CC BY
26
32. Балакин В. Н., Барашенков В. В., Усачев Ю. Е. Синтез устройства диагностирования по схемам алгоритмов управления // Автоматика и телемеханика. 1984. №6. С. 138-144.
33. Балакин В. Н., Барашенков В. В., Казак А. Ф,. Никищенков С. А. Устройство для контроля блоков управления. А.С. СССР 1365986. 1988. Би №1. 10 с.
34.Никищенков С. А. Функциональная диагностика реконфигурируемых транспортных технологических систем по информационно-логическим схемам процессов. Самара : СНЦ РАН, СамГАПС, 2005. 159 с.
35. Буинов А. Н. Построение управляющих автоматов с безошибочным поведением // Проектирование специализированных вычислителей и управляющих устройств. Иркутск : ИГУ,1984. С. 3-9.
36. Сапожников В. В., Сапожников Вл. В., Гессель М. Самодвойственные дискретные устройства. СПб. : Энергоатомиздат, 2001. 331 с.
37. Смолов В. Б., Чекмарев Ю. Д., Мухопад Ю. Ф. Использование системы геометрических кодов в ПЗУ. Изв. вузов. Сер.: Приборостроние. 1971. Т. 14. № 6. С. 73-79.
38.А.с. 1410101 СССР, G 11 С 11/40. Постоянное запоминающее устройство / Мухопад Ю. Ф., Чекмарев Ю. Д. № 4067826/24-24 ; заявл. 15.05.86 ; опубл.. 15.07.88, Бюлл. № 26. 3 с.
39. Самоконтролируемый автомат управления : пат. РФ № 63588 / Мухопад Ю. Ф., Мухопад А.Ю., Бадмаева Т.С. БИ № 15. 2007.
40. Мухопад Ю. Ф., Сербуленко Л. М. Автоматная интерпретация устройств контроля микропроцессорных систем // Микропроцессорные системы контроля и управления : тр. Сиб. науч.-техн. конф. (Новосибирск, 10-11 сент. 1992). Новосибирск : НЭТИ; Томск : ТИАСУР, 1992. С.41-49.
41.Новик К. В. Сеть автоматов для моделирования асинхронного взаимодействия процессов : ав-тореф. дис. ... канд. физ-мат. наук 05.13.18. М. : 2005. 22 с.
42. Вильнер П. Ю. Метод диагностирования отказов сложных технических систем с использованием сетей Петри // Информационные и математические технологии в науке, технике и образовании : тр. Х Байкал. Всерос. конф. Ч. I Иркутск : ИСЭМ СОРАН, 2005. С. 239-335.
43. Труды по теории синтеза и диагноза конечных автоматов и релейных устройств. СПб. : СПБ ГУПС, Изд-во Элмор, 2009. 899 с.
44. Мухопад Ю. Ф. Мухопад А. Ю. Методы синтеза автоматов управления на больших интегральных схемах // Проблемы информатики. 2011. №. 4. С. 17-28.
УДК 519.213 Кузнецов Борис Фёдорович,
д. т. н., профессор каф. АСУ, НИИрГТУ, e-mail: kuznetsovbf@gmail.com
Бородкин Дмитрий Константинович, к. т. н., доцент каф. ПЭиИИТ, Ангарская государственная техническая академия, e-mail: borodkin_dk@mail.ru
Лебедева Людмила Викторовна, редактор редакционно-издательского отдела, Ангарская государственная техническая академия,
e-mail: lyudmila_l_@mail.ru
КУМУЛЯНТНЫЕ МОДЕЛИ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ
ПОГРЕШНОСТЕЙ
B.F. Kuznetsov, D.K. Borodkin, L. V. Lebedeva
CUMULANT MODELS OF COMPLEMENTARY ERRORS
Аннотация. Предложено использование кумулянтов в качестве параметров моделей измеряемого сигнала и влияющих величин. Разработаны кумулянтные методы анализа нелинейных преобразований случайных величин и на их основе получены кумулянтные модели дополнительных погрешностей.
Ключевые слова: кумулянты, дополнительные погрешности.
Abstract. The use of cumulants as models of measured signal and influencing factors parameters is
proposed. Cumulant random variables nonlinear transformations analysis techniques are developed and complementary errors cumulant models are obtained.
Keywords: cumulants, complementary errors.
Введение
Совершенствование моделей методов анализа погрешностей позволяет повысить качество полученной информации об измеряемой величине, а также расширяет возможности для обработки результатов измерений. Аппарат теории вероятно-
Информатика, вычислительная техника и управление. Моделирование. Приборостроение. Метрология. Информационно-измерительные приборы и системы
ш
стеи и математическом статистики, применяемым в задачах анализа погрешностей, традиционно основывается на моментных методах, ограничиваясь при этом, как правило, моментами первого и второго порядка.
Благодаря высокому уровню развития вычислительной техники и информационных технологий повышается целесообразность применения более сложных моделей [1], например учитывающих числовые статистические характеристики более высоких порядков. В качестве таких характеристик кумулянты использовать удобнее, чем моменты, так как кумулянты первых четырех порядков имеют четкий статистический смысл и могут служить мерой отклонения закона распределения от нормального. В случае совокупности случайных величин учет совместных многомерных кумулянтов позволяет учесть статистические связи любого порядка, что особенно важно, если статистическая связь имеет нелинейный характер [2].
Бесконечный ряд кумулянтов дает такую же исчерпывающую информацию о законе распределения, как и функция плотности вероятности. Для построения приближенной кривой распределения, как правило, достаточно ограничиться рядом из четырех кумулянтов. Это делает использование конечного ряда кумулянтов в задачах анализа случайных величин и их преобразований удобным компромиссом между трудоемким и громоздким анализом преобразования функции плотности вероятности и анализом преобразования ограниченных по информативности, по сравнению с функцией плотности вероятности, математического ожидания и дисперсии случайной величины [2].
Всё вышесказанное обосновывает актуальность разработки кумулянтных методов анализа погрешностей. В связи с этим в данной работе предложен метод получения кумулянтов нелинейного преобразования случайных величин, который был применен для получения кумулянтных моделей дополнительных погрешностей.
Анализ случайных величин и случайных процессов и их преобразований является распространенной задачей научных исследований и инженерной практики, поэтому полученные результаты могут быть применены не только в задачах анализа погрешностей, но и для решения любых других задач, где используются статистические методы.
Кумулянтный анализ аддитивной дополнительной погрешности. Дополнительная погрешность является функцией влияющей величины [3]:
А ЙОй о), (1)
где е - влияющая величина, ) - функция влияния, Цо - значение влияющей величины, принятое при градуировке измерительного преобразователя. В случае, когда влияющих величин п,
п
А *„, = 2^- (в,-ц о,).
(2)
г=1
Кумулянтной моделью дополнительной погрешности является ряд выражений, позволяющих определить кумулянты дополнительной погрешности через многомерные кумулянты совокупности влияющих и измеряемой величин.
В случае, когда функция влияния линейна, а дополнительная погрешность носит аддитивный характер,
А аои = авЦ), (3)
где а - коэффициент влияния.
В данном случае кумулянты дополнительной погрешности определяются только кумулянтами влияющей величины следующим образом:
X А"" = ак г\, (4)
где к - порядок кумулянта, а - коэффициент влияния.
Это следует из известных свойств кумулянтов.
В случае, когда влияющих величин несколько, для определения кумулянтов дополнительной погрешности требуется вычислить кумулянты суммы случайных величин, каждая из которой является функцией случайных влияющих величин. Если при этом дополнительная погрешность имеет аддитивный характер, то в соответствии с (2)
п
А*„, = 2а,в, Ц) . (5)
г =1
Известно выражение, позволяющее определить кумулянты суммы случайных величин с учетом статистической зависимости между ними [2].
к!
в1 +в2 + ---+вп _ V ',ув1.в2.-вп /гТ\
Х к " 2 , I Ч I- • I !Х ^-'п . (6)
¡1 +¡2 + ---+1п 11 1 12 1 1п 1
С учетом коэффициентов влияния и свойств кумулянтов, выражение для кумулянтов дополнительной погрешности в случае, когда влияющих величин несколько и они статистически зависимы, примет вид:
Хк""1 =
кI -а'1 -а12 •---• а1
1 2 " "п XX . (7)
¡1+¡2+-+'п =к ¡11 • ¡2 1 •--- • ¡п 1
Совместные многомерные кумулянты независимых случайных величин равны нулю, поэтому в случае, когда влияющих величин несколько и они статистически независимы, кумулянты дополнительной погрешности определятся как:
п
х к
=Е «к х
(8) ы&М
I=1
I
е(0
х(0
Измерительный преобра-
Х/)=х(/)+ах(/)е(Л Лоп=
-►ОаХ(/)е(/)
х(^) = Цх + х ^ ) + Хк ^ ),
где х1
(') -
(
- - , 22/1,02ч, 2_,
?)}= а2 ^ х К + О х°в(1 + 2Р хе ) + + (12)
1+К2 О х + х ЦеСТ х ОеР хе ,
где рхг - безразмерный коэффициент линейной корреляции.
Выражения (11) и (12) были получены путем ряда преобразований квадрата произведения правых частей выражений (9) и (10) с использованием свойств математического ожидания. Ниже с помощью кумулянтных методов будет показано, что на математическое ожидание квадрата мультипликативной дополнительной погрешности влияет не только линейная корреляция, но и статистические связи более высоких порядков и что данные выражения могут быть получены более простым способом.
Представим сигналы х(0 и е(0 как совокупность нецентрированных статистически связанных случайных величин. Очевидно, что
М{а2х(02е(02} = < а2х(02е(02 > = а2а2Х2е, (13) то есть математическое ожидание квадрата произведений случайных величин есть совместный двумерный начальный момент четвертого порядка. Известна формула, выражающая этот момент через двумерные кумулянты:
«22 = Х22 + Х20Х02+2Х10Х12+2Х01Х21 +
+Х102Х02+Х012Х20+2Х112+4Х10Х01Х11+Х102Х012. (14)
Если из выражения (15) убрать члены, учитывающие статистические связи более высоких порядков, чем коэффициент линейной корреляции, получим:
М \к2доп ( )}=«2(Х20Х02+(Х10)2Х02+(Х01)2Х20+
+2(Хп)2+4Х10Х01Х11+(Х10ХЭ1)2), (15)
что, очевидно, совпадает с выражением (12), так
2 2 Хц как Х20= Ох , Х02= Ое , Х10= Мх, Х01= Це, Рхе= ,-= ,
Vх 20х02
и преобразуется в выражение (11), если принять Рхе = 0.
Преимущество кумулянтной формы представления (15) математического ожидания квадрата мультипликативной дополнительной погрешности перед компактной записью М {^2ои )} =а2а2х2е заключается в том, что каждый элемент этой формулы имеет четкий статистический смысл и такая модель может быть упрощена для различных частных случаев: наличия той или иной статистической связи.
Рассмотренный случай является примером того, как кумулянтные методы могут упростить решение некоторых задач анализа преобразований случайных величин.
Из схемы на рис. 1 видно, что задача получения кумулянтов мультипликативной дополнительной погрешности сводится к получению ку-
Л
Выражения (4), (7) и (8) являются кумулянт-ными моделями аддитивной дополнительной погрешности для случаев одной, нескольких статистически зависимых и нескольких статистически независимых влияющих величин.
Кумулянтный анализ мультипликативной дополнительной погрешности
На рис. 1 представлена структурная схема, отображающая процесс образования мультипликативной дополнительной погрешности [3].
Рис. 1. Структурная схема мультипликативной скалярной модели
Наиболее распространенным видом математической модели измеряемой величины является аддитивная модель вида
(9)
центрированный случайный процесс с
нормальным распределением и дисперсией ох ;
ц - смещение математического ожидания измеряемой величины относительно нуля;
хй(0 - детерминированная составляющая. Математическая модель влияющей величины имеет аналогичную структуру:
е(0 = Це+е ( ) + е л ( ), (10)
где цг - смещение математического ожидания влияющей величины относительно значения, которое принято при градуировке измерительного преобразователя.
Для данной модели существуют формулы для математического ожидания квадрата дополнительной погрешности [3]. Рассмотрим только те из них, которые не учитывают детерминированную составляющую.
Выражение для математического ожидания квадрата мультипликативной дополнительной погрешности при статистической независимых сигналах входного воздействия и влияющей величины выглядит следующим образом:
М {д2йоп (0}=«2 Й ^2 +О2 +^2+^2°2 }.(п) Аналогичное выражение для случая с зависимыми сигналами:
к
о
Информатика, вычислительная техника и управление. Моделирование. Приборостроение. Метрология. Информационно-измерительные приборы и системы
ш
мулянтов произведения двух случайных величин, умноженных на константу. Из свойств моментных и кумулянтных скобок следует, что кумулянты произведения константы на случайную величину равны произведению кумулянтов случайной величины на константу, возведенную в степень порядка кумулянта.
Более сложную задачу представляет собой определение кумулянтов произведения случайных величин. Для ее решения предлагалось использовать кумулянтные уравнения, и существует пример для получения кумулянтов квадрата случайной величины [2]. Даже этот простейший пример требует выполнения сложных математических операций, поэтому для решения наших задач мы будем использовать тот же подход, что и использовался для получения математического ожидания квадрата мультипликативной дополнительной погрешности.
Найдем формулу для дисперсии величины Адоп= ах(0е(0.
XXахвВ =< ахв, ахв >= =< (ахв)2 > - < ахв >2 = а2(аХВ - («Хв)2)-
(16)
Тогда зная, что [2]
«11 =Хп +Х10Х01, (17)
и подставив (12) и (15) в (14), получим
X 2Адоп) = а2(Х2оХо12+2Х1оХиХо1+2Х21Хо1+Хо2Х1о2+
+Х112+2Х10Х12+Х02Х20+Х22). (18)
Как было отмечено ранее, для построения приближенных кривых распределения достаточно кумулянтов первых четырех порядков, поэтому аналогичным способом были получены выражения для кумулянтов третьего и четвертого порядка мультипликативной дополнительной погрешности. Эти выражения представляют собой многочлены, являющиеся суммой соответственно 27 и 95 одночленов.
Иногда при учете статистической связи между случайными величинами достаточно ограничиться учетом только линейной корреляции. В этом случае в выражениях для кумулянтов мультипликативной дополнительной погрешности исключаются слагаемые, включающие в себя двумерные кумулянты порядка выше, чем %п. Тогда выражение для дисперсии мультипликативной дополнительной погрешности примет вид:
(А ) 2 2 2 2
X 2 доп = а (Х2оХо1 +2Х1оХ11Хо1+Хо2Х1о +Х11 +X02X20), (19) а выражения для кумулянтов третьего и четвертого порядка будут содержать соответственно 11 и 28 одночленов.
Если измеряемый сигнал и влияющая величина статистически независимы, то все совместные кумулянты будут равны нулю. В этом случае
выражения для кумулянтов мультипликативной дополнительной погрешности будут еще компактнее.
^ д ) 2 2 2
X2 доп = а (Х20Х01 +Х02Х10 +X02X20),
X 3Адоп) = a3(6X02Xl0X20X01+3X02X30X01+ +3XозXlоX2о+XзоXоl3+XозXзо+XозXlо3), Х(4Адоп} = a4(6x02X40X0l2+12x02X202X0l2+4x04Xl0Xз0+ +4X03X40X01+12xозXlо2X2оXоl +Xо4Xlо4+X4оXоl4+ + 12xо22XlоXзо+3xо4X2о2+12X03X10X30X01+12X022X102X20+ +3 X022X40+X04X40+6X04Xl02X20+12X02Xl0X30X012+
+ 12X03X202X01+6X022X202). (20)
Другим частным случаем является случай, когда измеряемая и влияющая величина распределены по нормальному закону, тогда, если они статистически независимы, дисперсия аддитивно-мультипликативной дополнительной погрешности будет определяться как
X2Адоп) = а2( X2оXоl2+2XlоXll Xоl +2X2l Xоl +Xо2Xlо2+
+Xl12+2Xl0Xl2+X02X20+X22), (21)
а кумулянты третьего и четвертого порядков будут суммой соответственно 22 и 68 одночленов.
Если измеряемая и влияющая величина распределены по нормальному закону и линейно кор-релированы
X2Адоп) = а2( X2оXоl2+2XlоXllXоl+Xо2Xlо2+Xll2+Xо2X2о),
х3Адоп) = а3( 6xl0Xll2X0l+2Xll3+6XllX20X0l2+
+6X02Xl02Xl1 +6X02X10X20X01 +6X02X11X20+ +6X10X112X01 +2Xll3+6Xll X20X012+6X02X102X11+
+6X02X10X20X01+6X02X11X20, (22)
X (Адоп) = а4(бХ„4+3бХ11^Х2^Хо12+12Хо^Х2о^Хо12+ + 12Хо22Х1о2Х2о+3 6Х02Х112Х2о+3 6хо^Ю2ХИ2+ +72Хо^1оХ1^.Х2оХо1+24Х1оХ11 3Хо1 +6Хо22Х2о2. (23) Самый простейший случай, когда измеряемая и влияющая величина распределены нормально и статистически независимы. Тогда
(А )
X 2 доп = а (X20X01 +X02Xl0 +X02X20);
x3Адоп) = a3(6xо2XlоX2оXоl);
X 4Адоп) = a4(12x02x202x0l2+12x022xl02x20+6x022x202). (24)
Таким образом, были получены первые четыре кумулянта мультипликативной дополнительной погрешности для общего и различных частных случаев: некоррелированные нормально распределенные сигналы; линейно коррелированные нормально распределенные сигналы; случай, когда требуется учет всех статистических связей и сигналы распределены по нормальному закону; некоррелированные сигналы с любым законом распределения; линейно коррелированные сигналы с любым законом распределения; случай, когда требуется учет всех статистических связей и сигналы распределены по негауссовому закону.
Кумулянтный анализ аддитивно-мультипликативной дополнительной погрешности
Аддитивно-мультипликативная дополнительная погрешность определяется как [3]
Адоп
= а1 х(0е(0 + а2в(^), (25)
поэтому задача отыскания кумулянтов аддитивно-мультипликативной дополнительной погрешности сводится к задаче отыскания кумулянтов полинома, которая была решена следующим образом: кумулянты одночленов а1х(^)е(^) и а2е(0 нам уже известны, совместные кумулянты совокупности этих одночленов найдены таким же способом, что и кумулянты а1х(^)е(^), а сумма этих одночленов найдена по формуле (6). Полученные формулы оказались еще более громоздкими, чем для мультипликативной погрешности, поэтому приведем только некоторые из них, например, для математического ожидания и дисперсии в случае линейно коррелированных сигналов
X( Адоп) = а^о+а^ХмХю+азХп, X 2Адоп) =а12Х2о+2а1а^юХ11 +2а1а2Хо1Х2о+а22Х2оХо12+ (26)
+2а2^Х1^Х1^^о1+а2^Хо^Хю2+а2^Хи2+а22Хо^Х2о, для статистически независимых сигналов
,(Адоп)_
Xl
= а^о+а^ХлХю,
X 2Адоп) = а1^Х2о+2а1а^Хо^Х2о+а2^Х2^Хо12+ (27) ,2 2,2 +а2 Х02Х10 +а2 Х02Х20,
для гауссовых статистически независимых сигналов
(А ) 2 3
Xз доп = 6а1а2Хо2Х2оХ1о+6а2Хо2Х1оХ2оХо1,
X (Адоп) = 12а12а22Хо2Х2о2+24а1а23Хо1Хо2Х2о2+ +12а24Хо2Х2о2Хо12+12а24Хо22Хю2Х2о+6а24Хо22Х2о2. (28) Заключение
Кумулянтные методы позволяют достаточно легко получить числовые статистические характеристики линейных и нелинейных преобразований
случайных величин, что было использовано для получения выражений для кумулянтов аддитивной, мультипликативной и аддитивно-мультипликативной дополнительных погрешностей через многомерные кумулянты совокупности измеряемой и влияющих величин для общего и различных частных случаев.
Если учитывать все статистические связи и закон распределения измеряемой и влияющих величин неизвестен, требуется учет всех многомерных кумулянтов совокупности этих величин. В этом случае выражения для кумулянтов дополнительной погрешности громоздки и предполагают разработку программного обеспечения, автоматизирующего требуемые вычисления. Особенно громоздки выражения для кумулянтов старших порядков. На практике, когда зачастую достаточно ограничиться учетом только линейной корреляции или измеряемая и влияющая величины статистически независимы, а также в случаях, когда эти величины распределены нормально, выражения для кумулянтов дополнительной погрешности принимают компактный вид и удобны для использования без специального программного обеспечения.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Кузнецов Б. Ф., Пудалов А. Д., Бородкин Д. К. Имитационное моделирование измерительных каналов в динамическом режиме // Приборы. 2007. № 9. С. 44-48.
2. Малахов А. Н. Кумулянтный анализ случайных негауссовых процессов и их преобразований. М. : Советское радио, 1978. 374 с.
3. Кузнецов Б. Ф. Стохастические модели и методы анализа информационно-измерительных систем АСУ ТП. Ангарск : Ангарск. гос. техн. акад., 2007. 180 с.
