Параметрические нейросетевые модели построения регуляризации решения задачи идентификации в экологии Текст научной статьи по специальности «Математика»

Васильев А.Н.1, Тархов Д.А.2

^анкт-Петербургский государственный политехнический университет, г. Санкт-Петербург, д.т.н., профессор кафедры «Высшая математика»,

а. n.vasilyev@ gmail.com 2Санкт-Петербургский государственный политехнический университет, г. Санкт-петербург, д.т.н., профессор кафедры «Высшая математика»,

[email protected]

Параметрические нейросетевые модели построения

регуляризации решения задачи идентификации в

*

экологии

КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА

Экологическое прогнозирование, загрязняющее вещество, начально-краевая задача, уравнение диффузии, идентификация, нейросетевое моделирование, искусственная нейронная сеть (ИНС), настройка ИНС, глобальная оптимизация.

АННОТАЦИЯ

Возникающая при экологическом прогнозировании задача идентификации допускает приближённую регуляризацию решения в виде выходов системы искусственных нейронных сетей (ИНС). Рассматривается как случай задания параметров их средними значениями, так и их интервальное задание. Простой пример нейрокомпьютинга поясняет нейросетевой подход.

Рассматривается задача идентификации, возникающая при экологическом прогнозировании, основой которого служит уравнение диффузии в движущейся среде: пусть концентрация загрязняющего вещества Ф-Ф(х> У, 1) в области йс R2 в момент времени

1 е(0, Т)

удовлетворяет следующей начально-краевой задаче [1,2]:

дФ+и зф+у ¿ф_0(д!ф+д!ф )+Тф=р,

д 1 б х д у 1а х2 д у2)

здесь функция загрязнения

Ф(х, у, 0) = Фо, Ф(х, у, 0)=Ф1,(х,у)^3й, р - Р(х, у, 1)

характеризует мощность источников

р(х,у,1 )=Е р,(1К(х>у;х*>у^,

5=1

р (1) _

мощность

окрестности(х'у5) с плотностью"*

5 -го источника загрязнения, распределённого

я, (х у; х, у,) и, V _

компоненты вектора

* Работа поддержана Российским фондом фундаментальных исследований (грант №14-01-00733).

скорости, ° - коэффициент турбулентной диффузии, т> 0 - параметр, определяющий интенсивность поглощения загрязняющего вещества вследствие его уноса, осаждения, химических реакций и др. Отметим, что заменой

Ф(X, у, t) = ехр(Ах + Ву + а)и(х, у, t), Р(х, у, t) = ехр(Ах + Ву + ах, у, t),

А = и/2ст, В = V2ст, С = -т-(и2 + V2)/4ст,

л

'Т

=Q

где ^ // ' дифференциальное уравнение

может быть преобразовано в уравнение теплопроводности

ди ¡д2и д2и^

--о—7

д t ^ д х д у

с соответствующими начально-краевыми условиями на функцию и:

и(х, у, 0) = Ц,, и(х, у,0) = Ц,, и(х, у, t) = и19 (х, у) □ дП.

Далее будет рассматриваться преобразованная задача. Нахождение приближённого решения этой задачи рассматривалось в работах авторов [3-5].

Предположим, что вместо мощности источников загрязнения ^ х y, t), указываемой в постановке прямой задачи, известны данные

экспериментальных наблюдений Ц(х->, у->, ^) = ^, ^ =1,''', т, получаемые с некоторого набора датчиков. Задача идентификации состоит в

восстановлении функции Q. (Заметим, что при указанном подходе находится и приближённое решение задачи - функция и.) Другой вариант постановки задачи идентификации - восстановление начальных условий -рассматривался в публикации [5].

Предлагаемый нами подход [3-6] позволяет объединить разнородную информацию о системе в нейросетевой модели, использовать регуляризующие свойства нейронных сетей при решении обратных и некорректно поставленных задач. К таким задачам, в частности, относятся

и задачи идентификации - определения Q по данным наблюдений, которые к тому же заданы не точно, а определены своими значениями из некоторых интервалов; коэффициенты уравнения, также могут быть

заданы неточно: например, (<т ). Требуется лишь несущественная модификация методов, изложенных в статьях и книге авторов [6].

Этот вариант нейросетевого подхода к решению задачи состоит в поиске приближённого решения задачи идентификации (его регуляризации) в виде выходов системы из двух искусственных нейронных сетей заданной архитектуры

N1 N 2

и (x,y,t; о)= ^ clgl (х, y,t; о ,а) ^ (x,y,t ) = £ dlhl (х,у,у^; Ь1),

I=1 1=1

веса которых - линейно входящие параметры с, dl и нелинейно входящие параметры а, Ь - определяются в процессе поэтапного обучения сети на

основе минимизации функционала ошибки вида

м

J=1

, =1

б и

д 1

— о

б2 и & и ■+■

д х2 д у2

(х],у]'1],0,)+

М о

М,

+ оЕ|и_ио|2(х,,у,, о, о,)+Х 1 Х|и_и,|2(х,,у,,1,, о,) + Х^|и(х,,у,,1,,о,)_Ф,

Здесь {(х,'у'1 ,-1 - периодически перегенерируемые пробные

области йх(о-;0+), {(х,'у,'1 ^ - пробные

точки на

Гх(о-;о+) .

точки в

1 > о - штрафные параметры.

Нейронные сети, задающие приближённое решение задачи в этом случае, могут включать однотипные нейроэлементы, порождённые одной и той же активационной функцией, но могут иметь и более сложную гетерогенную структуру - см. [5,6].

В качестве примера приведём расчёты для стационарного решения в одномерном случае. Для проверки работы алгоритма рассматривается модельное решение вида

и-

сх, С-с

. 2 С + с С-с. 3. „ „

{л - - + —X —- у), X Ё

43

Сх-(С-с)х0,

хе(х(Г3\со)

с правой частью

О, хе(0;Х0-£],

в=

С-с

-<7-

23

О, д; е(лс0-£;ю).

и

1,0

-0,5

/

/А

\

У

4

X

Рис.1. Восстановление источника Q по 100 измерениям персептроном с 30 нейронами в одном скрытом слое

Из графика на Рис.1 видно, что положение и мощность источника Q

т

восстанавливаются достаточно точно, хотя его форма определяется с ошибкой. Качество решения можно улучшить, применяя кусочные ИНС и эволюционные алгоритмы, сочетающие настройку параметров сети с подбором её структуры.

Литература

1. Марчук Г.И. Математическое моделирование в проблеме окружающей среды. - Москва: Наука, 1982 - 320 с.

2. Мартинсон Л.К., Малов Ю.И. Дифференциальные уравнения математической физики. - М.: Изд-во МГТУ им.Н.Э.Баумана, 2002. - 368 с.

3. Васильев А.Н., Идрисова Д.И., Романова А.Г., Тархов Д.А. Применение параметрических нейросетевых моделей к построению системы мониторинга загрязнений атмосферы промышленными выбросами и условий труда в строительстве. Материалы IX Международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях (ЫРМ]'2012), 25-31 мая 2012 г., Алушта. - М.: Изд-во МАИ-ПРИНТ, 2012.

4. Тархов Д.А., Васильев А.Н., Идрисова Д.И. Нейросетевое моделирование системы мониторинга загрязнений атмосферы и обеспечения безопасных условий труда в строительстве// Научно-технические ведомости СПбГПУ Наука и образование. - 2012. -№2-1. - С.266-271.

5. Васильев А.Н., Тархов Д.А. Параметрические нейросетевые модели для уравнения теплопроводности. Классическая и неклассическая задачи. Материалы IX Международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях (ЫРЫ]'2012), 25-31 мая 2012 г., Алушта. - М.: Изд-во МАИ-ПРИНТ, 2012.

6. Васильев А.Н., Тархов Д.А. Нейросетевое моделирование. Принципы. Алгоритмы. Приложения - СПб.: Изд-во СПбГПУ, 2009. - 528 с.