CC BY
23
Если считать движение в парах А и В связанным, как это имеет место в действительности, то, поскольку эти пары реализуют только два независимых движения (это эквивалент двух пар пятого класса), тогда пару «С» следует наделить тремя движениями, например, реализовав сферическим шарниром, и это будет также структурно совершенным схемным решением передачи, при котором:
УУ=6п-5Р5-ЗР3к
\М= 6-4-5-5-31 = 1
Если ввести в конструкцию передачи звено 5, то, сохраняя логику предыдущего примера, добавив в расчет подвижности одно подвижное звено и одну пару пятого класса, определим подвижность передачи при относительном движении осей Оги 04
УИ=6-5-5-5-3'Г=2.
Результат вновь оказался верным, т.е. общая методика синтеза структурно совершенных схем без избыточных контурных связей устойчиво предлагает оптимальные схемные решения, оставляя конструктору распределение парциальных движений в промежуточных парах, общее же количество промежуточных пар и парциальных связей определяется строгим расчетом.
Библиогрфический список
1. Кожевников С.Н., Есипенко Я.И.. Раскин Я.М. Механизмы: Справочник. 4-е изд. перераб. и доп. / Кожевников С.Н., Есипенко Я.И., Раскин Я.М.: Под ред. С.Н. Кожевникова. - М., Машиностроение, 1976. - 784 с.
2. Артоболевский И,И. Теория механизмов и машин: Учеб. для вузов. 4-е изд. перераб. и доп./ И И. Артоболевский. - М.: Наука; Гл. ред. физ-мат. лит., 1988. — 640 с.
3. Кожевников. С.Н. Основания структурного синтеза механизмов / С.Н. Кожевников. - Киев.: Науч. думка. 1979. -252 с.
БАЛАКИН Павел Дмитриевич, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой теории механизмов и машин.
ДЕГТЯРЕВ Анатолий Антонович, к.т.н., доцент кафедры инженерной графики, деталей машин и
тмм.
ЗГОННИК Ирина Павловна, аспирантка кафедры
гмм.
ОЛЬКОВА Светлана Николаевна, студентка.
Дата поступления статьи в редакцию: 23.03.06 г. © Балакин П.Д., Дегтярев A.A., Згонник И.П., Олькова С.Н.
УДК 68151 А.Т. КОГУТ
Омский государственный университет путей сообщения
ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ИДЕНТИФИКАЦИЯ И ОЦЕНИВАНИЕ АДЕКВАТНОСТИ ДИНАМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ОБРАБАТЫВАЮЩЕГО СТАНКА_
В работе рассматриваются вопросы получения оценок параметров восстановленной структуры динамических моделей в форме дифференциальных уравнений вход-состояние-выход и разностных вход-выход. При этом используются априорные данные из технической документации и экспериментально-статистические методы параметрической идентификации. Адекватность полученных динамических моделей проверялась путем сравнения данных имитационного моделирования и натурного (физического) эксперимента.
Данная статья является продолжением рассмотрения вопросов построения математического описания деревообрабатывающего станка «Мастер», осуществляющего пять программных перемещений, задаваемых от ЭВМ: трилинейных (каналы 1, 2, 3), одного вращательного для рабочего органа (фрезы) и поворот заготовки (каналы 4, 5). В работе [ 1 ] показана возможность применения линейных независимых (автономных) для каждого 1-го канала динамических моделей вход-состояние-выход вида
х(" = А,х('' + В,и(" + ЕД'" ; (1)
У, =С,х1", (2)
где х0) е , и'0 е Д,„, с(,) € Я,,, - векторы переменных состояния, управляющих воздействий и возмущений;
A, — системная матрица размером (п, х л^;
B,, Е, — матрицы связи со входом и возмущениями размером (п х л,);
C, — матрица связи со скалярным выходом у, размером (1 х л().
Для первых трех каналов л, = 6, для четвертого и пятого п1 = 4.
Следующим шагом является определение численных значений элементов матриц А,, В,, Е) (элементы векторов с/ получены и приведены в работе [1]) и проверка адекватности математических моделей, т.е. решение обычной задачи параметрической идентификации [2]. Как показано в работе [ 1 ]
A, = ка, кт, КрмГ М, Хп К, Ь, с,);
B, = В(Лв,Д„„);Е, = Е(М,),
т е элементы матриц зависят от момента инерции коэффициентов влияния угловой скорости кП1 и мо-
Таблица 1
Значения параметров
Канал " реп 1 м,
1 1089 м/рад 100 кг
2 1736 м/рад 50 кг
3 1717 м/рад 20 кг
4 57 0,1 кгм'
5 22187 2 кг мг
мента кт! исполнительного двигателя; коэффициентов преобразования вращательного движения в поступательное (редукции) К массы (моментов инерции) звена М.; коэффициентов упругости х, и вязкого трения к. механических передач; коэффициентов упругости Ь и вязкого трения с, электромеханического привода и основания станка.
Во всех пяти приводах станка используется один и тот же тип асинхронного двигателя АДП362, поэтому Л,„ = кп, = кп> кш = *,„ (= й) • На основе паспортных данных двигателя [3] вычислены следующие значения параметров:
./()11, =4-10"икгм2; /сп = 0,54 10 1 Нмрад; кт= 14,2 Нм.
Коэффициенты редукции К ^ были определены прямыми измерениями, а массы (моменты инерции) М, отдельных звеньев из-за сложности конструкции станка удалось только оценить, поэтому в табл. 1 приведены численные значения параметров К )( и оценки М(. Наибольшую сложность представило определение коэффициентов упругости х,* Ь,- и вязкого трения к-, механических передач и колебания основания станка, поэтому, используя методику изменения нагрузки на звенья [4, 5], оценивания по резонансным свойствам [5] и осциллограммам [4], удалось получить только возможные границы изменения этих параметров, которые приведены в табл.2. Таким образом, с помощью технической документации и прямых измерений удалось определить численные значения только элементов матриц В, = В(7)ш, кт1), ; = 1,5 ■
Далее необходимо с помощью экспериментально-статистических методов [6] обработать результаты натурных испытаний и оценить элементы матриц А, и Е, (; = 1,5), а затем перейти к решению задачи выбора алгоритма управления и его экспериментального исследования. В работе предлагается организовать имитационное моделирование объекта, описываемого уравнениями (1) и (2) с учетом постоянных параметров в табл.1, и граничных значений (табл.2), а также его модели, алгоритмов управления, адаптации и сравнить с результатами физи-
Таблица 2
Граничные значения параметров
Канал ■ Н/с к,. н/с' Ь, ■ н/с С, . Н/с-
ПИП шах Ш1П шах тт тах тт шах
1 300 2000 10' 5-10' 290 2400 10' 5 10'
2 350 2500 10' 5 10' 290 2400 10' 5 10'
3 400 3000 10' 5-10* 100 750 10' .5-10'
4 28 200 10' 510' - - - -
5 28 200 10' 5 10' - - - -
ческого эксперимента, полученными в ходе нормального функционирования объекта (системы управления станка). Методы синтеза адаптивного регулятора в данной работе не рассматриваются.
Основными техническим устройством, осуществляющим обработку информации и формирование управляющих воздействий является ЭВМ, поэтому моделью объекта автономного канала является разностное уравнение вида
у(/ + 1) = а,у(о + а2уи -1) + 6,1/(0 + ь2и(г -1). (3) где í — текущее дискретное время с шагом дискретизации
Коэффициенты о,(г) и а2(0 зависят от элементов матрицы А, а 6, (/) и Ь2(г) ~ от матриц А и В. Все параметры уравнения (3) составляют упрощенную модель объекта А(/) = (а,(0 а2(1) ¿>,(0 Ьг0))-
Уравнение (3) выбрано однотипным для всех каналов, поэтому в дальнейшем номер канала не указывается, а индекс 1 используется для других обозначений,
Будем также полагать, что алгоритмы управления и адаптации известны и их можно записать в общем виде
н(0 = /;,(и('-1и«-1)„?('),А(0); (4)
А(/) = /,{А(/-1)} (5)
В формуле (4) функция является задающим воздействием, которое выбирается из множества возможных (/ = 1,5), вид наиболее часто встречающихся на практике кривых^(() приведен на рис. 1.
Имитационное моделирование организуется следующим образом. При выбранном допустимом задающем воздействии #({) реализуется факторный многоуровневый эксперимент, план которого содержит = 4500 опытов, использующих различные сочетания параметров А(0- Системная матрица объекта зависит от параметров
А = (М, Мп,к, с.х.Ь), где М„ = М + ДМ;
ДМ — вариация массы звеньев.
Значения параметров выбираются в соответствии с табл. 2 из множеств:
М = {20
к Л О4
50
30 40};
80 НО 140}; ДА/ = {10 20 105 Ю6}; с = {ю4 105 Ю6);
^ = {0.2 0.5 0.9 1.3 1.7}.
В каждом опыте при определенном сочетании параметров А = А( т) на интервале времени с е [0,/тах ] осуществляется моделирование объекта (решение дифференциальных уравнений) (1) и (2), в моменты времени * определяются дискретные значения у((), по уравнению (3) вычисляется выход модели у(1),
0.16
0.12
0,08 -
I)
-0.04
&
/ е' \
2 3 <, с _*
Рпс.1. Множество задающих воздействий
b 0,8 0,6 i- 0,4
110*2 i , 140x2 Г \ 20кг
ЗОю _ 50кг i
! ;
; ; Егип -1-,------
2,5
5 7,5 10 tb ж->
Рис. 2. Зависимость среднего значения ошибки от шага дискретизации
которые используются в алгоритмах (4), (5), формируется управляющее воздействие и(() и вычисляются оценки упрощенной модели А(г).
Точность процессов управления определяется с помощью показателя вида
£ = шах(
g( о-
АО
L fK'ü
, ПРИ tЕ
(6)
При моделировании шаг дискретизации вначале был выбран í() = 2,5 мс (значение было получено эмпирическим путем [7]). Время моделирования f выбирается таким образом, чтобы обеспечить анализ как переходных, так и установившихся режимов. Учитывая, что время регулирования в реальной системе составило í = 0,5 с, выберем значение (,ш = 3 с, достаточное для анализа всего движения объекта.
Для опыта г будет получена выборка
E(t), А(т,0 = (а,(т,0.й2(г,0,Л,(г.ОЛ(г,о). 'ев'™«]-По аналогии с факторным экспериментом [8] для каждого опыта г отдельная реализация А(г,/) может быть рассмотрена как одно из повторных наблюдений, для которых вычисляются групповые средние значения и дисперсии [8]
1 "' -МА(т) = —Уа(г,/) •
DÁ(r) =--¿[á(t.í)-A/á]
m — 1
где
'шах
ям вычислялось среднее значение ошибок МЕ, зависимость которого от выбранных в экспериментах значениях приведена на рис.2. Исследовалось также влияние массы манипулятора на поведение характеристик. Анализ полученных данных показывает, что зависимость МЕЦ^) при одной и той же массе существенно не меняет своего значения при ^ е (1,25 2,5), поэтому эмпирически выбранная величина ^ = 2,5 мс является допустимым шагом дискретизации.
Все множество экспериментальных данных при '».од = 5 и объеме выборки Л/''1 = 22500 использовалось для проверки адеква 1'ности предлагаемых математических моделей. Опять же по аналогии с факторными экспериментами будем рассматривать ошибку £(/,() как выборочные значения выходной величины (регрессии), а МА(/'.г) и ДА((',г) в качестве входных переменных (факторов, регрессоров [8]).
Модель £ = £(МА.£)А) при многоуровневом .жсперименге целесообразно выбрать в виде параболической регрессии
II II II II
/=|
i=.i
где d„, d., d[(, d); — коэффициенты регрессии;
л — количество учитываемых в модели факторов. При выбранном векторе A(r) е и оценивании математических ожиданий МА и дисперсий OA общее число регрессоров составит л = 8, тогда
Р, =
Mkr j = 1,4: j = 5Д
DA
,-4 '
(8)
Заметим, что относительно параметров разностного уравнения объекта (3) модель (7) имеет четвертый порядок.
Оценки регрессионных коэффициентов определялись методом наименьших квадратов [2, 6, 8], а проверка адекватности — на основе вычисления следующих статистик:
¿[£0)-£(У)]:
/=i
Nm-m
X[¿0)-M£]2
Г =
Syl,
N
Ч)
Таким образом, для одного задающего воздействия g(i) в ходе имитационного моделирования при переборе всех значений ( формируется
выборка _
{£(r),A/A(r),Z)A(r)}, T = l,Nu ■ Повторяя факторные эксперименты при других значениях g;(i) е С, получим множество значений
{£(/'. г). Л/А(|. т\ DA(i. г)}, i = l./max , с общим объемом выборки N = iirut ■ Nu.
Подмножества экспериментальных данных использовались и для решения некоторых частных задач, например, для подтверждения правильности эмпирического выбора шага дискретизации f(l. Из всех задающих воздействий g,(i) целесообразно выбрать кривую с наибольшим изменением производных g(i), g(t) и g0)(r). Такими являются функции gjt) и gs(t), поэтому imux = 2 и объем выборки составилЛ/"1 = 9000 данных. По всем этим значени-
где ) = 1глт,
ш - число оцениваемых коэффициентов модели (7).
В ходе имитационного моделирования построена нелинейная регрессионная модель (7) и вычислены значения статистических характеристик: 502 = 0,0045; 5,= 0,032 и у = 7, т.к. у> 2, то в соответствии с рекомендациями [6] можно считать полученную модель адекватной экспериментальным данным имитационного моделирования.
В ходе физического эксперимента проводились измерения тех же величин Е, МА , ДА , что и при имитационном моделировании. В качестве генератора задающих воздействий использовались программы изготовления изделий, реализуемых деревообрабатывающим станком «Мастер». Параметры автономных каналов изменялись за счет перемещений по различным координатам и веса заготовок. Результатом физического эксперимента является множество
{Е(т)<1'т, М\{т)ф"', ВА(тУ'""}. г = 1, мфт .
Объем необходимой выборки Nф¡¡:l должен согласоваться с количеством реализаций имитационного эксперимента. Результаты моделирования получены на основе выборки объемом Ы<21= = 22500 при длительности одной реализации опыта 1тах = 3 с и общее время моделирования составило = М121 1,„а* = 1125 мин' в ходе проведения физического эксперимента средняя длительность одной реализации составила г^',"'* =2,5 мин и д/\я того
же времени Т^ необходимо 450 опытов. Экспериментальные данные были получены при репрезентативной выборке = 516.
Полученные данные использовались для восстановления зависимости вида (7) и вычисления статистик (во всех формулах объем выборки равнялся Мфцз), значения которых получились следующие:
502 = 0,0022; Бу/х2 = 0,0075и / = 3.5, т.е. у> 2 и математическая модель вида (7) также соответствует данным физического эксперимента.
Для сравнительного анализа на рис.3 приведены результаты имитационного моделирования (темные символы) и аналогичные данные физического эксперимента (светлые символы). В целом можно сделать вывод о достаточной близости полученных результатов. Выявленные отклонения от средних тенденций в дальнейшем исследовались разработчиками конструкции станка.
Таким образом, используя полученную в работе [1] структурную модель, описывающую динамические процессы, протекающие в деревообрабатывающем станке, проведена параметрическая идентификация. При этом использовалась как априорная информация из технической документации, так и применялись экспериментально-статистические методы оценивания параметров. Подтверждена адекватность полученных моделей данными физических (натурных) экспериментов. Предлагаемая методика постановки имитационного моделирования может применяться и при решении вопросов синтеза алгоритмов управления и адаптации параметров.
Библиографический список
1. Когут А.Т. Построение математической модели кинематики и динамики обрабатывающего станка / А.Т. Когут,
ш r^Woui.
|И âfitsgïïïft
О 100 200 3QG 400 50 0 600
Рис. 3. Результаты имитационного и физического экспериментов
С. А. Когут, A.A. Симаков // Омский научный вестник. — 2005. — Вып.2 - С. 64 - 68.
2. Дейч А. N4, Методы идентификации динамических систем / А.М.Дейч. - М.: Энергия, 1979 - 240с.
3. Лопухина Е.М. Асинхронные исполнительные микро-двигагелидлясистемавтоматики / Е.М.Лопухина. — М.:Высшая школа, 1988. - 328 с
4. Бурдаков С.Ф. Проектирование манипуляторов промышленных роботоп и роботизированных комплексов / С.Ф. Бурлаков, В.А. Дьяченко, А.Н. Тимофеев. — М.: Высшая школа, 1986. - 264 с.
5. Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле / С.Г1. Тимошенко. - М.: Наука, 1967. —444 с.
6. БородюкВ.П. Статистическое описание промышленных объектов / В.П. Бородюк, Э.К. Лецкий. — М.: Энергия, 1971. -112с.
7. Когут С.А., Плотников Ю.В. Модуль сопряжения персональной ЭВМ в системах передачи информации // Проблемы электромагнитного влияния и надежность функционирования систем передачи информации на железнодорожном транспорте: межвуз. темат. сб. науч. тр. / Омск: ОмГУПС, 1998. С.74-77.
8. Дэннел К, Применение статистики в промышленном эксперименте / К. Дэннел. - М.: Мир, 1979. — 300 с.
КОГУТ Алексей Тарасович, кандидат технических наук, доцент кафедры «Автоматика и системы управления».
Дата поступления статьи в редакцию: 13.04.06 г. © Когут А.Т.
Книжная полка
Бычков В.П. Экономика автотранспортного предприятия: Учебник. - М: Инфра-М, 2006. - 384 с.
Гладков Э.А. Управление процессами и оборудованием при сварке: Учеб. пособие - М Академия 2006.-432 с.
Клюшин Е.Б.Инженерная геодезия: Учебник/Е Б Клюшин. М.И Киселев, Д.Ш. Михелев и др.: 5-е изд -М.: Академия, 2006. - 480 с.
