Математическая модель и анализ влияния собственных шумов элементов схемы корректирующего канала на выходной сигнал измерительных преобразователей Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 621.317

Н. В. Громкое

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ И АНАЛИЗ ВЛИЯНИЯ СОБСТВЕННЫХ ШУМОВ ЭЛЕМЕНТОВ СХЕМЫ КОРРЕКТИРУЮЩЕГО КАНАЛА НА ВЫХОДНОЙ СИГНАЛ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЕЙ

В статье предлагается математическая модель и методика анализа влияния собственных шумов элементов схемы корректирующего канала с периодической коррекцией погрешности нуля УПТ на выходной сигнал измерительных преобразователей с целью минимизации порога чувствительности.

Усилители постоянного тока (УПТ) во многих устройствах преобразования сигналов малого уровня в частотно-временные сигналы являются одним из основных элементов схемы и служат как для усиления непосредственно информативного сигнала с выхода датчика измерительной цепи [1], так и для коррекции различных паразитных шумовых составляющих сигнала, связанных с действием дестабилизирующих факторов (температуры, вибраций, нестабильности напряжения питания и др.) [2, 3]. При этом существует проблема минимизации порога чувствительности преобразователей и уменьшения влияния собственных шумов элементов схемы. В данной работе предлагается математическая модель и методика анализа влияния собственных шумов элементов схемы корректирующего канала с периодической коррекцией погрешности нуля УПТ на выходной сигнал измерительных преобразователей.

Функциональная схема усилителя постоянного тока с коррекцией собственных шумов элементов схемы на базе одного операционного усилителя приведена на рисунке 1,а [4]. На рисунке 1,б представлены временные диаграммы, поясняющие работу схемы.

Работу схемы УПТ будем рассматривать, полагая коэффициент передачи ОУ К = ж, ивх1 = 0 и ивх2 = их , где их - потенциал относительно «земли».

В течение интервала времени Т1 ключ Кл1 замкнут, а ключ Кл2 разомкнут. При этом выходное напряжение будет представлять собой усиленную сумму входного напряжения и дрейфа

где Кос - коэффициент передачи УПТ с учетом звена обратной связи. В это же время конденсатор С через резистор Я будет заряжаться до напряжения, равного ЕДр, поскольку, как известно [5], разность потенциалов между точками «а» и «б» (см. рис. 1,а) будет равна Едр .

В течение интервала времени Т2 ключ Кл2 замкнут, а Кл1 разомкнут, и усилитель будет усиливать только входное напряжение их , т.к. Едр скомпен-

сируется напряжением на емкости С, т.е.

Я I

ивых1 = (иX + Едр ) 1 + Я _ ( (х + Едр ) Кос

V * м /

(1)

ивых2 КосР х.

(2)

к 2

а)

б)

В ИРП информативная составляющая входной величины подвергается операции интегрирования и интегральное значение выходного напряжения равно

_ ивых1т1 ив

ии

- + -

;вых 2Т2

(3)

или, обозначив (Т1+Т2)/Т1 = Q, где Q - скважность управляющих импульсов генератора импульсов (ГИ), имеем

^др

2

(4)

Как следует из выражения (4), влияние дрейфа операционного усилителя можно уменьшать в Q раз. По сравнению с известной схемой Принца [6, 7] в рассматриваемом УПТ отсутствует мультипликативная погрешность, равная 1^ и обусловленная тем, что в схеме Принца в режиме запоминания значения Едр входная величина отключается.

Приведенное выше описание работы схемы позволяет интерпретировать лишь процесс коррекции дрейфа и непригодно для анализа условий достижения минимума порога чувствительности, поскольку не учитывается, что дрейф ОУ - изменяющаяся во времени величина и обусловлена как дрейфом по напряжению, так и дрейфом входных токов [8, 9]. Для исследования условий минимизации порога чувствительности УПТ необходим более тщательный анализ, учитывающий динамику происходящих процессов.

Рассмотрим работу схемы в режиме запоминания дрейфа, при этом будем пользоваться схемой замещения, приведенной на рисунке 2.

В данном случае полагаем, что ивх1 = 0, ивх2 = 0 и ключи Кл1 и Кл2 имеют соответственно г0 = 0 и Л3 = да. Дрейф по напряжению учитывается в виде источника напряжения Едр; входные токи учитываются источниками

тока 1+ и J- соответственно по неинвертирующему и инвертирующему входам. Резистор Лвх учитывает конечное входное сопротивление ОУ, а резистор Лк применяется в схемах УПТ для уменьшения влияния входных токов [8, 9]. Потенциально-токовый граф [10] схемы (рис. 2) имеет вид (рис. 3), где

токовой ветви с комплексным сопротивлением Т = Л + соответствует

Ср

конденсатор С и резистор Л. Для потенциально-токового графа строим ОСГ, приведенный на рисунке 4, определитель которого равен

Бе^ = Гвх Т ((Лк + Л + Лк) + ((Л + Л + Л) + ) ( +1) - ) , (5)

или, с учетом Увх = 0,

Бе^ = У1К2Кк + Я2 + 2{т2 +1) - кг .

(6)

Выходное напряжение УПТ включает в себя, как указывалось выше, три слагаемых:

и№іх1 иЕдр! + UJ+1 + и3-х

(7)

Составляющая ивых1, обусловленная наличием Едр , может быть опре делена по формуле

. Кивх Едр _ -КЕдр [ 2 (1 + У1Я2) + У1ЯК Я2 + Я2 + Як ]

и

Е

др1

^др

БеЬ

(8)

Выражение (8) с учетом Т = Я +—— и формулы (6), а также при усло-

Ср

вии К ^ да может быть преобразовано к виду

иГ

Едр1

К2Л 1 + —

V

1 У

1+

Ъ + Ък Ъ2 + Ъ2 Ъ1 + /к’|2 Ср ^

Щ Щ

1 + ЪСр

др ’

(9)

где р - оператор Лапласа.

Как следует из выражения (9), выходное напряжение представляет собой результат прохождения шумового напряжения через фильтр с передаточной функцией

Не (Р) =

др

А Щ Л 1 + ^

V К1У

1+

Ък Ъ2 + Ъ2

Ъ1 + Ъ2

СР

1 + ЪСр

(10)

или

Не (Р) =

-^др

V

1У

Не (Р).

др

(11)

Амплитудно-частотной характеристике (АЧХ) фильтра с передаточной

функцией Не (р) соответствуют сопряженные частоты, равные

Едр

1

“■ = ІС ' “2 = '

Ък Ъ2 + Ъ2 Ъ1 + Ъ1 Ъ1 + Ъ2

(12)

С

причем всегда выполняется условие Ю1 > Ю2 . Отсюда следует, что указанный фильтр будет являться фильтром верхних частот для Едр, причем на частотах, больших Ю1, шумовое напряжение «усиливается» в а раз, где

а = 1 + -

1 +

к Л2

Ъ1 (1 + Ъ2)

(13)

Аналогичным образом определим составляющую выходного напряжения УПТ, обусловленную наличием входных токов 1+ и J_,

и = ки вх J + = г (Ък Ъ2 + Ъ2 + Ък)- КЪ2

UJ+ =---------= к ----------------------------

J+

и,_. = КЕГ = _ ^

Беї^

7Кг

J _

Беї

(14)

(15)

1

С учетом формулы (6) и при условии К ^ да выражения (14), (15) принимают вид

у+1

+ ’

1 У

иТ = J

2и -■

(16)

(17)

Из условия равенства систематических составляющих входных токов следует известное соотношение для выбора компенсирующего сопротивления Як [9]:

Ък =■

ЪлЯ

1“2

(18)

Ъ1 + Ъ2

Для определения условий заряда конденсатора С рассмотрим следующие передаточные функции: Н^ (р) - определяющую заряд конденсатора С от источника Едр ; Н^+ (р) - определяющую заряд конденсатора С от входного тока по неинвертирующему входу; Ни (р) - определяющую заряд конденсатора С от входного тока по инвертирующему входу;

ис (р) = Z [Увх ((к Ъ2 + Ък + Ъ2 )~К ] ,

Н1Е (р) =

Едр ( р)

(1 + ЪСр )Ве^

(19)

1

н /\= иС (р ) = г (-Ъ2 + ¥1Кк К2 + Кк + К2 ) .

1/+' ’ 1+(р) (1 + ЯСр)Бе^ .

Ни_ (Р) =

ис (Р)

/ _ ( р) (1 + ЯСр )Бе11

При подстановке формулы (6) в (19) и с учетом К^ да имеем

1

ны (Р)-

1 + ЯСр

(20)

(21)

(22)

т.е. в первом приближении можно считать, что конденсатор С заряжается от источника £др через резистор Я .

Аналогичным образом, полагая, что коэффициент передачи ОУ имеет достаточно большое значение и с учетом (18), имеем

Ни + (Р) =

Ни_ (Р) =

(1 + ЯСр)К ’

_К2 (1 + ЯСр) ) ■

(23)

(24)

Как следует из выражений (23) и (24), при больших значениях К конденсатор С практически не будет заряжаться от входных токов, а следовательно, при дальнейшем анализе эффектом заряда конденсатора С от входных токов можно пренебречь, т.е. схема будет эффективно корректировать лишь дрейф по напряжению.

Рассмотрим далее работу схемы в режиме коррекции дрейфа, при этом будем пользоваться схемой замещения, приведенной на рисунке 5, в которой начальное напряжение на конденсаторе С учтено в виде источника постоянного напряжения ис0 .

Соответствующие данной схеме потенциально-токовый граф и ОСГ приведены на рисунках 6 и 7.

Рис. 6

Определитель ОСГ (рис. 7) описывается формулой Бе12 = Гвх [Як (1 + УсЯ)(1 + УЯ2) + Я (1 + УсЯ) + Я(1 + УЯ)] +

+ЯкУс(1 + У^) + УсЩ + (1 + У.Я2 )( + УсЯ) - (1 + У 1^2) - К (1 + У1Я) + К, (25)

или, с учетом Увх = 0,

Бе12 = Ус (1 + УЯ2 ) + Як) + Ус^2 - КУсЯ. (26)

Как и в рассмотренном выше случае, выходное напряжение УПТ включает в себя три слагаемых, обусловленных наличием источников ЕДр, 1+ и

1 _, а также составляющую, обусловленную начальным зарядом конденсатора С ивых 2 = 2 + и1+ 2 + и1 2 + ис02. (27)

Составляющая ишх2, обусловленная наличием ЕДр, может быть опре делена по формуле

_(1 + У1^2 )УсЯ _ ЯкУс (1 + У1^2 ) - УсЯ2

и

Е 2

-с-др^

Беї

-КЕ

2

др ■

которая с учетом К ^ да преобразуется к виду

( р і ґ .. , - І1+р

ЕдР2 Р

и Е,,

V

V

р

+ -

р

Аналогичным образом получаем

иСо2 - _

р

р

Е - К' Е др “-к^др •

иСо -_КкиСо

(28)

(29)

(30)

Как следует из выражений (29) и (30), напряжение Едр будет компенсироваться напряжением ис0 и разница будет усиливаться в некоторое число раз - Кк , большее, чем коэффициент передачи УПТ (Кос) с учетом обратной связи.

Для составляющих выходного напряжения, обусловленных наличием источников тока, при К ^ да имеем следующие выражения:

ии + 2 -_Р2 и + -_Рк

Р

и +;

1

ии _ 2 -

Р2 +

Ро Р„ Ро Рь-Р

- + — + -

к“ 2

Р1 Р Р Р1Р

СР

(31)

(32)

Таким образом, составляющая, обусловленная наличием источника / + , как и в режиме запоминания (16), представляет собой результат прохождения тока / + через резистор Р2. Составляющая ивых2 от источника тока /_ по инвертирующему входу в режиме компенсации дрейфа представляет собой сумму токового шума Р2/_ и интеграла от тока /_ с весом

А -

Рт Р„ Рт Р„Р

1++■

- + — + ■

к \2

Р1 Р Р Р1Р у

(33)

Рассмотрим далее процесс перезаряда конденсатора С в режиме компенсации. Для этого определим следующие передаточные функции (при Увх ^ 0):

н2Е(р) -

1

иС (Р) -___________

Едр (р) КРСр

Н 2 и + ( Р ) -

_ V

р

р.

1 У

иС (Р) и+ (Р) Кивх Ср

(34)

(35)

(36)

Как следует из выражений (34), (35), при достаточно больших значениях коэффициента передачи КОУ заряд конденсатора С от воздействия источников J+ и ЕДр практически происходить не будет. В то же время конденсатор С будет заряжаться током J_. Это естественно, поскольку при больших значениях Явх ток J_ протекает непосредственно через конденсатор С, что является косвенной проверкой правильности полученных выше формул.

Приведенные выше результаты позволяют составить математическую модель коррекции собственных шумов элементов схемы ОУ, но не отвечают на вопрос «Каким образом в реальной схеме параметры ключевых элементов влияют на точностные характеристики УПТ?» Для ответа на поставленный вопрос, а также с целью оценки адекватности полученных результатов реально происходящим процессам рассмотрим в режиме компенсации схему УПТ, учитывающую конечные значения сопротивлений замкнутого г0 и разомкнутого ключей (рис. 8). Сопротивление Як в данной схеме отсутствует, поскольку не учитывается влияние входных токов.

X

N

и.

ВЫЖ —*

У

У

Пр

Рис. 8

Схеме (рис. 8) соответствует определитель

°е*3 - (1 + К¥вх)(*3Я1г0Я2 + Я1г0 + Я2г0 + Я1Я2) +

+ (1 - К)Я(оЪ + Ъ + го) + Я(2г0 + г0 + Я). (37)

С учетом Увх ^ 0 и У3 ^ 0 имеем

0^3 - Я1г0 + Я2г0 + Я1Я2 + (1 - К) Я(Я1 + г0 ) + Я(Я2 + г0 ) ; (38)

и при достаточно больших К

Бе13-(1 - К) Я ( + г0).

(39)

Выходное напряжение УПТ, очевидно, будет состоять из четырех слагаемых, обусловленных соответствующими источниками напряжений,

ивых Кивх

кя2 я

и

кя ( + Я2)

(1 - к )(я + г0я )вх1 (К -1) я ( + Го) вх2

К ( ЯЯ2 + Я( + ЯЯі + Го Яі + Я1Я2 + Го Я2)

(1 - к )(Я + Го Я)

+ К ( Г0 Я1 + Я1Я2 + Г0 Я2 + Я1Я2 + ЯЯ2 )

-Е +

Лдр г

и,

Со

(1 - К)( + г0Я)

С учетом К ^ да выражение (40) можно упростить и привести к виду

(4о)

ии

Я

-и,

вх1

Я1 + Я2

Я1 + Го Я1 + Го

Го Я1 + Я1Я2 + Го + ЯЯ1 + яя2

и

вх2

-иС + Е

СГ

др

1 + ■

Го

Я1 + Го

(41)

Как следует из выражения (41), коэффициенты передачи для полезных сигналов ивх1 и ивх2 зависят от размера сопротивления открытого ключа г0. Следовательно, на практике необходимо стремиться выбирать резисторы Щ и Я2 по возможности с большими сопротивлениями. В данной схеме не происходит полной компенсации Едр напряжением на конденсаторе иСо подобно тому, как это имеет место в схеме Принца.

Однако погрешность недокомпенсации

8 = -

Го

. (42)

Я1 + г0

может быть уменьшена путем выбора размера параметров Я1 и г0 из условия

Я1 >> г0 , (43)

что не противоречит приведенной выше рекомендации относительно увеличения стабильности коэффициента передачи УПТ. Таким образом, с учетом выполнения условия (43) в первом приближении можно считать

и

= -—и „1 +

Я1

я

и

вх2

1 У

\ я2 я2 ^ 1 + — + — Я1 я

(Едр -иСо ). I44)

Итак, математическую модель схемы, учитывающую коррекцию шумов в рассматриваемом УПТ, можно проиллюстрировать схемой, представленной на рисунке 9, где условно изображено формирование выходного на-

пряжения с учетом входного напряжения ивх, усиленного в

я1

раз, и

1 У

влияния соответствующих источников шума. Для дисперсионной оценки

влияния соответствующих источников шума на выходе усилителя можно воспользоваться следующей методикой.

Рис. 9

Как следует из выражений (16), (18) и (31), составляющая выходного напряжения ивых1, обусловленная воздействием источника тока 1+ , независимо от режима работы усилителя, представляет собой результат прохождения тока 1+ через резистор *2, т.е.

ивых1а) = 1+ (г) *2. (45)

Таким образом, если известна спектральная плотность тока 1+, например 01+ (ю), то дисперсия соответствующей составляющей шума может быть

определена по известной зависимости [11]:

п ж *2 г

V {1 + } = —2 101 (ю^ю . (46)

п +

0

Для тока же 1_, согласно выражениям (17) и (32), составляющая выходного напряжения формируется из напряжения 1_*2 и напряжения, пропорционального приращению интеграла от этого напряжения. Причем в соответствии с алгоритмом работы усилителя указанный интеграл всякий раз в начале каждого цикла коррекции равен нулю, поскольку емкость С в режиме запоминания (23), (24) от входных токов практически не заряжается. Для произвольного интервала времен [г0, г2] выражение для соответст-

вующей составляющей выходного напряжения может быть представлено в следующем виде:

] - (гг е[0, ^ ]

вых2

(t) =

t-tl

J_ (t)R2 + A J J_ (T)dT

при

(47)

t e [tl, t2 ]•

Таким образом, дисперсия рассматриваемой составляющей напряжения будет складываться из двух составляющих:

R2

{J _} = —— | Gj_ (ro)dro ; п J _

(48)

D

2

{J_} =------- [ [Gj_ (ю)\Hj (j®,ОІ drndt ,

n J J _

0 0

(49)

где А определяется выражением (33); И/(/т, і) - амплитудно-фазовая характеристика фильтра, с помощью которого учитывается явление интегрирования тока /_ в режиме коррекции; і - текущее время внутри интервала [0, Г2].

Исходя из алгоритма работы УПТ, передаточную функцию указанного фильтра логично представить в виде произведения передаточных функций фильтра, осуществляющего интегрирование, и фильтра, определяющего конечную разность первого порядка [12] , т.е.

Hj (p) =

l - e_pt Cp

(50)

Соответствующий модуль АФХ будет описываться выражением

. юг 2 sin

IHJ и'ю)|=—

2

(5l)

Как видно из рисунка 9, составляющая выходного напряжения ивыхз,

обусловленная наличием напряжения смещения Едр, во временной области

может быть представлена в виде двух составляющих. Дисперсия первой составляющей может быть найдена из выражения

i r2

l + —

R

Ъ

і

П(l + Ъ2 )2 0'

|НЕДр j) GE№ (®)d® , (52)

где Ое (ю) - спектральная плотность дрейфа нуля ОУ. Она обусловлена тем, что в момент запоминания, как следует из выражения (11), сигнал дрей-

фа, усиленный в

l +

R2

R

раз и прошедший через фильтр с передаточной

0

функцией НЕр (р), полностью проходит на выход усилителя. Умножение на 2 2

сомножитель Т /(Т-1 + Т2) учитывает то, что в течение интервалов времени Т2 значения соответствующей составляющей равны нулю.

Вторая составляющая выходного напряжения, обусловленная недоком-пенсацией напряжения ЕДр вследствие его флуктуаций, изображена с учетом

предположения, что конденсатор С заряжается до напряжения ЕДр в течение

интервала времени Т\, т.е. Т >> ЯС. Очевидно, что текущий размер напряжения недокомпенсации и представляет собой первую конечную разность напряжения ЕДр, усиленного в Кк раз (29), (30). Дисперсия напряжения и может быть определена как дисперсия шума со спектральной плотностью Ое (ю), прошедшего через фильтр, определяющий конечную разность первого порядка, и усиленного в Кк раз. Передаточная функция указанного фильтра равна

Нф (р) = 1 - е-рТ. (53)

Таким образом, имеем

К'2 “ 2 Ка

Б{иг-} = —— [Ое (ю)|Нф ()| ёю = —— [Ое (ю)8ш2юЙю. (54)

п др п др

Как следует из этого выражения, дисперсия БЩ} является функцией времени 7 е [0, Т2 ]. Следовательно, дисперсия рассматриваемой составляющей ивыхз, обусловленная наличием недокомпенсации напряжения Едр, может

быть определена как среднее значение дисперсий БЩ} при изменении параметра Т от 0 до Т2 . Математически это записывается следующим образом:

0 0

или, взяв интеграл по переменной Г , имеем

Б2 {Едр} =-----— 10Едр (ю)ё®--------— 10Едр (®) 2 ё®. (56)

1 -1 П •> др П др юТ2

0 ■ 2

Выражение (56) имеет ясный физический смысл, заключающийся в том, что первое слагаемое с точностью до постоянного коэффициента равно дисперсии собственно шума Едр ОУ без коррекции, а второе слагаемое

представляет собой дисперсию той части шума, которая компенсируется.

Используя данную математическую модель (рис. 10) и методику анализа влияния собственных шумов корректирующего канала в виде усилителя постоянного тока с периодической коррекцией погрешности нуля, можно минимизировать порог чувствительности УПТ данного типа и снизить его примерно в 100 раз.

Список литературы

1. Громков, Н. В. Преобразователи параметров резистивных датчиков в частотные сигналы / Н. В. Громков // Проблемы автоматизации и управления в технических системах. - ПензГУ, 2007. - С. 128-129.

2. Мокров, Е. А. Применение элементов системологии для минимизации влияния дестабилизирующих факторов на тонкопленочные тензорезисторные датчики давления / Е. А. Мокров, В. А. Васильев, Е. М. Белозубов // Датчики и системы. -2005. - № 3. - С. 10-12.

3. Васильев, В. А. Уменьшение влияния дестабилизирующих факторов на информативный сигнал датчиков / В. А. Васильев // Датчики и системы. - 2002. -№ 4. - С. 12-15.

4. Усилитель постоянного тока с автокомпенсацией дрейфа : заявка СССР / Андреев В. И., Громков Н. В., Шахов С. Б. Шахов Э. К., Шляндин В. М. - № 2934395/09 ; 03.06.1980.

5. Шахов, Э. К. О возможности аддитивной коррекции низкочастотной случайной составляя-ющей погрешности в структурах интегрирующих развертывающих преоб-разователей / Э. К. Шахов, В. М.Благоразумов, В. Г.Овчинников, В. М. Фролов // Структурные методы повышения точности, чувствительности и быстродействия измерительных устройств : тезисы докладов II республиканской научно-технической конференции. - Вып. 1. - Умань, 1975.

6. Гельман, М. М. Автоматическая коррекция систематических погрешностей в преобразователях «напряжение-код» / М. М. Гельман, Г. Г. Шаповал. - М. : Энергия, 1974. - 88 с.

7. Гальперин, М. В. Усилители постоянного тока / М. В. Гальперин, Ю. П. Злобин, В. А. Павленко. - М. : Энергия, 1978. - 248 с.

8. Марше, Ж. Операционные усилители и их применение / Ж. Марше. - Л. : Энергия, 1974. - 216 с.

9. Проектирование и применение операционных усилителей / под ред. Дж. Грэма, Дж. Тоби, Л. Хьюлсмана. - М. : Мир, 1974. - 510 с.

10. Анисимов, В. И. Топологический расчет электронных схем / В. И. Анисимов. -Л. : Энергия, 1977. - 240 с.

11. Орнатский, П. П. Теоретические основы информационно-измерительной техники / П. П. Орнатский. - Киев : Вища школа, 1976. - 432 с.