Параметрическая оптимизация измерительных каналов при динамических режимах измерения Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

(x - a f + (y - b / + (z - Cj / : (x - a2 f + (y - b2 f + (z - C2 / (x - a3 f + (y - Ьз / + (z - C3 /

A ^

Î3 )

F(x)=0 ,

Fj(x,y) = 0 F2 (x,y) = 0

Методы же поиска корней этих систем базируются на том факте, что они получены при расчете кинематики пространственных механизмов.

Графики близки к прямым, которые в корне отличаются друг от друга. Можно предположить, что в процессе поворота автомобиля прототип и оптимальный вариант подвески будут вести себя по-разному. При этом преимущество останется за оптимальным вариантом.

Итак, мы получили вариант подвески: м31(2200; - 700; - 40), к = 322, лтш = -125 ,лтах = 100, н31(2194,44; - 489; - 61,88), в( 1582; - 489; - 75), в31(2170,69; - 277; 5,63), а( 1905; - 277; - 7), с3( 2315; - 591,69; - 77 ),р(2324; 507; - 40), который по рассматриваемым характеристикам значительно превосходит прототип.

Замечания. Независимая подвеска с пяти-штанговым направляющим аппаратом хорошо моделируется твердым телом, подвешенным на пяти рычагах [7], что, как показано в настоящей статье, нельзя сказать о зависимой подвеске с пятиштан-говым направляющим аппаратом.

Отметим, что алгоритмы расчета кинематики твердых тел, подвешенных на пяти и четырех рычагах, сводились к поиску корней систем алгебраических уравнений вида

Мы рассмотрели задачу многокритериальной оптимизации характеристик зависимой подвески колес. Эта задача имела 5 варьируемых параметров и 5 критериев. Разработанное программное обеспечение компьютеров позволяет рассмотреть задачи с большим числом параметров и критериев. Число параметров может достичь 47, а критериев - 100.

БИБЛИОГРАФИЯ

1. Артоболевский И. И. Теория механизмов и машин. М. : Наука, 1988. 640 с.

2. Черных В. В. Многокритериальная оптимизация кинематики пространственных механизмов подвесок колес легковых автомобилей // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2007. № 5. С. 30-35.

3. Раймпель И. Шасси автомобиля. М. : Машиностроение, 1983. 356 с.

4. Динамика системы "дорога-шина-автомобиль" / под ред. А. А. Хачатурова. М. : Машиностроение, 1976. 536 с.

5. Соболь И. М., Статников Р. Б. Выбор оптимальных параметров в задачах со многими критериями. М. : Дрофа, 2006. 176 с.

6. Yanushkevich I., Statnikov A., Statnikov R. MOVI 1. 3 Software Package. Certificate of Registration, United States Copyright Office, The Library of Congress. 2004. March 9.

7. Черных В. В., Макеев О. М. Оптимизация конструктивных параметров подвески управляемого колеса легкового автомобиля // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2000. № 3. С. 9-15.

Кузнецов Б. Ф. УДК 519.21

ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ КАНАЛОВ ПРИ ДИНАМИЧЕСКИХ РЕЖИМАХ ИЗМЕРЕНИЯ

Важнейшей характеристикой любого измерительного преобразователя (ИП) или системы является погрешность, вносимая в результат изме-

рения. Как было показано в [1], существует достаточно большой класс измерительных преобразователей, у которых динамическая погрешность и

СИСТЕМНЫМ АНАЛИЗ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ

случайная составляющая статическом погрешности являются функционально связанными величинами. Причем при снижении динамической погрешности (путем уменьшения постоянной времени ИП) возрастает случайная погрешность и наоборот. Анализ измерительных преобразователей данного класса показывает, что, по меньшей мере, можно выделить два вида моделей взаимосвязи погрешностей (рис. 1).

Рис. 1. Модели погрешностей

В первом случае (рис. 1 а), измеряемая величина (полезный сигнал) - х (7) и сигнал обуславливающий случайную составляющую погрешности (шумовой сигнал) ¿¿( 7) приведенный к входу

системы. На входе преобразователя действует сигнал, представляющий собой в общем случае некоторую функцию г(7) = ^{х(7), ¿(7)} . Выходной сигнал будет определяться выражением:

у(7 ) = / к(7-т) Е(х (т) ¿(т)) йт

(1)

где к(7) - весовая функция измерительного преобразователя.

Во втором случае, случайная составляющая обусловлена внутренними шумами прибора или его параметрической нестабильностью (рис. 1 б). Характерной особенностью данного класса преобразователей является зависимость коэффициента передачи динамического звена, с весовой функцией к(7), от постоянной времени. В данной работе рассмотрим только линейную зависимость, при которой статический коэффициент передачи определяется выражением к = Tg, здесь Т - постоянная времени динамического звена, g - коэффициент пропорциональности имеющий размерность с-1. Для нормирования измерительного сигнала в схему вводиться дополнительное звено (на рис. 1 б

- у' (7)/к). В общем случае, выходной сигнал будет описываться выражением:

1 /<» \ у(7)= - ^ | к(7-т) х (т) йт, # (7)1. (2) к v о )

Для первой и второй модели дисперсия общей погрешности, состоящая из динамической составляющей - АЛи и случайной составляющей

о

статической погрешности - А будет определяться выражением:

В |а| = В |х (7) - у (7)| = В |айп | * В {А|, (3)

где * - символ объединения дисперсий погрешностей.

Факт наличие функциональной связи динамической погрешности и случайной составляющей погрешности преобразования позволяет утверждать, что можно найти такие параметры весовой функции к (7), при которой В |а| будет

иметь минимальное значение.

С учетом того, что динамическая и случайная составляющая погрешности являются функциями от параметров измерительного преобразователя, задача оптимизации формулируется следующим образом: требуется найти значения элементов вектора а - параметров измерительного преобразователя, удовлетворяющих критерию минимума дисперсии погрешности:

в{а) = шт[в{ал (а, ах)}*в|АА(а, а?)}], (4)

где ах а^ - векторы параметров полезного и шумового сигналов соответственно.

Для решения задачи (4) необходимо раскрыть математический смысл знака объединения погрешностей, который зависит от типа модели ИП и видов полезного и шумового сигналов. Для получения практически значимых результатов рассмотрим решение задачи (4) на классе нормальных случайных процессов, обладающие свойством стационарности. Будем так же считать, что измерительный преобразователь является стационарной линейной системой.

Для первой модели (рис. 1 а) при аддитивном воздействии шумового сигнала, т. е. ^{х(7), ¿(7)} = х(7) + £((), уравнение (3) запишется в виде:

В|а| = В\ х(7)- /к(7 - т)(х(т) + 4(т))йт I.

о

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

Аналитическое нахождение функции дисперсии погрешности (3) можно выполнить при переходе в частотную область. Будем считать, что ИП имеет комплексную передаточную функцию О(]ю) , а процессы х(?) и %(?) описываются спектральной матрицей:

Ях (ю) Яг(ю) (ю) Яг(ю) Алгоритм решения задачи будет заключаться в нахождении функции спектральной плотности мощности ЯА (ю) сигнала А (7) и использование

8 =

(5)

свойства:

1 да

п{д} = - / Яд(ю)Сю.

Л п

(6)

Для рассматриваемого случая нахождение Яд (ю) достаточно просто, и может быть выполнено из рассмотрения рис. 1 а. Однако для общности решения используем матричный метод построения [2]. Представим модель первого вида с аддитивной погрешностью в виде системы показанной на рис. 2. Здесь форма представления операторов преобразования в матрицах Ь1 и Ь2 определяется формой представления сигналов. В частотной области Ь222 = О(]ю) .

Рис. 2. Представление первой модели погрешности в матричном виде

Общее выражение функции спектральной плотности погрешности будет определяться как элемент Я '(ю) матрицы:

/22

8' = Ь21Ь1 • 8 • Ь1Т) Ь2Т

(Ь1 • 8 • Ь1Т) ]

(7 а)

8' =

0 0 ii 1|1 0 ях (ю) Ях( (ю) Т 1 01

-1 о (ю 1 1 V (ю) ЯАю) ) Х, (7 б)

-1 О (]ю)

где Ь1 - матрица сопряженная по отношению к

—Т

матрице Ь1, Ь2 - матрица сопряженная по отношению к матрице Ь2, О(]ю) - комплексно сопряженная передаточная функция.

Рассмотрим случай когда полезный сигнал и помеха являются некоррелированными случайными процессами, т.е. рх^ = 0, а, следовательно, в

спектральной матрице (5) (ю) = Ях^(ю) = 0 .

Выполнив необходимые преобразования в (7 б) и с учетом свойства (6) запишем:

да

1

п т=

|1 - О(]ю)\ Ях (ю) + |О(]ю)\ ^(ю)

Сю .(8)

Объединение дисперсий погрешностей в (3) для аддитивного случая с некоррелированной случайной составляющей будет определяться выражением:

п ш = п \А,т к п \ А

(9)

Дальнейшие действия рассмотрим на конкретном примере.

Пример 1. Сузим класс входных сигналов до случайных процессов Орнштейна-Уленбека [3], т.е. случайных процессов имеющих нулевое математическое ожидание и функцию спектральной плотности вида:

Я: (ю) =

2а2„а„

а

ю

ЯЛю)=

а

■ ю

передаточную функцию ИП определим как: О(]ю) = 1/(1 + ]юТ).

Подставим исходные данные в (8) и выполнив интегрирования, получаем выражение для дисперсии погрешности как функции постоянной времени передаточной функции:

.2

п Ш =

а^Та,,

а

г

ахТ +1 а Т +1 Для общности введем безразмерные коэффициенты: х = а^ах , "=0^/ а2х , В = ахТ и

произведем нормировку, разделив правую и левую _2

часть выражений на ах , тогда задача оптимизации (4) запишется в виде:

В " 1 (10)

п<8

= тт

В

В +1 хВ +1

в дальнейшем символом 8 будем обозначать нормированную погрешность.

Решения частной задачи (10) сводиться к

решению уравнения дБ-|8(В,х,")\/дВ = 0 по параметру В :

Вар{ (Х,") =

лЫ1 -х) + х(1 -") х("-х)

к

0

о

Т

X

СИСТЕМНЫМ АНАЛИЗ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ

Подставив полученное выражение в (10) получаем соотношение для минимально достижимых значений суммарной погрешности:

В{5у _ Вор7 (Х,п) , П

Вар( (Х,П) + 1 ХВор7 (Х,Л) + 1" Графическое представление полученного выражения приведено на рис. 3. Заштрихованная область соответствует физически нереализуемым значением параметра В (отрицательное значение).

Рис. 3. Семейство кривых минимально достижимой погрешности для случай некоррелированной аддитивной составляющей случайной погрешности

Рассмотрим случай, когда рх% Ф 0 и с учетом того 8х%(т^) = 5%х(ю^)Ф 0 выполним необходимые преобразования в (7 б) и с учетом (6):

в |а} =

1

- - О (]т)\2 (т) + р (>)|2 5,(т)-р(>)|2 - 2яе[о(>)]!5^(т)

<Л т

Несложно показать, что отличие от случая с некоррелированными сигналами будет определяться выражением:

ад

— п.

В | ар } = — |

р(]т)\2 -2Яе[О(>)]!^ (т)йт .

Объединение погрешностей для аддитивного случая с коррелированной случайной составляющей будет определяться выражением:

В|А} = В\Айт } + В|А} + В|Ар

(11)

Пример 2. Рассмотрим решение задачи оптимизации на примере. Дополнив исходные данные в примере 1 кросспектральной плотностью

мощности: ( т ) = ( т ) =

2 , 2 ах?+т

основании (11):

В|А} =

& „Та

а„ Т +1 а^ Т +1 Т +1

и

введя дополнительный коэффициент X = ах%/ах , запишем выражение для нормированной погрешности:

в ш =

В

- + -

п

- +

, тогда на

В +1 хВ +1 х'В +1 Нахождение оптимального значения параметра В производиться аналогично с предыдущим случаем, однако получение аналитического решения крайне затруднительно и решение может быть найдено численным путем.

Рассмотрим первую модель с мультипликативной погрешностью, когда выходной сигнал измерительного преобразователя определяется выражение:

ад

у (7) = | к(7 - т)(х(т) + йпх(т)%(т))йт,

-ад

здесь следует отметить необходимость введения дополнительного коэффициента й , так как

х (7) и ¿¿( 7) имеют различную физическую природу, то соответственно, они имеют и различные размерности. В предыдущем случае (при аддитивной погрешности) по умолчанию предполагалось совпадение размерностей. Размерность введенного коэффициента такова, что произведение - йп%

имеет туже размерность что и х .

При нулевых математических ожиданиях

процессов х (7) и 7) дисперсия погрешности

будет соответствовать математическому ожиданию квадрата разности:

В |А}^0 = М }А (7)}= М }( х (7)-у (7

Раскрывая квадрат разности аргумента функции математического ожидания и учитывая, что нечетные моменты равны нулю:

ад

х2(7)-х(7) | к(7-т)х(т)йт +

-ад

ад

+2х(7) I к(7-т)х(т)йт +

-ад

\2

+1 I к(7-т)х(т)йт

\-ад

ад

+ 1 йп | к(7-т)х(т)^(т)йт

М} А2(7)|= М

Из полученного выражения легко увидеть, что первые три слагаемых выражают динамическую погрешность преобразователя:

ад

7Г

0

о

о

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

d< a

din

да

-f |1 - W ( ja)\2 Sx (a) da.

Я „

Оставшийся член полученного выражения:

M <

dn J h(t-т)x(т)^(т)dz

= D < A

общая погрешность будет определяться выражением:

(да \

1 - W( ja)\2 Sx (a)da-

D < a ¡> = -я

С i i2

hi W ( jaj\ S8 (a) da

v о

т.е. объединение погрешностей определяется, как и в случае аддитивной погрешности, выражением (9), отличие заключается в нахождении случайной составляющей статической погрешности.

Пример 3. Рассмотрим пример нахождения оптимальных значений измерительного преобразователя для мультипликативной погрешности при тех же исходных данных, что и в примере 1. Выполнив аналогичные преобразования, получаем выражение для суммарной погрешности:

D |A(t )u

&2Ta

j2_2_2 d

ах T +1 ах T + T +1

и вводя безразмерные коэффициенты как в (10) Х = а% !ах , п = , В = ахТ и выполнив нормировку:

г л В п

D <5( B, x,rj)\ =

B +1 Б + ХБ +1

(11)

Решения частной задачи (11), как и в предыдущем случае, сводиться к решению уравнения

dD |j( B,X^jdB = 0

по параметру B :

а/хМ1 + х)-Х(1 -r) + r-1

определяет случайную составляющую погрешности. Спектральную плотность произведения случайных процессов можно определить через интеграл свертки:

да

s®(a) = Sx(a)®S^(a)= f Sx(u)S^(a-u)du,

-да

в ряде случаев более удобным является использование свойства автокорреляционной функции -для произведения некоррелированных сигналов z (t ) = x (t )-<^(t) автокорреляционная функция определяется как Rz (т) = Rx (т)- R^(z), таким образом, применив теорему Винера-Хинчина:

да

S®(a) = 2i Rx (т)Rs (т) cos (ют} dz ,

Вор7(х,п) ' (1 -х)(п-х +1) "

Подставив полученное выражение в (11) получаем соотношение для минимально достижимых значений суммарной погрешности:

Вор7 (Х,П) ,

D < 5

+-

min Bopt (ХГ) + 1

r

ХВор7 (х,п) + Вор7 (х,п) +1 Графическое представление полученного выражения приведено на рис. 4. Заштрихованная область соответствует физически нереализуемым значением параметра В .

Рис. 4. Семейство кривых минимально достижимой погрешности для случай некоррелированной мультипликативной составляющей случайной погрешности

Рассмотрим случай мультипликативной погрешности, когда рФ о . Основываясь на раннее

полученных результатах можно утверждать, что объединение погрешностей будет выполняться в соответствии с выражением (11). Однако для нахождения корреляционной составляющей общей погрешности необходимо найти спектральную плотность (или корреляционную функцию) произведения коррелированных процессов. Для решения этой задачи представим систему входных сигналов в виде трехкомпонентной модели с независимыми составляющими:

} х (7 ) = х' (7 ) + е( 7)

к(7) = #'(7) + е(7) ' и известными автокорреляционными функциями Ях, (т), (т) , Де(т) , пологая при этом, что

рх= = рх]е = о . Очевидно, что корреляци-

0

СИСТЕМНЫМ АНАЛИЗ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ

Я =

(12)

онная матрица сигналов х (г) и 4( г) будет иметь вид:

Вх(*) + К(*) М*)

Ж*) К4'(*) + Ее(*) Решение задачи сводится к нахождению автокорреляционной функции произведения суммы зависимых сигналов:

2 (г ) = х (г )4(г ) = ( х' ) +е{г ))(4' ) + е(г)),

как математическое ожидание произведения:

Я (*) = М17 (г) 7 (г-*)|.

Раскрывая трехкомпонентную модель и исключая слагаемые, имеющие нулевое математическое ожидание:

х'(г) х' (г— *)4'( г )4\г-*)+ +х' (г) х' (г -*)е(г )е(г — *) + +4'( г -*)е( г )е( г— *) + +е2 (г)е2 (г— *) заменяя х' = х'(г), х2 ' = х'(г -*), 4 =4 (г), 42 = 4 (г -*), е1 =е(г), е2 = е(г -*) найдем функцию Я2(*) как:

Я (*) = М

(13)

Я (*)=

+^1?2е1е2 + + (е2— ^ )(е22— ^) х р (х1, х2,#1',#2,е1,е2) ¿х1ск'2 dе1dе2

(14)

ад ад ад

• =

d42

d42

х' х 2 41 42 р (х', х2) р (42,42) dx1

ад ад ад

• II „х; dе2

. . .

х1 х2 е1е2р (х1, х2 ) р (е1, е2 ) „х1

—ад —ад —ад

= Ях' (*) Яе(*),

ад ад ад

•з =

^2

d42

dе

42 42 е1е2р (x1, х2) р (е1,е2) dеl

—ад —ад —ад

= (*)Яе(*)

•4 =

dе

(е12)(е22) р (е1,е2) ^1=.

где р(х',х2,41',42,е1,е2) - п мерная нормальная плотность вероятности (п =6). Следует учесть, что в (13) входит слагаемое е2 (г)е2 (г — *), которое имеет ненулевое математическое ожидание (м |е2 (?)} = ^2), тогда на основе определения

автокорреляционной функции в подынтегральное выражение необходимо записать

(ех2 —о2е )(е^ —о2е ), как это и сделано в (14). Нахождение интеграла (14) значительно упрощается, если учесть условие некоррелированности сигналов входящих в трехкомпонентную модель системы сигналов, тогда:

=2я2 (*)

Выполнив интегрирование и с учетом корреляционной матрицы (12) получаем выражение для автокорреляционной функции произведения коррелированных сигналов:

я (*)=Ях (*) Я4(*)+К4(*).

Применив к полученному выражению теорему Винера-Хинчина (в косинусной форме), найдем свертку спектров для коррелированных сигналов:

(а) = 2

К (*)Я4(*) + Я4(*) С08(а*)d* .

Первое слагаемое подынтегрального выражения соответствует случаю некоррелированных сигналов. Два вторых слагаемых определяют дисперсию корреляционной составляющей при объединении погрешностей:

-М

а)аа =

Я (*) = • + •2 + •з + •4 ,

где:

dа

и \

Я2х4(*) С08(а*)d*

ад

ад

ад

ад

ад

ад

ад

о

ад

о

ад

ад

о

о

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

Следует отметить одну важную особенность, которую иллюстрирует полученный результат - наличие в сигнале постоянной составляющей, которая была исключена при нахождении кроскореляционной функции. При объединении погрешностей она должна быть учтена в виде сис-

тематической погрешности - М |Ар | = АБ, поэтому результат объединения не может быть представлен как ранее в (3) только дисперсией, введем обозначение:

!ш =

= . В \ АЛп ¡> + В ^ + В \Ар\+А 5,

несложно показать, что:

аб = ^ (°) = = ст%,

где рх^ - коэффициент корреляции сигналов х (?)

и 2( 7) .

Таким образом, наличие взаимной корреляции, при мультипликативном воздействии шумового сигнала, порождает систематическую погрешность в результатах измерения.

Пример 4. Рассмотрим функцию общей погрешности при тех же условиях примера 2. Дисперсия погрешности, обусловленная корреляцией, будет определяться соотношением:

ст

х2

х2

тогда суммарная погрешность:

х(А! =

1

„2 2 2 2Та^ +1

2 т

2 2 2 СТ СТ в

п х 2

+--

аТ +1 аТ +а Т +1

- + -

2

2 2 2 2 ¿пР^СТ2

2Та14 +1

+

+Рх2СтхСт2 или в нормированном виде:

!Ш =

а„ Т

/2 „2 _2

аТ +1 а Т + а2Т +1 2Та2 +1

- + -

22

- + -

+

х2

+Рх2 '

Перейдем к рассмотрению второй модели погрешностей (рис 1 б). При аддитивной погрешности выходной сигнал будет определяться уравнением:

У ) = к

\ к (7-т) х (г) ат + 2{т)

По аналогии с первой моделью, построение функции спектральной плотности погрешности воспользуемся матричным методом. В данном случае удобно представить модель в виде системы с тремя входами (рис. 5).

Рис. 5. Представление второй модели погрешности в матричном виде

Спектральная матрица системы входных воздействий:

И Б2(а)

8 = ^(а) ^х (©) Бх (®) ^(а) ^х (а) 8х (а) общее выражение функции спектральной плотности погрешности будет определяться как

б а (а) = б'(а)

8' =

0 0 -1

22 '

0 0

О (>)

т

0 0

8' = Ь • 8 • Ь ,

Б2 (а) ^ (а) Б2 (а)

Ях2(а) Бх (а)

Бх2(а) Бх (а)

^ (а) Бх (а)

1 -1 О(]а)

(15)

При отсутствии корреляционной связи между полезным и шумовым сигналами спектральная плотность будет определяться выражением:

ба (а) = I1 - О(а)2 бх (а) + Б2 (а),

таким образом, объединение погрешностей будет определяться выражением (9). Характерной особенностью данной модели является независимость случайной составляющей статической погрешности от вида функции ^ (а) и зависит только от

величины ст2:

В\А\ =

жк

Б2 (а)dа .

Пример 5. Для рассмотренных ранее примеров учет нормирующего преобразователя приводит к передаточной функции динамического

х

4

X

о

1

0

СИСТЕМНЫМ АНАЛИЗ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ

звена вида: О(]а} = к/(1 + ]Та). Дисперсия общей погрешности будет определяться выражением:

d ш=

а2?ч

а„ T +1

а

- + -

(gT )2

умножим числитель и знаменатель второго сла-

2

гаемого в полученном выражении на ах и выполним нормировку (разделим оба слагаемых на а^). Введем безразмерные коэффициенты В = Тах,

2 2 Н 2 2\

т] = а2 а I 1стх g ) - параметр определяемый конструкцией прибора и условиями работы, тогда:

Л1 а 1 = —^— + ],

В +1 В2

из полученного выражения достаточно просто получить соотношение для нахождения оптимального параметра В:

Bopt (r) = f + ^

9r + 36r2 +

27

+

8ц3 + 27rj2

27

+

+

4r2 +12r

9

3

3

-8r

8r3+27r2

1+ Re (G (у®))] S^a) da.

D <M = %

Пример 6. Дисперсия погрешности, обусловленная корреляцией сигналов, будет определяться выражением:

D МЛ =

2

жк2

2а1х,ах, ( ( к * * 1+ Re

2 2

1 + jaT

d a .

//

общее выражение для погрешности запишется в виде:

D Ш =

avTa„

а

2а

х^

[Ы+ g )T +1]

a

T +1 (gT )2 (gT )2 (ax4T +1)

В данном примере решение задачи в аналитическом виде крайне затруднительно, в частном случае решение может быть получено численным путём.

Рассмотрим случай с мультипликативной погрешностью для второй модели, сигнал на выходе преобразователя (рис. 1 б) будет определяться выражением:

> (t ) = -

h (t-т) х (т) dr + , ю

+J h (t-т) х (т) dT-%(r)

о

найдем дисперсию погрешности как математическое ожидание разности сигнала на входе и выходе:

V ад V |

9] + 36]

27 ^ 27 Рассмотрим вторую модель (рис. 1 б) при наличии корреляции, т.е. р^ Ф о, выполнив необходимые преобразования в (15) приходим к выражению вида:

I |2

-д(а) = 1 — О ((а) —

—2-х4 (О ( 7®))^ + ^(а),

анализ которого показывает, что объединение погрешностей в данном случае выполняется в соответствии с (11). Дисперсия погрешности, обусловленная корреляционной составляющей, определяется выражением:

D Ш= M

х(t) - Jh (t - т)х (т)dT -

—-J h(t-т)х(т)с1т-%{т)

0

или при переходе в частотную область:

( -ю

d ш=-

ж

J 1 - G ( ja)|2 Sx (a) da +

-ю ю

J da J Sz (u)S^ (a -u)du

2 -ю n

Л

v - 0 2

где Sz (a) = |G( j'a)| Sx(a) .

Далее задача распадается на два случай, наличие или отсутствие корреляции. Основываясь на ранее полученных результатах несложно получить выражения для каждого из рассматриваемых случаев. Однако получение наглядных аналитических решений в данном случае крайне затруднительно. Решение задачи оптимизации может быть выполнено на основе численных методов.

БИБЛИОГРАФИЯ

1. Кузнецов Б. Ф. Стохастические модели и методы анализа информационно- измерительных систем АСУ ТП. Ангарск : Ангарск. гос. техн. акад., 2007. 180 с. : ил. ISBN 5-89864-069-Х.

2. Вероятностные методы в инженерных задачах : справ. / А. Н. Лебедев, Д. Д. Недосекин, М. С. Куприянов, Е. А. Чернявский. СПб. : Энерго-

1

ю

0

ю

0

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

атомиздат. Санкт-Петербург. отд-ние, 2000. 333 с. ISBN 5-283-04739-3.

3. Яглом А. М. Корреляционная теория стационарных случайных функций. С примерами из метеорологии. М. : Гидрометеоиздат, 1981. 280 с.

4. Вероятностные методы в инженерных задачах : справ. / А. Н. Лебедев, Д. Д. Недосекин, М. С.

Куприянов, Е. А. Чернявский. СПб. : Энерго-атомиздат. Санкт-Петербург. отд-ние, 2000. 333 с. ISBN 5-283-04739-3. 5. Яглом А. М. Корреляционная теория стационарных случайных функций. С примерами из метеорологии. М. : Гидрометеоиздат, 1981. 280 с.

Миролюбов В. Н. УДК 517.51

НЕКОТОРЫЕ ПРОСТРАНСТВА, СВЯЗАННЫЕ С СИМВОЛАМИ ЛАНДАУ

В литературе по методам возмущений и асимптотическим методам часто встречаются разнообразные соотношения с символами Ландау ( о малым и О большим). Хотя отношения между функциями, выражаемыми этими символами, определены [1, гл.111, §2], нередко этим символам придаётся разный смысл: например, оф) может означать как одну функцию, так и класс функций. Эта особенность не всегда подчёркивается, и некоторые приводимые соотношения не доказываются, что создаёт определённые трудности в понимании текста.

Очевидно, что свойства пространств, элементы которых связаны с функцией сравнения одним из символов Ландау, индуцируют определённые свойства и на символы. Поэтому представляет интерес найти эти пространства и выявить их свойства, что позволит легче воспринимать и доказывать различные соотношения с символами.

В связи с этим в статье решается следующая задача: функция сравнения ф определена на некоторой проколотой окрестности фиксированной точки, требуется найти два функциональных пространства: в одном элементы связаны с ф символом О большое, в другом - символом о малое.

Приводятся примеры, иллюстрирующие, как свойства указанных пространств порождают соотношения с символами. Для множества функций, ограниченных на проколотой окрестности точки, находится фактормножество по отношению асимптотического равенства. По этому же отношению определяется класс эквивалентности ф.

1. Основные определения. В работе рассматриваются функции только одной вещественной переменной.

1) ф- функция сравнения, определённая на

V (х0 ,8), где V (х0 ,8) - проколотая окрестность точки х0, определяемая параметром 8. Если х0 £ Я, то 8 - упорядоченная пара положительных чисел; если же х0 совпадает с одной из бесконечно удалённых точек, то 8 - положительное число.

2) М(х0, 8) - векторное пространство функций, определённых и ограниченных на V (х0, 8), рассматриваемое вместе с операцией умножения. Следовательно,

М(х0, 8) - коммутативная алгебра с единицей.

3) т(х0, 8) - подалгебра алгебры М(х0, 8), элементами которой являются бесконечно малые функции при х ^ х0.

4) Е(х0, 8) = ф • М(х0, 8); е(ха 8) = f ■ т(ха

8).

5) С - множество функций, постоянных на

У(х0, 8 ):

С = {г'|Ух £ V(х ,8)(г'(х) = Г, Г £ я}

Ясно, что если у/ £ Е(х0, 8), а (р £ е(х0, 8), то по определению [1] эти функции связаны с функцией сравнения символом Ландау. Т.о., имеем: