Параллельные вычисления в задачах динамики моментой упругой среды[1] Текст научной статьи по специальности «Математика»

Решетневские чтения

УДК 519.688

М. П. Варыгина, О. В. Садовская

Институт вычислительного моделирования Сибирского отделения Российской академии наук, Россия, Красноярск

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ В ЗАДАЧАХ ДИНАМИКИ МОМЕНТОЙ УПРУГОЙ СРЕДЫ*

Разработан параллельный вычислительный алгоритм и комплекс программ для решения плоских и пространственных динамических задач моментной теории упругости на многопроцессорных вычислительных системах. Представлены результаты расчетов трехмерной задачи Лэмба о действии сосредоточенной нагрузки на поверхности однородного упругого полупространства, а также задачи о действии сосредоточенной импульсной нагрузки, периодической по времени, на поверхности полупространства.

Математическая модель моментного континуума Коссера применяется при описании напряженно-деформированного состояния композитов, гранулированных, порошкообразных и сыпучих сред. Отличие этой модели от классической теории упругости в том, что в ней неявно присутствует малый параметр - размер частиц микроструктуры. Полную систему уравнений модели составляют уравнения движения, кинематические соотношения и обобщенный закон линейной теории упругости [1]. В пространственном случае эта система включает в себя 24 уравнения относительно двадцати четырех неизвестных функций. Ее можно записать в следующем общем виде, удобном для численной реализации:

AU = B1Ul + B 2U2 + B3U3 + QU + G, (1)

где U - вектор-функция, составленная из компонент векторов скорости и угловой скорости, несимметричных тензоров напряжений и момент-ных напряжений; матрицы-коэффициенты A, B , B2 и B3 симметричны, а Q антисимметрична; G - вектор массовых сил и моментов; матрица A положительно определена.

Разработан параллельный вычислительный алгоритм и комплекс программ для решения плоских и пространственных динамических задач моментной теории упругости на многопроцессорных вычислительных системах [2]. Алгоритм основан на методе расщепления системы (1) по пространственным переменным и времени. Одномерные гиперболические системы уравнений решаются с помощью монотонной ENO-схемы. Программирование выполнено на языке Fortran с

использованием технологии SPMD и библиотеки передачи сообщений MPI. Расчетная область распределяется между вычислительными узлами по принципу равномерной загрузки посредством 1D-, 2D- или SD-разбиения. Распараллеливание осуществляется на этапе расщепления задачи по пространственным переменным.

Тестирование комплекса программ выполнено путем сопоставления результатов расчетов с точным решением задачи о распространении поверхностных волн Рэлея в среде Коссера. Проведены расчеты трехмерной задачи Лэмба о действии сосредоточенной нагрузки на поверхности однородного упругого полупространства, а также задачи о действии сосредоточенной импульсной нагрузки, периодической по времени, на поверхности полупространства.

Расчетная область с учетом условий симметрии представляет собой четверть полупространства. В действительности, расчеты проводились на кубе. На искусственно введенных гранях куба ставились условия симметрии и неотражающие граничные условия, моделирующие беспрепятственное прохождение волн. Используемая в расчетах равномерная разностная сетка состояла из 200x200x200 ячеек. На более грубых сетках расчеты с приемлемой точностью выполнить невозможно, поскольку размер ячеек становится сравнимым с размером частиц среды. Расчеты выполнялись для синтетического полиуретана на 64 процессорах кластера МВС-1000 ИВМ СО РАН. Каждым из узлов кластера решалась часть задачи на подсетке размерностью 50x50x50 ячеек.

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (код проекта 08-01-00148), Комплексной программы фундаментальных исследований Президиума РАН № 2 «Интеллектуальные информационные технологии, математическое моделирование, системный анализ и автоматизация» и Междисциплинарного интеграционного проекта Сибирского отделения РАН № 40.

Математические методы моделирования, управления и анализа данных

Видны падающие продольные и поперечные волны, конические поперечные волны и поверхностные волны Релея.

Библиографический список

1. Пальмов, В. А. Основные уравнения теории несимметричной упругости / В. А. Пальмов // Прикладная математика и механика. 1964. Т. 28, вып. 3. С. 401-408.

2. Садовская, О. В. Математическое моделирование в задачах механики сыпучих сред / О. В. Садовская, В. М. Садовский. М. : Физмат-лит, 2008.

M. P. Varygina, O. V. Sadovskaya

Institute of Computational Modeling, Russian Academy of Sciences, Siberian Branch, Russia, Krasnoyarsk

PARALLEL COMPUTATIONS IN DYNAMIC PROBLEMS OF COUPLE-STRESSED ELASTIC CONTINUUM

Parallel computational algorithm and program system for the solution ofplane and spatial dynamic problems of couple-stressed elastic theory on multiprocessor computing systems are worked out. The results of computations of three-dimensional Lamb problem about the action of concentrated load on the surface of homogeneous elastic half-space, and also the problem about the action of concentrated periodic impulsive load on the surface of space are represented.

© Варыгина М. П., Садовская О. В., 2009

Поверхности уровня нормального напряжения для задачи Лэмба и для задачи с периодической нагрузкой приведены на рисунке слева и справа соответственно:

УДК 519.688

П. В. Галушин

Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева, Россия, Красноярск

ОБ АСИМПТОТИЧЕСКОМ ВЕРОЯТНОСТНОМ ГЕНЕТИЧЕСКОМ АЛГОРИТМЕ*

Предлагается модификация вероятностного генетического алгоритма, в которой, вместо стандартных операторов мутации и селекции, используются операторы, действующие на распределение вероятностей компонент вектора решений (генов), а также производится сравнение надежности и эффективности базового алгоритма и модификаций на множестве тестовых функций и задаче формирования кредитного портфеля банка.

Вероятностный генетический алгоритм (ВГА) является попыткой создания алгоритма, имеющего схему, похожую на схему традиционного генетического алгоритма (ГА), и сохраняющего основные свойства генетических операторов, но сформулированного в терминах теории псевдо-булевой оптимизации [1]. В ВГА явным образом (в отличие от традиционного ГА) вычисляются компоненты вектора вероят-

ностей и отсутствует оператор скрещивания, но сохранены генетические операторы мутации и селекции.

Целью данной работы была разработка модификации ВГА, в которой операторы мутации и селекции действуют на распределение вероятностей значений генов в целом, а также сравнение эффективности и надежности предложенной модификации и базового алгоритма.

Работа выполнена при финансовой поддержке АВЦП «Развитие научного потенциала высшей школы» (НИР 2.1.1/2710) и ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» (НИР НК-136П/3).