CC BY
0
Известия Алтайского государственного университета. 2024. № 1 (135). С. 95-100. Izvestiya of Altai State University. 2024. No 1 (135). Р. 95-100.
Научная статья УДК 514.76
DOI: 10.14258/izvasu(2024)1-13
Параконтактные метрические структуры на пятимерных неразрешимых алгебрах Ли
Анастасия Александровна Волкова1, Николай Константинович Смоленцев2
кемеровский государственный университет, Кемерово, Россия, aaav9414@gmail.com
2Кемеровский государственный университет, Кемерово, Россия, smolennk@mail.ru
Original article
Paracontact Metric Structures on Five-dimensional Unsolvable Lie Algebras
Anastasia A. Volkova1, Nikolay K. Smolentsev2
1Kemerovo State University, Kemerovo, Russia, aaav9414@gmail.com 2Kemerovo State University, Kemerovo, Russia, smolennk@mail.ru
В данной работе исследован вопрос о существовании параконтактных метрических и парасасакие-вых структур на пятимерных неразрешимых алгебрах Ли. В соответствии с классификационными результатами А. Diatta существует три таких алгебры Ли. Это разложимые алгебры Ли а^Щ)х5/(2Д), о$Щ)х5о(3) и неразложимая з/(2,К) хр К2, где р есть обычное действие з/(2,К) на К2. Разложимые алгебры Ли являются прямыми произведениями точной сим-плектической алгебры Ли а$Щ) и трехмерных контактных алгебр Ли. Для неразложимой алгебры Ли 5/(2,К) хр К2 в работе Diatta указана процедура построения контактной структуры. Каждая алгебра Ли рассмотрена подробно. Показано, что только на а$Щ) х 5/(2,К) существуют парасасакиевы структуры. Найдены их выражения в явном виде, вычислены тензоры Риччи и скалярные кривизны. Для других алгебр Ли а_^Щ)х5о (3) и з/(2,К) хр К2 показано, что существуют параконтактные метрические структуры, но все они не обладают свойством К-пара-контактности. Для указанных двух последних алгебр Ли приведены примеры параконтактных метрических структур.
Ключевые слова: пятимерные контактные алгебры Ли, параконтактные метрические структуры, неразрешимые контактные алгебры Ли
This paper studies the problem of the existence of paracontact metric structures and paraSasakian structures on five-dimensional unsolvable Lie algebras. According to the classification by A. Diatta, there are three such Lie algebras. These are the decomposable aff(K)xsl(2,K), aff(K)xso(3) ) Lie algebras and the indecomposable sl(2,K)xp K2 Lie algebra, where p is the usual action of sl(2,K) on K2. Decomposable Lie algebras are direct products of the exact symplectic aff(K) Lie algebra and three-dimensional contact Lie algebras.
For an indecomposable sl(2,K)xp K2 Lie algebra, Diatta gives a procedure for constructing a contact struc-ture. Each Lie algebra is considered in detail. It is shown that para-Sasakian structures exist only on aff(K)xsl(2,K). Their explicit expressions, Ricci tensors, and scalar cur-vatures are obtained. It is shown that there are paracontact metric structures for other aff(K)xso(3) and sl(2,K)xp K2 Lie algebras, but none of them have the K-paracontact property. Examples of paracontact metric structures are provided for the last two Lie algebras indicated above. Keywords: five-dimensional contact Lie algebras, paracontact metric structures, unsolvable contact Lie algebras
© Волкова А.А., Смоленцев Н.К., 2024
Для цитирования: Волкова А.А., Смоленцев Н.К. Па-раконтактные метрические структуры на пятимерных неразрешимых алгебрах Ли // Известия Алтайского государственного университета. 2024. № 1 (135). С. 95-100. DOI: 10.14258/izvasu(2024)1-13.
Введение
Геометрические структуры на дифференцируемых многообразиях являются классическими объектами изучения. Наиболее известными и изученными являются римановы, симплектические и контактные структуры, которые широко используются в математике, механике и физике. Обзор по контактным структурам представлен в работе [1]. Паракоитактиые структуры являются относительно новыми и в последнее время вызывают значительный интерес (см. напр. [2, 3]). Наиболее полное исследование таких структур можно получить в случае левоинвариантных паракон-тактных структур на группах Ли [4, 5, 6]. В настоящее время этот вопрос до конца не исследован даже в пятимерном случае, что и обусловливает актуальность и новизну тематики. Пятимерные контактные структуры вызывают большой интерес [7, 8, 9, 2, 10]. Наиболее полное исследование левоинвариантных параконтактных структур на пятимерных группах Ли представлено в работе [2], однако указанную там классификацию нельзя считать полной, поскольку в нее не входит алгебра Ли sl(2, R) хр R2, где р есть обычное действие sl{2,R) на К2. Поэтому мы снова обращаемся к вопросу о параконтактных метрических структурах на пятимерных неразрешимых алгебрах Ли. При этом мы используем классификационные результаты, представленные в работах [4] и [7]. Согласно работе [4] пятимерные неразрешимые алгебры Ли — это следующие алгебры Ли: äff {Ж) х sl{ 2,R), äff {Ж) х so{ 3) и sl{2, R) XpR2. В данной работе мы покажем, что на алгебре о//(R) х sl(2, R) существуют левоинва-риантные парасасакиевы метрические структуры, приведем их выражения в явном виде и вычислим характеристики кривизны. На других алгебрах Ли äff (Ж) х so( 3) и s/(2, R) x^R2 существуют параконтактные метрические структуры, которые не являются К-параконтактными.
1. Предварительные сведения
Напомним основные понятия, которые далее будут использоваться. Подробности можно найти в работах [1, 2, 3]. Многообразие М размерности 2гг. + 1 называется контактным, если на нем задана дифференциальная 1-форма такая, что i]A(di])n ф^ 0 всюду на М. Форма ц называется контактной. Контактное многообразие М имеет всюду ненулевое векторное поле (характеристическое поле Риба), обозначаемое которое определяется свойствами: = 1 и dr](£, X) = 0 для любого
For citation: Volkova A.A., Smolentsev N.K. Paracontact Metric Structures on Five-dimensional Unsolvable Lie Algebras. Izvestiya of Altai State University. 2024. No 1 (135). P. 95-100. (In Russ.). DOI: 10.14258/izvasu(2024)1-13.
векторного поля X на М. Контактное распределение -О на М определяется уравнением ц = 0.
Определение 1. Параконтактной метрической структурой на М называется четверка (г/, <р, д), где д — псевдориманова метрика и <р — эндоморфизм ф : ТМ —> ТМ касательного расслоения (аффинор), для которых имеют место следующие свойства:
1. ф2 = 1-г) ®
2. с1п(Х,¥) = д^Х,¥),
3. д(фХ, = -д(Х, У) + ??(А>(У),
где I — тождественный эндоморфизм касательного расслоения ТМ.
Наиболее интересными классами являются К-параконтактные и парасасакиевы структуры.
Параконтактная метрическая структура (г/, <р,д) называется К-параконтактной [1, 2], если векторное поле Риба £ является киллинго-вым, т.е. если поток, порожденный полем сохраняет метрический тензор д. Это выражается равенством Ь^д = 0, гле Ь^ — производная Ли вдоль поля Эквивалентным условием является Ь.(ф = 0.
Рассмотрим теперь левоинвариантные пара-контактные структуры на группе О. Из инвариантности следует, что все рассмотрения можно проводить на алгебре Ли 0 группы Ли С. Поэтому в дальнейшем мы будем говорить о параконтактных структурах на алгебре Ли 0, имея в виду левоинвариантные параконтактные структуры на группе Ли О. Пусть аДе - оператор 0 —> 0, действующий по формуле: аЯ^(Х) = [£,-X] = Ь^Х, для X е 0. Тогда из формулы (Ь^ф)(Х) = Ь6{ф{Х)) - ф{Ь6Х) следует:
ф = оЯ^ о ф — ф о оЯ^.
Поэтому мы получаем, что алгебра Ли (в/'Ь д) является К-параконтактной тогда и только тогда, когда операторы аДе и <р коммутируют.
Параконтактная структура (г/, ф) называется нормальной [1, 3], если интегрируема почти пара-комплексная структура 3 на М х К, определенная формулой
J(X, /ЭЬ) = (фХ — К, —п(Х)эь),
где 81 — единичный касательный к К вектор.
Нормальная параконтактная метрическая структура (г), ф,д) называется парасасакиевой.
Условие парасасакиевости выражается формулой [3]:
Ф2[Х,У ] + [фХ,фУ ] - ф[фХ,У ] - ф[Х,фУ ] = dn ® е
Ассоциированная исевдориманова метрика д, соответствующая параконтактной структуре (»?, ф), задается по формуле д(Х,У) = сЬ]((рХ,У) + 1](Х)1](У). Вычисление тензора кривизны, тензора Риччн и скалярной кривизны производится по обычным формулам дифференциальной геометрии с учетом левоинвариантности структур. Компоненты связности левоинвариант-ной метрики на группе Ли находятся по формуле Г- = 1 П,р=1 9кп(С!здкр + С?кдгр - С?кд^). Тензор кривизны Римана находится по формуле Щ]к = - Г^Г^р - С^Гврк. Для вычисления тензора Риччи используем формулу Шсц = ^"=1 Скалярная кривизна в — это след тензора Риччи. Оператор Риччи ШС определяется из равенства Шс(Х,У) = д(Х, ШС(У)).
неразрешимые
2. Пятимерные Ли
Согласно работе [4] пятимерные контактные неразрешимые алгебры Ли - это следующие алгебры Ли: o//(R) х sl{2,R), o//(R) х so{3) и sl{2,R) XpR2.
В работе [4] дано описание контактных структур на пятимерных алгебрах Ли с тривиальным центром и на неразрешимых алгебрах Ли. Согласно работе [4] пятимерные неразрешимые алгебры Ли — это следующие алгебры Ли:
• разложимые: o//(R) х sl(2, R), o//(R) х so( 3),
• неразложимые: sl(2, R) xp I обычное действие sl(2,R) на .
скобкой Ли [ei, e2] = e2. В алгебре Ли sl(2,R) вы-
ез =
1 0 0 -1
, e4 =
0 1 0 0
, e5 =
0 0 1 0
со скобками Ли:
[ез, е4] = 2е4, [ез, е5] = -2е5, [е4, е5] = ез.
Данная алгебра Ли является контактной с контактными формами 1] двух типов [4] и [7]:
П1 = е2 + е3,
П2 = е2 + е4 + е5,
где символами е1, е2, е3, е4, е5 обозначены ковекто-ры, т.е. векторы дуального базиса.
е2 + е3
2.1.1. Контактная форма п1
Легко видеть, что Зщ = —е1 Ае2 — е4 А е5. Поле Риба ц имеет вид £ = ез. Перейдем к новому базису {Еъ Е2, Е3, Е4, Е5} так, чтобы щ = Е5, £ = Е5, ¿о 1 = Е1 АЕ2 + Е3 АЕ4 и векторы {Еъ Е2, Е3, Е4} порождали контактное распределение Е. Полагаем:
Е1 = -е1, Е2 = е2 - ез, Ез = е5, Е4 = е4,
Е3 = е3. (1)
253 C12 = -1, C12 = -1, C23 =
C'L = —2, C|4 = —1, C|5 = 2, Cj5 = —2.
В этом случае ненулевые структурные константы принимают значения:
Запишем аффинор р> в виде матрицы р> = р>ц в базисе Е., . Учитывая, что <р обладает свойством ¿1]((рХ, ¡рУ) = —¿1](Х, У), X е 0, легко видеть, что
/ -ф22 ф12 ф1з Фз2 0 \ ф21 ф22 ф2з фз1 0 Фз1 фз2 фзз фз4 0
Ф =
Ф23 Ф13 Ф43 Ф33 0
где р есть
Здесь aff (Ж) — алгебра Ли двумерной группы Aff(R) аффинных преобразований у=ах+Ь числовой прямой, si(2, R) — алгебра Ли группы Ли S7(2,R) матриц порядка 2 с определителем 1 и so(3) — алгебра Ли группы SO(3) ортогональных матриц порядка 3 с определителем 1.
Отметим, что разложимые алгебры Ли являются прямыми произведениями точной симплек-тической алгебры Ли о//(R) и трехмерных контактных алгебр Ли. Для неразложимой алгебры Ли sl(2,R) xpR2 в работе [4] указана процедура построения контактной структуры. Мы используем классификацию контактных структур на указанных алгебрах Ли работ [4] и [7].
2.1. Алгебра Ли aff (R) х sl(2, R)
Рассмотрим сначала алгебру Ли о//(R) х sl(2, R). Алгебра aff (Ж) имеет базис {ei,e2} со
\ 0 0 0 0 0 /
Элементы этой матрицы связаны еще условиями, которые следуют из равенства р>2 = 1 — 1В координатах это условие выражается системой уравнений: ^к ФгкФко = 5ц, '1, 3, к = 1, . . . , 4.
Напомним, что параконтактная метрическая структура (г/, ф,<?) на алгебре Ли 0 называется К-параконтактной, если векторное поле Риба £ является киллинговым: Ь^д = 0. В этом случае Ь^ср = 0. Как уже ранее упоминалось, ¡р,д) является К-параконтактной тогда и только тогда, когда операторы ас1^ и ¡р коммутируют. Матрица оператора аДе выражается через структурные константы Е^ = С|г: и имеет всего два ненулевых элемента: Б3 = С33 = -2, Е\ = С|4 = 2. Поэтому условие коммутирования аЛ^ о р> — р> о ас!,!; = 0 операторов асЦ и (р в координатах принимает вид:
D5зфз, + D54Ф4з - фiзD?3j - фi4Dij = 0
и с учетом (2) выполняется при следующих значениях параметров:
ф1з = Фз1 = Фз2 = ф2з = ф4з = Фз4 = 0.
Поэтому матрица аффинора (2) принимает вид с условиями:
/ —Ф22 Ф12 0 0 0
Ф21 Ф22 0 0 0
0 0 Ф33 0 0
0 0 0 — ф33 0
V 0 0 0 0 0
Тогда свойство ф2 = следующих условиях:
1 — 1] 12> £ выполняется при
<р12ф21 + ФЪ = 1> ФЗЗ = (4)
Легко видеть, что в этом случае выполнено условие парасасакиевости. Напомним, что ассоциированная метрика находится через аффинор <р по формуле д{Х,У) = с1'П(фХ,У) + ?у(Х)??(У). Таким образом, получаем следующий результат.
Теорема 1. На алгебре Ли aff (К) х sl(2, К) с контактной формой щ = е2 + е3 существует парасасакиева метрическая структура. В базисе
В базисе (1) оператор Риччи ШС имеет матрицу
2ф12 + 1 2 0
\
0
2ф12 + 1 2 0
0
0
0
0
4фзз
2
0 0
0 0 0
4узз-1 0 2 0
0
-1 /
2<^12 - 4(^зз + 1.
е2 + е4 + е5
2.1.2. Контактная форма п2
Легко видеть, что dц2 = —е1 Л е2 — 2е3 Л е4 + 2е3 Л е5. Поле Риба £ имеет вид £ = + Перейдем к новому базису:
Е = —е1, Е2
1
1
е2 — 2 е4 — 2 е5'
Ез
1
-ез, 2 3'
Е4 = — е4 + - е5
2
2
Е5 = ^ е4 + 1 е5-
Тогда щ = Е5, £ = Е5, с1п2 = Е1 А Е2 + Е3 А Е4 и векторы {Е\, Е2, Ез, Е4} порождают контактное распределение Е. Поэтому аффинор <р имеет тот же вид (2).
Совершенно аналогично получаем, что условие К-параконтактности выполняется при следующих значениях параметров:
Ф32 = Ф13 = Ф31 = Ф23 = Ф33 = 0, ф43 = Ф34.
Тогда аффинор принимает вид:
/ —Ф22 Ф12 0 0 0
Ф21 Ф22 0 0 0
0 0 0 Ф34 0
0 0 Ф34 0 0
V 0 0 0 0 0
ф12ф21 + Ф22 = 1> ФзА = (7)
Легко видеть, что в этом случае выполнено условие парасасакиевости. Таким образом, получаем следующий результат.
Теорема 2. На алгебре Ли о//(М) х в/(2,М) с контактной формой щ = е2+е4 + е5 существует парасасакиева метрическая структура. В базисе
В базисе (5) оператор Риччи ШС имеет матрицу
(
12+1
\
0
2ф12 + 1 2 0
0
0
0 0
2ф34 + 1 2 0 0
0 0 0
2ф34 + 1 2 0
0 0 0 0 —1
Скалярная кривизна выражается формулой: S =
2фХ2 + 2ф34 + 1.
2.2. Алгебра Ли а^'(К) х so(3)
Возьмем на данной алгебре Ли базис
{еье2,е3, е4,е5}, где еье2 € о//(М), а е3,е4,е5 — стандартный базис во(3). Имеем следующие ненулевые скобки Ли:
[еь е2] = е2, [е3, е4] = е5, [е4, е5] = е3, [е5, е3] = е4.
В соответствии с результатами [4] и [7] данная алгебра Ли является контактной с контактной формой 1] = е2 + е3.
Перейдем к новому базису:
Е1 = —е1, Е2 = е2 — е3, Е3 = е5, Е4 = е4,
Е5 = е3. (8)
Тогда г) = Е5, £ = Е5, Зщ = Е1 А Е2 + Е3 А Е4 и векторы {Ех, Е2, Ез, Е4} порождают контактное распределение Е. Поэтому аффинор ф имеет тот же вид (2). Структурные константы в новом базисе: С'12 = — 1, С®2 = — 1, С|з = 1; ^24 = ~~ 1' С|4 = —1, С|5 = 1, С|5 = —1.
Совершенно аналогично получаем, что свойство К-параконтактности выполняется при следующих значениях параметров:
Ф32 = Ф13 = Ф31 = Ф23 = 0, Ф43 = —ф34.
Однако в этом случае условие <р2 = 1—1]®^ не выполняется. Таким образом, получаем следующий Вывод. На алгебре Ли о//(М) х во(3) с контактной формой 1] = е2 + е3 не существует К-параконтактных и, следовательно, параеаеакие-вых метрических структур.
Существует много параконтактных (не К-параконтактных) метрических структур на алгеб-
Ф
1
Ф
ре Ли äff (Ж) х so( 3). Приведем в качестве примера одну из таких структур:
( -1 Ф12 Ф13 Ф13Ф34 2 0
0 1 0 0 0
0 Ф13 Ф34 2 1 Ф34 0
0 -Ф13 0 -1 0
\ 0 0 0 0 0
2
1
Еб = 77 е1 + 77 е5
3
3
Тогда г) = Е5, £ = Е5, сЬп = Е1 А Е2 + Е3 А Е4 и векторы {Е\, Е2, Ез, Е4} порождают контактное распределение Е. Поэтому аффинор р> имеет тот же вид (2). Выпишем ненулевые структурные константы в новом базисе: С\0 = 1/2, С®, = —1, С| = 2/3, С24 = 4/3, = -2/3, С|3 = -1/2, С|4 = 1, С25 = 1/2, Сд4 = —1/2, С|4 = —1, С!5 = 2/3.
Матрица £>д • оператора имеет три ненулевых элемента: = -2/3, С\5 = 1/2, С% = 2/3.
Поэтому из условия коммутирования сиЦ и ¡р совершенно аналогично получаем, что свойство К-параконтактностп выполняется при следующих
значениях параметров:
Ф21 = Ф22 = Ф23 = Ф43 Ф12 =
Ф42 = Ф44 = Ф32
Ф :
Скалярная кривизна ассоциированной метрики д{Х,У) = ¿г/(<рХ, У)+?у(А^)?у(У) выражается формулой: 5 = 3 + 2ф12 - ф34 + 2Ф34-
2.3. Алгебра Ли в/(2, К) хр К2
Выберем стандартный базис ех,е2 пространства К2 и базис ез, е4, е5 алгебры в1(2, М). Действие в/(2,М) на К2 выражается скобками Ли [е4, ед] = еЪ [е5, 61] = е2, [ез, ег] = еь [е3, е2] = -е2.
В соответствии с результатами [4] и [7] данная алгебра Ли является контактной с контактной формой 1] = е1 + е5. Поле Риба £ имеет вид £ = |ех + |е5.
Перейдем к новому базису:
2 2 1
Е1 = зе1 - зе5, Е2 = ^ез, Ез = е2, Е4 = е4,
Ф24-
( -1 Ф12 0 Ф32 0
0 1 0 0 0
0 Ф32 -1 Ф34 0
0 0 0 1 0
\ 0 0 0 0 0
Однако в этом случае условие р>2 = 1 — 1]®^ не выполняется. Таким образом, получаем следующий
Вывод. На алгебре Ли в/(2, М) х^, М2 с контактной формой 1] = е2 + е3 не сущестщет К-параконтактных и, следовательно, парасасакие-вых метрических структур.
Существует много параконтактных (не К-параконтактных) метрических структур на алгебре Ли в1(2, М) ХрМ2. Приведем в качестве примера одну (наиболее простую) из таких структур:
Ф :
Скалярная кривизна ассоциированной метрики д(Х,¥) = ¿1](<рХ,¥) + 1](Х)1](¥) выражается формулой: 5 = 3 + 1 + 2 р>12.
Заключение
В работе рассмотрены параконтактные структуры на пятимерных неразрешимых алгебрах Ли. В соответствии с классификационными результатами А. Б1а1^а существует три таких алгебры Ли. Каждая из них рассмотрена подробно. Показано, что только на а//(М) х в/(2, К) существуют пара-сасакиевы структуры. Найдены их выражения в явном виде, вычислены тензоры Риччи и скалярные кривизны. Для других алгебр Ли af'f'(К) х во(3) и в1(2, М) ХрМ2 показано, что существуют параконтактные метрические структуры, но все они не обладают свойством К-параконтактности. Для указанных двух последних алгебр Ли приведены примеры параконтактных метрических структур.
Библиографический список
1. Blair D.E. Riemannian Geometry of Contact and Symp-lectic Manifolds, Second Edition. Progress in Mathematics, 203, Birkhauser, Boston Inc., Boston, MA, 2010. 343 p. DOI: 10.1007/978-0-8176-4959-3
2. Calvaruso G. Perrone A. Five-Dimensional ParaCon-tact Lie Algebras // Differential Geometry and its Applications. 2016. Vol. 45. P. 115-129. DOI: 10.1016/j.difgeo.2016.01.001
3. Смоленцев Н.К. Левоинвариантные парасасакие-
вы структуры на группах Ли // Вестник Томского государ-
ственного университета. Математика и механика. 2019. Т. 62. С. 27-37. DOI: 10.17223/19988621/62/3
4. Diatta A. Left Invariant Contact Structures on Lie Groups // Differential Geometry and its Applications. 2008. Vol. 26. P. 544-552. DOI: 10.1016/j.difgeo.2008.04.001
5. Goze M., Khakimdjanov Y., Medina A. Symplectic or Contact structures on Lie Groups // Differential Geometry and its Applications. 2004. Vol. 21. No 1. P. 41-54. DOI: 10.1016/j.dif-geo.2003.12.006
6. Goze M., Remm E. Contact and Frobeniusian Forms on Lie Groups // Differential Geometry and its Applications. 2014. Vol. 25. P. 74-94. DOI: 10.1016/j.difgeo.2014.05.008
7. Славолюбова Я.В. Применение систем компьютерной математики к исследованию левоинвариантных контактных метрических структур на пятимерных группах Ли : дисс. ... канд. физ.-мат. наук. Кемеровский государственный университет. Кемерово, 2011. 202 с.
8. Loiudice Е. Lotta A. On Five Dimensional Sasakian Lie Algebras with Trivial Center // Osaka Journal of Mathematics. 2018. Vol. 55. P. 39-49.
9. Calvaruso G., Fino A. Five-Dimensional K-Contact Lie Algebras. // Monatshefte fur Mathematik. 2012. Vol. 167. P. 35-59. DOI: 10.1007/s00605-011-0308-2
10. Смоленцев Н.К., Шагабудинова И.Ю. О парасасакие-вых структурах на пятимерных алгебрах Ли // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2021. Т. 69. С. 37-51. DOI: 10.17223/19988621/69/4
References
1. Blair D.E. Riemannian Geometry of Contact and Symp-lectic Manifolds, Second Edition. Progress in Mathematics, 203, Birkhauser, Boston Inc., Boston, MA, 2010. 343 p. DOI: 10.1007/978-0-8176-4959-3
2. Calvaruso G. Perrone A. Five-Dimensional ParaContact Lie Algebras. Differential Geometry and its Applications. 2016. Vol. 45. P. 115-129. DOI: 10.1016/j.difgeo.2016.01.001
3. Smolentsev N.K. Left-invariant Para-sasakian Structures on Lie Groups. Vestnik Tomskogo Gosudarstvennogo Univer-siteta. Matematika i Mekhanika. 2019. Vol. 62. P. 27-37. (In Russ.). DOI: 10.17223/19988621/62/3
4. Diatta A. Left Invariant Contact Structures on Lie Groups. Differential Geometry and its Applications. 2008. Vol. 26. P. 544-552. DOI: 10.1016/j.difgeo.2008.04.001
5. Goze M., Khakimdjanov Y., Medina A. Symplectic or Contact Structures on Lie Groups. Differential Geometry and its Applications. 2004. Vol. 21. No 1. P. 41-54. DOI: 10.1016/j. difgeo.2003.12.006
6. Goze M., Remm E. Contact and Frobeniusian Forms on Lie Groups. Differential Geometry and its Applications. 2014. Vol. 25. P. 74-94. DOI: 10.1016/j.difgeo.2014.05.008
7. Slavolyubova Ya.V. Application of Computer Systems Mathematics to the Study of Left-invariant Conbar Metric Structures on five-Dimensional Groups Lee: Ph. D. thesis. Kemerovo State University: Kemerovo, 2011. 202 p. (In Russ.).
8. Loiudice E. Lotta A. On Five Dimensional Sasakian Lie Algebras with Trivial Center. Osaka Journal of Mathematics. 2018. Vol. 55. P. 39-49.
9. Calvaruso G., Fino A. Five-Dimensional K-Contact Lie Algebras. Monatshefte fur Mathematik. 2012. Vol. 167. P. 35-59. DOI: 10.1007/s00605-011-0308-2
10. Smolentsev N.K., Shagabudinova I.Yu. On Parasasakian Structures on Five-dimensional Lie Algebras. Vestnik Tomskogo Gosudarstvennogo Universiteta. Matematika i Mekhanika. 2021. Vol. 69. P. 37-51. (In Russ.). DOI: 10.17223/19988621/69/4
Информация об авторах
A.A. Волкова, студентка Института фундаментальных наук, Кемеровский государственный университет, Кемерово, Россия;
н.к. Смоленцев, доктор физико-математических наук, профессор кафедры фундаментальной математики, Кемеровский государственный университет, Кемерово, Россия.
Information about the authors
A.A. Volkova, Undergraduate Student of the Institute of Basic Sciences, Kemerovo State University, Kemerovo, Russia;
N.K. Smolentsev, Doctor of Sciences in Physics and Mathematics, Professor of the Department of Fundamental Mathematics, Kemerovo State University, Kemerovo, Russia.
