CC BY
108
УДК 681.31 (075.8):681.51
АВТОМАТИЗАЦИЯ ПРОЕКТИРОВАНИЯ ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ НА ОСНОВЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
А. Т. Когут, А. А. Лаврухин, В. В. Петров
Аннотация. Рассматриваются вопросы автоматизации проектирования дискретных систем стабилизации и программного управления с использованием приближенных алгоритмов траекторного управления, полученных методом полиномиальной аппроксимации и на основе схемы линеаризации нелинейных моделей динамических объектов с использованием первых и вторых производных ряда Тейлора. Приводятся результаты имитационного моделирования разработанных алгоритмов при управлении двигателем постоянного тока и типовых ПИД-регуляторов.
Ключевые слова: автоматизация проектирования, система управления, нелинейная динамическая модель, приближенные алгоритмы, линеаризация.
Введение
Проектирование современных
технических систем невозможно без применения достижений новейших информационных технологий и, в частности, средств автоматизации проектирования [1]. В работе рассматриваются вопросы разработки и использования микропроцессорных алгоритмов и устройств управления в электротехнических комплексах, основным исполнительным элементом которых является электрический привод. Применение математических пакетов моделирования [2], позволяющих реализовать как известные и хорошо апробированные, так и новые алгоритмы, повышает эффективность решения задачи синтеза систем автоматического управления.
В системах стабилизации и программного управления, если они описываются нелинейными дискретными моделями, возможно использование приближенных алгоритмов траекторного управления отдельным электроприводом [3] и объектом «двигатель - генератор» в автоматизированных комплексах технического диагностирования состояния тяговых электродвигателей [4].
Дискретные алгоритмы управления для электротехнических систем Допустим, что для дискретного времени к нелинейный динамический объект описывается разностным уравнением [5, 6]
х(к +1) = f [х(к ),и(к)]. (1)
Здесь х е R" - наблюдаемый вектор состояния; и е ^ - вектор управляющих воздействий; 1[х(к),и(к)] - известная
нелинейная функция размерности п. Для 1(-) должно выполняться требование быть
дважды непрерывно дифференцируемой по и(к).
В системах стабилизации и программного управления выходная переменная, а, следовательно, и вектор состояния должны изменяться следующим образом:
х(к +1) = д(к +1), (2)
где д(к+1) - либо константа, либо заданная программа движения (желаемая траектория).
При определении неизвестного управления и(к) подстановка требования (2) в уравнение модели (1) приводит к обратной задаче динамики [6], но можно применить более простые приближенные алгоритмы, основанные на использовании первых [7, 8] и вторых [8] производных вектор-функции f [х(к ),и(к)].
Основным выражением является условие,
что
д(к +1) = f [х(к ),и(к)]. (3)
Ряд Тейлора относительно известного вектора и(к -1) может быть записан в виде [8]:
да 1
1[х(к), и(к)] = 1[и(к -1)] + 2 - 1(/) [и(к -1)] А'и(к). (4) /=1 /!
Здесь
Аи(к) = и(к) - и(к -1), (5)
а А'и(к) е Нт' определяется следующими рекуррентными выражениями:
А2и(к) = Аи(к) ®Аи(к), А3и(к) = А2и(к)® Аи(к), ...,
где ® - операция кронекеровского произведения матриц.
В формулу (4) также входят матрицы
первых 1 '[х(к),и(к)] е Ипхт и вторых 2
1 "[х(к),и(к)] е ^хт производных.
В случае линейного приближения можно вместо (3) записать
д(к +1) = f [и(к -1)] + f '[и(к -1)] • [и(к) - и(к -1)] (6) и достаточно просто получить приближенный алгоритм управления первого порядка
и(к) = и(к -1) + ^ '[и(к -1)]}+ {д(к +1) - f [и(к -1)]}, (7)
где {•}+ - операция псевдообращения матриц.
Алгоритмы второго порядка получаются на основе методики полиномиальной аппроксимации [8]. В матричном выражении Аи (к) ®Аи (к) неизвестный вектор Аи(к)
заменяется на известный 8и(к) е Rm, когда
8и(к) = и(к) - и(к -1), (8)
а значение и(к) вычислено с помощью выражения (7).
Квадратичное приближение для нелинейной вектор-функции будет иметь вид
f[х(к),и(к)] = f[и(к-1)] + '[и(к-1)] +1 f"[и(к-1)] • 5и(к) ®11Аи(к).
(9)
По аналогии с методом первого порядка, получим алгоритм для формирования управляющего воздействия второго порядка
и(к) = и(к -1) +^'[и(к -1)] +1 f "[и(к -1)] • 5и(к) ® 11 • Аи(к),
(10)
который является двухступенчатым и использует информацию о значении управления и(к), полученную алгоритмом первого порядка (7).
Пример постановки задачи управления В качестве практического применения предлагаемых приближенных алгоритмов рассмотрим управление двигателем постоянного тока независимого возбуждения и двумя управляющими напряжениями, подаваемыми в обмотку возбуждения ив и ия - в цепь якоря. В соответствии с работой [9], динамические электрические и механические
процессы описываются дифференциальными уравнениями:
dL
Ue = Ledlt + Reie' иа = L+ R i + kE(ie)ю ;
я я dt я я Ev в' '
(11)
^ = км «в) iя - М,
где в, '1я - токи в обмотке возбуждения и якоря; Lв, Lя - индуктивности; Rв, Rя -сопротивления соответствующих обмоток; ю -угловая скорость вращения вала двигателя; J - момент инерции вращающихся частей привода, приведенный к валу двигателя; кЕ(/в), км()в) - параметры, зависящие от конструкции двигателя и тока iв; Мс - момент сопротивления.
Если справедливо, что кЕ (/в) = сЕ'1в и км('в) = см'!в, то в операторной форме уравнения (11) запишутся следующим образом:
i =-e-;
в Re (ТвР+1)
ю =
R.я (ТяР +1)'
CMIeI я - Mc
(12)
Jp
где Te, Тя - постоянные времени для обмоток возбуждения и якоря; p - символ дифференцирования.
модель (12)
исследования свойств этом учитывались 'Тр и вязкого постоянный момент Мн, поэтому Мс = Мн + Мтр sign ю + ую. Структурная схема модели (12) приведена на рисунке 1.
Имитационная использовалась для алгоритмов, при реактивные моменты сухого м трения у, а также активный
Рис. 1. Структурная схема модели объекта
u
ия - CEIeЮ
1я =
Синтез алгоритмов управления проводился на основе модели (12) при Тя = 0, Тв = 0 и Мс = 0. В этом случае для угла поворота ф и его скорости ш справедливы уравнения:
Ф (I) = ш;
, Ш (I) = -аи;;ш + ривия
(13)
где а = -СМС^ ; р= с JR?R„
JRR„
Использовались следующие номинальные параметры:
Rв = 20,2 Ом; Rя = 4,05 Ом; Тв = 0,0015 с; Тя = 0,008 с;
и = 2,5-10-5 кг-м2; см = 0,048 Н-м/А;
сЕ = 0,048 В-с/рад.
и численные значения для момента сопротивления
Мн = 0,02; Мтр = 0,016; у = 5,12-10-4 Н-м-с. В работе [3] рассматривается получение программной или требуемой траектории д(1) изменения угловой скорости вращения вала двигателя ш(1). Вид траектории д(1) при X = 0,8 приведена на рисунке 2.
9
1,0 с 1,2
г —►
Рис. 2. Программная траектория изменения скорости
Сравнительный анализ предложенных и типовых алгоритмов
Приближенные алгоритмы сравнивались с результатами моделирования системы с двумя оптимально настроенными ПИД-регуляторами. Параметры регуляторов определялись стандартными средствами и были получены следующие значения коэффициентов регуляторов:
кП = 13,1; кИ = 5,12 ; кД = 0,32
я ' ' я ' ' я '
кИ = 0,06 ; кД = 0,92
кП = 3,73;
Временные диаграммы желаемой траектории д(1), полученной угловой скорости вращения вала двигателя ш(1), а также управляющих воздействий щф и и2(1) в системе с ПИД-регуляторами приведены на рисунке 3.
Рис. 3. Временные диаграммы моделирования системы с ПИД-регуляторами
Непрерывную модель (13) приведем к дискретному классу (1), поэтому применим к производным ф(I) и Ш(I) формулы первой разности
ф ^ ф(к +1) -ф(к); ш(|) ^ ш(к +1) -ш(к)
Т0 Т0 и осуществим замену переменных: х1 = ф и х2 = ш.
Вектор-функция f[х(к), и(к)] будет иметь
вид:
Пх(к), и(к)] =
Х1(к) + Т0 х2(к) х2(к) - а Тои2 (к)Х2 (к) + р Тои (к)^(к) где Т0 - шаг дискретизации. В приближенных алгоритмах первого (7) и второго (10) порядков матрицы первых и вторых частных производных запишутся следующим образом:
f ' =
f " =
" 0 0 "
р Т0и2 (к -1) -2а Т0и2 (к -1) х2 (к) + р Т0и1 (к -1)
0 0 0 "
0 рTo -2а ToX2(k)_
Временные диаграммы желаемой траектории я2((), полученной координаты объекта X2(f), а также управляющих воздействий щф и и2(0 в системе с регулятором первого порядка, приведены на рисунке 4, а аналогичные процессы с регулятором второго порядка - на рисунке 5.
Рис. 4. Временные диаграммы моделирования системы с регулятором первого порядка
Рис. 5. Временные диаграммы моделирования системы с регулятором второго порядка
Результаты моделирования показали, что ошибка в системе с ПИД-регулятором составляет 22,7 %, а в системах с приближенными алгоритмами - 2,8 % и 0,5 % соответственно, также они обеспечивают более лучшее качество процессов управления.
Заключение
Предлагаемые алгоритмы вычисления управляющих воздействий получены в виде рекуррентных соотношений, которые
достаточно просто программируются и реализуются в микропроцессорных системах.
Библиографический список
1. Норенков, И. П. Основы автоматизированного проектирования / И. П. Норенков. - М.: МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2002. 336 с.
2. Щербаков, В. С. Основы моделирования систем автоматического регулирования и электротехнических систем в среде МаАаЬ и Simulink / В. С. Щербаков, А. А. Руппель, В. А. Глушец. - Омск, изд-во СибАДИ, 2003. - 120 с.
3. Когут, А. Т. Синтез приближенных алгоритмов двойного управления двигателями постоянного тока на основе процедур линеаризации / А. Т. Когут // Мехатроника, автоматизация, управление. - 2010. -№3. - С. 45-50.
4. Когут, А. Т. Приближенные алгоритмы траекторного управления в системах диагностирования технического состояния электромеханических объектов подвижного состава / А. Т. Когут, А. А. Лаврухин // Мехатроника, автоматизация, управление. - 2013. -№5. - С. 40-44.
5. Ким, Д. П. Теория автоматического управления. Т.2: Многомерные, нелинейные, оптимальные и адаптивные системы. - М.: Физматлит, 2004. - 464 с.
6. Методы классической и современной теории автоматического управления. Синтез регуляторов систем автоматического управления / Под ред. К. А. Пупкова, Н. Д. Егупова. М.: МГТУ им. Н. Э. Баумана. 2004. Т. 5. - 784 с.
7. Рубан, А. И. Адаптивное управление с идентификацией / А. И. Рубан. - Томск: Изд-во Томского университета, 1983. 170 с.
8. Когут, А. Т. Полиномиальная аппроксимация в некоторых задачах оптимизации и управления: моног. / А. Т. Когут. - Омск: Омский гос. ун-т путей сообщения, 2003. - 243 с.
9. Терехов, В. М., Осипов, О. И. Системы управления электроприводов / В. М. Терехов, О. И. Осипов. - М.: Академия, 2005. - 304 с.
COMPUTER-AIDED ENGINEERING OF ELECTROTECHNICAL SYSTEMS BASED ON MATHEMATICAL MODELING
A. T. Kogut, A. A. Lavrukhin, V. V. Petrov
Abstract. The article dwells on issues of computer-aided engineering of discrete stabilizing systems and program control using approximate algorithms of tractor driving, received by method of polynominal approximation and on the base of the linearizer of nonlinear models of dynamic objects using first and second derivatives of Taylor series. The results of simulation modeling of developed algorithms to control direct-current motor and type proportional integral differential regulators are presented.
Keywords: computer-aided engineering, control system, nonlinear dynamic model, approximate algorithms, linearization.
Bibliographic list
1. Norenkov I. P. Fundamentals of computer-aided design. Moscow: MGTU mem. N. E. Bauman. 2002.
2. Sherbakov V. S., Ruppel A. A., Glushets V. A. Fundamentals of modeling of automatic control systems and electrical systems in Matlab and Simulink. Omsk: SibADI. 2003.
3. Kogut A. T. Direct Current Motor Dual Control Approximate Algorithms Synthesis on the Basis of Linearization Procedure // Mechatronics, automation, control, 2010. № 3. pp. 45-50.
4. Kogut A. T., Lavrukhin A. A. Approximate Algorithms for Trajectory Control in the Systems for Diagnostics of Technical State of Electromechanical Rolling-Stock Objects // Mechatronics, automation, control, 2013. №5. pp. 40-44.
5. Kim D. P.: Adaptive control theory, Vol.2. Multidimensional, nonlinear, optimum and adaptive systems. Moscow: Phismatlit, 2004.
6. Pupkov K. A., Egupov N. D.: Classic and modern automatic control theory. Automatic control systems controllers synthesis. Moscow: MGTU N. E. Bauman. 2004, № 5. - 784 p.
7. Ruban A. I. Adaptive control with identification. Tomsk: Tomsk university press, 1983. 170 p.
8. Kogut A. T.: Polynomial approximation and some optimization and control problems. Omsk: Omsk state transport university, 2003.
9. Terekhov V. M., Osipov O. I. Electric drive control systems. Мoscow: Akademiya, 2005. 304 p.
Когут Алексей Тарасович - доктор технических наук, профессор кафедра «Автоматика и системы управления» Омского государственного университета путей сообщения (ОмГУПС) г. Омск. Основные направления научной деятельности: системы управления, автоматизация. Общее количество опубликованных работ: 141. e-mail: kogutat@gmail. com
Лаврухин Андрей Александрович - кандидат технических наук, доцент кафедра «Автоматика и системы управления» Омского государственного университета путей сообщения (ОмГУПС) г. Омск. Основные направления научной деятельности: системы управления, автоматизация. Общее количество опубликованных работ: 53. e-mail: lavruhinaa@gmail. com
Петров Владимир Владимирович - кандидат технических наук, доцент кафедра «Автоматика и системы управления» Омского государственного университета путей сообщения (ОмГУПС) г. Омск. Основные направления научной деятельности: системы управления, автоматизация. Общее количество опубликованных работ: 63. e-mail: petrovvv@omgups.ru
