Моделирование распространения сейсмических волн по поверхности блочного породного массива при сосредоточенном импульсном нагружении

Александрова Надежда Ивановна; Варыгина Мария Петровна; Шер Евгений Николаевич

МОДЕЛИРОВАНИЕ РАСПРОСТРАНЕНИЯ СЕЙСМИЧЕСКИХ ВОЛН ПО ПОВЕРХНОСТИ БЛОЧНОГО ПОРОДНОГО МАССИВА ПРИ СОСРЕДОТОЧЕННОМ ИМПУЛЬСНОМ НАГРУЖЕНИИ

Надежда Ивановна Александрова

Институт горного дела им. Н. А. Чинакала СО РАН, 630091, Россия, г. Новосибирск, Красный проспект, 54, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник лаборатории механики взрыва, тел. (383)335-96-54, e-mail: alex@math.nsc.ru.

Мария Петровна Варыгина

Институт вычислительного моделирования СО РАН, 660036, Россия, г. Красноярск, Академгородок, д. 50, стр. 44, кандидат физико-математических наук, тел. (3912) 43-27-56, e-mail: varyginam@yandex.ru.

Евгений Николаевич Шер

Институт горного дела им. Н. А. Чинакала СО РАН, 630091, Россия, г. Новосибирск, Красный проспект, 54, доктор физико-математических наук, заведующий лабораторией механики взрыва, тел. (383)335-96-54, e-mail: ensher@sibmail.ru.

Приведены результаты численного исследования распространения сейсмических волн в двумерной модели блочной среды. Среда моделируется квадратной решеткой масс, соединенных пружинами. Рассматривается поверхностное импульсное и ступенчатое нагружение. Рассчитаны осциллограммы перемещений и скоростей перемещений поверхностных масс. Полученные результаты сопоставляются с данными расчетов аналогичных задач в модели упругого тела.

Ключевые слова: блочная среда, сейсмическая волна, задача Лэмба, импульсное нагружение.

SIMULATION OF SEISMIC WAVE PROPAGATION OVER THE SURFACE OF A BLOCKY ROCK MASS UNDER THE PIN IMPULSIVE LOADING

Nadezhda I. Aleksandrova

Chinakal Institute of Mining, Siberian Branch, Russian Academy of Sciences, 630090, Russia, Novosibirsk, 54 Krasny prospect, PhD., Leading Researcher, tel. (383)365-96-54, e-mail: alex@math.nsc.ru

Maria P. Varygina

Institute of Computational Modeling, Siberian Branch, Russian Academy of Sciences, 660036, Russia, Krasnoyarsk, Akademgorodok, 50, b. 44, PhD, Researcher, tel. (3912)43-27-56, e-mail: varyginam@yandex.ru

Evgeny N. Sher

Chinakal Institute of Mining, Siberian Branch, Russian Academy of Sciences, 630090, Russia, Novosibirsk, 54 Kransy prospect, Dr Eng, tel. (383)365-96-54, e-mail: ensher@sibmail.ru

The authors present the results of numerical study into the propagation of seismic waves in a two-dimensional model of a block medium. The medium is modeled by a square lattice of masses connected by springs. Under analysis is the impulsive and step loading. Oscillograms of

displacements and displacement velocitiess of the surface masses are calculated. The obtained results are compared with the numerical solutions of the similar problems on an elastic medium.

Key words: block medium, seismic wave, Lamb’s problem, impulse loading.

Исследования последних лет, касающиеся распространения сейсмических волн в породных массивах, свидетельствуют о необходимости учета в матема-тических моделях, предназначенных для геомеханики и сейсмики, блочного строения горных пород. На развитие этих разработок большое влияние оказала фундаментальная концепция блочноиерархического строения объектов геосреды М. А. Садовского [1]. Расчеты волнового движения в цепочке упругих стержней, разделенных податливыми прослойками, показали, что низкочастотное возмущение, возникающее при импульсном воздействии, достаточно хорошо описывается в модели “жесткие блоки - вязкоупругие прослойки”. Такой подход был использован в работах [2, 3] для описания динамического поведения двухмерной блочной среды, в которой жесткие блоки предполагались прямоугольной формы. Более упрощенную модель блочной среды можно получить, если считать блоки сосредоточенными массами, соединенными пружинами.

Двумерная упругая модель распространения волн в блочных средах

В настоящей работе исследуется задача Лэмба о действии сосредоточенной нагрузки на поверхность блочного полупространства. Блочная среда моделируется однородной двумерной решеткой, состоящей из масс, соединенных пружинами в направлениях осей x, у и в диагональных направлениях (рис. 1). Задача рассматривается в плоской постановке. Принятая модель совпадает с используемой в [4].

Рис. 1. Схема соединения масс пружинами в квадратной решетке

Уравнения движения массы с номерами и, т, находящейся вдали от поверхности, имеют вид:

і,т ^\(У^п+\,т 2іі;г т ^п-\,т ) ^2 (У^п+\,т+\ ~^^п-1,т-1 ^п+1,т-1

~^^п—\,т+\ ^^п,т ) / ^ ^2 п+\,т+\ ^п—\,т-\ ^п—1,т+1 ^п+1,т-1) ^ ^

п,т (Уп,т+\ п,т ^п,т-\ ) ^2 (У^п+\,т+\ ~^^п-1,т—1 ^и+1,т—1

^и—1,т+1) / 2 + ^ (У п+\ут+\ ^ п—\,т—1 ^п-\,т+\ ^п+\,т—1 п,т ) ^ ^ •

Здесь и, V — перемещения в направлениях х, у; п, т — номера масс в направлениях х, у; М — масса; к, к2 - жесткости пружин в осевых и диагональных направлениях.

Уравнения движения блоков на границе (т = 0) имеют следующий вид:

Шп,0 =кМп+1,0 -2и«,0 +и«-1,о) + ^2(и«-1,-1 +и«+1,-1 ~2ип,0 +Уп-1,-1-Уп+1,-і)/2^

Здесь и — перемещения вдоль границы, V — перпендикулярно границе, Qy — внешняя действующая сила.

При переходе к сплошной среде уравнениям (1) соответствуют уравнения ортотропной теории упругости, которые при кх = 2к2 описывают динамику изотропной упругой среды в условиях плоского напряженного состояния с коэффициентом Пуассона <т = 1/3, что соответствует X - 2//.

В дальнейшем полагаем, что решетка изотропная — кх = 2к2 и на поверхности полупространства действует вертикальная сосредоточенная сила в точке п = О: Qy = 1\)3()П0(1), где 8{)п — символ Крнекера.

Как показано в [5, 6], модуль фазовой и групповой скорости длинноволновых возмущений в изотропной блочной среде определяется по формуле

Здесь знак «+» соответствует продольным волнам, знак «-» — сдвиговым волнам.

Массу шариков и длину пружин примем за единицы: М — 1, I -1. В дальнейшем будем полагать = 3 / 4. Значение кл выбиралось так, чтобы скорость бесконечно длинных волн в решетке была равна скорости

продольных волн в изотропной упругой среде в случае плоского

2 2

напряженного состояния: (к1+к2)1 /М = Е/р/(\-у ). При Е/р = 1 отсюда следует кх = 3 / 4.

Вычислим скорости продольных и сдвиговых волн в блочной среде по формулам (3)

Скорость волн Рэлея в блочной среде [7] совпадает со скоростью волн Рэлея в изотропной упругой среде (сг = 1/3):

М^п,0 =кі(УПг-і -УиД)) + к2 -ии+1>_! ~ 2у„>0 + N п+х>л )/ 2 + 0

(2)

(3)

СЯ -

^=1

4 р

л/з — л/3

0.563....

Уравнения (1), (2) решались методом конечных разностей по явной схеме. Условие устойчивости уравнений во внутренней области:

т < Ц21\4/Ъкл = 2л/2/з, в граничных точках т < ЦШ/9кх = л/32/27 .

Кроме расчетов движения масс на поверхности блочной среды по системе (1), (2) проводились расчеты движения соответствующих точек на поверхности упругого полупространства под действием сосредоточенного воздействия. Расчеты динамики упругого полупространства производились на основе двуциклического метода расщепления по пространственным переменным в сочетании с явной монотонной ENO-схемой с предельной реконструкцией решения. Схемы для решения одномерных задач основаны на методе распада разрыва Годунова на равномерной сетке с выбором предельно допустимого по условию Куранта-Фридрихса-Леви шага по времени т=шт(Дх1/ср, Дх2/ср), Дхг- - шаг сетки в направлении х^ (/=1,2) [8, 9].

Как пример расчетов уравнений (1), (2) на рис. 2 тонкими линиями представлены в безразмерных координатах осциллограммы скоростей и перемещений вдоль поверхности й,и и поперек у,у массы с координатами (

1п- 0, п — 60) на поверхности полуплоскости для задачи Лэмба для бочной среды при действии вертикальной силы, приложенной к массе с координатами (0,0): (2{1) = ()0Н(г1), где Я(?) — функция Хевисайда.

0,06 0 ,04 -0 ,02 -0,00 -0,02 0 -0 ,04 --0 ,06 -0,08 -0 , 10 ->

Толстыми линиями на рис. 2 представлены графики скоростей и перемещений, полученные в рамках упругой модели. По приведенным графикам видно, что скорости перемещений в продольной и поперечной

волнах достаточно близки по обеим моделям. В тоже время в районе волны Рэлея приведенные осциллограммы значительно отличаются. Для блочной модели характерны высокочастотные колебания скоростей значительной амплитуды. Осциллограммы перемещений отличаются мало. По обеим моделям горизонтальные перемещения и(^) после прихода волны Рэлея выходят на постоянный уровень, соответствующий решению статической задачи Фламаиа о нагружении упругой полуплоскости постоянной силой.

Были проведены расчеты для различных значений пе (10-240). Анализ возмущений на поверхности полуплоскости в релеевской волне показал, что в блочной среде максимальная амплитуда скоростей перемещений й убывает

как п~0,32, V как п~ом. Аналогичные исследования, проведенные для у на оси воздействия п - 0, показали, что максимальные возмущения достигаются в

~ г г | 1-0.68 продольной волне и с глуоинои убывают как \т\ .

Для оценки спектрального состава колебаний масс в решетке были вычислены спектральные плотности скоростей перемещений. Их анализ показал, что на поверхности блочной среды спектр колебаний масс ограничен частотой щ = 1, резонансной для поверхностных волн [7].

Кроме приведенных расчетов для нагружения в виде функции Хевисайда были проведены расчеты для импульсного нагружения вертикальной силой, описываемого полуволной синуса разной длительности /о • Результаты таких расчетов при /0 =5 я-/2 приведены на рис. 3 в виде осциллограмм скоростей движения массы с координатами (60, 0) на поверхности.

Толстыми линиями на рис. 3 приведены расчетные осциллограммы скоростей движения и перемещений точек поверхности упругой полуплоскости, полученные в аналогичной постановке для уравнений теории упругости.

V

0,15 -| 0,1 -0,05 -0

-0,05 0 -0,1 ■ -0,15 ■

0,2

0,1

0

-0,1

-0,2

-0,3

-0,4

-0,5

Рис. 3

Анализ результатов расчетов, проведенных при разных t0, показал, что

максимальное отличие характера поведения колебаний блочной среды и упругого полупространства наблюдается при коротком по времени воздействии. В блочной среде с приходом волны Релея возникают слабо затухающие высокочастотные колебания. С увеличением времени нагружения такие колебания быстрее затухают. При больших временах нагружения головная часть релеевской волны становится похожа на волну Релея в упругом полупространстве.

Заключение

Проведенное исследование динамического поведения двумерной модели блочной среды при воздействии вертикальной сосредоточенной нагрузки на полупространство (задача Лэмба) показало, что наличие структуры в среде приводит к изменению её поведения по сравнению, с тем, что предсказывает непрерывная модель, получаемая усреднением механических свойств блочной среды. Отличие от непрерывной среды особенно сильно проявляется в районе фронта волны Рэлея, а именно - появляются высокочастотные осцилляции скоростей колебаний значительной амплитуды, отсутствующие в непрерывной среде. Полученный результат свидетельствует о необходимости учета блочного строения горных пород при расчете интенсивности сейсмических волн при массовых взрывах.

Работа выполнена по проекту ОНЗ РАН 3.1 и при финансовой поддержке Министерства Образования и Науки Российской Федерации.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Садовский М. А. Естественная кусковатость горной породы // ДАН СССР. - 1979. -Т. 247. - № 4. - С. 829-832.

2. 2. Сарайкин В. А. Расчет волн, распространяющихся в двумерной сборке из прямоугольных блоков // ФТПРПИ. - 2008. - № 4. - С. 32-42.

3. Сарайкин В. А. Распространение низкочастотной составляющей волны в модели блочной среды // ПМТФ. - 2009. - Т. 50. - № 6. - С. 177-185.

4. Jensen J.S. Phononic band gaps and vibrations in one- and two-dimensional mass - spring structures // Journal of Sound and Vibration. - 2003. - V. 266. P. 1053-1079.

5. Александрова Н.И., Шер Е.Н. Распространение волн в двумерной периодической модели блочной среды. Ч. 1: Особенности волнового поля при действии импульсного источника // ФТПРПИ. - 2010. - № 6. - C. 60-72.

6. Александрова Н.И. Распространение волн в двумерной модели блочной среды при воздействии типа «центр вращения» // Г еодинамика и напряженное состояние недр земли. -Новосибирск: ИГД СО РАН, 2011. - Т. 1. - С. 257-263.

7. Aleksandrova N. I. The discrete Lamb problem: Elastic lattice waves in a block medium // Wave Motion - 2014. http://dx.doi.org/10.10167j.wavemoti.2014.02.002.

8. Варыгина М.П., Похабова М.А., Садовская О.В., Садовский В.М. Вычислительные алгоритмы для анализа упругих волн в блочных средах с тонкими прослойками // Вычислительные методы и программирование: новые вычислительные технологии. 2011. - T. 12. C. 435-442.

9. Садовский В.М., Садовская О.В., Варыгина М.П. Анализ резонансного возбуждения блочной среды на основе уравнений моментного континуума Коссера // РЭНСИТ: Радиоэлектроника. Наносистемы. Информационные технологии. 2013, - Т. 5, - №1. С. 111— 118.