц=0 - вектор истинных значений
параметра.
Учитывая соотношение (8), запишем
0 - 8 - А <{ ум (0 ■ < 0 + 8+А. (9)
Ограничения (9) задают множество допустимых реализаций процесса изменений параметра, соответствующих принятой модели необратимых изменений. Осталось решить уже рассмотренную задачу нахождения экстремальных реализаций (полиномов) ^(О и Ь2{().
Отличие реального процесса изменения параметров от принятой модели ум (^) не всегда удается представить в виде (8). Это происходит в случаях, когда неудачно выбрана базовая система функций { ик (?)} т=0 или неправильно определен порядок т аппроксимирующего полинома. Увеличение порядка полинома позволяет всегда обеспечить нахождение истинной реализации в конусе прогноза. Однако это достигается путем существенного ухудшения точности прогноза, так как с ростом т конус прогноза резко расширяется. В этой ситуации более оправданной будет попытка для построения конуса прогноза использовать полиномы возможно меньшей степени, аппроксимируя ими истинный процесс на отдельных интервалах. Примерами такой аппроксимации могут быть кусочно-линейная или кусочно-экспоненциальная. Основная идея этого подхода аналогична принципам, заложенным в методах скользящего среднего или экспоненциального сглаживания, и состоит в задании различных весов отдельным результатам измерений (неравноценности более «старых» измерений и последних).
Одной из основных возникающих при этом задач является определение моментов «склеек» кусков аппроксимирующих функций. Решить такую задачу можно путем введения в алгоритм прогноза специального индикатора. Этот индикатор должен реагировать на возникновение «опасных» расхождений между результатами прогноза и контроля. С точки зрения теории управления он может рассматриваться как критерий скорости отработки прогнозирующей системой ошибок модели у(0 [7]. Вопросы конструирования индикатора выбора длины скользящей выборки измерений рассмотрены в работах [1, 7].
Заканчивая обсуждение особенностей и свойств МГП, отметим возможность вероятностной трактовки гарантированного прогноза. Если множества, к которым принадлежат возможные ошибки, задаются с некоторой вероятностью (например, ограничения (5) выполняются с вероятностью Рг), другими словами, если известна вероятность того, что истинная реализация наблюдаемого процесса проходит через все окна контроля (принадлежит трубке контроля), то МГП позволяет определить границы, в пределах которых с вероятностью не меньшей Рг будет находиться исследуемый параметр в будущем.
Остановимся на использовании МГП при решении задачи индивидуального планирования профилактических коррекций параметров контролируемых технических систем. Как отмечалось выше, пересечение экстремальных реализаций Ь1{(), Ь2({) с границами области допустимых изменений параметра А(¿) и В(¿) определит моменты времени т1, т2 , минимальный из которых целесообразно принять за момент очередного (| +1) -го контроля:
где тх, т2 - решение уравнений ^(0=В (¿), Ь2(1)=А (¿) соответственно.
Очевидно, что в течение времени tT = t|+1 - t|í контролируемый параметр будет гарантированно (или с вероятностью Рг) находиться в области допустимых значений, поэтому до момента производить измерение или коррекцию параметра нет необходимости. В момент t| + 1 следует выполнить очередное измерение параметра, результат которого использовать для определения следующего промежутка времени, в течение которого параметр не выйдет за допустимые пределы. Если этот промежуток (назовем его интервалом гарантированной эксплуатации) окажется
меньше некоторого минимально целесообразного времени эксплуатации tШln (t|+2 - < ^т), то в момент времени следует провести профилактическую коррекцию параметра у(0, т.е. ^ = t|í+l.
Если предположить, что в процессе профилактики полностью восстанавливаются свойства объекта, то задачу оптимального выбора значения параметра [8, 9], устанавливаемого в момент профилактики у° (^), можно сформулировать следующим образом:
Использование метода гарантированного прогноза при планировании эксплуатации технических объектов
= Ш1П {^ Т 2 } ,
(10)
ун (^) = а^шахшт^! (ун), Т2 (ун)}.
(11)
Если информация об изменениях параметра y(t) после проведения профилактики отсутствует, то исходя из принципа наихудшего случая можно принять
yH (tn) = 0,5[ A (tn) + B (tn)]. (12)
Рассмотренный метод несложно обобщить на случай, когда техническое состояние объекта характеризуется вектором параметров y(t). Применение МГП в такой ситуации не будет иметь
качественных отличий по сравнению с ранее описанным, если множество возможных значений ошибок Y(t) представляет собой ортогональный параллелепипед. В этом случае исходная задача гарантированного прогноза сводится к r одномерным, где r - размерность вектора y(t). Наличие стохастических или функциональных связей между параметрами, определяющими техническое состояние объекта, влияния на результат не оказывает. Если каналы контроля компонент y(t) связаны между собой по ошибке (например, область возможных значений ошибок представляет собой шар или эллипсоид), то, учитывая линейность целевой функции и выпуклость ограничений (5), можно свести задачу определения экстремальных реализаций к задаче выпуклого программирования.
Заключение
В статье авторы попытались оценить достоинства и недостатки метода гарантированного прогноза, а также возможность и целесообразность использования этого метода в задачах планирования эксплуатации контролируемых технических систем ответственного назначения.
Библиографический список
1. Абрамов, О. В. Прогнозирование состояния технических систем / О. В. Абрамов, А. Н. Розенбаум. - М. : -Наука, 1990. - 126 с.
2. Абрамов, О. В. Управление состоянием сложных технических систем / О. В. Абрамов // Труды Международного симпозиума Надежность и качество. - 2010. - Т. 1. - C. 24-26.
3. Абрамов, О. В. Анализ и прогнозирование техногенных рисков / О. В. Абрамов // Информатика и системы управления. - 2012. - № 3. - С. 97-105.
4. Karlin, S. Tchebycheff Systems: with Applications in Analysis and Statistics / S. Karlin, W. J. Studden. - John Wiley & Sons, New York, 1966. - P. 77-79.
5. Абрамов, О. В. Алгоритм оценки и прогнозирования остаточного ресурса сложных технических систем / О. В. Абрамов // Труды Международного симпозиума Надежность и качество. - 2013. - Т. 1. - C. 5-6.
6. Эльясберг, П. Е. Определение движения по результатам измерений / П. Е. Эльясберг. - М. : Наука, 1976. - 416 с.
7. Цыпкин, Я. З. Адаптация и обучение в автоматических системах / Я. З. Цыпкин. - М. : Наука, 1968. -400 с.
8. Абрамов, О. В. Выбор оптимальных значений параметров настройки технических устройств и систем / О. В. Абрамов // Автоматика и телемеханика. - 2016. - № 4. - С. 55-66.
9. Абрамов, О. В. Параллельные алгоритмы расчета и оптимизации надежности по постепенным отказам / О. В. Абрамов // Автоматика и телемеханика. - 2010. - № 7. - С. 126-135.
Абрамов Олег Васильевич
доктор технических наук, профессор,
заслуженный деятель науки РФ,
заведующий лабораторией управления
надежностью сложных систем,
Институт автоматики и процессов управления
Дальневосточного отделения
Российской Академии наук
(690041, Россия, г. Владивосток, ул. Радио, 5)
E-mail: [email protected]
Abramov Oleg Vasil'evich doctor of technical science, professor, honored scientist of the Russian Federation, head of the laboratory of reliability control of complex systems,
Institute for Automation and Control processes, Far Eastern Branch of Russian Academy of Sciences (690041, 5 Radio street, Vladivostok, Russia)
Аннотация. Рассмотрен метод индивидуального гарантированного прогноза технического состояния систем ответственного назначения, основанный на использовании экстремальных свойств полиномов Чебышева и идеях минимакса. Приведены результаты анализа свойств и возможностей метода. Показано, что этот метод позволяет осуществлять прогноз даже при небольшом числе измерений параметров, не требует сведений о стохастических свойствах ошибок измерений и других помех, обладает адаптивными свойствами. Наиболее целесообразно использовать этот метод при планировании эксплуатации сложных систем ответственного назначения, отказы которых связаны с большими материальными потерями или катастрофическими последствиями.
Ключевые слова: параметр, работоспособность, техническая система, надежность, параметрический отказ, прогнозирование.
Abstract. The method of individual guaranteed forecasting based on the extremal Tchebycheff polynomials properties and the ideas of minimax estimation is considered. The basic features and possibilities of the forecast method are investigated. It is shown that this method makes a forecasting even if the number of test measurements is small. It does not need any stochastic properties of measurement errors and other noises and possesses adaptive properties. It is the most expedient to use this method at maintenance planning for high-duty complex engineering systems which failure may cause heavy manufacturing losses or grave consequences.
Key words: parameter, working capacity, engineering system, reliability, parametrical failure, forecasting.
УДК 65.012.122
Абрамов, О. В.
Основные особенности и свойства метода гарантированного прогноза / О. В. Абрамов // Надежность и качество сложных систем. - 2017. - № 1 (17). - С. 3-10. БО! 10.21685/2307-4205-2017-1-1.
