CC BY
59
УДК 517.772.2 + 517.97
ПАРАБОЛИЧНОСТЬ И УСТОЙЧИВОСТЬ ЭКСТРЕМАЛЬНОЙ ПОВЕРХНОСТИ*
НМ. Медведева
В настоящей работе исследуются свойства экстремальных поверхностей. В случае, когда поверхность экстремальна, трубчата в целом и имеет О-па-раболический тип, доказывается неустойчивость. В статье также приводится оценка емкости конденсатора.
Введение
В настоящей работе исследуется устойчивость (неустойчивость) экстремальной поверхности, а также получена оценка емкости конденсатора.
Вопросам устойчивости посвящен ряд работ A.B. Погорелова, A.A. Тужили-на, Дж. Саймонса, А.Т. Фоменко, В.М. Миклюкова, В.А. Клячина и др. В данной статье новым является тот аспект, что рассматриваются экстремали функционала типа площади, который нелинеен, и весовая функция зависит от единичной нормали поверхности. Для исследования экстремалей сделана попытка применить емкостную технику, которая уже показала себя эффективной для изучения устойчивости как поверхностей нулевой средней кривизны (и, в частности, трубок и лент) в евклидовом и псевдоевклидовом пространствах (см. [1], [2]), так и для трубчатых минимальных поверхностей (см. [3]). Интересным оказался и тот факт, что гауссово отображение графика решений уравнения экстремалей является отображением с ограниченным искажением.
Пусть М С Rn+1 - поверхность класса С2, {е*}^1 - стандарный ортонор-мированный базис, ассоциированный с декартовыми координатами Xi,X2,. ■ . , xn+i'> £ = (£ъ £2,... ,fn+i) - единичная нормаль к поверхности М; ф(£) : Rn+1 —» R -неотрицательная функция класса С2.
Рассмотрим функционал типа площади:
а
m
<v
ш
<L>
О)
м
£ Приведем некоторые определения и обозначения, которые будут использованы ^ далее в статье.
х
* Работа выполнена при поддержке гранта математического факультета ВолГУ.
Определение і. Будем говорить, что поверхность A4 является экстремальной, если первая вариация функционала (I) равна нулю.
Определение 2. Поверхность A4 устойчива (неустойчива), если вторая вариация функционала (1) знакоопределена (не является знакоопределенной).
Определение 3. Будем говорить, что поверхность A4 трубчата (см. [3]), если существуют два числа — оо < a < b < +оо, такие, что для каждой гиперплоскости П( = {і е Rn+1 : xn+i = t}, ортогональной вектору еп+1 Є Rn+1, сечение £(i) = М Г) Пг не пусто при всяком t Є (а; b), и всякая порция, заключенная между двумя гиперплоскостями IItl и Ut2 при a < t\ < t2 < b, является компактом. В этом случае интервал (а; Ь) будем называть проекцией поверхности A4. Будем говорить, что A4 трубчата в целом, если а = —со и b = +оо.
Символом (v)T обозначаем всюду в статье ортогональную проекцию вектора v на касательную плоскость ТХМ к поверхности АЛ в соответствующей точке х Є А4\ div - дивергенция в метрике поверхности A4; G — {Gij}”^i — матрица с элементами
ОФ = cf, І,..., зйт);
ІИІІо = + рц2(Ф - {уф, о).
і=і
Пусть Q с A4 - произвольная область на поверхности М и P,Q С Ü -два непересекающихся компактных множества в il Всякую такую тройку (Р, Q; О,) назовем конденсатором на АЛ.
Определение 4. Емкостью конденсатора (F, Q;0) назовем (см. [2]) величину
capG(P, Q; П) = inf J |G(Vv?, (2)
M
где точная нижняя грань берется по всем локально липшицевым функциям (р : A4 —і• R1, <p(m) = 1 при т є Р, <р{т) = 0 при т Є Q.
Определение 5. Поверхность A4 назовем G-параболической (см. [2]), если найдется последовательность подобластей Q*. С A4, Qk С Ofc+i, что выполнено равенство
lim capG(P, dOfcjOfc) = О
k—*oо
для любого Р СС A4.
1. Вспомогательные утверждения
Теорема 1. Поверхность A4 класса С2 является экстремальной тогда и только тогда, когда
Н = idiv(V0T). (3)
Ф
Теорема 2. Экстремальная поверхность М класса С2 является устойчивой тогда и только тогда, когда квадратичная форма
Следующая лемма приведена и доказана в работе [2].
Лемма 1. Пусть на римановом многообразии М задана не равная тождественно нулю неотрицательная функция Р(гп). Тогда для любой ограниченной области П и компакта Р С С ^ существует С1-гладкая функция До, = 0 на д£1 \ дМ, для которой
Пусть М. — 2-мерная экстремальная поверхность в Б,3. Обозначим через 7 : М —> 52 — гауссово отображение поверхности М. : 7(х) =
то гауссово отображение 7 : М. —> в2 экстремальной поверхности М. является отображением с ограниченным искажением, коэффициет искажения которого
Я. < %■
Отметим, что теорема 3 была анонсирована в [4].
Следствие 1. При выполнении условия теоремы 3 справедлива оценка
(4)
м
знакоопределена в классе липшицевых функций к : М. —> Я, Цдм = 0.
(5)
м
р
ПуСТЬ Ф(6г+і) = И £(&) =
Ф”(т-£)
Ф{£з) - Ф'(€з)£з
Теорема 3. Если
д0 = тах{ єир (В(£3)) + 1
(6)
(7)
2. Основные результаты
Определим для любого I е (а; Ь) множества:
Р(і) = {х Є М : /(х) < £}, <2 (і) = {х Є М: /(ж) > і},
где /(ж) = хп+1 - координатная функция.
50
Н.М. Медведева. Параболичность и устойчивость экстремальной поверхности
Теорема 4. Пусть М. - двумерная трубчатая поверхность класса С2 с проекцией (а;Ь) в И3, является экстремалью функционала (1). Тогда для любых а < Ь\ < t2 < Ь выполнено
саРа(Р&),Я(Ь)) <(8)
¿2 ~ Н
где I = § (ф — ф'£з)|У/| - величина, не зависящая от £, ц - коэффициент
т
искажения (6).
Замечание. Равенство в (8) достигается для минимальных поверхностей (см. [3]).
Лемма 2. Если / = хп+\ и ф = ф(£,п+\)> то выполнено равенство
<11у((0-^п+1)У/) = О. (9)
Теорема 5. Всякая трубчатая в целом экстремальная для функционала (1) поверхность класса С2 имеет й-параболический тип.
Теорема 6. Поверхность й-параболического типа неустойчива.
3. Доказательства теорем
Доказательства теорем 1 и 2 аналогичны приведенным в работах [2], [6]. Теорема 3 легко следует из уравнения экстремалей (3) и определения отображения с ограниченным искажением.
Доказательство леммы 2. Пусть г = £п+1- Так как / = £п+1, то
V/ = е1+1. Напомним, что <Ну(е£+1) = Нт и (У0)т = Ф'^п+1- Подставив эти выражения в уравнение экстремалей (3), получим
0сНу(У/) = тсНу^'У/). (10)
Заметим, что
<Иу(0Уг) = (Щ, V/) + ф6х*(V/),
Шу(т0'У/) = (Ут,0'У/) + т(Ну(0'У/).
Отсюда
ф<йу(ЧП = - (Уф, V/},
тсИт(0'У/) = сИтУУ/) -
Подставляя полученное в (10), будем иметь
сМ0У/) - ^ = Мтф'чп - (^т! <^/),
<Ну((т0' - 0)У/) = (Ут, 0'У/> - <У0, V/).
Так как Vф = 0'Ут, то правая часть выражения равна нулю. Уравнение (9) доказано.
Доказательство теоремы 4. Не ограничивая общности, будем полагать, что О — положительно определена, а ¿1 и £2 суть регулярные значения функции /(х). Определим функцию <р(х) равенством:
ф) =
К ) *2-*г
при х е Л4(£ 1, ¿2). доопределяя ее до 1 при х е Р(£ 1) и до 0 при х е <3(£г)- Эта функция допустима в вариационной задаче (2) для конденсатора (Р^), (2(£2)) и поэтому
саРа(р(Ь),Я&)) < ! С(Ч<р,Ч<р) =
М(Ь1,<г)
(¿2 - il)2
M(tl ,t2)
Замечая, что D20(V/, V/) = ^IV/I4 и ф— (!></>,£) = ф — ф'^з, а также используя (7) и формулу Кронрода — Федерера [5], получим
I {5!m) + |v/lw_w,e>)} =
¿2 ¿2 = /*/ MV/|3+|V/|(<A-«>)}< JdtJ я^/\(ф-фЪ).
ti S(t) ti E(t)
Применяя формулу Стокса к (9), нетрудно проверить, что величина
= I (Ф-ФЧ3)|V/|
I
т
не зависит от £. Теперь теорема 4 доказана.
Обращаясь к доказательству теоремы 5, мы применим метод, предложенный, например, в работе [3].
Доказательство теоремы 5. Зададим произвольное компактное множество Р С М. Выберем ¿о > 0 так, чтобы множество М(—¿о,¿о) содержало Р. Зафиксируем £ > £0 и обозначим через <^х и </?2 - функции, допустимые в вариационной задаче (2) для конденсаторов (Р(—£),$(-£0)) и (Р(£о),ф(£)) соответственно.
Рассмотрим функцию (1 — ^1)^2- Эта функция равна 1 на М(—£о,^о) и обращается в нуль на .М \ М.(—£, £). Следовательно, она допустима при вычислении емкости конденсатора (Р, .М \ Л4(—£,£)) и поэтому
сарс(Р,М\Л1(-£,£)) < + J
М(-^о) о,«)
52
Я./И. Медведева. Параболичность и устойчивость экстремальной поверхности
Так как <pi,ip2 - произвольные допустимые функции, то из данного неравенства следует:
capG(P, М \ M{-t, t)) < capG(P(-i), Q{t0)) + capG(P(i0), Q(t)).
На основании теоремы 4 будем иметь
caPc{F>M \ M(—t,t)) <
t — to
Далее, полагая t —> 00, убеждаемся в справедливости теоремы.
Доказательство теоремы 6. Опираясь на теорему 5 и используя (4), (5), получаем требуемое.
Summary
PARABOLICITY AND STABILITY OF EXTREME SURFACE
N.M. Medvedeva
In this work we research the properties of extreme surfaces. In the case when surface is extreme, tubular as a whole and has parabolic type we prove the instability. Also we result estimation of capacity of condenser.
Список литературы
1. Клячин В.A., Миклюков В.М. Об одном емкостном признаке неустойчивости минимальных гиперповерхностей // ДАН России. 1993. Т. 330. № 4. С. 424-426.
2. Клячин В.А., Миклюков В.М. Признаки неустойчивости поверхностей нулевой средней кривизны в искривленных лоренцевых преобразованиях // Мат. сб. 1996. Т. 187. № И.
3. Миклюков В.М., Ткачев В.Г. Некоторые свойства трубчатых минимальных поверхностей произвольной коразмерности // Мат. сб. 1989. Т. 180. № 9.
4. Медведева Н.М. Квазиконформность гауссова отображения и устойчивость экстремальных поверхностей // Международная школа-конференция по анализу и геометрии, посвященная 75-летию академика Ю.Г. Решетняка: Тез. докл. Новосибирск, 2004.
5. Бураго Ю.Д., Залгаллер В.А. Геометрические неравенства. JL: Наука, 1980.
6. Медведева Н.М. Вторая вариация функционала весовой площади // Вестник ВолГУ. Сер. 9. Вып. 1. 2001. Ч. 2. С, 24-27.
