Уравнения экстремалей функционала потенциальной энергии Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

www.volsu.ru

001: https://doi.Org/10.15688/jvolsu1.2016.5.6

УДК 514.752, 514.764.274, 517.97 ББК 22.15, 22.161

УРАВНЕНИЯ ЭКСТРЕМАЛЕЙ ФУНКЦИОНАЛА

_______О ___

ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ 1

Наталья Михайловна Полубоярова

Кандидат физико-математических наук,

доцент кафедры компьютерных наук и экспериментальной математики, Волгоградский государственный университет [email protected], [email protected]

просп. Университетский, 100, 400062 г. Волгоград, Российская Федерация

Аннотация. При исследовании поверхностей на устойчивость (или неустойчивость) необходимо получить выражения первой и второй вариации функционала. В данной статье представлена первая часть исследования функционала потенциальной энергии. А именно, получение формулы первой вариации функционала потенциальной энергии и уравнений экстремалей. А также приведены и доказаны некоторые следствия, которые позволяют произвести построение экстремальных поверхностей вращения.

Ключевые слова: вариация функционала, экстремальная поверхность, функционал типа площади, функционал объемной плотности сил, функционал потенциальной энергии, средняя кривизна экстремальной поверхности.

Введение

В настоящей работе представлено исследование функционала потенциальной энергии на предмет получения уравнений его экстремалей и их свойств. Так же как минимальные поверхности есть экстремали функционала площади, так и рассматриваемые ~ нами гладкие поверхности — экстремали специального функционала, который является 2,линейной комбинацией функционала типа площади и функционала от объемной плот-§ ности сил. Подобные экстремальные поверхности моделируют состояния равновесных ^ жидкостей в гравитационном поле с потенциалом, тентовые покрытия, магнитные жид-

§ кости, капиллярные поверхности. Поэтому их изучение на устойчивость и неустойчи-

р,

§ вость не теряет актуальности, а лишь претерпевает изменения в виде функционалов,

^ чтобы вместить больше физических характеристик системы. Например, функционал

с (энергия) может быть комбинацией энергии поверхностного натяжения, гравитацион-

@ ной энергии, энергии изгибной деформации.

Изучению минимальных поверхностей в евклидовом и псевдоевклидовом пространствах посвящены работы Ю.А. Аминова, В.А. Клячина, В.М. Миклюкова, А.В. Пого-релова, В.Г. Ткачева, А.А. Тужилина, А.Т. Фоменко, M. до Кармо, Ч.^ Пенга, Ш. Яу, Р. Финна, Дж. Саймонса и др.

Для того чтобы учитывать нагрузки поверхности (системы) извне и изнутри, требуется рассматривать поверхности, «минимальные» с точки зрения более сложных функционалов, чем давно изучаемые функционалы площади. В работе [2] автором и В.А. Кля-чиным был рассмотрен функционал типа площади, а в статье В.А. Клячина [1], в частности, были исследованы функционалы с подынтегральными функциями, описывающими поверхностную и объемную плотности сил. А рассматриваемый в данной работе функционал потенциальной энергии представляет собой линейную комбинацию функционалов типа площади и объемной плотности сил. Поэтому его исследование основано на работах [1] и [2].

Целью настоящей работы является получение уравнений экстремалей для функционала потенциальной энергии.

Пусть М — п-мерное связное ориентируемое многообразие класса С2. Рассмотрим ориентируемую гиперповерхность М = (М,и), полученную С2-погружением и : М ^ ^ Rn+1. Пусть П С Rra+1 — некоторая область, такая что М С дП; Ф, Ф : Rra+1 ^ R — С2-гладкие функции. Если £ — поле единичных нормалей к поверхности М, то для любой С2-гладкой поверхности М определена величина

которая не зависит от выбора нормали 4.

Функционал (1) назовем функционалом потенциальной энергии. Он является основным объектом исследования.

Опишем построение векторных полей, вдоль которых будем деформировать поверхность.

Пусть V — С2-гладкое векторное поле, определенное в окрестности поверхности М, такое что V|м = h ■ 4, где h Е С^М), при этом предполагается, что интегральные кривые поля V лежат на прямых линиях и вдоль них выполнено \V| = const.

Пусть U(М) — окрестность поверхности М, в которой определено поле V и од-нопараметрическая группа локальных диффеоморфизмов gt(x) : U(М) ^ Мга+1, порожденная векторным полем V. То есть gt(x) — решение задачи Коши:

Положим Мг = дг(М). Ясно, что Мо = М.

Определение 1. Поверхность назовем экстремальной для функционала Ш(М), если производная W'(0) = 0 для всякого нормального сечения V с компактным носителем на поверхности М, то есть

1. Постановка задачи

(1)

м

п

Другими словами, поверхность М является экстремальной, если первая вариация функционала (1) равна нулю при всех бесконечно малых деформациях поверхности М. Поэтому сначала необходимо проварьировать функционал (1). Деформации поверхности М будем проводить вдоль векторных полей V с помощью функции возмущения Н(х) е

е Со1 (М).

2. Уравнение экстремалей

Функционал (1) представим в виде Ш(М) = Р(М) + Ь(М), где

^(М) = |ф(£) с1М, (2)

м

Ь(М) = §Ъ(х) <1х, (3)

п

чтобы применить ранее полученные результаты из работ [1] и [2]. Для функционала (2) введем обозначения для матрицы

д2Ф

С = [Сгз}*+1, Сгз = + Ьгз(Ф - {ИФ, £)), (4)

(дФ дФ дФ \ . ^ . .

где ОФ = —— ..., ^- , оц — символ Кронекера, то есть о^ = 1 при г = ] и

\0 £,1 0^2 О Чга+1 /

Ьц = 0 при г = ], 1,] = 1, 2, ..., п +1.

Следующая теорема о первой вариации функционала (2) была доказана автором и В.А. Клячиным в [2]. Теорема 1. Если Р(I) = Р(Мг), то

У (г) = | (с11у(ОФ(£))т - пН Ф(£)Щх) <1М, (5)

м

где — дивергенция в метрике поверхности М, Н = {Н, £) — средняя кривизна поверхности М относительно нормали £, К(х) е С0,(М).

Теорема 2 для функционала (3) была доказана в [1] в рамках исследования другого функционала.

Теорема 2. Если Ь(Ь) = Ь(Мг), то

и(г) = ^(х)к(х) <1М, (6)

м

где к(х) е С1(М).

Из теорем 1 и 2 непосредственно вытекает теорема 3 о первой вариации функционала потенциальной энергии. Теорема 3. Если Ш(г) = Ш(Мг), то

Ш'(0) = | (а\у(ОФ(£))Т - пНФ(£) + У(х)Щх) <1М, (7)

где к(х) е С1(М).

м

1

Из нее следует основная теорема настоящей работы об уравнениях экстремалей функционала потенциальной энергии (1).

Теорема 4. Поверхность М класса С2 является экстремалью функционала (1) тогда и только тогда, когда выполнено равенство

п

^ кгС(Ег,Ег) = Ъ(х), (8)

г=1

где Ег — главные направления; кг — главные кривизны поверхности М.

Замечание. Уравнения (8) есть уравнения экстремалей функционала потенциальной энергии.

3. Доказательства теорем

Пусть М — п-мерное связное некомпактное ориентируемое многообразие класса С3 без края. Рассмотрим гиперповерхность М = (М,и), полученную С3-погружением и : М ^ Мга+1. На поверхности М индуцируется риманова метрика и соответствующее скалярное произведение касательных векторов, которое мы будем обозначать также как и скалярное произведение в Мга+1 через <•, •). Введем обозначения V и V для римановых связностей в Мга+1 и М соответственно. Известны следующие соотношения [5]:

Vh = , VxУ = VУ)т, (9)

справедливые для произвольных С^-гладких функций h : Мга+1 ^ М и С 1-гладких векторных полей X и У, касательных к М. Символом ут обозначаем всюду ортогональную проекцию вектора V на касательную плоскость ТтМ к поверхности М в соответствующей точке т Е М. Тогда дивергенция векторного поля X, как сечения касательного расслоения поверхности М, определяется как след линейного отображения Е ^ VеХ [4]. Выберем в касательном пространстве ТтМ ортонормированный базис {■£}=]_. Тогда дивергенция векторного поля X, согласно [4], можно записать в виде

п

ам = х,гг).

г=1

Пусть т Е М ив некоторой окрестности точки и(т) определены гладкие векторные поля X и У. Билинейная форма

В(Х(т),У(т)) = У)(и(т)) - У)Т(и(т))

называется второй фундаментальной формой поверхности М [5]. Отметим, что В(X, У) является билинейной, симметричной формой [5]. Для выбранного ортонор-мированного базиса в касательном пространстве ТтМ к поверхности М в точке и(т) вектор

- 1 1 п

Н(т) = -1тсе В =- V В(гг ,гг) (10)

п п ^

г=1

называется вектором средней кривизны поверхности М в точке и(т) [5].

Пусть Хи(т)М — нормальное пространство к поверхности М в точке и(т). Для произвольного вектора V € Хи(т)М пусть А" означает гомоморфизм Вейнгартена, определяемый как линейное преобразование А" : Ти(т)М ^ Ти(т)М, двойственное к билинейной форме В [5, § 5]:

{А" (Х),¥) = (В(Х,У),у) = -(УхУ,У). (11)

Поскольку далее мы рассматриваем исключительно ориентируемые гиперповерхности, то поле нормалей 4 к поверхности М будем считать выбранным и всюду будем использовать обозначение А = АИзвестно, что если кг, г = 1, 2,..., п, — главные кривизны поверхности М, то А(Ег) = кгЕг для собственного базиса {Ег}гп=1 оператора А.

Пусть в Мп+1 задан ортонормированный базис {ег}П+1, ассоциированный с декартовыми координатами х = (х1,х2,..., хп+1), то есть

) = 0,1 = ] ; |е*|2 = 1, г =1,... ,п +1.

Для доказательства основных результатов нам понадобится следующая вспомогательная лемма [3].

Лемма 1. Если хг, г = 1,п +1 — координатные функции, то имеют место равенства:

Ухг = еТ, (12)

) = п^гН, (13)

У4г = -А(еТ). (14)

Доказательство. 1. В силу (9) легко показать (12), что

ЧЕХг = (ег,Е), Ухг = (Ух) = еТ,

следовательно,

^Хг = ^.

2. Используя равенство (12), определения гомоморфизма Вейнгартена (11) и вектора средней кривизны (10), получаем (13)

п п

Ахг = = &у(е?) = ^(УвкеТ, Ек) = - ^(Увкв?4, Ек) =

к=1 к=1

п п

= - Т,(^ЕкЬ4,Ек) = ^(А(Ек),Ек= п^Н.

г=1 к=1

3. Аналогично вычисляем градиент , используя, что ег — постоянный вектор.

V е = УЕ (4,ег) = (V Е 4,ег) =

= (Уе £,,<?) + ((Уе 4)Т ,еТ) = -(А(Е ),еТ).

Лемма доказана.

Доказательство теоремы 3. В силу того, что функционал (1) можно представить в

виде линейной комбинации функционалов (2) и (3), то первая вариация функционала (1) представима в виде

Ж(г) _ ¿Р(г) ¿1(1)

& вй &

Поэтому

г!Ш(+\

^ (0) + V (0).

(М (г)

Применяя результаты теорем 1 и 2, получим (7). Теорема 3 доказана. Замечание. По основной лемме вариационного исчисления из равенства

| (а1у(БФ(£))т - пНФ(£) + Щ(х))Ъ (\М = 0 м

следует, что

или

а1у(БФ(£))т - пИФ(£) + Щ(х) = 0

<Цу(ЪФ(£))Т + Щ(х) = пНФ(£). (15)

Уравнения (15) также называют уравнениями экстремалей функционала потенциальной энергии (1). Хотя из теоремы 4 видно, что для применения в вычислениях удобнее использовать другой вид.

Доказательство теоремы 4. Заметим, что если в уравнении экстремалей

пН Ф(£) = а1у((БФ(£))т) + Щ(х)

расписать слагаемое &у((БФ(£))Т) с учетом того, что в ортонормированном базисе {ег}1+1 ортогональная проекция ИФ(£) на касательную плоскость есть

(°Ф(£))т = Е §

¿=1 °£

и свойств дивергенции

&у((ЪФ)т) = ^у | V ^еТ) =У ^(еТ) + > ) , еТ),

(е I ,т) = е |+ е . ^^),

а также используя равенства (13)-(14) из леммы

V- дФ г тт V- д2Ф ^

Е ^^ + Е .щ: ^ ,е?)

V- вф г ,, V- в2* ,., т> т>

£ %п£Н - £ ащ;>-еГ)

м £)-Е т и,Г),

пН(Ф - {ВФ, £)) + £ у—-{.А(е*),е?) = Ф(.г).

то оно перепишется в виде

д2Ф

Так как кг — главные кривизны поверхности, то для гомоморфизма Вейнгартена справедливо равенство А(Е^) = кгЕг. Следовательно, с учетом определения вектора средней кривизны поверхности (10) и введенного обозначения (4), можно продолжить

п п Я2Ф

^{А(Ег),Ег)(Ф -{БФ, £))+ £ —— к,{е?,е1) = Щ(Х),

г=1 г,]=1 ° £

д 2Ф

£{А(Ег), Ег) (Ф -{ИФ, £)) + £ — {А(Ег), Ег) = Щ(Х),

1=1 1=1 £

п / с\2 лч \

),Е* ) ( + Ф - {°Ф, £)) = Щ(х),

А (д2Ф \

£ кг{Ег, Ег)(^^ + Ф - {ИФ, £)) = Щ(Х).

Таким образом, приходим к формуле (8). Теорема 4 доказана.

4. Следствия из теорем

Следствие 1. Если экстремальная поверхность М является плоскостью, то функция Щ(х) = 0.

Теорема 5. Если / = хп+1 и Ф(£) = Ф(£г+1), то выполнено равенство

^1у((£п+1Ф'(£п+1) - Ф(£п+1))Ъ/) = Щ(х)£п+1.

Доказательство теоремы 5. Преобразуем выражение (15), домножив обе части равенства на £га+1 и перенося слагаемое с Ф(ж) вправо. Получим

а1у(БФ)Т £п+1 - пНФ£п+1 = Щ(х)£п+1. (16)

Заметим, что из леммы 1 следуют равенства

пН£п+1 = <Иу(е1+1), еТп+1 = Vхп+1.

А так как по условию теоремы хп+1 = ¡, то Vxn+1 = V¡. Следовательно, е^+1 = V¡, и будет верно

&у(е1+1) = (Цу^1-). По определению проекции на касательную плоскость имеем

^Ф)т = Ф' етп+1.

Поэтому справедливо

(Иу(УФ)т = д1\(Ф'еЩ+1) = (Иу(Ф'У/). Подставим полученные выражения в (16):

4п+1<Иу(Ф'У/) - ФС11У(У/) = У(х)4п+1. (17)

Заметим, что

аМФУ4п+1) = (уф, V!) + Фdiv(vf),

) = (У4п+1, ФУ1 ) + 4п+^МФ' VI). Выразим отсюда последние слагаемые, так как они нужны для подстановки в (17).

Ф(ИУ(У/) = ) - (УФ, V/),

Еп+1&у(Ф'У1-) = &у(4п+1Ф'У1) - (У4п+1, Ф'VI). Подставим полученное в (17)

<Цу(4п+1Ф'У1) - (У4п+1, Ф'У/) - а.1у(ФУ/) + (УФ, V/) = У(х)4п+1, по свойствам упростим

ам(4п+1Ф' - Ф)У/) - (У4п+1, Ф'У/) + (УФ, VI) = ъ(х)4п+1,

заметим УФ = Ф'У4п+1, поэтому

ам(4п+1Ф' - Ф)У/) = ъ(х)и+1.

Теорема 5 доказана.

Замечание. При Ф(ж) = 0 теорема 5 обобщает хорошо известное свойство гармоничности координатных функций минимальных поверхностей. В работе [9] для р-минимальных поверхностей (Ф(ж) = 0, Ф(4) = 1) аналогичное равенство было положено в основу их определения.

Пример 1. Пусть С2-гладкая поверхность М С Мп+1, заданной радиус-вектором

к (г, в) = (г,г(г)р(в)), (18)

0 € §п-1, р(0) — радиус-вектор сферы §п-1, Ь € (а,Ь) С К, г(Ь) - С2-гладкая функция на (а,Ь), 4п+1 — координата единичной нормали к поверхности М и функция Ф(4) =

= Ф(4п+1).

Обозначим т = 4п+1 = -г^)/1 + г2(г),

ф'(т) = с1ф/с1и+1, ф''(т) = ¿2ф/й42п+1, г(*) = ¿г(Ь)/М, г(Ь) = <12г(1)/<И2,

в(0 =__^ ,С(г)- 'МУГОЩ

Произведем вычисления производных радиус-вектора для того, чтобы найти главные направления Ег и главные кривизны кг поверхности.

Кг = (1,г(Ь)р(в)), Ндг = (0,г(Ь)рвг(в)),

Ки = (0, г(Ыв)), = (0, т№в<), Квгв3 = (0, г^)р(в)в.в.),

где

р вг (в)=д р(в)/двг, рвгв, (д) = д2 р(в)/д вгд в, , ij = 1, П - 1.

Выпишем координаты единичной нормали

4 = (-r(t)/^1 + r2(t), p(e)/^1 + r2(t)^j

и коэффициенты квадратичных форм

lRtl2 = 1 + r 2(t), 1Квг I2 = r2(t) рвг (в) рв, (в),

boo = (Rtt, 4) = ((0,r(t)р(в)), (-f(t)/^1 + f2(t), р(в)/^1 + г2т =

= r(t)

VT+i2®, _ _

Ьог = ^, 4) = {(0,r(t) Рвг (в)), (-f(t)/^1 + f2 (t), Р^/^ТЩ))) =

= , r(i) Р(в) рв.(в) = 0,

у/1 + г2(t) Р( )Увг( ) , ___

Ьгз = ^, 4) = {(0,т(1)-рвгв](в)), (-г(г)/^1Тт, Р(в)/^1Т r2(t)))

= тгтрш Р(в)рв^(в).

Таким образом, первая квадратичная форма

I = (1 + f2(t))dt2 + r2(t) р в, Рв, = (1 + r2(t))dt2 + Г2(1)<1в2,

где dв2 = рв рdвidвj — элемент длины для S"-1. А вторая квадратичная форма имеет вид

п— 1

II = boo dt2 + ^ boi dt dвi + ^ bijdвi dвj =

г=1 i<=j /(t) dt2 , ,_ ^

dt2 + E Р(в)Рвгв, (в) dвг ¿.в.

r(t) l2 r(t) ~2

w dt2 + , J -- de2

VI + Г2(г) у/ТЛЩ

где dв2 — вторая квадратичная форма для §га-1. Затем находим главные кривизны по формулам [7, гл. 2, § 4, п. 10, с. 99]:

к1 = т/(! + г2(1))3/2, кг = -1/г(Ь)^1 + г2(1),

где г = 2,п, и главные направления поверхности М

Ег = Rt/\Rt\ = + r2(t), г(г)р(в)/ф+*Щ

Ег = R0г/1Я0гI = (0, Р0г/Ц>0<|). Перейдем к вычислению скалярного произведения векторов

г(г)ф' (т)

{Оф, 4) = -

\Л + г 2(t)

и найдем значения матриц И2ф и С на векторах Ег, координаты которых мы записали выше,

Ф' '(т) _

Б2ф(Е1,Е1)= Ф (2) , 02ф(Ег,Ег) = 0, г = 2,п, 1 + г2(ъ)

по? км Ф''(т^ ^^ , Ф'(тУ(^ ^ , Ф'(т)г-(г)

С(Е1,Е1) = + Ф(т)^^===, С(Ег,Ег) = Ф(т)^^===. (19)

Теперь подставим подсчитанное в равенство (8) и получим уравнение экстремалей поверхности М, заданной радиус-вектором (18).

Так как все кг при г = 2,п равны и для С(Ег,Ег) ситуация аналогичная, то равенство (8) можно записать так:

п

к1С(Е1,Е1) + (п - 1) ^ кгС(Ег, Ег) = Ф(ж).

г=2

После подстановки выражений из (19) уравнение экстремалей принимает вид

г(1) ( Ф''(т) + + Ф'(т)у(1) \

Ф(т)+тт+т)

(i + r2(t)y/2\i + r2(t) ^' у/тщ

п - 1 Л / Ч ф' (T)r(t) \ т, ,

Гт)+7Щ]=Ф(Х).

г(г)^1 + г2(г)\ у/1 + г2 (г)

Преобразуем его, домножив обе части равенства на г(Ь)л/1 + г2(1)

г(г)г(г) ( Ф''(т) + Фт)+ Ф'(т)т

( ф''(т) . () + ф'(x)r(t) \ _ 1 + r2(t)\l + Г2(t)+ ф( ) + ^1 + f2(t)J

-(п - 1)(фф(т) + ) = V(x)r(t)^1 + f2(t).

ф'(t)r(t)

л/1+Щ) (

Затем выразим r(t)r(t)/(1 + f2(t)) и получим

, w , (п - 1) (ф(т) + 4==) + Ф(х)г(г)^ТГЩТ)

r(t)r(t) =_V у1 + r2(t))_

1+^41) = ф''(т) + ф' (x)r(t) ■

1 + f2(t) ^ J ^/1 + f2(t) ISSN 2222-8896. Вестн. Волгогр. гос. ун-та. Сер. 1, Мат. Физ. 2016. № 5 (36) 69

/ . ч ф'(x)r(t) \ Сократим выражение в правой части на сумму ф(т) Т-- _ =

V V1T r2(t)J

(п - 1) + Щх) ^У1^®

r(t)r(t) =_ф(т) + yi+W)

1 + f2(t)= ф''(т) Т1 ■

(1 + r2(t))[ ф(т)+

Применим вышепринятые обозначения B(t), С(t), и уравнение примет вид

r(t)r(t) (п - 1) + Ф(х)С(t)

0.

1 + г2(1) В(1) + 1

Таким образом получено уравнение экстремалей для поверхностей вращения.

Замечание. В работах [6; 8] были получены уравнения экстремалей для поверхностей вращения при Ф(ж) = 0.

ПРИМЕЧАНИЕ

1 Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ № 15-41-02479 р_поволжье_а.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Клячин, В. А. О некоторых свойствах устойчивых и неустойчивых поверхностей предписанной средней кривизны / В. А. Клячин // Изв. РАН. Сер. мат. — 2006. — Т. 70, № 4. — C. 77-90.

2. Клячин, В. А. Об устойчивости экстремальных поверхностей некоторых функционалов типа площади / В. А. Клячин, Н. М. Медведева // Сибирские электронные математические известия. Статьи. — 2007. — Т. 4. — C. 113-132.

3. Клячин, В. А. Признаки неустойчивости поверхностей нулевой средней кривизны в искривленных лоренцевых произведениях / В. А. Клячин, В. М. Миклюков // Мат. сб. — 1996. — Т. 187, № 11. — C. 67-88.

4. Кобаяси, Ш. Основы дифференциальной геометрии / Ш. Кобаяси, К. Номидзу. — М. : Наука, 1981. — Т. 1. — 175 с.

5. Кобаяси, Ш. Основы дифференциальной геометрии / Ш. Кобаяси, К. Номидзу. — М. : Наука, 1981. — Т. 2. — 212 с.

6. Медведева, Н. М. Исследование устойчивости экстремальных поверхностей вращения / Н. М. Медведева // Известия Саратовского университета. Серия: Математика. Механика. Информатика. — 2007. — Т. 7, № 2. — C. 25-32.

7. Позняк, Э. Г. Дифференциальная геометрия: первое знакомство / Э. Г. Позняк, Е. В. Шикин. — М. : МГУ, 1990. — 384 с.

8. Полубоярова, Н. М. Исследование устойчивости n-мерных экстремальных поверхностей вращения / Н. М. Полубоярова // Изв. вузов. Мат. — 2011. — № 2. — C. 106-109.

9. Tkachev, V. G. External geometry of p-minimal surfaces / V. G. Tkachev // Geometry from the Pacific Rim. — Berlin ; N. Y. : de Gruyter, 1997. — P. 363-375.

REFERENCES

1. Klyachin V.A. O nekotorykh svoystvakh ustoychivykh i neustoychivykh poverkhnostey predpisannoy sredney krivizny [On Some Properties of Stable and Unstable Surfaces with Prescribed Mean Curvature]. Izv. RAN. Sеr. mat. [Izvestiya: Mathematics], 2006, vol. 70, no. 4, pp. 77-90.

2. Klyachin V.A., Medvedeva N.M. Ob ustoychivosti ekstremalnykh poverkhnostey nekotorykh funktsionalov tipa ploshchadi [On the Stability of Extremal Surfaces for a Certain Area-Type Functional]. Sibus^ elеktronnyе matеmatichеskiе izvеstiya. Statyi [Siberian Electronic Mathematical Reports], 2007, vol. 4, pp. 113-132.

3. Klyachin V.A., Miklyukov V.M. Priznaki neustoychivosti poverkhnostey nulevoy sredney krivizny v iskrivlennykh lorentsevykh proizvedeniyakh [Criteria of Instability of Surfaces of Zero Mean Curvature in Warped Lorentz Products]. Mat. sb. [Sbornik: Mathematics], 1996, vol. 187, no. 11, pp. 67-88.

4. Kobayashi Sh., Nomizu K. Osnovy diffеrеntsialnoy gеomеtrii [Foundations of Differential Geometry]. Moscow, Nauka Publ., 1981, vol. 1. 175 p.

5. Kobayashi Sh., Nomizu K. Osnovy diffеrеntsialnoy gеomеtrii [Foundations of Differential Geometry]. Moscow, Nauka Publ., 1981, vol. 2. 212 p.

6. Medvedeva N.M. Issledovanie ustoychivosti ekstremalnykh poverkhnostey vrashcheniya [Research of the Stability of Extreme Surfaces of Rotation]. Izvеstiya Saratovskogo univеrsitеta. Sеriya: Matеmatika. Mеkhanika. Informatika, 2007, vol. 7, no. 2, pp. 25-32.

7. Poznyak E.G., Shikin E.V. Diffеrеntsialnaya gеomеtriya: pеrvoе znakomstvo [Differential Geometry: First Introduction]. Moscow, MGU Publ., 1990. 384 p.

8. Poluboyarova N.M. Issledovanie ustoychivosti n-mernykh ekstremalnykh poverkhnostey vrashcheniya [Research of the Stability of n-Dimensional Extreme Surfaces of Rotation]. Izv. vuzov. Mat., 2011, no. 2, pp. 106-109.

9. Tkachev V.G. External geometry of p-minimal surfaces. Geometry from the Pacific Rim, Berlin; N. Y., de Gruyter, 1997, pp. 363-375.

EXTREMALS OF THE EQUATION FOR THE POTENTIAL ENERGY

FUNCTIONAL

Natalia Mikhaylovna Poluboyarova

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor,

Department of Computer Science and Experimental Mathematics,

Volgograd State University

[email protected], [email protected]

Prosp. Universitetsky, 100, 400062 Volgograd, Russian Federation

Abstract. To study the surfaces on the stability (or instability) it is necessary to obtain the expression of the first and second functional variation. This article presents the first part of the research of the functional of potential energy. We calculate the first variation of the potential energy functional and prove some consequences of them. They help to build the extreme surface of rotation.

Let M be an n dimensional connected orientable manifold from the class C2. We consider a hypersurface M = (M,u), obtained by a C2 -immersion u : M ^ Rra+1. Let Q C Rra+1 be a domain such that M Cd Q; ^ : Rra+1 ^ ^ R — C2-smooth function. If £ the field of unit normals to the surface M, then for any C2-smooth surfaces M defined functional

W(M) = § dM + f V(x) dx,

M n

which we call the functional of potential energy. It is the main object of study. Theorem of the first variation of the functional.

Theorem 3. If W(t) = W(Mt), then

W'(0) = § (div(D^(£))T - nH&(£,) + V(x))h(x) dM,

M

where h(x) e C1(M).

Theorem 4 is the the main theorem of this article. It obtained the equations of extremals of the functional of potential energy.

Theorem 4. A surface M of class C2 is extremal of functional of potential energy if and only if

n

^tkiG(Ei,Ei) = V(x).

i=1

Corollary. If an extreme surface M is a plane, then the function ^(x) = 0. Theorem 5. If f = xn+1 and &(£,) = $(£ra+1), then

djv((^n+1^'(£n+1) - &(U+i))Vf) = *(x)U+i.

Key words: variation of functional, extreme surface, functional of area type, volumetric power density functional, functional of potential energy, mean curvature of extreme surface.