CC BY
16
Вестник Дагестанского государственного технического университета. Технические науки. № 23, 2011 4.
А-
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
УДК 004.942:621.317.08
Л.И.Сучкова, А.Г.Якунин ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ КВАЗИДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ ИНФОРМАТИВНЫХ СИГНАЛОВ МЕТОДОМ s-СЛОЯ
L.I.Suchkova, A. G. Yakunin ESTIMATION OF PARAMETERS OF THE DETERMINISTIC INFORMATIVE SIGNALS METHOD s- LAYER
Проведен анализ традиционных критериев оценки точности измерений при проектировании первичных измерительных преобразователей. Предложен метод е - слоя оценки параметров сигналов, неадекватно описываемых упрощенными моделями. Полученные результаты могут представлять интерес как при исследовании новых методов контроля, так и при разработке методов выделения информационных параметров нестационарных неэргодических квазидетерминированных сигналов в условиях априорной неопределенности значений параметров сопровождения.
Ключевые слова: модель е - слоя, потенциальная точность измерительных устройств, интервальная оценка, квазидетерминированный сигнал, априорная неопределенность.
The analysis of the traditional criteria to assess the accuracy of measurements in the design of primary measuring converters. The method of е - layer signal parameter estimation, inadequately described by the simplified models. The obtained results may be of interest in the study of new methods of control, so and in the development of methods of selection of the information parameters of non-stationary signals in conditions of a priori uncertainty of the values of parameters support.
Key words: model е - layer, potential accuracy of measuring devices, interval estimation, signal, a priori uncertainty.
Введение.
Информативный сигнал, формируемый и обрабатываемый современными информационно-измерительными системами, представляет собой
квазидетерминированную функцию времени, пространственных координат и параметров сопровождения. Эти параметры, в свою очередь, могут изменяться во времени, создавая неаддитивный шум, весьма далекий от стационарного эргодического случайного процесса.
Однако, в большинстве методов, посвященных анализу и моделированию сигналов, преобладает подход, при котором погрешность измерения создается аддитивным белым шумом, и оценивается только через дисперсию или среднеквадратичное отклонение [1-3].
Цель настоящих исследований - разработка метода нахождения интервальных оценок многопараметрического квазидетерминированного сигнала в условиях априорной неопределенности значений параметров сопровождения.
Обобщенная модель квазидетерминированного сигнала
В большинстве систем с цифровой обработкой модель выделения информационного параметра можно представить в виде последовательности процедур (операторов), сводящих действующий на входе преобразователя многомерный континуальный сигнал к одномерной непрерывной функции времени, затем - к к-мерному вектору наблюдений, а в конечном итоге - к точечной оценке m -мерного вектора параметров сигнала Л..
Вестник Дагестанского государственного технического университета. Технические науки. № 23, 2011 4.
-\-
Будем полагать, что входной сигнал преобразователя является в общем случае функцией пространственных координат т'={х,у,1} и вектора параметров X, часть компонент которого являются контролируемыми (информационными или измеряемыми) параметрами, часть - параметрами формы, а часть - неконтролируемыми параметрами сопровождения или обстановки.
В общем случае все компоненты вектора X являются функциями времени. Кроме того, время может входить в описывающую сигнал функцию и непосредственно, в качестве независимого аргумента. Однако с достаточной для многих практических приложений точностью при построении математической модели сигнала можно использовать квазистатическое приближение, согласно которому полагается, что, по крайней мере, за время одного измерительного интервала Х=еот1, а пространственное распределение сигнала сохраняется постоянным. Такой подход, позволяя исключить из модели сигнала зависящие от времени компоненты, вовсе не предполагает его полной стационарности. Действительно, предположим, что некоторый 1-й контролируемый параметр является функцией времени: Х1=Х($. В реальных системах информация о значениях Х() получается в фиксированные моменты времени интервалы между которыми определяются временем преобразования сигнала и временем, затрачиваемым на выделение полезной информации. Поскольку все реальные процессы подчиняются условиям Липшица, а ограниченность аппаратных и временных ресурсов систем управления, совместно с которыми работает измерительный преобразователь, не позволяет применять сложные методы интерполяции, частоту выборок значений X((1) обычно выбирают так, чтобы необходимая точность восстановления континуального сигнала Х((1) достигалась при линейной или параболической интерполяции, когда справедливо представление Х^) в виде:
Xсо+лц(^У2, (е (1)
где Х, Хц, Х21 - коэффициенты, остающиеся постоянными на интервале ^+1). Тогда можно всегда поставить в соответствие реальному динамическому сигналу с параметрами, задаваемыми выражениями вида (1), некоторый статический сигнал с дополнительно введенными параметрами режима работы преобразователя, который бы вызывал на его выходе в конкретные моменты времени такие же отклики, что и исходный непрерывно изменяющийся сигнал.
С учетом сделанных замечаний рассмотрим теперь собственно математическую модель входного сигнала. Для реального сигнала примем его представление в виде:
Ер (Х г) = Ед ° Еш ° Еф , (2)
где Ед - детерминированная составляющая сигнала, Еш - его случайная шумовая составляющая; а Еф - составляющая сигнала, отражающая влияние параметров, о которых отсутствует априорная информация. Здесь знак означает некоторую математическую операцию или оператор.
Детерминированная составляющая допускает описание конечным числом аналитических функций, используемых в ее математической модели. Модель для шумовой составляющей может быть основана на том предположении, что основной шум реальных первичных измерительных преобразователей может быть аппроксимирован в полосе усиливаемых частот белым шумом. Этот шум, после его приведения ко входу, будет всегда аддитивен по отношению к детерминированной компоненте сигнала. Таким образом, идеализированную модель сигнала можно представить в виде Ед+Еш. Однако реальный сигнал Ер , помимо Ед и Еш всегда будет содержать некоторый дополнительный компонент Еф, относительно которого у разработчика имеется минимум априорных сведений. Например, для оптических сигналов Еф представляет собой сопровождающий фон, для других сигналов он имеет иной физический смысл.
Будем считать, что функция Еф аддитивна по отношению к идеализированному сигналу Ед+Еш и представляет собой реализацию некоторого случайного процесса, характеристики которого соответствуют самой неблагоприятной ситуации. Для пояснения сказанного рассмотрим случай, когда детерминированная компонента Ед описывается функцией вида Ао-гее1(1/к)+А1, где А0, А1 -неизвестные величины с областями определения, заданными на интервалах (ЛО,Л+) и (Л[,Л+), k - масштабирующий множитель, гв& - прямоугольная функция. Пусть при этом Еф является реализацией гауссовского случайного процесса с корреляционной функцией Кф(ТьТ2), энергией £ф и является мультипликативной помехой. Тогда, чтобы представить Еф аддитивной помехой,
достаточно заменить Еф на величину, пропорциональную £ф ■ тах( Л(
+
Л + Л1
Ло
+
л[
), и
считать, что помеха с такими характеристиками действует на всей области определения входного сигнала. Если же Еф для того же сигнала Ед состоит из шума, отличного от нуля вне интервала (-к,к) и имеющего характеристики Яф1(Т1,Т2) и амплитуду Еф1, а также из мультипликативного шума, действующего на интервале (-к ,к) с характеристиками Ефм и Кфм (Т1, Т2) при максимальной амплитуде полезного сигнала, то аппроксимирующий аддитивный сигнал помехи будет определяться энергией с максимальным значением из Ефз или Ефм.
Требование аддитивности фоновой неоднородности позволяет упростить модель сигнала и обеспечить возможность получения аналитических решений для некоторых частных практически важных случаев, возможно, за счет завышения величины оцениваемых погрешностей. В зависимости от степени априорной неопределенности о виде функции Еф возможны различные способы ее задания. Первый, самый простой способ основан на представлении Еф в виде ансамбля функций, все значения которых лежат в пределах области У:
Еф€У, (3)
где область У ограничена поверхностями е'(г) и 8+(т). Очевидно, такие поверхности всегда существуют и их границы всегда конечны в силу конечности возможных значений реальных сигналов. Однако условие (3) является слишком слабым и ему, в частности, удовлетворяют классы кусочно-линейных, ступенчатых и других видов функций, для которых не соблюдаются условия непрерывности и гладкости. Поскольку таким функциям не могут удовлетворять реальные сигналы, можно ожидать, что рассмотренный способ задания Еф будет приводить к завышению оценок погрешности измерения.
Второй способ задания Еф сходен с предыдущим и отличается т него тем, что помимо выполнения условия (3) требует дополнительного соблюдения условия Липшица, которое может быть записано в виде:
\^Еф (г)|| < М, (4)
где М - некоторое конечное число. Поскольку верхняя граница для М легко устанавливается теоретически или из короткой серии опытов, а класс функций, удовлетворяющих условию Липшица, существенно уже, чем класс функций, удовлетворяющих только условию (3), нахождение точностных характеристик преобразователя при таком способе задания представляет большой практический интерес.
Третий способ описания составляющей Еф основан на ее представлении в виде суперпозиции определенных с точностью до параметра аналитических функций. Поскольку в соответствии с определением Еф предполагается, что вид таких функций не может быть найден из общих теоретических предпосылок (так как это переводило бы Еф в ранг детерминированной компоненты), удобно представлять сопровождающую фоновую неоднородность в виде ряда по системе ортонормированных функций:
+
Еф (г) = 22 ЦБф^ (г), (5)
¡=\;=1 к=1
или, в частности, для одномерных сигналов,
V
ЕФ(х) = 2 Ефт(х), (6)
г=1
где Еф1, Еф1^ - коэффициенты разложения, являющиеся параметрами сопровождения, а Vx, V,,, V, V - в общем случае неограниченное количество членов рядов, описываемых (5) и (6). Представление Еф в виде (5) или (6) можно рассматривать как каноническое разложение некоторого случайного процесса, если считать, что коэффициенты разложения являются случайными величинами и при каждом очередном наблюдении сигнала проявляют статистические свойства, т.е. принимают значения в соответствии с описывающей их функцией совместной плотности распределения. Однако рассмотрение рядов (5) и (6) как канонического разложения случайного процесса (а значит, и применение традиционных методов оценки потенциальной точности измерительных преобразователей) может быть оправдано в достаточно редких случаях. Это объясняется тем, что выбор системы ортогональных функций при составлении модели Еф чаще делается исходя не из линейной независимости коэффициентов разложения, а из простоты методики экспериментального определения их функции совместной плотности распределения. Поэтому коэффициенты разложения могут в общем случае оказаться зависимыми случайными величинами. А так как функция Еф описывает реальные физические процессы конечной амплитуды, функции плотности распределения по каждому параметру также будут иметь ограниченную область определения, причем
и
УЕф1 2 Еф1 < С, где С - некоторая конечная константа. В традиционных же моделях
г=1
случайных процессов область определения коэффициентов разложения обычно полагается неограниченной и считается, что функции плотности распределения подчиняются нормальному закону распределения.
Основное же отличие моделей (5) и (6) от модели случайного процесса заключается в том, что на интервале наблюдения часть коэффициентов разложения функции Еф может вообще не проявлять статистических свойств (что справедливо и для параметров обстановки, входящих в детерминированную компоненту сигнала).
Как было показано в работах [4,5], анализ и синтез преобразователей, в том числе оптико-электронных, удобно проводить с использованием квантификационных критериев, основанных на информационной теории измерительных устройств [2]. В соответствии с этой теорией объем информации (по Шеннону), получаемый о неизвестной величине Хг-, по
ее оценке определяется выражением [3]:
~ * * ~ ~
11(4 4) = н (4) - н (4 4) = -! р(4) 1п р(4 щ- + | р(4 4) 1п р(4 4 щ, (7)
ы ы
где Н * (4) и н*(4 ^) - приведенные энтропии неизвестной величины соответственно до и после измерения; р(Х) - априорная плотность распределения 4; р(Ц4) - апостериорная плотность распределения 1/, соответствующая ее оценке Л', ^ -
область определения 11.
Основным недостатком выбора выражения (7) в качестве квантификационного критерия является его зависимость от правила выбора решения при нахождении оценки значения контролируемого параметра, а также от значения других компонентов вектора 1. Этот же недостаток присущ и другим способам, когда квантификационные критерии задаются в виде дисперсии точечной оценки (потенциальной точности прибора), или, в
общем случае, в виде условного риска для выбранной функции потерь. В частности, выражение (7) соответствует случаю байесовской оценки при информационной функции
потерь. А так как эта функция зависит не только от значений Xi и , но и от правила выбора решения, задача получения оптимальной байесовской оценки для информационной функции потерь не может быть решена в общем виде. Следует также отметить, что переход от рассмотренных дифференциальных критериев к интегральным, определяемым как безусловный риск, не всегда может быть реализован на практике в силу неизвестности априорного распределения р(Х) .
В значительной мере перечисленные трудности и противоречия снимаются, если в основу поиска альтернативного варианта представления квантификационного критерия положить представление процесса выделения информации в первичном преобразователе как процесса кластеризации пространства параметров Z, пространства наблюдения U и
/V /V
пространства решения Z = {Л} [6]. Как показано в работе [5], в этом случае наилучшим критерием качества оценки параметра Xi является число классов разбиения Ri пространства Z на области, различимые с вероятностью Pdi:
Ri = ÎA-1(ÀМЛ , (8)
Li
где Li = (Л-À) - область определения Xi, A(Ài) = lim Aij , а Aj - реперные
hj i > Ri
точки в пространстве Z , определяющие границы j-го класса.
Входящая в выражение (8) величина А(Л ) является по своей сути интервальной оценкой параметра Xi. Однако при изменении условий кластеризации ее можно трактовать
и как дисперсию °i , или доверительный интервал точечной оценки с
апостериорным распределением р(Л ^ ), где X¡ задается некоторым оператором W, отображающим U в Z и минимизирующим условный риск
Pi =1c(Л' > Л)Р(Л' | Л Ж' , (9)
Li
функция потерь c(^, À) которого при выборе информационных критериев равна -lnp(X¡\Ài). При высокоточных измерениях p(ii| Л) = р(л|X¡) и выражение (9) для
информационной функции потерь с точностью до постоянной совпадает с выражением (7). Предположим теперь, что VЛ g Li выполняется условие
р( Ц Ài ) = k( Ài )p(k ( Ài )|Л- ), (10)
во всей области определения вид функции распределения неизменен и изменяется лишь ее масштаб по закону k(Л ). Тогда VЛ g L2- справедливо соотношение
А(Л ) = k-1( Л )Aoi
, где A0i определяется доверительной вероятностью Pdi ; при к(Л )=1 . В частности, всегда можно выбрать P^i так, чтобы A0i- =аi ; или чтобы Аш- =Аэг-, где
Аэг- = expH (л | Xi)=ст- k3 - энтропийная погрешность измерения [2]. Таким образом, при соблюдении условия (10) выражение (8) можно представить в виде
Ri = k0А-1 í k (ÀÀi )dÀi (11) Ll
где ¿0 - коэффициент, зависящий от способа задания интервальной оценки, а значит, и от условия кластеризации. В частности, если k(X) зависит от X и равно к , то Ri = кк0Ц / Aoi ,а
Ii (л | Х)= log2 Ri + C , (12)
где С - некоторая константа.
Учитывая наглядность заложенного в Ri физического смысла, независимость Ri от
априорного распределения р(Л) и простоту связи Ri с заключенным в сигнале объемом информации, выражение (12) целесообразно применять и при произвольных изменениях вида распределения р{Л | A¿) в области определения li . Тогда, обобщая выражение (12) на случай n контролируемых параметров, интегральный информационный
квантификационный критерий может быть представлен виде
n
I =Х log2 Ri (13)
i=1
Однако этот критерий не учитывает характер зависимости функции а{л ). Зададим эту зависимость выражением вида:
А{Л) = Azi + 7si{¿i - ¿zi), (14)
где Azi - погрешность нуля первичного преобразователя, ysi - относительная погрешность чувствительности, а zi - значение параметра, соответствующего нулевой точке отсчета.
Если от преобразователя требуется минимум относительной погрешности измерения, то наиболее жесткие требования предъявляются к величине Az при ограничениях на ys, тогда как при минимизации абсолютных погрешностей желательно, чтобы ys = 0 (например, при измерении линейных перемещений). В общем же случае может потребоваться минимизация величины J = wz¡Az¡ +a>SiYSi, где G>zi,as¡ - некоторые весовые коэффициенты, пропорциональные важности минимизации соответствующей погрешности. Очевидно, зная истинное распределение A{A¿ ), всегда можно подобрать
такие коэффициенты функции A (Л) (необязательно заданной выражением (14)), чтобы соблюдалось условие:
sup {Ai{л)-Ai{л)}= 0, (15)
л eLi
Принципиально возможны и иные способы аппроксимации а(л ) , однако применение условия (15) исключает возможность появления на шкале отсчета участков, фактическая погрешность которых превышает ожидаемые значения. Тогда, заменяя функцию а(л ) на A (л), окончательное выражение для квантификационного критерия примет вид
10 =£ log2 R0, (16)
i=1
где
Ro = JA-1 (Л, (17)
Li
Наличие линейной связи между различными видами интервальных оценок позволяет применять для получения зависимостей а(л ) хорошо отработанные методы нахождения дисперсии точечной оценки. Однако, такие методы применимы лишь в условиях высокой
А-
точности измерения всех входящих в сигнал параметров, когда точечные оценки асимптотически эффективны и нормальны. В реальных же ситуациях требование малости дисперсии оценки по сравнению с областью определения неизвестной величины может не соблюдаться для целого ряда сопровождающих параметров, которые к тому же имеют конечную область определения. А это, в свою очередь, приводит к возникновению сверхэффективных оценок и нарушает однозначное определение условного риска даже для фиксированного значения вектора Я.
В связи с этим необходим расчет информационных критериев через параметры интервальных, а не точечных оценок. Однако, методы нахождения таких оценок разработаны только для ограниченного круга задач и они не могут быть непосредственно использованы для анализа и синтеза первичных измерительных преобразователей. Поэтому разработка новых методов нахождения интервальных оценок для произвольных видов функций плотности распределения влияющих параметров, а также для континуальных и векторных сигналов является наиболее важной задачей, от решения которой зависит возможность практического применения рассмотренных квантификационных критериев для синтеза и анализа контрольно-измерительных устройств и информационно-измерительных систем.
Нахождение интервальных оценок многопараметрических квазидетерминированных сигналов в условиях априорной неопределенности
методом 8-слоя
Одним из наиболее простых методов непосредственного нахождения интервальной оценки в условиях априорной неопределенности, обеспечивающим получение наглядных качественных, а в некоторых случаях и количественных результатов, является метод, основанный на применении модели е-слоя.
В соответствии с этой моделью предполагается, что каждая точка г сигнала Е(г, Я) может быть определена с точностью до некоторого интервала (Е(го, Я)-е-(го),Е(го, Я) + е+(го)), то есть наблюдаемый сигнал имеет некоторый слой
неопределенности, причем в общем случае толщина в-слоя неодинакова для положительных и отрицательных отклонений и является функцией пространственных координат. В зависимости от постановки задачи и характера априорной неопределенности физический смысл, закладываемый в в-слой, может быть различным. Так, если считать, что процесс измерения сопровождается некоторой погрешностью, абсолютное значение
которой равно уо + 7бЕ(г, Я) (где уо -погрешность нуля, а уя - относительная погрешность чувствительности [7,8]), то е+(г) = е~(г) = [уо + уsE(г, Я)]/2 . В частности, если в области допустимых значений Е(г, ) можно пренебречь мультипликативной составляющей, то
е+(г) = е~ (г) = ео, где ео - постоянная величина, которая может определяться, например, через динамический диапазон используемого в первичном преобразователе сенсора.
В другой трактовке можно считать, что Е(г, Я)- это модель сигнала, а е -слой -погрешность этой модели. Действительно, любой сколь угодно сложный сигнал всегда можно представить в виде суммы Ет (г, Я) + Еп (г), где относительно Еп (г) можно достоверно утверждать, что ее значения лежат в пределах соответствующим образом выбранного е -слоя, а Ет (г, Я) - достаточно простая модель сигнала. Можно также полагать, что Еп (г) - некоторая помеха или фоновая неоднородность, возможные значения которой ограничены е - слоем.
Очевидно, модель е-слоя является полностью детерминистской, так как не предполагает возможности сужения интервала неопределенности наблюдаемых значений сигнала по мере увеличения числа выборок (хотя в принципе такой подход возможен,
если считать, что в- это дисперсия или доверительный интервал некоторого стационарного случайного поля, обладающего эргодическими свойствами). Поэтому применение модели позволяет получать лишь интервальные оценки с единичными квантилями.
Для нахождения таких оценок воспользуемся методом теории чувствительности [9] , для чего представим сигнал в виде
Е(г, Л) = Е(г, Ло) + Ж(г, Л /¡о), (18)
где 5Е - вариация сигнала, обусловленная отклонением вектора параметров Л относительно его фиксированного значения Ло.
Очевидно, такие вариации будут неразличимы в пространстве наблюдений до тех пор, пока соблюдается условие:
— е~ (г) <Ж(г, Л, Л0) <е+ (г). (19)
Полагая, что толщина в-слоя достаточно мала, для представления 8Е(г, Л, ¡о) можно воспользоваться линейным приближением:
SE(r, X, 4)) = ^^ | х=V я - х^. (20)
В частном случае, когда вектор Л содержит п компонент, выражение (20) может быть записано в виде:
п
5Е(т,Л, Ло) =28(г, Ло)АЛ- , (21)
г=1
где Д/ = Л — ЛоI - отклонение i - параметра от его фиксированного значения, а Si(г, Л) = дЕ(г,Л)/д/ | л=л - функция чувствительности по 1-му параметру.
Тогда, подставляя (21) в (19), можно получить выражение относительно области допустимых отклонений для любого i -го параметра, которая и будет являться его интервальной оценкой, соответствующей Р^ = 1. При этом интересно отметить, что если 8 образуют систему ортогональных функций, то решение неравенства (19) распадается на п независимых решений. В общем же случае получение интервальных оценок для п произвольных параметров сопряжено со значительными математическими трудностями и аналитические решения могут быть получены только для некоторых частных задач.
Так, например, если положить е+(г) = е~ (г) = о, то область неопределенности ДЯ
-|2
n
Z Si (r, Л))АЛ i=1
dr, который следует
может быть найдена из анализа функционала JЕ = J
Dr L
положить равным нулю. Очевидно, если Si - класс линейно независимых функций, то Vi е 1n АX = 0 .
Предположим теперь, что сигнал содержит только один оцениваемый скалярный параметр X , а для всех остальных параметров сопровождения Si представляют собой взаимно ортогональные функции, причем n ^ да. Положим также, что наряду с оцениваемым вектором параметров Я имеется вектор сопровождения Д описывающий условия, при которых осуществляется наблюдение, причем для всех компонентов Pi точно известны границы области их определения. Тогда, представляя функцию чувствительности S х в виде ряда по системе функций Si, получим, что А+ = sup pt+/Sц ;
А-х = inf Д- / S Xi, где i е 1,n, Ах е (Ах, А+), Sxi - коэффициенты разложения функции Sx ,
а р+ и р- - соответственно нижняя и верхняя граница области определения i -го сопровождающего параметра. Полученный результат можно рассматривать как решение задачи нахождения интервальной оценки с Рд = 1 для сигнала, описываемого уравнением
v
E(x) = Ед(x,x) + Z Ефя%(x) + Еш(x), (22)
i=1
где Ед (x,2) - детерминированная компонента сигнала, Еф( = — JЕф (x)%i(x)dx;
lx Lx
Lx = (x , x + ) - область определения сигнала, a Lx = x+- x . При этом полагается, что область определения ^t =(, Еф) неизвестных параметров Еф1, много больше среднеквадратического отклонения их оценок, v , а интервал наблюдения неограничен и Еш(x) можно положить равным нулю. При этом Еф1 = fa , Si = x¥i(x), а Sxi = Egi(X) \x=x .
Для случая, когда сигнал является функцией только одного параметра, может быть тоже получено точное решение неравенства (19), задаваемое квантором
VAx е LA^3r е Dr (г,*о)*Л > е+ v Sx(r, Aq)Aa < е- }, (23)
где La = (Ax, A+)- искомый интервал, а Dr - область определения сигнала. На основании (23) границы интервала La могут быть найдены из выражений
A+= inf G+; A^= sup G-, (24)
где G+ с G^ и G- с G^ - подмножества множества G^, образованные соответственно из только неотрицательных или из только неположительных его элементов. Множество G^, в свою очередь, есть компакт и представляет собой объединение подмножеств G) ^ G, элементами которых являются значения Ax или области таких значений, удовлетворяющие кванторам:
[AxSx(r,X)) = е+(r) л grad\AxSx(r,X) s+(r)l= 0 vAxSx(r,Ao) =[
VAx е G3r е Dr j
[=е (r) л grad
AXSX(r,Xo) -е (r)
WA n lAxSx(r,Xo) = е+(r)л(grad
VAXe G03r е D0r j
[=е (r) л (grad
AxSx(r,X))-е+(r)
0 J
V(r) = 0) vAxSx(r,xo) =
V(r) = 0)
(25)
(26)
'[Л^Г,^}(Г)
где Вог^Ог - подмножество точек г , расположенных на границе области определения сигнала, а V - вектор, направленный по касательной к контуру границы в точке геБог. Графическая иллюстрация решений, задаваемых выражениями (24-26), приведена на рисунке 1 (для одномерного сигнала), где 1 - Л^Бх(х,2); 2 - Л-^(х,2); 3 -
Л+^ (х, 2) для Л~Л<ЛЛ< Л+ (Л+ > 0; Л^ < 0)
В частности, если е+(г) = е£, а е~(г) = е-, где и е- некоторые константы, то
л+ „ :±+
Ax = min{?+ /maxSx(r,xj);-е0 /minSx(r,x))}, (27)
A-x= max{?+ /minSx(г,Л));sq /maxSx(r,4))} (28)
где глобальные экстремумы функции чувствительности могут быть найдены путем сравнения значений в точках г е ВоГ со значениями локальных экстремумов функции чувствительности внутри области БГ для которых gгadSл(г,2) = 0.
Вестник Дагестанского государственного технического университета. Технические науки. № 23, 2011 4. -\-
Рис. 1. Графическая иллюстрация метода е-слоя
Если же сигнал - многопараметрическая функция, то даже при отсутствии точного решения хороший качественный анализ может быть проведен путем оценки взаимного влияния отклонений параметров Дш-, а также оценки их границ по выражениям (27,28) в
предположении, что Д . = 0 при у ф I. В некоторых частных случаях возможно также
численное решение неравенства (19) путем сведения его к задаче линейного программирования.
Однако, несмотря на простоту модели е - слоя, ее применение может давать завышенные значения для интервальных оценок. Определенные проблемы вызывает вопрос нахождения параметров модели [10,11]. Такая модель не позволяет также оценить возможность сужения интервала неопределенности за счет некоторой потери качества оценки. Кроме того, метод е -слоя не определяет оптимальных решающих правил и не учитывает статистических свойств заданных на е -слое функций, а значит и не позволяет находить интервальную оценку по конкретной реализации сигнала и определять статистические свойства интервальной оценки. И, тем не менее, данная модель вполне работоспособна и может быть успешно использована в практических приложениях [1215].
Выводы и основные результаты исследования.
1. Для учета в расчетах метрологических характеристик первичных преобразователей некомпенсируемых систематических погрешностей в большинстве практических случаев в модели сигнала достаточно использовать квазистатическое приближение, представляя модель в виде композиции многопараметрической квазидетерминированной компоненты и фиксированной на интервале измерения фоновой неоднородности. Одним из удобных способов задания такой неоднородности является описание ее в виде канонического разложения в ряд по системе ортогональных функций, коэффициенты которого в конкретной реализации сигнала являются неизвестными величинами и проявляют статистические свойства только в генеральной совокупности наблюдений. При большой степени априорной неопределенности о статических свойствах фона, либо для случаев, когда такой фон даже в генеральной совокупности испытаний не обладает свойствами эргодичности и стационарности, более целесообразно описывать его в виде модели е-слоя - класса ограниченного по амплитуде и по первой производной функции.
2. Метод е-слоя позволяет заменить статистические расчеты расчетом интервальных погрешностей, что обеспечивает повышение качества проектирования преобразователей и их звеньев за счет применения более адекватной математической модели сигналов. Проведенные исследования показали перспективность применения метода е-слоя для расчета погрешности различных видов первичных преобразователей. При этом для проведения синтеза и анализа таких преобразователей удобно применять интервальные
А-
квантификационные критерии, получаемые из расчета зависимостей минимаксных интервальных оценок контролируемых параметров от значений этих параметров. Для того, чтобы такие критерии учитывали прагматическую ценность доставляемой информации, при их расчете реальный вид получаемых зависимостей следует заменять их аппроксимацией сверху функциями, учитывающими желаемые для разрабатываемого преобразователя свойства погрешностей измерения.
3. Методы, основанные на применении модели фоновой неоднородности в виде е-слоя обеспечивают расчет интервальных оценок при близких к единице значениях доверительной вероятности. К недостаткам метода следует отнести возможность получения слишком сильного загрубения результатов вычисляемой погрешности, а к достоинствам - надежность и достоверность получаемых решений, поскольку фактические погрешности измерения проектируемых устройств никогда не будут превышать расчетных значений.
Библиографический список
1. Фалькович С.Е., Хомяков Э.Н. Статистическая теория измерительных систем.-М.: Радио и связь, 1981.-288 с.
2. Куликовский Л.Ф., Мотов В.В. Теоретические основы информационных процессов.-М.; Высш. школа, 1987.-248 с.
3. Иванов Ю.П.., Бирюков Б.Л. Информационно-статистическая теория измерений. - СПб.: ГУАП, 2008. - 160 с.
4. Якунин А.Г. Выбор квантификационных критериев для синтеза и анализа ОЭП многопараметрических квазидетерминированных оптических сигналов//Оптические сканирующие устройства и приборы на их основе, ч.1: Всес.конф. Тез.докл.-Барнаул.-1986. -с.169-170.
5. Якунин А. Г. О взаимосвязи информационных квантификационных критериев с точностными характеристиками ОЭП//Координатно-чувствительные фотоприемники и оптико-электронные устройства на их основе, ч.2; Всес.конф. Тез.докл.-Барнаул, 1987.-с.215-219.
6. Патрик Э. Основы теории распознавания образов; Пер. с англ./ Под ред. Б.Р.Левина.-М.; Сов. радио, 1980.-408 с.
7. Рабинович С.Г. Погрешности измерений.- Л.: Энергия,1978.- 262 с.
8. Зайдель А.Н. Погрешности измерений физических величин. - Л.: Наука, 1985. -
112 с.
9. Рубан А,И. Идентификация и чувствительность сложных систем,— Томск: ТГУ, 1981.-302 с.
10. Якунин А.Г. Оценка возможности экспериментального определения параметров модели е-слоя // Материалы Второй Международной научно-технической конференции «Измерение, контроль, информатизация». - Барнаул, 2001. - С. 54-56.
11. Якунин А.Г., Сучкова Л.И. Выбор параметров модели е-слоя для сигналов с фотоэлектрического растрового измерителя линейных перемещений //Пятая краевая конференция по математике: Материалы конференции. - Барнаул, Изд-во Алт. ун-та, 2002. -С. 80-81.
12. Якунин А.Г., Сучкова Л.И. Применение метода е-слоя для оценки погрешности определения линейного перемещения в спирометрическом комплексе // Материалы Международной научной конференции «Информационные технологии в естественных, технических и гуманитарных науках». Часть 2. - Таганрог, 2002. - С. 60-61.
13. Сучкова Л.И., Якунин А.Г. Применение метода е-слоя для оценки погрешности определения линейного перемещения в спирометрическом комплексе // Материалы Международной научной конференции «Информационные технологии в естественных, технических и гуманитарных науках». Часть 2. - Таганрог, 2002. - С. 60-61
Вестник Дагестанского государственного технического университета. Технические науки. № 23, 2011 4. -\-
14. Сучкова Л.И., Якунин А.Г. Прогнозирование нештатных ситуаций в системах контроля и управления на основе модели е-слоя// Материалы 10-й Международной конференции «Измерение, контроль, информатизация». - Барнаул: АлтГТУ, 2009.- С. 103-105
15. Сучкова Л.И., Тушев А.Н., Якунин А.Г. Применение модели е-слоя для повышения надежности синтеза и анализа контрольно-измерительных устройств// Надежность. - М.:2003. - № 2. - С. 41-47.
