CC BY
37
УДК 004.021
Л.И. Сучкова, А.Г. Якунин
Метод е-областей оценки состояния объекта контроля в линейном приближении модельной функции
Рассматривается метод оценки состояния объекта контроля, основанный на вычислении в режиме реального времени области допустимых значений параметров линейной модельной функции, описывающей детерминированную составляющую наблюдаемого сигнала. Рассмотрена модификация метода, учитывающая скорость изменения функции сопровождения, формирующей область неопределенности амплитуды сигнала.
Ключевые слова: объект контроля, модельная функция, метод е-областей, функция сопровождения.
Постановка задачи. Решение задач оценки состояния объекта контроля основано на обработке информационных сигналов, которые в общем случае зависят от случайных факторов и не могут быть заданы аналитически как функция времени. Учет априорной неопределенности при обработке сигналов рассмотрен в интервальном анализе [1-3], однако его методы предполагают наличие аналитической зависимости между выходными переменными у, входными переменными х и параметрами а. В работах [4, 5] с применением метода е-слоя рассмотрена интервальная оценка потенциальной точности измерительных преобразователей и погрешности методов контроля, для которых отсутствует аналитическая зависимость вида у = F(x, a). Однако применение метода е-слоя дает завышенные значения для интервальных оценок, и его модель не позволяет сузить интервал неопределенности. Кроме того, не учитываются свойства заданных на е-слое функций, что не дает возможности нахождения интервальной оценки по конкретной реализации сигнала. В связи с этим возникает противоречие между необходимостью оценки параметров сигнала и соответственно состояния объекта контроля в режиме реального времени и отсутствием метода для нахождения области допустимых значений параметров сигнала в пространстве параметров по его реализации. Разработка указанного метода для случая линейного приближения при описании модельной функции на интервале наблюдения является целью данной работы.
Будем считать, что сигнал является в общем случае функцией пространственно-временных координат гТ = (х, у, z, 0 и вектора параметров X. Область координат разбита на множество доменов DM = ^т^}, |DM| = Q, в каждом из которых сигнал характеризуется своей моделью поведения. Пусть с учетом погрешностей измерений и влияния случайных факторов модель реального сигнала в каждом домене q имеет вид
Y(г,Х) = Emq (г,Х) + Фq (г), где Y (г ,Х) - наблюдаемая реализация сигнала, Emq (г ,Х) - определенная с точностью до параметров модельная функция, описывающая сигнал, с номером типа m из группы функций {Em (г,Х)}, т е{0,1,...,N}; Фq (г) - функция сопровождения. Аналитический вид функции сопровождения Фq (г) неизвестен, однако область ее значений ограничена в силу ограниченности амплитуды реального сигнала. Рассмотрим случай, когда область значений функции сопровождения принадлежит интервалу [-е- ,е+], где е- ,е+ - неотрицательные величины, для которых выполняются соотношения | е- |<<| Ет(г,Х)|, | е+ |<<| Ет(г,Х)|. Ансамбль Фq (г) образует слой неопределенности в окрестности модельной функции, толщина которого в общем случае может зависеть от г. Основным требованием к модельной функции являются непрерывность и простота вычисления в реальном времени на устройстве с ограниченными вычислительными возможностями. Для компонент вектора X в общем случае не выполняется условие независимости, и их интервальные оценки представляют собой область в пространстве параметров, которая должна изменяться в процессе обработки данных реализации сигнала.
Метод нахождения интервальных оценок параметров X при условии ограниченности области значений функции сопровождения Фд (г) будем реализовывать как итерационную процедуру. На
каждой итерации осуществляется уточнение границ области допустимых значений интервальных оценок в пространстве параметров и сравнение этой области с областью значений параметров, соответствующих либо нештатной ситуации на объекте контроля, либо его штатному состоянию.
Для простоты вектор г представим единственной временной компонентой ?, что не является принципиальным ограничением. Определение области Л допустимых текущих интервальных значений параметров X осуществляется в соответствии с типом модельной функции. Для простоты изложения метода рассмотрим линейную модельную функцию Е\ (г,Х) — Х1 - г + Хо .
На первой итерации метода по реализации сигнала в точках г = 0 и г = йг с учетом области значений функции сопровождения вычисляется интервал для параметра Х0, так как согласно типу модельной функции параметр Х1 при г = 0 не влияет на ее значение. При этом верхняя Хтах и нижняя Хтіп границы оценки параметра Х0 равны
Хтах1 = у (0,Х)+8-, С11 = у (0,Х)-8+. (1)
Цифра в верхнем индексе параметра соответствует номеру итерации алгоритма. Оценки верхней и нижней границ параметра Х1 зависят от значений параметра Х0, поэтому будем вычислять оценки параметра Х1 в точках, где параметр Х0 принимает минимально и максимально возможные значения (рис. 1):
X:
тіпі
' тах 1 — “
У(dг,Х)-у(0,Х)-'т<І[-8о ,8+ ] л.тах1
■ X,
йг
_ Лтіп1
Хтах1 = Х1
' тіп1 — “
У (йг,Х) - У (0,Х) йг ,
тіп1 —“
У (йг,Х) - У (0,Х) + -да^-8° ,8+]
йг
(2)
Вычисленные по формулам (1) и (2) интервальные оценки компонент вектора параметров X формируют в пространстве параметров четырехугольник с вершинами, соответствующими минимальным и максимальным значениям параметров.
Рис. 1. Оценка параметров модельной функции Е1(г, X) на первой итерации метода е-областей
Будем называть область допустимых интервальных оценок компонент вектора параметров при наложенных ограничениях на область изменения функции сопровождения Ф(г) 8-областью. Обозначим 8-область, полученную на первой итерации работы алгоритма, через ОЕ1, она же на первой итерации будет являться результирующей областью ОЯ допустимых значений параметров.
На последующих шагах алгоритма по реализации сигнала в точках г = і-йг и г = (і+1)-йг для
итерации с номером і > 1 по формулам (3) вычисляются нижняя и верхняя границы оценок Х^111 і+1
-Ттах і+1 л л
и Х0 параметра Х0, а также нижние и верхние границы оценок параметра Х1 для различных
значений параметра Х0:
X:
тах і+1
л ■
Х0
тіп і+1 1
тіп і+1
— У (і - йг,Х) + 80, Х0— У (і - йг,Х)-80,
У ((і +1) - йг,Х) - У (і - йг ,Х) - -да^-8- ,8+ ]
'тах і+1 —"
йг
А
тах г +1 1
_ А тт г +1
'Атахг+1 _
' тт г+1 _“
А:
тах г+1 1
тт г+1 _"
У ((г +1) • йг, А)-У (г • йг, А) йг ’
У ((г +1) • йг, А) - У (г • йг, А) + -т^-е- ,е+ ]
йг
(3)
Вычисленные по (3) значения являются координатами вершин четырехугольника, образующего е-область OEi+1 в пространстве параметров. Для формирования результирующей е-области ОЯ допустимых значений параметров модельной функции на каждой итерации необходимо определять
I
пересечение текущей области ОЯ и е-области ОЕг+1, координаты вершин которой получены из ко -ординат вершин е-области ОЕ'■ +1 путем переноса начала координат из точки (/•йг,0) в точку (0,0). В
общем случае задача определения результирующей е-области ОЯ сводится к задаче определения координат вершин многоугольника, являющегося пересечением текущей е-области ОЯ, сформиро-
I
ванной по истории реализации сигнала, и е-области ОЕг+1. При решении этой задачи использовался метод О’Рурка. На каждой итерации метода происходит уменьшение площади результирующей е-области, что соответствует уточнению интервальных оценок параметров модельной функции и снижению неопределенности по мере появления информации об очередных отсчетах реализации контролируемого сигнала (рис. 2).
Рис. 2. Результирующая е-область ОЯ оценки параметров модельной функции Е1(г,А)
Рассмотрим метод определения интервальных оценок параметров модельной функции при введении ограничений на скорость изменения функции сопровождения Фд (г). Предположим, что
функция сопровождения имеет вид Фд (г) _ Фо + V • г, причем Фо е[-е- ,е+ ], уе[-е- ,е+ ], где
ео ,е+ ^ ,е+ - неотрицательные величины, для которых выполняются соотношения | е° |<<| Е(г,А)|,
| е+ |<<| Е (г,А)|, | е+ |<<| Фд (г)|, | е- |<<| Фд (г)|. Интервал [-е- ,е+ ] определяет ограничения по производной йФд (г)/ йг , иллюстрируемые рис. 3. Если функция сопровождения в точке г = 0 принимает значение, соответствующее верхней границе Ф0 (точка А), то на интервале [0, йг] ее значение должно принадлежать области I. Если же Фд (0) принимает значение, соответствующее нижней
границе Ф0 (точка В), то на интервале [0, йг] ее значение должно принадлежать области II.
Очевидно, что для выполнения ограничений на область значений функции сопровождения необходимо, чтобы выполнялось условие невыхода Фд (г) за границы слоя неопределенности в течение интервала наблюдения йг при нахождении скорости изменения функции сопровождения в пределах интервала [-е,; ,е+ ], т.е. должны выполняться условия е+- йг < -т^-ео ,е+],
-е+ • йг < -да^-е-,е+].
Рассмотрим, каким образом введенные ограничения на скорость изменения функции сопровождения влияют на определение области допустимых интервальных оценок параметров модельной функции. На первой итерации метода сначала вычисляется интервал для параметра А0, так как в
точке г = 0 он зависит только от величин е-) ,ер , причем верхняя и нижняя границы оценки параметра А0 вычисляются по формулам (1).
Ф Я(Г)
4
А
.'£*/ Су х(1г
область!
ІІҐ
областьII
£0
Г.
В
т:..i_.li
_ , - - 7 '
7 " / /
' / / /Ї
Бу X СІГ
Рис. 3. Ограничения на изменение производной функции сопровождения
Для вычисления оценок параметра А1 рассмотрим взаимосвязь между изменениями функции сопровождения и модельной функцией при условии учета отсчетов текущей реализации сигнала. Если функция сопровождения не равна константе и уменьшается со скоростью, не превышающей
максимально возможную скорость падения , то модельная функция должна возрастать на интервале между смежными отсчетами, чтобы результирующий сигнал оставался в пределах области неопределенности. Если Фд (г) увеличивается со скоростью, не превышающей максимально возможную скорость роста є+, то модельная функция, наоборот, должна убывать по тем же самым
причинам. Опираясь на данные закономерности, будем вычислять значения оценок параметра А по формулам:
А
ШІПІ
' ШІПІ — ■
У (ёг,А) - У (0,А) + еу- ёг £шах1
ёг
'шах! — “
У (ёг,А) - У (0,А) -єу • ёг
ёг
ГшахІ
'шІПІ — “
У (ёг, А) - У (0, А) + жё[-8° ,є+ ] - є+ • ёг
ёг
А:
ШІПІ
' шах! — “
У (ёг,А) - У (0,А) - wid[-so ,є+ ] + єг • ёг
ёг
(4)
Вычисленные по (1) и (4) интервальные оценки параметров А0 и А1 формируют в пространстве параметров е-область ОЁ^, являющейся на первой итерации результирующей областью ОЯ допустимых значений параметров. Для последующих итераций по реализации сигнала в точках г = г-ёг и г = (г+1)-ёГ для г > 1 по формулам, аналогичным (4), но с заменой точек 0 и ёг соответственно на точки г-ёг и (г + 1)-ёг, вычисляются нижняя и верхняя границы оценок параметра Аз и нижние и верхние границы оценок параметра А! для различных значений параметра А0. Эти граничные значения оценок параметров модельной функции являются координатами вершин е-области ОЁ^ в пространстве параметров. Определение координат вершин результирующей е-области ОЯ допустимых значений параметров модельной функции осуществляется путем пересечения текущей е-области ОЯ
и е-области Оё’0_1 , координаты вершин которой получены из координат вершин е-области Оё’01
при переносе начала координат из точки (г-ёг, 0) в точку (0, 0). Результаты расчетов для различных скоростей изменения функции сопровождения и различной динамики наблюдаемой реализации сигнала показывают, что наложение ограничений на функцию сопровождения позволяет на каждой итерации метода сужать е-область допустимых значений параметров модельной функции, причем можно отметить, что е-область, определенная при наличии ограничений на скорость изменения функции сопровождения, является внутренней для е-области, вычисленной при отсутствии ограничений, что свидетельствует о повышении точности оценивания параметров модельной функции.
Заключение. На основе проведенных исследований возможно сделать следующие выводы:
1. Предложенный метод позволяет по реализации сигнала вычислять интервальные оценки параметров в линейном приближении модельной функции, что является развитием и практическим применением нового направления интервального анализа не только к параметрически заданным функциям, но и к многомерным континуальным сигналам.
2. Определенные в пространстве параметров границы е-области характеризуют состояние объекта контроля и в дальнейшем могут быть использованы для целей контроля и/или управления в информационно-измерительных и управляющих системах. Разработанный метод целесообразно применять в условиях, когда законы статистики в конкретной ситуации не соблюдаются в силу нестационарного и неэргодического характера наблюдаемого сигнала и когда требуется повышенная надежность оценки. Возможные области его применения - различные оптико-электронные системы, системы охраны, распознавания образов, оперативного технологического контроля, медицинские диагностические комплексы. Основным ограничением метода является необходимость наличия достаточной априорной информации для составления адекватной модели е-слоя, а также необходимость описания наблюдаемых шумов и помех в виде аддитивной составляющей. В настоящее время метод е-областей проходит апробацию при анализе сигналов в системах температурного мониторинга и оперативного контроля энергоресурсов.
Литература
1. Шокин Ю.И. Интервальный анализ. - Новосибирск: Наука, 1981. - 112 с.
2. Калмыков С.А. Методы интервального анализа / С.А. Калмыков, Ю.И. Шокин, З.Х. Юлда-шев. - Новосибирск: Наука, 1986. - 224 с.
3. Шарый С.П. Конечномерный интервальный анализ [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://www.nsc.ru/interval/Library/InteBooks/SharyBook.pdf , свободный (дата обращения: 25.04.2013).
4. Сучкова Л.И. Применение интервальных оценок в приборах и методах контроля для выделения информационных параметров квазидетерминированных сигналов / Л.И. Сучкова, А.Г. Якунин // Вестник Югорского гос. ун-та. - 2011. - Вып. 2(21). - С. 69-81.
5. Сучкова Л.И. Оценка параметров квазидетерминированных информативных сигналов методом е-слоя / Л.И. Сучкова, А.Г. Якунин // Вестник ДагГТУ. Технические науки. - 2011. - № 4(23). -С. 11-22.
Сучкова Лариса Иннокентьевна
Профессор каф. вычислительных систем и информационной безопасности АлтГТУ Тел.: 8 (385-2) 29-07-86 Эл. почта: [email protected]
Якунин Алексей Григорьевич
Зав. каф. вычислительных систем и информационной безопасности АлтГТУ
Тел.: 8 (385-2) 29-07-86
Эл. почта: [email protected]
Suchkova L.I., Yakunin A.G.
The e-areas method of the estimation of the condition of object of the control in linear approach of modelling function
In paper the method of an estimation of a state of the controlled object, based on an evaluation in a condition of real time of area of admissible values of parametres of the linear modelling function describing the determined component of an observable signal is considered. The modification of a method considering a velocity of a variation of function of support, uncertainty of amplitude of a signal forming area is considered.
Keywords: control object, modelling function, method e-areas, support function.
