Парадоксы решений уравнения Шредингера и туннельного эффекта Текст научной статьи по специальности «Математика»

PHYSICS AND MATHEMATICS

ПАРАДОКСЫ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА И ТУННЕЛЬНОГО ЭФФЕКТА

Рысин А.В. Рысин О.В.

АНО «НТИЦ «Техком» г.Москва, радиоинженеры

Бойкачев В.Н. АНО «НТИЦ «Техком» г.Москва, директор кандидат технических наук Никифоров И.К.

Чувашский государственный университет, г. Чебоксары, кандидат технических наук, доцент

PARADOXES OF SOLUTIONS OF THE SCHRÖDINGER EQUATION AND TUNNELING EFFECT

Rysin A. V.

Rysin O. V.

ANO "STRC" Technical Committee "Moscow, radio engineers

Boykachev V.N.

ANO "STRC" Technical Committee "Moscow, director, candidate of technical sciences Nikiforov I.K.

Chuvash State University, Cheboksary, candidate of technical sciences, associate professor

АННОТАЦИЯ

В очередной статье продолжено рассмотрение парадоксов, имеющих место в решениях вероятностной квантовой механики, основным из которых является туннельный эффект. Соответственно предложен способ решения указанных ошибок и парадоксов. Статья даёт возможность понять природу взаимодействия.

ABSTRACT

In another article, we continue to consider paradoxes taking place in the solutions of probabilistic quantum mechanics, the main of which is the tunnel effect. Accordingly, a method for solving these errors and paradoxes is proposed. The article makes it possible to understand the nature of interaction.

Ключевые слова: скорость света, постоянная Планка, уравнение Шрёдингера, уравнение Дирака, уравнение Гамильтона-Якоби, метод Вентцеля-Крамерса-Бриллюэна, туннельный эффект.

Keywords: speed of light, Planck constant, schrödinger equation, Dirac equation, Hamilton-Jacobi equation, Wentzel-Kramers-Brillouin method, tunneling effect.

В [1] мы уже обращали внимание на парадоксы уравнения Шрёдингера в статике. При этом функ-в уравнении Шрёдингера. Суть критики в [1] каса- ция ¥(r, t) в квантовой механике отражает вероят-лась перехода от уравнения Шрёдингера к уравне- ностное положение электрона в электронной орби-нию Гамильтона-Якоби путём стремления постоян- тали. Именно вероятностный подход обеспечивает ной Планка h к нулю, что означает (с точки зрения так называемый туннельный эффект с прохожде-физики) исключение самого квантования, наруше- нием потенциального барьера. Однако это приво-ние постулата Эйнштейна о скорости света как кон- дит к массе парадоксов, которые рассмотрены станты. Так как в соответствии с нашей теорией ниже. Чтобы показать это, вспомним сам переход [2, 3] ch=1, и кроме того h^0 означает возможность от уравнения Шрёдингера к уравнению Гамиль-исчезновения самого объекта из мироздания. Рас- тона-Якоби, где в качестве аргумента волновой смотрим более детально парадоксы, касающиеся функции ¥ вводится вспомогательная функция S. самих решений уравнения Шрёдингера. Это явля- Это нужно сделать потому, что уравнение Гамиль-ется важным потому, что все современные решения тона-Якоби является основополагающим при ис-в квантовой механике сводятся к варианту решения пользовании метода Вентцеля-Крамерса-Бриллю-

эна [4] (метод ВКБ), который определяет правило квантования

| pdx = 2 nh(n + 1/2) = h(n + 1/2), (1)

Sciences of Europe # 27, (2018)_23_

из которого потом следует наличие ненулевой В соответствии с [5], по теории квантовой меха-энергии Е=йш/2 для гармонического осциллятора. ники вместо волновой функции ¥ необходимо ввести функцию S в виде: t) = Aexp[(i/ h)S( r, t)]. (2)

Далее учтём равенства

W = (i/h )(VS)^; VV = (-1/h2)(VS)2 W + (i/h)(V2S)¥;

s^/dt = (i/h)(cs/at)^; (h/i)(5^/at) = (ss/at)^ ()

и преобразуем известное уравнение Шредингера

(-Й/i)(SY/St) = (-h2 /2М0)V2Y + U¥ , (4)

используя подстановки из (3). Так как вероят- преобразования должна входить во все члены лишь ностная волновая функция ¥ в результате данного множителем, мы её можем сократить. Тогда имеем:

- (дЯ / дг) = (1 / 2М0 )2 - (гЙ / 2М0 )V2Я + и . (5)

Суть такого перехода в том, что волновые

свойства определяются лишь членом г'й/(2М0) Иными словами мнимым является член дифференцирования не по времени, а член дифференцирования 2-го порядка по длине. Сравнивая уравнения (4)

и (5), мы можем найти эквивалентность в том, что если умножить уравнение (5) на ih, то уравнение (5) будет отражать практически два уравнения в корпускулярном и волновом виде:

(-ih)(SS/ St) - (h2/ 2M0)V2S = ih[(1 / 2M0)V2S + U]; (-ih)(SS/St)-(h2/2M0)V2S = ih[(1/2M0)(VS)2 + E]; U = E.

(6)

Здесь слева от знака равенства уравнение Шрё- потенциальная энергия и неизбежно означает взаи-дингера без потенциальной энергии, а справа от модействие с дополнительным объектом, и оно от-знака равенства - уравнение Гамильтона-Якоби. сутствует в левой волновой части равенства, то сле-Причём можно считать, что и=Е-и\. Такое истол- дует, что и=Е. Если же мы хотим добавить взаимокование вполне допустимо, так как мы значение по- действие с неким внешним объектом, то мы его тенциальной энергии вставляем в уравнение Шрё- должны выразить через противоположности вида дингера произвольно, да и в методе ВКБ мы ис- £и2=/йи\ (где £ - это волновая функция, аналогич-пользуем разность Е-и. Но так как добавочная ная ¥), и вставить в нижнее уравнение (6):

(-/Й)(дЯ / дг) - (Й2/2М0 ^2Я + Яи = гЙ[(1/2М0 )фЯ)2 + Е + и ] = 0. (7)

В итоге мы получаем, что слева от знака равенства у нас функция £ выражает волновой вид:

Я (г, г) = А ехр[(г / Й)(Е - рг)], А = 1. (8)

Одновременно с этим в уравнении (7) часть справа от времени в виде Е=—(дБ/д(): от знака равенства выражает корпускулярный вид, если учесть динамику изменения энергии частицы

(-/Й)(дЯ/ дг) - (Й2 / 2М0^2Я + Яи = гЙ[(1/ 2М0)^Я)2 - (дЯ/ дг) + и] = 0. (9)

Тогда решением в правой части от знака равенства в (7) при VS=р будет функция £ в виде:

Яа(г,г) = (г /Й)(Ег - рг) . (\0)

Отсюда можем записать:

(-гЙ)(дЯ/дг)-(Й2 /2М0)V2Я + Яи2 = г'Й[(1/2М0)(УЯа )2 -(дЯа /дг) + и] = 0 . (\\)

Таким образом, переход в противоположность связан с тем, что функции £(г, $ слева и справа от знака равенства в (6) отличаются тем, что для достижения закона сохранения количества в каждой из противоположностей, отражающих корпуску-лярно-волновой дуализм, функция £а(г, 0 справа от знака равенства в (11) является ничем иным как аргументом функции £(г, 0, которая определяет волновые свойства слева от знака равенства в уравне-

нии (11). Отсюда следует вывод, что попытка получить единую общую функцию и для корпускулярной и для волновой части означает нарушение закона сохранения количества в противоположностях, так как одна и та же величина должна выступать и как аргумент действия, и как функция, на которую производится это воздействие. Иными словами требуется полная замкнутость на себя, а это действительно только для всего мироздания, а не для объектов внутри мироздания. При этом, если

24 Sciences of Europe # 27, (2018)

бы закономерности для волнового представления ошибка была сделана в приближённом методе

совпадали бы с закономерностями для корпуску- Вентцеля-Крамерса-Бриллюэна [6], где в исходном

лярного движения, то тогда бы различий между статическом уравнении ними не было бы, а само отсутствие противоположностей означает однородность. Однако именно эта

(1/ 2М0 )(VS)2 - (ih / 2M0 )V2S + U - E] = 0, (12)

решение S ищется в виде общей функции:

S = S0 + S1 + S2 +... , (13)

где величина S0 не зависит от h, S1 пропорцио- величина нальна h, а S2 пропорциональна h2 и т.д. При этом

Vкв =-(ih /2M0 )V2 S (14)

рассматривается как некая дополнительная с помощью функции S вводится пренебрежение ве-квантовая потенциальная энергия. Далее в решении личинами порядка h2 и выше, и изначальное уравнение (12) представляется в виде:

S'2 - ihS" = 2M0 (E - U) = p2. (15)

С учётом (13) имеем:

S'2 + 2S0S; - ihS'0 = p2. (16)

Видно, что уравнение (16) имеет решение, если вой и правой частях, не зависящие от h, а также про-разделить корпускулярные и волновые свойства с порциональные h (при этом необходимо учитывать, этой целью приравниваются друг другу члены в ле- что величина S1 пропорциональна h), тогда находим:

S02 = p2 ; 2S0Si = ihS"0; S0 = p; Si = (ih/2p )/p. (17)

Отсюда следует, что:

S0 = ±JX0 pdx ; S = ih Injp . (18)

Здесь величина x<xo соответствует условию сохраняется один общей аргумент зависимости от

Е> U. При этом решение касающееся 50 , относится р, то есть в методе ВКБ получается, что в противо-

к решению уравнения Гамильтона-Якоби и не явля- положности вместо волновой функции (как проти-

ется периодическим. Решение ^ также не является воположности) присутствует некая третья функ-

периодической функцией, описывающей волновой ция. Понятно, что это является парадоксом, так как

процесс, хотя мнимый знак указывает на принад- не соответствует корпускулярно-волновому дуа-

лежность к противоположности. Иными словами лизму. Продолжим дальнейшее исследование ме-

мы получаем в противоположности некую новую тода ВКБ. зависимость, которая не отражает ни корпускулярное движение, ни волновое движение, и при этом Учитывая ограничение членами порядка й, имеем:

£ = £ + £ = ±Г°pdx + гй 1n.Jp . (19)

Зх

Далее определяется вероятностная волновая функция для статического уравнения Шредингера

V2х¥ + (2М0 /й2)(Е-иу¥ = 0 (20)

путём подстановки (18) в функцию ^(х) = Аехр[(г / й)£(х)]

¥(х) = Аехр{(г /й)[(&_хЛх0 = pdx+ гй Ыд/р]} =

= Аехр(- 1^л/р)ехр[(&_хЛх0 = pdx] = Аехр(- 1^л/р)[оо8(г) ±г 8т(г)]. Здесь

г = 1 £0 pdx> 0 ; р = у12М0(Е-и) . (22)

(21)

Если рассматривать только значение х, то подстановка этой величины в аргумент волновой функции ¥ для уравнения Шрёдингера вполне обоснованна, и это согласуется с нашим подходом, где в уравнении (11) функция 5а является аргументом для

функции 5, и корпускулярное движение является аргументом для волновой функции в уравнении Шрёдингера. В (22) значение импульса р выражено через значение постоянной кинетической энергии и переменной потенциальной энергии по длине. Если

исходить из классики, то это означает парадокс, так как Е=р2/(2Мо), и если Е=сош1, то и р=сош1 Чтобы избежать парадокса, необходимо предположить круговое движение частицы в потенциальной яме. В этом случае кинетическая энергия частицы всегда равняется константе, но при рассмотрении одномерного случая, например, по координате х, мы будем иметь периодическое изменение значения импульса р. Подчеркнём, что в варианте уравнения Шрёдингера с потенциальной энергией нельзя использовать вариант превращения кинетической энергии в потенциальную, и наоборот, в зависимости от силы тяжести, как например, в маятнике, так как нет самого механизма взаимного превращения энергий с точки зрения вероятностной квантовой механики. В маятнике преобразованная кинетическая энергия по координате х выражается через высоту Н над нижней точкой маятника. Здесь в уравнении Шрёдингера, во что была преобразована кинетическая энергия - не ясно. Этот способ преобразования имеет объяснение только с помощью нашей теории, но он связан с тем, что глобальные противоположности выступают друг для друга, в одном случае как электромагнитные составляющие, а в другом - как пространственно-временное искривление. Это будет показано несколько ниже.

Далее продолжим исследование метода ВКБ. Понятно, что периодическое изменение направления движения импульса частицы, типа электрона, связано с круговым её движением. При этом неизбежно должно быть излучение и поглощение электромагнитной энергии, которая определяет кинетическую энергию частицы в данном направлении, и равняется константе по величине. При этом, если рассматривать одномерный вариант, как предложено в методе ВКБ, то здесь должен быть целый широкий спектр излучения и поглощения. Даже если предположить наличие ненулевой энергии (так называемого электромагнитного вакуума), то каким образом из этого вакуума будет выбираться нужный спектральный состав на излучение и по-

глощение? И это при том, что в квантовой вероятностной механике при нахождении частицы на дискретных орбитах, по теории Бора, вообще исключается излучение и поглощение. По квантовой механике вероятность нахождения частицы в потенциальной яме определяется умножением волновой функции на комплексно- сопряжённую. В итоге для статического уравнения Шрёдингера получается вероятностная волновая функция. Однако вероятностная волновая функция нахождения частицы в потенциальной яме уже сама по себе исключает наличие дискретной орбиты по теории Бора, поэтому придумали новое название - в виде вероятностных электронных оболочек (электронные орбитали). А это уже связано с нарушением причинно-следственных связей, которые закладывались в значения энергии и импульса в формуле (22), так как вероятностное появление частицы в электронной оболочке имеет неопределённость. В итоге получается, что по вероятностной квантовой механике детерминированные законы в аргументе функции переродились в вероятностные законы, а это парадокс, так как детерминированный закон не может дать вероятность в силу того, что надо придумать способ получения этой неопределённости при использовании детерминированных функций.

Продолжим рассмотрение метода ВКБ на анализ парадоксальных решений. Второй член в (21) в

виде А ехр{(г/Й)[гЙ]} = А ехр(-) является тоже достаточно сомнительным, так как исключает связь противоположностей в виде аргумента и функции. Собственно этот член дальше определяет нормировочный коэффициент а при вероятностной волновой функции (36), и в определении вида самой волновой функции не участвует. Однако он даёт неопределённость в областях сшивания при р=0, что видно из дальнейших преобразований и которая даёт сингулярность, стремящуюся к бесконечности.

При принятом авторами метода ВКБ упроще-

ния, вероятностные волновые функции имеют вид: ¥(г)я<Хо = А ехр[(г / Й)Я(г)] = (1//Р )[а + у) + Ь оо8(? + у:)]; (23)

для области, где р>0

¥(г)^ = Аехр[(г/Й)Я(г)] = (1//Р)[АехР-+ ВехР-]. (24)

Здесь постоянные а, Ь, А и В и фазы у и у\ не являются произвольными, поскольку должны быть связаны соотношениями, вытекающими из условия сшивания решений вблизи точки х=х0, при р=0.

Однако, если исходить из физики процесса, то значение г определяется величиной импульса. Тогда от чего физически зависят величины у и у\? Получается, что мы ввели добавочное значение импульса у = (г / Й)£0 рхйх > 0, но не знаем физику

его происхождения, то есть сотворили чудо, которое потом даст нам в уравнении (1) добавочное значение А/2. Иными словами мы сшиваем функции (23) с функциями (24) за счёт того, что вблизи точки х=х0 , при р=0, мы добавляем некоторое значение. Тогда и в (24) мы тоже должны добавить значения

у и у\, то есть должны иметь ехр(-^+у|), ехр(-^+у\ |), иначе будет энергетический разрыв по отношению к импульсу. Ещё раз напомним, что функции ¥ определяют вероятностные электронные оболочки. И здесь нет физического смысла, который есть в нашей теории, когда корпускулярное движение в одной противоположности, выраженное в виде пространственно-временного искривления, даёт электромагнитное излучение в другой противоположности. В нашей теории функции ¥ отражают электромагнитные составляющие. Иными словами в нашей теории есть связь между корпускулярными и волновыми свойствами на основе известных величин с причинно-следственной связью. Поэтому в нашей теории сшивать функции ¥ не требуется, так как излучение определяется характером движения

частицы по уравнению Гамильтона-Якоби. В соответствии с вероятностной квантовой механикой электрон рассматривается как корпускула, но имеющая в атоме вероятность нахождения в соответствии с электронной оболочкой. Отсюда и предположение о возможности нахождения электрона в области, когда кинетическая энергия меньше потенциальной энергии. При классике движения частицы это в принципе невозможно. Кроме того, сделанные допущения в (24) полностью игнорируют

мнимую единицу при р<0, и при этом произвольно вводятся модули \р\ и \х|. Так же мы имеем прир=0 расходящиеся решения. В квантовой механике эту проблему решают с помощью замены переменных и представления статического уравнения Шрёдин-гера в изменённом виде, чтобы исключить расходящееся решение за счёт члена (х-хо)^0 при х^хо, когда

p2 = -(х - х0 )[2Мои'(х0 )] = -ай2( х - х0 )

(25)

приближённое решение удовлетворяло бы уравнению:

¥"-«( х - х0 ) = 0,

(26)

где а=1/й2 [2МоЦ*(хо)]. Далее вводится новая переменная ^=а1/3(х-х0), и уравнение (26) прини-

мает вид

d2¥/d= 0 .

(27)

Решения уравнения (27) ищутся через функции Эйри, которые можно представить в виде следующих интегралов:

и Я)* =~т I

ехр

Я-

-г3 3

к Я)* = 4-1

ЫЖ Л

соэ

/

+ эт

гя +1 г3

3

гя+1 г3

3

г.

(28) (29)

Асимптотическое выражение функций Эйри и(£)* и V©* при ^>0 имеют вид

К(Я) = 0,5Я-1/4 ехр[(-2/3)Я2/3].

и (Я) = Я-1/4ехр[(2/3)Я2'3].

2/3-|

(30)

(31)

В случае больших отрицательных значений ^<0 функции и(£) и У(Е) являются осциллирующими:

1/4- г_,_|„|2/3

К(-|Я)* ^Я-1/4эт[(2/3)Я2/3 + */4]. и(-|Я)* = Я-1/4 соэ[(2/3)Я2/3 + */4].

(32)

(33)

Вычисляя значения х и \х\ в равенствах (23) и (24) соответственно при х^х0-0 и х^х0+0, получим:

2|„|3/2

г =1Г pdx=2|Я|3/2; х ^ х0- 0;

\А =1 £\p\dx = 2Я3/2 ; х ^ х0 + 0.

(34)

(35)

Решения (23) и (24) и решения (30)-(33) у=у1=л/4. Таким образом, полагая в равенствах (23)

должны совпадать в тех областях, где они одновре- и (24) Ъ=0, аф0, находим первую пару сшитых ре-

менно справедливы. Тогда, приравнивая оба асимп- шений: тотических решения, получим, что А=а/2, В=Ъ,

¥(х)= (1/^)[а + ж/4)]; (36)

¥(Г) х

1(1/^ )[а/2ехр(-)]

(37)

0

где экспоненциально убывающее решение (37) области х<х0 . Но для экспоненциально возрастаю-в области х>х0 представляет собой аналитическое щего решения при х>х0 , мы должны положить Ьф0, продолжение синусоидального решения (36) для а=0, и тогда для 2-й пары сшитых решений имеем:

^(х)_ — (1/7Р)[Ь 008(2 + 7/4)]; (38)

^(г) X

■:(!/§$ )[Ь / ехр(| 2)].

(39)

Продолжим анализировать метод ВКБ с точки энергии) обращалось бы в ноль. Иными словами мы

зрения квантования в потенциальной яме. Процесс отбрасываем решения (38) и (39), как не соответ-

квантования по методу ВКБ будет заключаться в ствующие физическому смыслу. В этом случае со-

нахождении таких условий, при которых экспонен- гласно (36), волновая функция в области потенци-

циально возрастающее решение с обеих сторон по- альной ямы, прилегающей к границе барьера, имеет

тенциального барьера (при х<х\ и х>х2, где х\ и Х2 - вид (х^х2): точки равенства кинетической и потенциальной

1

х) х< х2 — ^—

7

а * 81П| 2 + —

Гр

81П

1 Х2

(40)

Точно так же для области потенциальной ямы, граничащей с другим барьером х^х\:

1

^(х) х> х1 — I-

л1Р

а 81П| 2 + —

81П

1 +7

(4\)

Оба решения должны быть тождественны одной из точек х сшивание обоих решений (40) и

между собой в любой точке х\<х<х2 потенциальной (41), то есть приравнивая в этой точке волновые

ямы, лежащей на достаточно большом расстоянии функции и их производные, имеем: от границ потенциальных барьеров. Произведя в

Гр

а *

Тр

(

81П

008

1]Г рах +7

1 рйх+7

Тр

а

Тр

(

81П

008

1 )храх+7

11 ^ ^ +7

= 0;

= 0.

(42)

Чтобы эта система однородных уравнений имела ненулевое решение, необходимо потребовать обращения в нуль её определителя, тогда

аа *

(

81П

р

аа ■

р

81П

1 )Х2

й ): рйх+~7

(

008

008

й рйх+! й X2 рйх+7

= 0.

(43)

Откуда получим необходимое соотношение

81и((1 / Й)£Х2 рйх + 7 / 2) = 0 .

(44)

тельной

Учитывая, что £2р^х не может быть отрица- р = <\12М0(Е-и) >0 находим:

так как

(1/Й)£Х2 pdx+7/2 = (п +1)7, п = 0,1,2... (45)

величиной,

Таким образом, правила квантования, полу- есть с точностью до членов порядка й, принимают

ченные с помощью приближённого метода ВКБ, то вид

| pdx = 2лЙ(п + 1/2), п = 0,1,2. (46)

Эти правила квантования, без члена 1/2й, были ходя из решения задачи о гармоническом осцилля-

п°стулир°ваны Н. Б°р°м. Они известны как пра- торе, при учёте значения и(х) = М0ш2х2 /2, вывило квантования Бора-Зоммерфельда. А далее, ис- 0

числяется интеграл:

*

а

7

а

*

а

а

| pdx = 2fx^(2M0E - M0 ш2 x2)dx = 2жЕ / ш0 = +1/2), и = 0,1,2...

n = 0,1,2...

Здесь U(xi )= U(x2)=E. Отсюда находим:

E = ho(n+1/2)

(47)

(48)

Иными словами из квазиклассической формулы (46) получается наличие ненулевой энергии, происхождение которой не связано с движением частицы. По-другому говоря, постулируется некий электромагнитный вакуум, который ни с чем не связан. В нашей теории рассматривается общий пространственно-временной и электромагнитный континуум. Поэтому электромагнитное излучение неотделимо от пространства и времени, а это означает, что там где есть пространство и время, там есть и электромагнитное излучение (а иначе сингулярность разрывов между мельчайшими неоднородными пространственно-временными элемен-

a

J'X2 dx . ? 1 гx — sin2 - I

x1 p _ h Jx1

тами связать нечем), и поэтому в нашей теории некий добавочный электромагнитный вакуум не требуется. Здесь надо отметить также, ещё один парадокс, связанный с представлением функций ¥(х), как волновых функций для электронных оболочек. Суть в том, что кратность по (45) достигается при одних и тех же значениях х1 <х<х2 в потенциальной яме, а иначе значение частоты станет не кратным. Отсюда для варианта атома выше водорода мы будем иметь пересечение кратных электронных оболочек.

Остаётся теперь определить нормировочный коэффициент а из формулы:

1 Ж

pdx +— 4

= 1.

(49)

Синус представляет собой быстро осциллиру- значением, равным 1/2. В этом случае равенство ющую функцию, и поэтому его квадрат, с достаточ- (49) приведём к виду ной степенью точности, можно заменить средним

0,5а 2 fx2 dx/ p = 1.

Jx1

Далее учитываем, что период колебаний х=2л/ю равен

х = 2ж / ш = 2]"*2 dx/ v = 2M0 j"*2 dx/ p,

(50)

(51)

где у=р/2М0 - скорость частицы. Отсюда для нормировочного коэффициента получаем выраже-

ние

a = -yj 2M 0ш / ж .

Тогда собственная функция в приближении ВКБ может быть записана: ¥(x) = л/2ш/уж sin ((1/ ^^ж /4).

(52)

(53)

Понятно, что в (53) скорость частицы V при значении х1 или х2 вообще никак не вписывается в вероятностную волновую электронную оболочку, которая стремится к бесконечности. Кроме того принятие вероятностных волновых функций однозначно означает нарушение причинно-следственных связей, и как результат возможна телепортация и нарушение основного постулата СТО Эйнштейна о скорости света - как константе. Поэтому и возникла необходимость в создании нашей теории ми-

роздания, в которой бы исключались парадоксы вероятностной квантовой механики. Но это потребовало усовершенствовать уравнения Максвелла [79]. Именно это позволило обеспечить переход от преобразований Лоренца через геометрию Минков-ского к усовершенствованным уравнениям Максвелла.

Ниже, мы приводим формулы этого вывода исходя из [10], и с учётом Л(а)= собО'я) и sh(а)= -I БшО'а)

icos(g) dy +sin(g) dz = i[ch(w)cdt - sh(w)dx].

(54)

Здесь значения dх, dy, dх и cdt - некоторые нормировочные коэффициенты. Многим математикам такая запись покажется неправомерной, однако она

С05(£)/[СЬ(^)+5Ь(^)]-/ЯП(£)/[СЬ(^)+5Ь(^)] = =СЬ(^)/[С05(£)+/ЯП(£)]-5Ь(^)/[С05(£)+/ЯП(£)].

получается из общей формулы мироздания, полученной нами в [3]:

(55)

Здесь dх=idy=1/[ch(w)+sh(w)dх],

dх=cdt=1/[cos(g)+isin(g)]. С точки зрения физики, такая запись отражает корпускулярно-волновой дуализм. Понятно, что аргументы функций w и g

также являются противоположностями, связанными не только через умножение на мнимую единицу, но и через скорость света, как длина и время. Величины dх, dy - ортогональны благодаря мнимой

единице г. В правой части от знака равенства корпускулярный вид уже заложен в гиперболических функциях, поэтому йх и сй/ отражают волновой вид в виде ехр(-/§), что согласуется с идеей Луи де Бройля. В итоге, меняем закономерности слева на

известные волновые функции по такому же закону изменения в виде электрических или магнитных компонент и учитываем, что вращение вектора (ротор) обеспечивается разностью фаз между синусом и косинусом на п/2, получаем:

-1[1дЕу йу + дЕг йг]= -б^У) йх+ сЬу сй/.

(56)

Здесь значения Еу и Ег представляют собой электромагнитные волновые функции, дающие эквивалент сочетания функциям синуса и косинуса. Поэтому можем записать:

[дЕу йу -¡дЕг йг]= -б^У) йх+ сИ(у) сй/. (57)

Далее имеем

X °= - sh(w)х; Xх = сЬ^)х, (58)

Отметим, что ортогональность длины и вре- ввели не мы, что показано в [10] в виде: мени отражается через мнимую единицу в преобразованиях Лоренца-Минковского, и это впервые

Х\=х; Х4=1стХ0 . (59)

В этом случае в соответствии с [3] имеем пре- образования Лоренца, отвечающие движению системы отсчёта вдоль оси х: X 0= са(м>)с( - sh(w)х; X \ = Л(^)х, (60)

где, очевидно

Л(^)= у =(1-р2)-\/2; sh(w) = Ру; у/с= в = ШУ (6\)

Соответственно переход от гиперболических функций к волновым функциям выразиться следующим образом:

X \'= г cos(g)ct - sin(g)х; X 0'= г sin(g)ct + cos(g)х. (62)

Можно обратить внимание, что переход в ор- из ортогональных длин (в данном случае по у), мы

тогональную противоположность от времени к должны учесть необходимость при переводе умно-

длине, и наоборот, определяется умножением на жения на мнимую единицу, поэтому примем

мнимую единицу г, и при этом не меняются количе- 1ду0=ду.. Отсюда мы можем уравнение (58) записать

ственные параметры. Иными словами, чтобы пере- в виде: вести сй из временной области в правой части от знака равенства в уравнении (58) в область одной

йгйу [дЕу /дг - дЕг /ду] = -б^У) йх + сй/. (63)

Аналогично сделаем замену гиперболических симметрии противоположностей это не принципи-функций и в правой части, уравнения (63), что озна- ально, и определяется только умножением на мни-чает рассмотрение как бы в рамках одной противо- мую единицу, характеризующую ортогональность: положности. При этом в соответствии с нашей теорией время и длина меняются местами, хотя, из-за

йгйу [дЕу /дг - дЕг /ду] = г sin(g) йх + cos(g) сй/; (64)

йгйу [дЕу /дг - дЕг /ду] = йхй/ [г sin(g)/дt + cos(g) с/дх]. (65)

Видно, что при этом функции слева и справа в можно забыть. Если учесть, что при простран-равенстве не должны соответствовать друг другу, ственно-временной однородности йг=йу=йх=сй/, а так как тогда о противоположностях в мироздании Н=сЕ, имеем при сокращении нормировочных коэффициентов:

дЕу /дг - дЕг /ду = (Ус) [дЕх0 /д/ + г сдЕ» /дх]. (66)

Однако здесь надо учесть, что компоненты электромагнитных составляющих взаимодействуют друг с другом через пространственно-временной континуум, который формируется через

дЕу /дг - дЕг /ду = !/(с2£0)

термодинамическое равновесие [11]. В этом случае уравнение (66) можно представить в виде

[с дЕх /д/ + ^2дЕ( /дх].

Здесь (1/е0)Ех= Ех0 , (Уе0)Е*= Ею . Перепишем (67)

дЕу /дг - дЕг /ду = ^0 дНх /д/ + г ^0 с дН/ /дх.

В итоге мы получаем усовершенствованное уравнение Максвелла, которое удовлетворяет условию преобразований Лоренца-Минковского, а это означает неотделимость пространства и времени от электромагнитных составляющих. Связь Н=сЕ аналогична связи длины и времени, то есть напряжённости электрической и магнитной составляющих характеризуют собой противоположности, и именно поэтому они связаны через скорость света. Надо отметить, что усовершенствованные уравнения Максвелла получаются и за счёт введения в электродинамику вектор потенциалов.

После всех приведенных рассуждений можно раскрыть механизм туннельного эффекта. Он связан с тем, что пространственно-временное искривление по (54), и отражённое через правую часть от знака равенства, соответствует электромагнитному полю определённой частоты, что выражено через левую часть от знака равенства. Отметим, что левая часть от знака равенства один в один соответствует волновой функции ¥ в уравнении Шрёдингера. Если учесть, что любое силовое воздействие (в том числе и электромагнитное) выражается через пространственно-временное искривление (а иного и быть не может, так как мы все процессы рассматриваем через изменения в пространстве и времени), то понятно, что напряжённость поля определённой величины, характеризуемое в противоположности частотой, обеспечит некий резонанс. Отсюда мы и получаем вольтамперную характеристику, например, тиристора с ярко выраженным резонансом при дНу1 /дt - g Ну1/^0 - (1/^0 дЕх4 /дх -дНу2 /д^ g Ну2 /^0 - (1/^0 дЕхэ/дх + дЕу3 /д/ + 8 Еу3 /£0 - (1/Е0 дНх2 /дх -дЕу4 /д/ +5 Еу4/е0 - (1/Е0 дНх1 /дх +

определённом значении напряжённости поля. Нечто аналогичное было открыто при фотоэлектрическом эффекте, когда максимальная скорость вылетевших электронов не зависит от интенсивности света, а зависит только от частоты [12], что также говорит о «раскачке» в резонанс. Понятно, что в таком случае не требуется телепортации через потенциальный барьер при туннельном эффекте. Кроме того характеристику того же тиристора с резонансом в этом случае не получить, так как чем выше кинетическая энергия частицы, тем больше проникновение через введенный ложно потенциальный барьер.

Согласно нашей теории электрон имеет электромагнитное происхождение, и здесь стал возможен переход от усовершенствованных уравнений Максвелла к уравнению движения частицы [7-9], которое выражается через пространство и время. Аналогичный переход от вероятностных волновых функций есть и в квантовой механике [13]. Однако получить при этом электромагнитное излучение не представляется возможным, так как для этого надо заменить волновые функции, отражающие вероятность, на реальные электромагнитные, что мы и сделали. В [7-9] мы получили, что усовершенствованные уравнения Максвелла согласуются с вероятностными волновыми функциями в системе уравнений Дирака, при ¥:={Нх1 ,Ну\ ,Нл ,НЯ}, ¥2={Нх2 ,Ну2 ,Нх2 На), ¥3={Ех3 ,Еу3 ,Ех3 ,Е/3}, ¥4={Ех4 ,Еу4 ,Ех4 ,Е/4} в виде

i/цo дЕ/4/ду) - 1/^0 дЕх3/дх =0; //Р0 дЕв/ду) + 1/^0 дЕх4дх =0; i/eо дНа/ду) - 1/е0 дНхх/дх =0; /■/£0 дНй/ду) + 1/Е0 дНх2 /дх =0.

(69)

Здесь g и 5 - нормировочные коэффициенты. При этом по аналогии с видом для уравнений Дирака и ¥-функциями, в экспоненциальном виде

функции от Е и Н при соответствующем коэффициенте пропорциональности 3 будут выглядеть следующим образом:

¥1=31 ехр{/Й [(Е^/^+с2 Рх х ^0 + с2 Руу ^0 +с2 Рх х М); ¥2=32 exp{i/% [(Е^/^У-с1 Рх х ^0 - с2 Ру у ^0 -с2 Рх х ^]}; ¥3=33 exp{i/% [(Е+5/£0)/+Рх х £0 + Ру у £0 + Рх х £0]}; ¥4=./4 exp{i/Й [(Е+5/£0)/-Рх х £0 - Ру у £0 - Рх х £0]}.

(70)

Переход от электромагнитных значений к волновым функциям уравнений Дирака определяется наличием у последних коэффициента пропорциональности в виде постоянной Планка. Это связано с тем, что мы перешли от частоты к энергии. В прин-

ципе мы могли бы это и не делать, так как на результат это не влияет и лишь требует дополнительного изменения g и 5 по нормировке. Соответственно мы видим, что коэффициент сжатия пространства определяется значениями коэффициентов с2^0 и £0. Отсюда следует запись:

% д¥1 /д^ ¥1 /ц0-(1/М0 % д¥4 /Сх-//^ % д¥4/ду)-1/м0 % д¥3/дх =0; % д¥2 /дt-g ¥2/^0-(1/й0 % д¥3 /дх+и^ % д¥3 /Су)+1/^0 % д¥4 /дх =0; % д¥3 /С/+5 ¥3 /£0-(1/£0 % д¥2 /Сх-//£0 % д¥2 /ду)-1/£0 % д¥ /дх =0; % С¥4/С/+5 ¥4 /£0-(1/£0% д¥1 /сх+//£0 % д¥1 /ду)+1/£0 % д¥2 /дх =0.

(71)

В итоге мы получаем уравнение движения частицы вида:

Е-(1/2£0 и) (Рх2+Ру2+Рх2)=0.

(72)

Теперь покажем, как корпускулярные движения в одной противоположности отражают константы электрической и магнитной проницаемости в другой противоположности. Для этого значение

функции

x¥=eхр[i/(2Мo)S(r,t)]=exp{1/(2Mo)[Еt-рг] }=exp{1/(2Mo) [1/сЕсt-pr]}

относительно энергии продифференцируем

Sciences of Europe # 27, (2018)_31

два раза, но по длине, а не по времени, то есть про- 2М0=2к=21с - нормировочный коэффициент в [1]. тивоположности изменяются одинаково и В итоге получим:

1/c2E2/(2Mo)2= -p2/(2Mo)2; E2= -с2р2= -c2Mo2u2; E=icMou=iu. (73)

Далее расписываем значение энергии в виде E=c2Mr=c2Mo/(1-u2/c2)1/2=c2/v, и получаем вид:

c2/v=i u. (74)

В итоге получаем:

1/(ео ^o)=c2= vi ui . (75)

Выражение (75) - это известное выражение Луи де Бройля. Отсюда, рассматривая значения £0 и как противоположности, связанные по принципу

£0=и/с=М0 и и ^0=

энергии Эйнштейна Е=М0 с2=\/е0 =^о с2, можно привязать значения констант электрической и магнитной проницаемости к массе покоя электрона при М0=\/с в виде 1/(uc)=M°/u. (76)

Тогда уравнение (72) можно выразить в виде:

Sog) (р x 'р y z

Е-(1/2ео g) (Fx2+Fy2+Fz2)=E-(1/2Moug) (Рх2+Ру2+Рг2)=0.

(77)

Если теперь представить величину ug как экви- мы получим полное совпадение уравнения (76) с валент релятивистской поправки 1/(1-у2/с2)ш, то уравнением энергии Эйнштейна.

Е-(1/2ео g)(Рх2+Ру2+Рг2)=Е- 1/(2Mo)/(1-v2/c2)1/2) (Рх2+Ру2+Рг2)=0.

(78)

Иными словами электромагнитное волновое движение в одной противоположности характеризует корпускулярное движение в другой противоположности. Таким образом, мы видим, что объяснение корпускулярно-волнового дуализма полностью основывается на описании корпускулярных и

волновых свойств без применения вероятностных волновых функций, которые являются решениями уравнения Шрёдингера и Дирака в квантовой механике. При этом соотношение неопределённостей Гензерберга [Ы]

АРх Ах>А, (79)

есть не что иное, как отражение обратно пропорциональной связи между противоположностями, аналогичное (75).

Подведём итог сказанному.

\. Уравнение Шрёдингера имеет парадокс ухода от физики реального движения частицы по круговым орбитам за счёт использования некой вероятностной волновой функции в виде электронной оболочки. Причём для нахождения вероятностной волновой функции изначально используется именно корпускулярное движение по орбитам на основе детерминированного уравнения Гамиль-тона-Якоби, а это - парадокс.

2. Указанный выше парадокс связан с тем, что физики не смогли решить задачу связи электромагнитных составляющих с пространством и временем. Поэтому электромагнитное излучение на дискретных орбитах давало парадокс с падением электрона на ядро, так как не было механизма возврата энергии, что достигается только за счёт обмена между пространством и временем с электромагнитными составляющими за счёт наличия замкнутой системы двух глобальных противоположностей.

3. Введение "нулевой" энергии И//2, которая фактически должна отражать условие термодинамического равновесия, было достигнуто за счёт введения дополнительных членов у и у\ в уравнение (23), и сделано для условия "сшивания" с функциями при превышении потенциальной энергии над кинетической энергией движущейся частицы, что собственно соответствует чуду. Потребность "нулевой" энергии, которая как бы характеризует некий электромагнитный вакуум, связана с тем, что

был отказ от электромагнитного излучения на дискретных орбитах, а отсюда не было причин для излучения или поглощения в условиях электронных оболочек в силу отказа от выполнения классических законов электродинамики по излучению при движении с ускорением на дискретных орбитах. Однако в нашей теории этого не требуется, так как электромагнитный фон формируется за счёт излучения на дискретных орбитах, что и даёт условие термодинамического равновесия, которое кстати и выводится из замкнутого обмена между противоположностями.

4. Использование в уравнении Шрёдингера вероятностного подхода приводит к необъяснимому парадоксу отражения или проникновения через потенциальный барьер, что не объясняет физическую суть взаимодействия, а лишь приводит к так называемому "туннельному эффекту" за счёт телепорта-ции и необходимости постулатов Бора. Наша теория разбивает миф о необходимости ввода такого явления как телепортации через потенциальный барьер, как для полупроводников, так и в случае "испарения чёрных дыр", и ядерного распада.

Литература

1. Рысин А.В, Рысин О.В, Бойкачев В.Н, Никифоров И.К. Парадоксы уравнения Шрёдингера и его сходимости с уравнением Гамильтона-Якоби // Науч. журнал " Sciences of Europe" (Praha, Czech Republic) / 2017/ - № 15 (15), vol 1 - p. 59-66.

2. Рысин А.В, Рысин О.В, Бойкачев В.Н, Никифоров И.К. Парадоксы в физике на основе философских законов // Науч. журнал " Sciences of

Europe" (Praha, Czech Republic) / 2017/ - № 13 (13), vol 2 - p. 28-37.

3. Рысин А.В, Рысин О.В, Бойкачев В.Н, Никифоров И.К. Математическое обоснование философских законов теории мироздания // Науч. журнал " Sciences of Europe" (Praha, Czech Republic) / 2017/ -№ 14 (14), vol 1 - p. 99-108.

4. Соколов А.А., Тернов И.М., Жуковский В.Ч. Квантовая механика. - М.: Наука, 1979, С. 60.

5. Соколов А.А., Тернов И.М., Жуковский В.Ч. Квантовая механика. - М.: Наука, 1979, С. 30.

6. Соколов А.А., Тернов И.М., Жуковский В.Ч. Квантовая механика. - М.: Наука, 1979, С. 58.

7. Рысин А.В., Рысин О.В., Бойкачев В.Н., Никифоров И.К. Переход от усовершенствованных уравнений Максвелла к уравнению движения частицы // Ежемесячный науч. журнал: Национальная ассоциация ученых. ч. 2. - 2014. - № 5. - С. 99-107.

8. Рысин А.В, Рысин О.В, Бойкачев В.Н, Никифоров И.К. Иерархия мироздания и математическое получение константы в усовершенствованных уравнениях Максвелла // Науч. журнал " Sciences of

Europe" (Praha, Czech Republic) / 2016/ - № 10 (10), vol 2 - p. 73-85.

9. Рысин А.В, Рысин О.В, Бойкачев В.Н, Никифоров И.К. Парадоксы мюонных и электронных нейтрино и антинейтрино и уравнений Дирака в квантовой механике // Науч. журнал " Sciences of Europe" (Praha, Czech Republic) / 2017/ - № 17 (17), vol 2 - p. 67-75.

10. Терлецкий Я.П., Рыбаков Ю.П. Электродинамика - М: Высш. шк., 1980. С. 226.

11. Рысин А.В, Рысин О.В, Бойкачев В.Н, Никифоров И.К. Вывод соотношения масс протона и электрона на основе логики мироздания и термодинамического равновесия // Науч. журнал " Sciences of Europe" (Praha, Czech Republic) / 2017/ - № 19 (19), vol 1 - p. 41-47.

12. Савельев И.В. Курс общей физики, т. 3. -М.: Наука, 1979. С. 34.

13. Соколов А.А., Тернов И.М., Жуковский В.Ч. Квантовая механика. - М.: Наука, 1979. С. 312.

14. Соколов А.А., Тернов И.М., Жуковский В.Ч. Квантовая механика. - М.: Наука, 1979. С. 42.

НЕЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА И ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА

Чочиев Т.З.

профессор Юго-Осетинского государственного университета, кандидат физико-математических наук, г. Цхинвал

SECOND - ORDER NONLINEAR EQUATION AND THIRD -ORDER LINEAR EQUATION

Chochiev T.Z.

professor of South Ossetian State University, candidate of physical and mathematical sciences, Tskhinval АННОТАЦИЯ

В работе решаются нелинейное уравнение второго порядка и связанное с ним линейное уравнение третьего порядка методом последовательного понижения порядка производной. ABSTRACT

In this paper, a second-order nonlinear equation and a third-order linear equation with it are solved by the method of successively decreasing the order of the derivative.

Ключевые слова: нелинейность, решение, порядок, последовательное понижение порядка, класс Риккати, выполнимость, линейность.

Keywords: nonlinearity, solution, order, sequential reduction of order, Riccati class, feasibility, linearity.

П1. Линейное уравнение третьего порядка

Известно, что решение любого линейного уравнения порядка выше первого тесно связано с решением нелинейного уравнения, порядка на единицу ниже [2], которое назвали сопровождающим нелинейным уравнением линейного уравнения.

В настоящем имеем своей целью исследовать линейное уравнение третьего порядка.

у''' + А(х)у" + В(х)у' + С(х)у = f[x), 0<х<™. (1.1)

где коэффициенты А(х),В(х), С(х) и f(x) заданные функции; причем А(х) и В(х) непрерывно дифференцируемые функции, а f(x) и С(х) непрерывны в заданной области. На пути исследования (1.1) появляется нелинейное уравнение вида

(z' -z2 + Az- В)' + (А - z)(z' -z2 +Az-B) = -С(х), (1.2)

которое назвали сопровождающим нелинейным уравнением линейного уравнения (1.1). Суть появления нелинейного уравнения (1.2) состоит в процессе понижения порядка производной линейного уравнения третьего порядка (1.1). Доказывается теорема: Теорема 1. Если выполняются равенства