CC BY
17УДК 621.3.078
ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ СИНТЕЗ РЕГУЛЯТОРОВ МНОГОКОНТУРНОЙ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫМ ПОДВЕСОМ РОТОРА
А.В. Стариков, С.А. Стариков
Самарский государственный технический университет 443100, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244
Рассмотрены два варианта построения системы управления электромагнитным подвесом ротора. Найдены передаточные функции и определены условия устойчивости замкнутой системы. Получены аналитические выражения для расчета параметров регуляторов.
Ключевые слова: электромагнитный подвес, система управления, структурная схема, передаточная функция, пропорционально-дифференциальный регулятор, интегральный регулятор.
В самом общем случае система управления электромагнитным подвесом ротора представляет собой совокупность пяти следящих систем [1]. Для обеспечения высокого быстродействия и жесткости электромагнитных опор при одновременной простоте технической реализации предлагается каждый канал системы управления (рис. 1) оснастить датчиком положения ротора, пропорциональным регулятором, дифференцирующим звеном, пропорционально-дифференциальным регулятором, силовым преобразователем и двумя электромагнитами ЭМ1 и ЭМ3 [2].
ЭМ1
Р и с. 1. Функциональная схема одного канала двухконтурной системы управления
электромагнитным подвесом ротора
Система управления электромагнитным подвесом ротора будет работать следующим образом. В каждом канале управления датчик положения ротора измеряет отклонение ротора от центрального положения, принятого за базовое. Сигнал об измеренном отклонении подается на инверсный вход пропорционального регулятора и на вход дифференцирующего звена.
Александр Владимирович Стариков - к.т.н., докторант. Станислав Александрович Стариков - аспирант.
В соответствии с передаточными функциями, реализованными регуляторами и дифференцирующим звеном, с выхода пропорционально-дифференциального регулятора на вход силового преобразователя подается сигнал, пропорционально которому силовой преобразователь регулирует напряжения на обмотках электромагнитов ЭМ1 и ЭМ3. В результате в обмотках электромагнитов формируются такие токи, которые создают результирующую силу, возвращающую ротор в центральное (по датчику) положение.
Процессы, протекающие при работе предложенной системы управления электромагнитным подвесом ротора, можно представить структурной схемой (рис. 2).
Р и с. 2. Структурная схема двухконтурной системы управления электромагнитным
подвесом ротора
На ней приняты следующие обозначения: кдП - коэффициент передачи датчика
положения; кП - коэффициент передачи пропорционального регулятора; кОСС - коэффициент передачи (постоянная времени) дифференцирующего звена; WПД (р) -передаточная функция пропорционально-дифференциального регулятора; хЗ (р) и х(р) - изображения сигнала задания и перемещения (отклонения от центрального положения) ротора соответственно. Причем для системы управления электромагнитным подвесом ротора принципиально хЗ (р) = 0. Передаточная функция [1] объекта управления, под которым понимается процесс перемещения ротора под действием напряжения, поступающего с безынерционного силового преобразователя,
ЩОУ (р) =
х( Р) N (р)
кШИМкЭМ
ЭР3
т 2
1~Р
к„
кЭМкЕ _ Т
кРи 3
Р _1
(1)
где N(р) - изображение управляющего сигнала на входе силового преобразователя;
к„
- коэффициент передачи широтно-импульсного модулятора; и - опорное на-
пряжение силового преобразователя; кЭМ - коэффициент передачи, связывающий силу, действующую на ротор со стороны электромагнитов при его центральном положении, с соотношением токов в электромагнитах; кР - коэффициент передачи, характеризующий изменение силы, действующей на ротор, при его отклонении от центрального положения; т - масса ротора; ТЭ - постоянная времени электрической цепи обмоток электромагнитов; кЕ - коэффициент передачи, определяющий
193
к
г
к
г
приращение наводимой в обмотках электромагнитов э.д.с. со скоростью перемещения ротора в магнитном поле.
Анализ передаточной функции (1) показывает, что процесс перемещения ротора в поле электромагнитов представляет собой неустойчивый объект управления, причем неустойчивость вызвана действием положительной обратной с коэффициентом передачи kF .
Пропорционально-дифференциальный регулятор с передаточной функцией
^ПД (Р) = кпд (ТпдР + ^
где kПд - коэффициент передачи, ТПд - постоянная времени регулятора, предназначен для компенсации инерционности объекта управления.
Пропорциональный регулятор с коэффициентом передачи kп обеспечивает вместе с регулятором внутреннего контура требуемые статические и динамические свойства системы управления электромагнитным подвесом ротора.
Передаточная функция замкнутой двухконтурной системы управления электромагнитным подвесом ротора
Щ(р) =
х(Р) : ХЗ (Р)
к2(ТпдР+1)
кдп(к2
тТЭ 3 -Р
т+\Тщ 2
Р ■
кг - к1, к1 - к1
^ + к + Ктщ - Ктэ к2 - к1,
р+1
(1)
где к1 кпдкшимкэмкосскдп ; к1 кпкпдкшимкэмкдп .
Условие устойчивости системы третьего порядка по критерию Гурвица [3]
а1а1 - а0 а3 У 0
при положительности всех коэффициентов.
Для рассматриваемого случая
а0 =-
тТэ
к2 - к1Г
т + к1Тпд к2 - к1,
кшкЕ_ + к + к т - к Т
-ГЛ.1 т к1тпд kFTЭ
а2 =-
и
к2 - к1!
поэтому условие устойчивости определяется системой неравенств
к2 - кF У 0;
( т + к1Тпд )
кЭМкЕ
и
+ к1 + к2Тпд - к]7ТЭ \- тТЭ (к2 - к1,) У 0.
(3)
Система (3) позволяет найти граничные, с точки зрения устойчивости, значения коэффициентов передачи пропорционально-дифференциального кпд и пропорционального кп регуляторов. Подставляя значения к1, к2 и переходя в (3) к равенствам, получим следующую систему уравнений относительно переменных кпд и кп :
; а1
кПкПД £
ШИМкЭМкДП
(кШИМкЭМкОССкДП) Тпдкпд + (кШИМкЭМкДП) кОССТПДкПкПД
+кШИМ кЭМ кОССкДП
к к Т , кЭМкЕТПД Т ^ ^
т +-----и---------кРТПДТЭ
ПД
+тк
к к (Т — Т )к к +ткэМкЕ = 0 ШИМкЭМкДП\ТПД ТЭ)кПкПД ^ V.
и
Подставляя первое уравнение (4) во второе, получим выражение для граничного значения коэффициента кщ передачи пропорционально-дифференциального регулятора
(кШИМкЭМкОССкДП ) ТПДкПД + кШИМкЭМкОССкД
т -
кэмкЕТщ + к т (Т — Т )
КР1ПД\1ПД Тэ>
и
ПД
т
к (Т — Т ) + £эм£е к^ТПД Тэ)^ и
= 0
Отсюда граничное значение коэффициента передачи пропорциональнодифференциального регулятора
т
‘-пд
+ кР (Тпд — Тэ )
к,
кэикЕ + К (Тпд — Тэ ) кР (Тпд — Тэ ) + ^
ПД .тіп
2кТТТМІ/Гк^1/Гк™-'Гік п
''ШИМ^ЭМ^ОСС'' ДП
Следует отметить, что ограничение накладывается на минимальное значение коэффициента передачи пропорционально-дифференциального регулятора. Например, при параметрах электромагнитного подвеса kE = 1461 Вс/м; kЭМ = 1306 Н; ^ = 1315900 Н/м; т = 36 кг; ТЭ = 0,038233 с; и = 57,7 В; ТПД = 0,115 с; koСС = 0,0032 с; kШИМ = 1,9608 -10-3; kДП = 1000000 дискрет/м; kПДmm =-0,0383.
Следовательно, для устойчивости подвеса с приведенными данными электромагнитов и элементов системы управления коэффициент передачи kПд может принимать любое положительное значение.
Из первого уравнения (4) вытекает минимальное значение kП коэффициента передачи пропорционального регулятора
кП
к„
кПД кШИМ кЭМ кДП
При тех же параметрах электромагнитов и элементов системы управления и, например, при kПД = 1
кп.тп = 0,5139.
Теоретически ограничений на максимальную величину kПд и kП в рамках рассматриваемой непрерывной модели системы управления не существует.
Для обоснованного выбора параметров настройки пропорционального и пропорционально-дифференциального регуляторов, а именно kП , kПд и Тщ , разделим
к
2
знаменатель передаточной функции (2) на числитель. В результате можно записать приближенное равенство
¿2
W2(p)*
кдП (k2 kr)
m
тГэ
ГПД (k2 - К)
P
Г -Г
Гщ Гэ
Г
\ ГПД у
ПД
ГПД (к2 - kF)
P +1
(5)
Постоянную времени пропорционально-дифференциального регулятора примем равной
Тпд = ІТз,
где і - постоянный коэффициент, вариацией которого можно достичь хорошего приближения в (5).
Величина і может быть разной, однако из разложения знаменателя передаточной функции (2) можно сделать вывод, что при выполнении условия
к2 >> кр (6)
выбор минимальной величины imin из кубического уравнения
кэмкг
m
г3. +
min
кРГЭ -,ХЭМ^Е
U
Аотн (к2 kF )ГЭ ^¥ГЭ ГЭ [Аотн (к2 kF )ГЭ к¥ГЭ ]
(7)
т
= 0
ТЭ [А отн (к2 _ kF )T3 ~ kFT3 ]
позволяет с относительной погрешностью, не превышающей Аотн, получить в знаменателе (2) полюс передаточной функции, компенсирующий соответствующий нуль.
Расчеты показывают, что для параметров электромагнитного подвеса, приведенных выше, и Аотн = 0,1 условие (6) выполняется, а из решения (7) вытекает
i ■ = 0,105.
min ’
Следовательно, при i У 0,105 в выражении (5) можно принять строгое равенство. Моделирование системы управления в программной среде Matlab Simulink показывает, что практически оптимальным является выбор i = 3 , то есть постоянная времени пропорционально-дифференциального регулятора должна быть равна
(8)
Теперь остается произвести обоснованный выбор величин кщ и кП соответствующих регуляторов и параметра обратной связи по скорости кОСС. Решение будем искать в таком виде, чтобы всегда кПд = кП, а характер переходного процесса по своим параметрам был близок к показателям качества технического оптимума. Это позволит при простой технической реализации системы управления (кПд и кП можно выбирать кратными двум) получить практически оптимальный по быстродействию переходный процесс. При выполнении условия (8) передаточная функция (5) принимает вид
Г = 3Г
ГПД -!±Э ■
И2(р)=-
к2
кДП (к2 кУ)
т
2 2т+к9ТЭ
р2 +-----р+1
3(к2 -) 9ТЭ(к2 -кГ)
(9)
Из (9) следует, что коэффициент демпфирования колебаний в рассматриваемой системе управления
$ =
2т + 9к1ТЭ
(10)
Параметры регуляторов входят в коэффициенты передачи
к1 = кПДкШИМкЭМкОССкДП ; к2 = кПкПДкШИМкЭМкДП .
Принимая во внимание выполнение условия (6) и приравнивая кщ = кП в выражении (10), после несложных преобразований получим
2т
кПД кП
9Т
ткШИМкЭМкДП к к к к
3 кШИМкЭМкОССкДП
\ ■
И в то же время можно записать
кОСС = 2$
т
2т
\ 3кШИМкЭМкДП <9кПДкШИМкЭМкДПТЭ
При заданных параметрах электромагнитного подвеса и выборе $ = 0,741 получим необходимое значение кОСС = 0,0032, при котором кщ = кП теоретически при любых их численных значениях. Выбор $ = 0,741 не случаен, поскольку при этом получается кОСС, кратный двум. Очевидно, что чем больше величина коэффициентов передачи кПД и кП , тем выше быстродействие и жесткость электромагнитной опоры.
ЭМ1
Р и с. 3. Функциональная схема трехконтурной системы управления электромагнитным подвесом ротора
Двухконтурная система управления электромагнитным подвесом обладает статической ошибкой в поддержании ротора в определенном положении. Для исключения этого недостатка необходимо ввести дополнительный контур положения. В результате получается трехконтурная система управления [4] электромагнитным подвесом (рис. 3).
Она содержит интегральный регулятор во внешнем контуре, который компенсирует все помехи, охваченные обратной связью. Структурная схема (рис. 4) трехконтурной системы управления позволяет исследовать ее статические и динамические свойства. Передаточная функция замкнутой трехконтурной системы управления электромагнитным подвесом ротора
х(р):
хз (Р)
ДП
(ТпдР + 1)
тТЭТИ 4 + (т + к1ТПД )ТИ 3
--------Р ч-------------------Р -
к2 к2
КмК + к + кТ -кТ \Т
и -г^ -г кгТпд ^Тэ Т
кг
ПД kFTЭ \ТИ (
Р1
\
кг__^ Т + Т Р+1
к 1И^1ПД гт|
V кг )
(11)
где Ти - постоянная времени интегрального регулятора,
К
кп
ГПД (Р)
Ку (Р)
х(р) ■ш---►
кОССР
к к
кДП
Р и с. 4. Структурная схема трехконтурной системы управления электромагнитным подвесом ротора
представляет собой динамическое звено четвертого порядка, условие устойчивости которого определяется неравенством (при положительности всех коэффициентов)
а3(а1аг - а0а3) - а4 > 0.
Для рассматриваемого случая трехконтурной системы управления
а0 =
тТЭТИ . = (т + к1ТПД )ТИ
КэмКе + к + кТ -кТ \Т
и тк1^т кгТПд кг1э \ТИ
кг
_ к2 kF гр гт1 , _
а3 ~ к И + ТПД ; а4 ~1 ■
Поэтому устойчивость разрабатываемой системы управления будет определяться системой неравенств
к
к
г
г
к2 - кР У 0;
(к2 -кр)(т + к1ТПД)I + к + к2ТПД -кРТЭ \-т(к2 -кР)2ТЭ
и
к2Тпд (т + к{Гпд) \1кЦЕ-
Т2
тл
■к,
-к2Тпд - крТэ \-
ТИ к2ТПД У 0-
-2тк2 (к2 - кР )ТПДТЭ - к2 (т + к1ТПД)
Переходя во втором условии устойчивости (12) к равенству, получим квадратное уравнение для определения граничного значения постоянной времени ТИГР интегрального регулятора
где а — (к2 кр )(т + кіТПД )
Ь — к2ТПД (т + к1ТПД ) \
аТи „
кЭМкЕ
и
■ЪТ„
с — 0
(13)
+ к1 + к2ТПД - кРТЭ \ - т(к2 - кР)2ТЭ ; с — -тТЭк^Т'П
Эп 2 а- ПД 5
+ к, + к2ТПД -кРТЭ \-2тк2(к2 -кР)ТПДТЭ -к2(т + к,Тщ)
Из (13) следует, что при выбранных параметрах пропорционального и пропорционально-дифференциального регуляторов (т. е. при известных значениях и ^) минимальная величина постоянной времени интегрального регулятора, при которой система находится на границе устойчивости, определяется выражением
-Ь + 4Ь2~-4аё
Т —
ТИ .ГР
2а
(14)
Вариация параметров настройки пропорционального и пропорциональнодифференциального регуляторов приводит к изменению ТИГР. Для обеспечения показателей качества переходных процессов, близких к техническому оптимуму, необходимо выбирать постоянную времени ТИ интегрального регулятора из соотношения
Ти = 4,38Ти гр . (15)
Статическая точность трехконтурной системы управления электромагнитным подвесом ротора определяется только погрешностью датчика положения. Отсюда вытекает абсолютная статическая жесткость электромагнитных опор, оснащенных трехконтурной системой. Тем не менее провалы ротора под действием внешних возмущающих сил позволяют говорить о динамической жесткости электромагнитного подшипника тем большей, чем меньше постоянная времени Ти .
Из выражений (13), (14) и (15) вытекает, что в непрерывной трехконтурной системе управления электромагнитным подвесом ротора с безынерционным силовым преобразователем теоретически нет ограничений на минимальное значение постоянной времени Ти . Фактические ограничения на максимальную величину коэффициентов передачи пропорционального kп и пропорционально-дифференциального kпд регуляторов и минимальное значение Ти будут накладывать процессы квантования по времени и уровню при цифровой технической реализации. Тем не менее, приведенный параметрический синтез регуляторов многоконтурной системы управления
199
2
позволяет создавать электромагнитные опоры, обладающие высоким быстродействием и практически абсолютной статической жесткостью.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Макаричев Ю.А., Стариков А.В. Теоретические основы расчета и проектирования радиальных электромагнитных подшипников. - М.: Энергоатомиздат, 2009. - 150 с.
2. Патент РФ № 2375736, МКИ7 G05B11/36, H02K7/09, H02P6/16. Система управления электромагнитным подвесом ротора / Ю.А. Макаричев, А.В. Стариков, С.А.Стариков (Россия) // Опубл. 10.12.2009, Бюл. № 34.
3. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. - М.: Наука, 1975. - 768 с.
4. Патент РФ № 2395150, МКИ7 H02K7/09, H02P6/16, G05B11/36. Система управления электромагнитным подвесом ротора / А.В. Стариков, С.А. Стариков (Россия) // Опубл. 20.07.2010, Бюл. № 20.
Статья поступила в редакцию 17 января 2011 г.
UDC 621.3.078
PARAMETRIC SYNTHESIS OF REGULATORS OF MULTICIRCUIT CONTROL SYSTEM BY MAGNETIC ROTOR SUSPENSION
A. V. Starikov, S.A. Starikov
Samara State Technical University
244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100
Two variants of construction of magnetic rotor suspension control system are considered. Transfer functions of closed-loop system are found and stability conditions are defined. Analytic expressions for calculation of regulators parameters are obtained..
Key words: magnetic suspension, control system, function block diagram, transfer function, proportional-plus-derivative action control, integral controller.
Alexander V. Starikov - Candidate of Technical Sciences, Associate professor. Stanislav A. Starikov - Postgraduate student.
