Некоторые оценки g-емкости экстремальных поверхностей и следствия из них1 Текст научной статьи по специальности «Математика»

© Полубоярова Н.М., 2011

УДК 514.772.2+517.97 ББК 22.151

НЕКОТОРЫЕ ОЦЕНКИ С-ЕМКОСТИ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ И СЛЕДСТВИЯ ИЗ НИХ1

Н.М. Полубоярова

В статье рассматриваются С-емкости конденсаторов, построенных на экстремальных поверхностях для функционалов типа площади. На основе полученных оценок этих емкостей доказаны признаки устойчивости и неустойчивости экстремальных поверхностей.

Ключевые слова: функционал типа площади, вариация функционала, экстремальная поверхность, устойчивая (неустойчивая) экстремальная поверхность, О-емкость конденсатора.

В процессе развития теории капиллярных поверхностей появились функционалы с нелинейной функцией, зависящей от единичной нормали к поверхности, которые отличаются от функционалов объема, и потребовали дополнительного исследования для получения признаков устойчивости и неустойчивости. В частности, в монографии Р. Финна [14] рассматриваются вопросы устойчивости капиллярных поверхностей, а в работе

В.А. Саранина [12] изучается устойчивость так называемых магнитных жидкостей, которые приводят к рассмотрению функционалов вида

где Ф : Мга+1 х Мга+1 —>• М — С2 — гладкая функция, в качестве потенциальной энергии соответствующей физической системы.

Подобные вопросы также тесно связаны и с физическими задачами о равновесии различных систем и описании их устойчивых и неустойчивых состояний. В большинстве случаев решение сводится к исследованию положительной определенности второй вариации специального функционала, связанного с потенциальной энергией системы. Примерами такого функционала будут функционалы, являющиеся линейной комбинацией функционала площади и функционала объема, что приводит к исследованию поверхностей постоянной средней кривизны, которые моделируют, например, равновесные состояния двух жидких сред.

Введение

м

В настоящее время достаточно полно подобные исследования проведены для одномерных функционалов и для функционала площади. Имеется широкий спектр работ, посвященных задаче об устойчивости минимальных поверхностей в евклидовом и псевдоевклидовом пространствах, в частности, А.А. Тужилина, Ю.А. Аминова, А.Т. Фоменко, В.М. Миклюкова, В.А. Клячина, В.Г. Ткачева, А.В. Погорелова, М. до Кармо, Ч.К. Пенга, Ш. Яу, Р. Финна, Дж. Саймонса и др.

Для решения некоторых задач теории минимальных поверхностей были применены модульно-емкостные методы. Эти методы заимствованы из теории квазиконформных отображений и модифицированы В.М. Миклюковым [7] применительно к исследованиям минимальных поверхностей. Позже, в работах В.М. Миклюкова и его учеников, модульно-емкостная техника дала эффективные результаты для изучения минимальных трубок и лент в евклидовых и псевдоевклидовых пространствах (например, [9; 10]), для определения конформного типа поверхности (например, [5; 8]), а также для исследования устойчивости поверхностей нулевой средней кривизны (и, в частности, трубок и лент) в евклидовых и псевдоевклидовых пространствах (например, [2;4]). В данной работе эти методы применяются для исследования устойчивости экстремальных поверхностей.

Постановка задачи. Пусть М — /?,-мерное связное ориентируемое многообразие класса С2 без края. Рассмотрим гиперповерхность Л4 = (М,и) без края, полученную С^-вложением и : М —>• Мга+1, и (72-гладкую функцию Ф : Мга+1 —>• М, £ € Мга+1, Ф(—£) = Ф(£). Если обозначить через £ поле единичных нормалей к поверхности Л4, то для любой С*2-гладкой поверхности Л4 определена величина

которая не зависит от выбора нормали £. Функционал (1) будем называть функционалом типа площади.

Основным объектом данного исследования будут поверхности, являющиеся экстремалями функционала (1). Заметим, что при Ф(£) = 1 экстремали функционала — минимальные поверхности.

Цель работы: получение признаков устойчивости и неустойчивости экстремальных поверхностей М..

Пусть V — С2-гладкое векторное поле, определенное в окрестности поверхности М., такое, что V\m = h'£, где h G C'o(A'f), С — поле единичных нормалей к поверхности, при этом предполагается, что интегральные кривые поля V лежат на прямых линиях и вдоль них выполнено \V\ = const.

Ясно, что если поверхность Л4 вложена, то любое векторное поле V = h-£, заданное вдоль Л4, можно продолжить в некоторую окрестность Л4 так, что будут выполнены сформулированные выше условия. Заметим, что согласно работе [15] вторая вариация не зависит от выбора продолжений.

Пусть U(М.) — окрестность поверхности М., в которой определено поле V и однопараметрическая группа локальных диффеоморфизмов gt(x) : U(M) —> Mra+1, порожденная векторным полем V. То есть gt(x) — решение задачи Коши:

(1)

м

1. Основные понятия

dgt^ = V(gt(x)), 9t(x)\t=o = x.

Положим Мг = д^М). Ясно, что Мо = М.

Определение 1. Поверхность Л4 является стационарной, если первая вариация функционала (1) равна нулю, то есть

Определение 2. Стационарная поверхность Л4 будет устойчива, если вторая вариация функционала (1)

знакоопределена при всех бесконечно малых деформациях поверхности ЛЛ, иначе поверхность М — неустойчива.

Замечание. В случае когда вторая вариация стационарной поверхности локально знакоопределена, то есть вариации с малым носителем дают одинаковый знак, будем называть поверхность экстремальной. Далее будут рассматриваться только экстремальные поверхности.

Обозначим С — квадратичную форму, соответствующую матрице

8ц — символ Кронекера, — главные кривизны, а — главные направления поверхности М..

В работе [3] была доказана следующая теорема.

Теорема 1. Поверхность М класса С2 является экстремалью функционала (1) тогда и только тогда, когда

Экстремальная поверхность М устойчива, если для любой функции Ь(х) Е С^(М) знакоопределена квадратичная форма

Общеизвестен тот факт, что гауссово отображение двумерных минимальных поверхностей в единичную сферу является одновременно гармоническим и конформным.

0,1 ~ + “ <ВФ'0)

п

^2кС(Ег,Ег) = 0.

г=1

(2)

иначе поверхность М неустойчива.

2. Оценка б-емкости, проективный объем и неустойчивость экстремальной поверхности

В многомерном случае это уже не так. Поэтому в [16] был найден другой подход к изучению полных многомерных минимальных подмногообразий евклидова пространства произвольной коразмерности. Суть данного метода сводится к введению некоторой меры некомпактности (проективного объема) минимальных подмногообразий евклидова пространства. В работе [13] этот метод применен к задачам исследования внешней геометрии многомерных минимальных поверхностей.

В настоящей работе описанный подход был использован для получения признака неустойчивости экстремальных поверхностей.

Поверхность Л4 (без края) называется внутренне полной, если любой расходящийся путь на М имеет бесконечную длину.

Поверхность Л4 называется внешне полной, или собственно погруженной, если для любой последовательности точек {т{\ С М, не имеющей накопления в М, последовательность образов х(ті) не имеет точек накопления в М”.

Пусть П С М. — произвольная область на поверхности Л4 и Р, <5 С П — два непересекающихся замкнутых множества в П. Всякую такую тройку (Р, <5; П) назовем конденсатором на поверхности М..

б-емкостью конденсатора (Р, <3; П) (см. [4]) назовем величину

где точная нижняя грань берется по всем локально-липшицевым функциям : ЛІ —> М1 таким, что <р(?п) = 1 при т Є Р и <р(?п) = 0 при т Є С}.

Рассмотрим на поверхности М., являющейся экстремалью функционала типа площади (1), два замкнутых непересекающихся множества (см. рис. 1): Р — часть поверхности, содержащаяся внутри шара 0\(0,г), и (^ — часть поверхности, лежащая вне шара 02(0,Р), то есть (^) = М \ 02(0, И), где 0 < г < Р < оо, на которых функция Л.(и) такая, что Ъ\р = 1 и /г,|<д = 0.

Несобственный интеграл

объем части поверхности ЛЛ.

Теорема 2. Внешне полная экстремальная поверхность М{г, В), имеющая конечный проективный объем, будет неустойчива, если выполнено неравенство

м

(3)

м

называется проективным объемом поверхности М.. Обозначим

П

г=1

Л(£) — максимальное по модулю собственное значение матрицы С, и

<т

(4)

М{гЯ)

Рис. 1. Конденсатор на произвольной поверхности Рассмотрим вариационную задачу

j G (V/г., V/г) dM —> inf. (5)

M(r,R)

Известно [1, гл. 3, § 4, п. 4.1, свойство 3], что эта задача имеет решение ho(x) Є (7о(П), такое что

capG (Р, Ш; П)= j G(Vh0, Vh0) dM.

M(r,R)

Для доказательства теоремы 2 нам потребуется теорема, доказанная в работе [3].

Теорема 3. Пусть М — экстремальная поверхность для функционала (1) со знакоопределенной матрицей G. Если найдется область Q С М и компакт Р <є П такие, что

j \\A\\2GdM > capс(Р,дП-,П), р

то М — неустойчива.

Доказательство. Определим допустимую в вариационной задаче (5) функцию

p(N) =

1п^ ___г_

ь*'

Г

Тогда, применяя (2), будем иметь неравенство

capG(P, Q;Q)< j G(V<p,V<p)dM, M(r,R)

которое с помощью неравенства Гельдера можно переписать в виде

[ С(У<р,У<р)с1М <

М(г,Н)

/ ^ 2/п ( \

< 1 Сп/2(Ур,Ур)с1М 1 с1М

\М(гЯ) \М(гЯ) /

(га—2) /га

Заметим, что в метрике поверхности выполнены следующие равенства:

УМ = V (52

1/2 _ 1 - 2

|У|ж

1 т х"

_______9 г = _____________

о I I ' I I ’

21 | |;Г'|

кг

,Т|

кг

„Л Ы\ г /Ы\ 1 , 1 хт хт

V 1п — = —гУ — = 77 V\х\ = 7777 = ]—7

\ Г / |;Г'| \ Г / |;х| |;х| |;х| \х\г

Подставляя их в выражение У</?), будем иметь

1

(Ь?)2

в2 Ф

Т Т ОС ОС

(1п|)2

(С2Ф(т,т) + (Ф-(СФ,С))|т|2)

кг

Т12

кг

(Ь?)2

(Я2Ф(г,г) + (Ф-<СФ,С)))

кг

,Т 12

<

МО 1 т X 2

115 ю 1 к 4

<

РГ

А(0 1

1 | т X 2

(1п?)2 м 4

С(г,г) <

где т = |7р и использованы неравенства к |/М < 1, с(г,г) < Л(£). Таким образом, получаем оценку емкости

сарс(Р, Q; П) <

<

А(С) (Ь^)2

А(0

/

\М(г,Я) /

-Т 12

С (г, г) |х_________

(1п ~г)2 |х|4

п/2 \

| Ш

)

2/п

/

\

(п—2)/п

кг

Т12 \ га/2

кг

\М(гЯ) {

<

(Ь?)2

<1М

\М(гЯ)

кг

\ 2/п / \ /*

/ <1М

/ I \М(г,Н) )

/га / \ (га-

а.м

У^гД) /

(п—2)/п

<

<

/

J (1М

\м(гЯ) )

С учетом введенных обозначений (3) и (4) С-емкость может быть оценена следующим выражением

сарс(Р,д;ГС) <

Далее, применяя теорему 3, получаем требуемое.

3. Уравнение экстремалей и вторая вариация поверхности вращения

Далее будем рассматривать функционал специального вида

Р(М) = I ф(£п+ММ, (6)

м

где с1М — элемент площади на С*2-гладкой поверхности Л4 С Мга+1, заданной радиус-вектором

я(г,в) = (г,г(г)р(в)), (7)

в Е §”-1, р{в) — радиус-вектор сферы §”-1, I Е (а,Ь) С К, г(£) — С2-гладкая функция на (а, 6), £га+1 — координата единичной нормали к поверхности Л4.

Обозначим т = £га+1 = — г(£)/\/1 + г2(£), тогда

ф'(т) = с1ф/с1т, ф"(т) = с12ф!с1т2,

г = с1г(1)/сЫ, г = <{2г(1)/(И2.

Пусть

В(0 = Ф"(т)/ ((1 + г2(*)) (<«т) + Ф’(т)т/\/ 1 + г2« тогда справедлива следующая теорема.

Теорема 4. Поверхность М, заданная радиус-вектором (7), является экстремальной тогда и только тогда, когда

г(1)г(1) п — 1

1 + r2(t) Bit) + 1

Экстремальная поверхность М устойчива тогда и только тогда, когда функционал

Г \ h,2(t, в) \Deh(t,e)\2 _ h2(t, в) (n-l)(n + B(t))\

ISl + r2(t){ {) } r2(t) r2(t)(\ + r2(t)) B(t) + 1 J

M

знакоопределен в классе функций h, : Rra+1 —>• R, таких, что h, e Cq(M).

Пусть

а(() = (ф{т) + «а) ,г((} т) +1), V VI+ **(*); лЛ + г2(*г

Я (А и ^(г)НО_\ 1 (??- — !)(??- + -£>(£))

в^) + 1 '

Следствие 1. Экстремальная поверхность М, заданная радиус-вектором (7), является устойчивой тогда и только тогда, когда знакоопределен функционал

/ {а'(£)Л/2(£) — /3„(£)Л2(£)} ей

*/ а

в классе липшицевых функций Ь(1) : М —>• М, таких что Ь(а) = Ь(Ь) = О.

Замечание. Теорема 4 и ее следствие 1 были опубликованы в [11].

4. Вычисление б-емкости и ее применение для исследования поверхности вращения

Рассмотрим на поверхности М., заданной радиус-вектором (7) и являющейся экстремалью функционала типа площади (6), два замкнутых, непересекающихся множества (см. рис. 2): Р = € М : хп+1 < ^} и (^) = {х Е М : хп+1 > где

— оо < а < < 12 < Ь < +оо, на которых функция /?,(£) такая, что Ъ\р = О и Ъ\о = 1.

Рис. 2. Конденсатор на поверхности вращения

Пусть а (і) > 0.

Тогда С — емкость описанного выше конденсатора вычисляется по формуле

сара(Р, Ш; П) = “п~г ,

[ СІІ

*1

а (і)

которая будет выведена в ходе доказательства следующей теоремы.

Поверхность М. назовем С-параболической (см. [4]), если найдется такая последовательность подобластей Пд. С Л4, Пд. <е Г2д.+1, и Г2д. = -М, что выполнено равенство

А->1

для любого Р <£ М.

Теорема 5. Экстремальная поверхность М является С-параболической, если для некоторого £0 £ (о-, Ъ)

to

причем устойчивой при (3n(t) < 0 и неустойчивой при (3n(t) > 0 для всех t Є (а, b).

Доказательство. Из построения конденсатора имеем, что для любой допустимой в вариационной задаче (5) функции h(t, в) = hit) (такое допустимо согласно следствию 1) справедливо соотношение

В силу интегральной формы неравенства Коши — Буняковского, будет верно неравенство

lim capG(P, Шд.; Пд.) = О

а

U

Ъ

Таким образом,

*1 а\с)

Интегрируя правую и левую часть неравенства по сфере §”-1, находим

что с учетом принятых обозначений равносильно неравенству

*2

J G(Vh, Vh) dM= j J a(t)h%(t) dt d9 >

M g"-1 ti

*2 f dt.

a(t)

Переходя здесь к точной нижней грани по всем допустимым функциям Л,(£) и используя равенство из определения С-емкости, приходим к соотношению

сарс(Р,0ВД>-^-. (8)

/ dt

11

a(t)

Для доказательства обратного неравенства выберем допустимую в вариационной

*2 *2

задаче (5) функцию Л.0(£) = / —т / / —гт- Очевидно, что выполнено

.] а(Ь) / .] а(Ь)

11

*2

capG(P, 5П; П) < / / a(t)(h0(t))t dt. d9 — Шп 1

g™-1 ti

a(t)

Поэтому, сопоставляя найденное соотношение с неравенством (8), будем иметь равенство

сарс(Р, дП; П) = “п~1 .

[ dt

11

a(t)

Далее, применяя определение G-параболичности и устремляя ^ к а и t2 к 6, приходим к выводу о параболичности экстремальной поверхности вращения при условии расходимости интегралов

*0 f dt.

J a(t)

dt.

оо

Q,(t)

при некотором ^ € (а,Ь). Причем ее устойчивость и неустойчивость непосредственно следуют из определения.

Теорема доказана.

Пример 1. Минимальная поверхность (катеноид)

r(t, в) = {t, cht cos 0, chi sin 61},

где t G ( — 00,+00), 9 G (0,27г), является неустойчивой, так как функции a(t) = 1 и

2

/5(£) = —> 0. Таким образом, заключаем, что интегралы

ch t

О 0 +оо +оо

J dt/a(t) = J dt, j dt/a(t) = J dt

—oo —oo 0 0

расходятся и минимальная поверхность неустойчива.

ПРИМЕЧАНИЕ

1 Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ № 11-01-97021-

р_поволжье_а.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Гольдштейн, В. М. Введение в теорию функций с обобщенными производными и квазиконформные отображения / В. М. Гольдштейн, Ю. Г. Решетняк. — М. : Наука, 1983. — 284 с.

2. Клячин, В. А. Об одном емкостном признаке неустойчивости минимальных гиперповерхностей / В. А. Клячин, В. М. Миклюков // Докл. РАН. — 1993. — Т. 330, № 4. —

С. 424-426.

3. Клячин, В. А. Об устойчивости экстремальных поверхностей некоторых функционалов типа площади / В. А. Клячин, Н. М. Медведева // Сибирские электронные математические известия. Статьи. — 2007. — Т. 4. — С. 113-132.

4. Клячин, В. А. Признаки неустойчивости поверхностей нулевой средней кривизны в искривленных лоренцевых произведениях / В. А. Клячин, В. М. Миклюков // Мат. сб. - 1996. - Т. 187, № 11. - С. 67-88.

5. Клячин, В. А. Условия конечности времени существования максимальных трубок и лент в искривленных лоренцевых произведениях / В. А. Клячин, В. М. Миклюков // Изв. РАН. Сер. мат. - 1994. - Т. 58, № 3. - С. 196-210.

6. Медведева, Н. М. Исследование устойчивости экстремальных поверхностей вращения / Н. М. Медведева // Изв. Сарат. ун-та. Серия «Математика. Механика. Информатика». Вып. 2. - 2007. - Т. 7. - С. 25-32.

7. Миклюков, В. М. Геометрический анализ поверхностей нулевой средней кривизны / В. М. Миклюков // Геометрический анализ. — 1999. — С. 5-22.

8. Миклюков, В. М. Некоторые признаки параболичности и гиперболичности граничных множеств поверхностей / В. М. Миклюков // Изв. РАН. Сер. мат. — 1996. — Т. 60, № 4. - С. 111-158.

9. Миклюков, В. М. Некоторые свойства трубчатых минимальных поверхностей произвольной коразмерности / В. М. Миклюков, В. Г. Ткачев // Мат. сб. — 1989. — Т. 180, № 9. - С. 1278-1295.

10. Миклюков, В. М. О некоторых свойствах трубчатых минимальных поверхностей в R” / В. М. Миклюков // Докл. АН СССР. - 1979. - Т. 247, № 3. - С. 549-552.

11. Полубоярова, Н. М. Исследование устойчивости ?г-мерных экстремальных поверхностей вращения / Н. М. Полубоярова // Изв. вузов. Математика. — 2011. — № 2. — С. 106— 109.

12. Саранин, В. А. Равновесие жидкостей и его устойчивость / В. А. Саранин. — М. : Ин-т компьютер, исследований, 2002. — 144 с.

13. Ткачев, В. Г. Минимальные поверхности конечного проективного объема / В. Г. Ткачев // Геометрический анализ. — 1999. — С. 369-410.

14. Финн, Р. Равновесные капиллярные поверхности. Математическая теория / Р. Финн. — М. : Мир, 1989. - 312 с.

15. Simons, J. Minimal varieties in riemannian manifolds / J. Simons // Ann. of Math. —

1968. - V. 88, № 1. - P. 62-105.

16. Tkachev, V. G. Finiteness of the number of ends of minimal submanifolds in Euclidean

space / V. G. Tkachev // Manuscr. Mathem. — 1994. — V. 82. — P. 313-330.

SOME ESTIMATES OF G-CAPACITY ON EXTREMAL SURFACES

AND ITS APPLICATIONS

N.M. Poluboyarova

In this paper we consider G-capacity of condenser on the extremal surfaces of the area type functional. We obtain the feature of stability and instability for extremal surfaces with the help estimates of G-capacity.

Key words: area type functional, functional variation, extremal surface, stable (instable) extremal surface, G-capacity of condenser.